河南省南陽(yáng)市2020-2021學(xué)年高二下學(xué)期期終質(zhì)量評(píng)估（期末考試）數(shù)學(xué)（理科）試卷

河南省南陽(yáng)市20202021學(xué)年高二下學(xué)期期終質(zhì)量評(píng)估數(shù)學(xué)(理)試題一?選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.從裝有2個(gè)白球、3個(gè)黑球的袋中任取2個(gè)小球，下列可以作為隨機(jī)變量的是（）A.至多取到1個(gè)黑球 B.至少取到1個(gè)白球C.取到白球個(gè)數(shù) D.取到的球的個(gè)數(shù)2.已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.3.某數(shù)列前10項(xiàng)是，按此規(guī)律推理，該數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式可以是（）A. B. C. D.4.某市有10000人參加期末考試，其中數(shù)學(xué)考試成績(jī)近似服從正態(tài)分布(試卷滿分150分，大于等于120分為優(yōu)秀)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)成績(jī)分?jǐn)?shù)位于(90，105]的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，則此次數(shù)學(xué)考試成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)約為（）A.4000 B.3000 C.2000 D.10005.設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取值為，若的均值，則等于（）A. B.0 C. D.6.如圖，矩形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，，正弦曲線和余弦曲線在矩形ABCD內(nèi)交于點(diǎn)F，向矩形ABCD區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是（）A. B. C. D.7.二維空間中，圓的一維測(cè)度(周長(zhǎng))，二維測(cè)度(面積)，三維空間中，球的二維測(cè)度(表面積)，三維測(cè)度(體積)應(yīng)用合情推理，若四維空間中，特級(jí)球”的三維測(cè)度，則其四維測(cè)度（）A. B. C. D.8.設(shè)隨機(jī)變量，記.在研究的最大值時(shí)，某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn)：若為正整數(shù)，則時(shí)，，此時(shí)這兩項(xiàng)概率均為最大值；若為非整數(shù)，當(dāng)取的整數(shù)部分，則是唯一的最大值.以此為理論基礎(chǔ)，有同學(xué)重復(fù)投擲一枚質(zhì)地均勻的股子并實(shí)時(shí)記錄點(diǎn)數(shù)1出現(xiàn)的次數(shù).當(dāng)投鄭到第30次時(shí)，記錄到此時(shí)點(diǎn)數(shù)1出現(xiàn)7次，若繼續(xù)再進(jìn)行70次投擲試驗(yàn)，則當(dāng)投擲到第100次時(shí)，點(diǎn)數(shù)1總共出現(xiàn)的次數(shù)為（）的概率最大A.16 B.17 C.18 D.199.如圖是某個(gè)閉合電路一部分，每個(gè)元件的可靠性是，則從到這部分電路暢通的概率為（）A B. C. D.10.已知直線與曲線在點(diǎn)處相切，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的極大值為B.的極小值為C.在上單調(diào)遞增D.的極值存在，但隨著的變化而變化11.為了發(fā)揮“名師引領(lǐng)”作用，加強(qiáng)教育資源融合，上級(jí)將六位專(zhuān)家型“教學(xué)名師”分配到我市第一?第二?第三中學(xué)支教，每位專(zhuān)家只去一個(gè)學(xué)校，且每校至少分配一人，其中不去市一中，則不同的分配方案種數(shù)為（）A.160 B.240 C.360 D.42012.已知命題不等式恒成立，命題在上存在最小值，且(其中的導(dǎo)數(shù)是，若或?yàn)榧倜}，則的取值范圍是（）A. B. C. D.二?填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13.的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_________.14.