2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：第五章平面向量與復(fù)數(shù)

第五章平面向量與復(fù)數(shù)

§5.1平面向量的概念及線性