同學(xué)們，對(duì)于本張數(shù)學(xué)試卷的12個(gè)選擇題，我們假定：某考生對(duì)選擇題中每個(gè)題的四個(gè)選項(xiàng)都能判斷其中有一個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，而對(duì)其它三個(gè)選項(xiàng)都沒(méi)有把握，設(shè)該生選擇題的總得分為分，則__________.15.《易經(jīng)》是中國(guó)傳統(tǒng)文化中的精髓，如圖是易經(jīng)八卦（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦由三根線組成(“”表示一根陽(yáng)線，“”表示一根陰線)，從八卦中任取兩卦，已知取出的兩卦有一卦恰有一個(gè)陰線，則另一卦至少有兩個(gè)陰線的概率是__________.16.若，不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.三?解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.用數(shù)學(xué)歸納法證明：(其中是正整數(shù)).18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求表達(dá)式的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值；（2）當(dāng)時(shí)，若，求.19.某移動(dòng)支付公司從我市移動(dòng)支付用戶中隨機(jī)抽取100名進(jìn)行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：每周移動(dòng)支付次數(shù)1次2次3次4次5次6次及以上總計(jì)男1087321545女546463055總計(jì)1512137845100（1）若把每周使用移動(dòng)支付超過(guò)3次的用戶稱(chēng)為“移動(dòng)支付活夭用戶”，完成下列列聯(lián)表，并判斷：是否有的把握認(rèn)為“移動(dòng)支付活夭用戶”與性別有關(guān)？非移動(dòng)支付活夭用戶移動(dòng)支付活夭用戶總計(jì)男2545女40總計(jì)60（2）把每周使用移動(dòng)支付6次及6次以上的用戶稱(chēng)為“移動(dòng)支付達(dá)人”?視頻率為概率，在我市所有“移動(dòng)支付達(dá)人”中，隨機(jī)抽取4名用戶設(shè)抽取的4名用戶中，既有男“移動(dòng)支付達(dá)人”又有女“移動(dòng)支付達(dá)人”的事件為，求.附公式及表如下：，其中.20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，證明：；（2）若，對(duì)任意，總有，求的取值范圍.21.已知函數(shù).（1）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；（2）若，曲線在點(diǎn)的切線也是曲線的切線，證明.22.某中學(xué)組織學(xué)生前往電子科技產(chǎn)業(yè)園，學(xué)習(xí)加工制造電子產(chǎn)品．該電子產(chǎn)品由A、B兩個(gè)系統(tǒng)組成，其中A系統(tǒng)由3個(gè)電子元件組成，B系統(tǒng)由5個(gè)電子元件組成．各個(gè)電子元件能夠正常工作的概率均為，且每個(gè)電子元件能否正常工作相互獨(dú)立每個(gè)系統(tǒng)中有超過(guò)一半的電子元件正常工作，則該系統(tǒng)可以正常工作，否則就需要維修．（1）當(dāng)時(shí)，每個(gè)系統(tǒng)維修費(fèi)用均為200元．設(shè)為該電子產(chǎn)品需要維修的總費(fèi)用，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）當(dāng)該電子產(chǎn)品出現(xiàn)故障時(shí)，需要對(duì)該電子產(chǎn)品A，B兩個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行檢測(cè)．從A，B兩個(gè)系統(tǒng)能夠正常工作概率的大小判斷，應(yīng)優(yōu)先檢測(cè)哪個(gè)系統(tǒng)？參考答案一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分）.1．從裝有2個(gè)白球、3個(gè)黑球的袋中任取2個(gè)小球，下列可以作為隨機(jī)變量的是（）A．至多取到1個(gè)黑球 B．至少取到1個(gè)白球 C．取到白球的個(gè)數(shù) D．取到的球的個(gè)數(shù)【分析】利用隨機(jī)變量的定義直接求解．解：從裝有2個(gè)白球、3個(gè)黑球的袋中任取2個(gè)小球，對(duì)于A，至多取到1個(gè)黑球是隨機(jī)事件，不是隨機(jī)變量，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，至少取到1個(gè)白球是隨機(jī)事件，不是隨機(jī)變量，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，取到白球的個(gè)數(shù)是隨機(jī)變量，故C正確；對(duì)于D，取到的球的個(gè)數(shù)是常量，故D錯(cuò)誤．故選：C．2．復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（1，0） B．（0，1） C． D．【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)即可得z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，則答案可求．解：由＝＝＝i；則在復(fù)平面內(nèi)，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是：（0，1）．故選：B．3．某數(shù)列前10項(xiàng)是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，按此規(guī)律推理，該數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式可以是（）A． B． C． D．【分析】取特殊值代入利用排除法即可求解結(jié)論．解：因?yàn)榈谝豁?xiàng)為0，故D錯(cuò)；第三項(xiàng)為4，故AC錯(cuò)；故選：B．4．某市有10000人參加期末考試，其中數(shù)學(xué)考試成績(jī)近似服從正態(tài)分布N（105，σ2）（σ＞0）（試卷滿分150分，大于等于120分為優(yōu)秀），統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)成績(jī)分?jǐn)?shù)位于（90，105]的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，則此次數(shù)學(xué)考試成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)約為（）A．4000 B．3000 C．2000 D．1000【分析】根據(jù)已知條件，可得P（105≤X＜120）＝P（90＜X≤105）＝，即可得P（X≥120）的概率，即可求解．解：設(shè)數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)閄，∵數(shù)學(xué)成績(jī)分?jǐn)?shù)位于（90，105]的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，又∵數(shù)學(xué)考試成績(jī)近似服從正態(tài)分布N（105，σ2），∴P（105≤X＜120）＝P（90＜X≤105）＝，∴P（X≥120）＝，∴此次數(shù)學(xué)考試成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)約10000×．故選：D．5．設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能的取值為1，2，3，P（X＝k）＝ak+b，若X的均值E（X）＝，則a+b等于（）A． B．0 C． D．【分析】根據(jù)已知條件，可得隨機(jī)變量X的分布列，由分布列的性質(zhì)，可推得6a+3b＝1，再結(jié)合期望的公式，可得，聯(lián)立兩個(gè)方程，即可求解．解：∵離散型隨機(jī)變量X可能的取值為1，2，3，P（X＝k）＝ak+b，∴隨機(jī)變量X的分布列為X123Pa+b2a+b3a+b由分布列的性質(zhì)，可得（a+b）+（2a+b）+（3a+b）＝1，即6a+3b＝1①，∵X的均值E（X）＝，∴，即②，聯(lián)立①②，解得，∴．故選：C．6．如圖，矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0，﹣1），B（π，﹣1），C（π，1），D（0，1），正弦曲線f（x）＝sinx和余弦曲線g（x）＝cosx在矩形ABCD內(nèi)交于點(diǎn)F，向矩形ABCD區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是（）A． B． C． D．【分析】利用定積分計(jì)算公式，算出曲線y＝sinx與y＝cosx圍成的區(qū)域包含在區(qū)域D內(nèi)的圖形面積為S＝2π，再由定積分求出陰影部分的面積，利用幾何概型公式加以計(jì)算即可得到所求概率．【解答】解根據(jù)題意，可得曲線y＝sinx與y＝cosx圍成的區(qū)域，其面積為（sinx﹣cosx）dx＝（﹣cosx﹣sinx）＝1﹣（﹣）＝1+；又矩形ABCD的面積為2π，由幾何概型概率公式得該點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是；故選：B．7．在二維空間中，圓的一維測(cè)度（周長(zhǎng)）l＝2πr，二維測(cè)度（面積）S＝πr2；在三維空間中，球的二維測(cè)度（表面積）S＝4πr2，三維測(cè)度（體積）．應(yīng)用類(lèi)比推理，若在四維空間中，“特級(jí)球”的三維測(cè)度V＝12πr3，則其四維測(cè)度W＝（）A．4πr4 B．3πr4 C．2πr4 D．πr4【分析】根據(jù)所給的示例及類(lèi)比推理的規(guī)則得出高維的測(cè)度的導(dǎo)數(shù)是低一維的測(cè)度，從而得到W′＝V，從而求出所求．解：二維空間中圓的一維測(cè)度（周長(zhǎng)）l＝2πr，二維測(cè)度（面積）S＝πr2；觀察發(fā)現(xiàn)S′＝l，三維空間中球的二維測(cè)度（表面積）S＝4πr2，三維測(cè)度（體積），觀察發(fā)現(xiàn)V′＝S，四維空間中“特級(jí)球“的三維測(cè)度V＝8πr3，猜想其四維測(cè)度W，則W′＝V＝12πr3，∴W＝3πr4，故選：B．8．設(shè)隨機(jī)變哩X～B（n，p），記．在研究pk的最大值時(shí)，某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn)：若（n+1）p為正整數(shù)，則k＝（n+1）p時(shí)，pk＝pk﹣1，此時(shí)這兩項(xiàng)概率均為最大值；若（n+1）p為非整數(shù)，當(dāng)k取（n+1）p的整數(shù)部分，則pk是唯一的最大值．以此為理論基礎(chǔ)，有同學(xué)重復(fù)投擲一枚質(zhì)地均勻的股子并實(shí)時(shí)記錄點(diǎn)數(shù)1出現(xiàn)的次數(shù)．當(dāng)投鄭到第30次時(shí)，記錄到此時(shí)點(diǎn)數(shù)1出現(xiàn)7次，若繼續(xù)再進(jìn)行70次投擲試驗(yàn)，則當(dāng)投擲到第100次時(shí)，點(diǎn)數(shù)1總共出現(xiàn)的次數(shù)為（）的概率最大A．16 B．17 C．18 D．19【分析】再進(jìn)行70次投擲試驗(yàn)中，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為1的次數(shù)服從二項(xiàng)分布，結(jié)合條件求解．解：由題意知，繼續(xù)進(jìn)行70次投擲試驗(yàn)，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為1的次數(shù)服從二項(xiàng)分布X～B（70，），因?yàn)椋蓷l件知當(dāng)k＝11時(shí)，概率最大．所以總共出現(xiàn)11+7＝18次時(shí)概率最大．故選：C．9．如圖是某個(gè)閉合電路的一部分，每個(gè)元件的可靠性是，則從A到B這部分電路暢通的概率為（）A． B． C． D．【分析】利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式以及對(duì)立事件的概率公式求解即可．解：因?yàn)槊總€(gè)元件的可靠性是，所以從A到B這部分電路不暢通的概率為＝，故從A到B這部分電路暢通的概率為1﹣＝．故選：C．10．已知直線與曲線在點(diǎn)（1，f（1））處相切，則下列說(shuō)法正確的是（）A．f（x）的極大值為 B．f（x）的極小值為 C．f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增 D．f（x）的極值存在，但隨著m的變化而變化【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在點(diǎn)（1，f（1））處的球心的斜率，結(jié)合已知求得m值，可得原函數(shù)的解析式，再由導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性與最值得答案．解：由，得f′（x）＝，∴，由已知可得，則m＝﹣1．∴f（x）＝，f′（x）＝，當(dāng)x∈（﹣∞，2）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，∴當(dāng)x＝2時(shí)，f（x）取得極小值為f（2）＝，故AC錯(cuò)誤，B正確；f（x）的極小值為定值，與m無(wú)關(guān)，故D錯(cuò)誤．故選：B．11．為了發(fā)揮“名師引領(lǐng)”作用，加強(qiáng)教育資源融合，上級(jí)將a，b，c，d，e，f六位專(zhuān)家型“教學(xué)名師”分配到我市第一、第二、第三中學(xué)支教，每位專(zhuān)家只去一個(gè)學(xué)校，且每校至少分配一人，其中c不去市一中，則不同的分配方案種數(shù)為（）A．160 B．240 C．360 D．420【分析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將6位專(zhuān)家分為3組，②將三組專(zhuān)家安排到三個(gè)學(xué)校，其中c所在的組不去市一中，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將6位專(zhuān)家分為3組，若分為2﹣2﹣2的三組，有＝15種分組方法，若分為4﹣1﹣1的三組，有＝15種分組方法，若分為1﹣2﹣3的三組，有＝60種分組方法，則有15+15+60＝90種分組方法；②將三組專(zhuān)家安排到三個(gè)學(xué)校，其中c所在的組不去市一中，有2×2＝4種情況，則有90×4＝360種安排方法；故選：C．12．已知命題p：不等式3lnx﹣a（x﹣1）≤0恒成立，命題在（c，c+5）上存在最小值，且f'（1+x）＝f'（1﹣x）（其中f（x）的導(dǎo)數(shù)是f'（x）），若（￢p）或（￢q）為假命題，則的取值范圍是（）A．（﹣1，2） B． C． D．【分析】由（￢p）或（￢q）為假命題可得命題p和命題q都是真命題，若命題p是真命題，即直線y＝a（x﹣1）恒在函數(shù)g（x）圖象的上方，數(shù)形結(jié)合可得a＝3；若命題q是真命題，先根據(jù)f'（1+x）＝f'（1﹣x）求出b，再利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)作出函數(shù)f（x）的大致圖象，數(shù)形結(jié)合建立關(guān)于c的不等式，即可求c的取值范圍，進(jìn)而得到的取值范圍．解：（?p）或（?q）為假命題，則命題?p和命題?q都是假命題，即命題p和命題q都是真命題，若命題p是真命題，令g（x）＝3lnx，直線y＝a（x﹣1）是過(guò)點(diǎn)（1，0）的一條直線，，所以g′（1）＝3，所以函數(shù)g（x）在點(diǎn)（1，0）處的切線方程為y＝3（x﹣1），3lnx﹣a（x﹣1）?0?3lnx?a（x﹣1），題意轉(zhuǎn)化為直線y＝a（x﹣1）恒在函數(shù)g（x）圖象的上方，數(shù)形結(jié)合可知a＝3．若命題q為真命題，，因?yàn)閒′（1+x）＝f′（1﹣x），所以f′（x）關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)，所以，解得b＝1．所以，當(dāng)x＜0或x＞2時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，0）和（2，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，于是當(dāng)x＝2時(shí)，f（x）取得極小值，令f（x）＝0?x＝﹣1或x＝2，作出函數(shù)f（x）的大致圖象，由f（x）在（c，c+5）上存在最小值，數(shù)形結(jié)合可得?﹣1?c＜2，所以．故選：D．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．（3x﹣2）（x﹣1）7的展開(kāi)式中，x5項(xiàng)的系數(shù)為﹣147．【分析】由題意利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求得含x5項(xiàng)的系數(shù)．解：∵（x﹣1）7的通項(xiàng)公式為T(mén)r+1＝?（﹣1）r?x7﹣r，∴（3x﹣2）（x﹣1）7的展開(kāi)式中，x5項(xiàng)的系數(shù)3×（﹣）﹣2＝﹣147，故答案為：﹣147．14．同學(xué)們，對(duì)于本張數(shù)學(xué)試卷的12個(gè)選擇題（每小題5分），我們假定：某考生對(duì)選擇題中每個(gè)題的四個(gè)選項(xiàng)都能判斷其中有一個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，而對(duì)其它三個(gè)選項(xiàng)都沒(méi)有把握，設(shè)該生選擇題的總得分為X分，則D（X）＝．【分析】設(shè)該考生答對(duì)題的個(gè)數(shù)為n，由題意可得，n服從二項(xiàng)分布，即n～B（12，），再結(jié)合方差公式D（X）＝npq，以及D（aX+b）＝a2D（X），即可求解．解：設(shè)該考生答對(duì)題的個(gè)數(shù)為n，∵選擇題每小題5分，∴X＝5n，∵n服從二項(xiàng)分布，即n～B（12，），∴D（n）＝，∴D（Y）＝．故答案為：．15．《易經(jīng)》是中國(guó)傳統(tǒng)文化中的精髓，如圖是易經(jīng)八卦（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦由三根線組成（“”表示一根陽(yáng)線，“”表示一根陰線），從八卦中任取兩卦，已知取出的兩卦有一卦恰有一個(gè)陰線，則另一卦至少有兩個(gè)陰線的．【分析】求出總的基本事件數(shù)和符合條件的基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式求解即可．解：從八卦中任取兩卦，兩卦中恰有一根陰線的取法有種，從八卦中任取兩卦，兩卦中恰有一根陰線，另一卦中至少有兩根陰線的取法有種，所以取出的兩卦有一卦恰有一個(gè)陰線，則另一卦至少有兩個(gè)陰線的概率為＝．故答案為：．16．若a＞1，不等式xex﹣x+（a﹣2）lnx﹣xa﹣1＞0在（1，+∞）上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，e+2）．【分析】設(shè)f（x）＝ex﹣x（x＞0），則原式可化為f（x+lnx）＞f（lnxa﹣1），結(jié)合函數(shù)f（x）的單調(diào)性，可得，構(gòu)造函數(shù)m（x）＝，x＞1，結(jié)合m（x）的單調(diào)性，可得m（x）的極小值，即m（x）的最小值，即可求解．解：設(shè)f（x）＝ex﹣x（x＞0），求導(dǎo)可得f'（x）＝ex﹣1，∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，∵xex﹣x+（a﹣2）lnx﹣xa﹣1＞0，∴xex﹣x﹣lnx＞xa﹣1﹣（a﹣1）lnx，∵xex＝ex+lnx，（a﹣1）lnx＝lnxa﹣1，，∴f（x+lnx）＞f（lnxa﹣1），∵x＞1，a＞1，∴x+lnx＞0，lnxa﹣1＞0，又∵f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，∴x+lnx＞（a﹣1）lnx，即x＞（a﹣2）lnx，∵lnx＞ln1＝0，∴，設(shè)m（x）＝，x＞1，求導(dǎo)可得m'（x）＝，令m'（x）＞0，解得x＞e，m'（x）＜0，解得1＜x＜e，∴m（x）在（e，+∞）單調(diào)遞增，在（1，e）單調(diào)遞減，∴m（x）在x＝e取得極小值點(diǎn)，也為m（x）的最小值點(diǎn)，∴m（x）min＝m（e）＝e，即a﹣2＜e，可得1＜a＜e+2則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，e+2）．故答案為：（1，e+2）．三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17．用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1+α）n≥1+nα（其中α＞﹣1，n是正整數(shù)）．【分析】要證明當(dāng)α＞﹣1時(shí)，（1+α）n≥1+nα，先證明n＝1時(shí)，（1+α）n≥1+nα成立，再假設(shè)n＝k時(shí)，（1+α）n≥1+nx成立，進(jìn)而證明出n＝k+1時(shí)，（1+α）n≥1+nα也成立，即可得到對(duì)于任意正整數(shù)n：當(dāng)α＞﹣1時(shí)，（1+α）n≥1+nα．解：因?yàn)椋?+α）n≥1+αn為關(guān)于n的不等式，x為參數(shù)，以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：（?。┊?dāng)n＝1時(shí)，原不等式成立；當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝1+2α+α2，右邊＝1+2α，因?yàn)閤2≥0，所以左邊≥右邊，原不等式成立；（ⅱ）假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，不等式成立，即（1+α）k≥1+kα，則當(dāng)n＝k+1時(shí)，∵α＞﹣1，∴1+α＞0，于是在不等式（1+α）k≥1+kα兩邊同乘以1+α得（1+α）k?（1+α）≥（1+kα）?（1+α）＝1+（k+1）α+kα2≥1+（k+1）α，所以（1+α）k+1≥1+（k+1）α．即當(dāng)n＝k+1時(shí)，不等式也成立．綜合（ⅰ）（ⅱ）知，對(duì)一切正整數(shù)n，不等式都成立18．已知函數(shù)f（x）＝．（1）當(dāng)0＜x＜1時(shí)，求f（f（x））表達(dá)式的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值；（2）當(dāng)x＞1時(shí)，若f2（x）＝a0+a1（1﹣x）+a2（1﹣x）2+?+a10（1﹣x）10，求a7．【分析】（1）由題意利用分段函數(shù)，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，得出結(jié)論．（2）把二項(xiàng)式變形，利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，得出結(jié)論．解：（1）由題，所以當(dāng)0＜x＜1時(shí)，，故，而的展開(kāi)式共有6項(xiàng)，故二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為．（2）當(dāng)x＞1時(shí)，f2（x）＝（x+1）10，即，由Tr+1＝?210﹣r?[﹣（1﹣x）]r，可知，a7＝?23?（﹣1）7＝﹣960．19．某移動(dòng)支付公司從我市移動(dòng)支付用戶中隨機(jī)抽取100名進(jìn)行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：每周移動(dòng)支付次數(shù)1次2次3次4次5次6次及以上總計(jì)男1087321545女546463055總計(jì)1512137845100（1）若把每周使用移動(dòng)支付超過(guò)3次的用戶稱(chēng)為“移動(dòng)支付活夭用戶”，完成下列2×2列聯(lián)表，并判斷：是否有99%的把握認(rèn)為“移動(dòng)支付活夭用戶”與性別有關(guān)？非移動(dòng)支付活夭用戶移動(dòng)支付活夭用戶總計(jì)男2545女40總計(jì)60（2）把每周使用移動(dòng)支付6次及6次以上的用戶稱(chēng)為“移動(dòng)支付達(dá)人”、視頻率為概率，在我市所有“移動(dòng)支付達(dá)人”中，隨機(jī)抽取4名用戶設(shè)抽取的4名用戶中，既有男“移動(dòng)支付達(dá)人”又有女“移動(dòng)支付達(dá)人”的事件為A，求P（A）．附公式及表如下：，其中n＝a+b+c+d．P（χ2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【分析】（1）根據(jù)題意填寫(xiě)列聯(lián)表，計(jì)算K2，對(duì)照附表得出結(jié)論．（2）利用頻率得出對(duì)應(yīng)的概率，求出所求的概率值．解：（1）由表格數(shù)據(jù)可得2×2列聯(lián)表如下：非移動(dòng)支付活躍用戶移動(dòng)支付活躍用戶總計(jì)男252045女154055總計(jì)4060100將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，得K2＝＝≈8.249＞6.635，所以有99%的把握認(rèn)為是否為“移動(dòng)支付活躍用戶”與性別有關(guān)．（2）視頻率為概率，在我市“移動(dòng)支付達(dá)人”中，隨機(jī)抽取1名用戶，該用戶為男“移動(dòng)支付達(dá)人”的概率為，女“移動(dòng)支付達(dá)人”的概率為．于是，抽取的4名用戶中，既有男“移動(dòng)支付達(dá)人”，又有女“移動(dòng)支付達(dá)人”的概率為：P（A）＝1﹣﹣＝．20．已知函數(shù)f（x）＝a（1﹣x2）+lnx，a∈R．（1）當(dāng)a＝0時(shí)，證明：；（2）若h（x）＝f（x）+（x2﹣1）lnx，對(duì)任意，總有h（x）＞0，求a的取值范圍．【分析】（1）當(dāng)a＝0時(shí)，f（x）＝lnx，即證lnx，設(shè)，結(jié)合函數(shù)g（x）的單調(diào)性，即可證明．（2）由（1）可推得h（x）≥（1﹣a）（x﹣1）（x﹣），結(jié)合a的取值范圍，即可求解．解：（1）證明：當(dāng)a＝0時(shí)，f（x）＝lnx，即證lnx，設(shè)，求導(dǎo)可得g'（x）＝，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g'（x）＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，g'（x）＞0，故g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴g（x）≥g（1）＝0，即．（2）由（1）可得，h（x）＝f（x）+（x2﹣1）lnx＝x2lnx+a（1﹣x2）＝（x﹣1）[（1﹣a）x﹣a]＝（1﹣a）（x﹣1）（x﹣）①，∵，∴0＜a＜1，即1﹣a＞0，數(shù)形結(jié)合只需0＜＜1成立即可，解得，又當(dāng)＝1時(shí)，即a＝時(shí)，①式取“＝”，結(jié)合h（1）＝0，可知a＝符合題意，綜上所述，．21．已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣mx+1，m∈R．（1）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍；（2）若m＝0，曲線y＝f（x）在點(diǎn)（x0，f（x0））的切線也是曲線g（x）＝ex的切線，證明：lnx0＝．【分析】（1）令f（x）＝lnx﹣mx+1＝0，得m＝，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，畫(huà)出圖象，數(shù)形結(jié)合得答案；（2）由題意，當(dāng)m＝0時(shí)，f（x）＝lnx+1，求出曲線y＝f（x）在點(diǎn)（x0，f（x0））的切線方程，設(shè)出該切線與曲線g（x）＝ex的切點(diǎn)坐標(biāo)，再由導(dǎo)數(shù)求得曲線g（x）＝ex在切點(diǎn)處的切線方程，由斜率相等及切點(diǎn)處的函數(shù)值相等列式即可證明結(jié)論．解：（1）令f（x）＝lnx﹣mx+1＝0，得m＝，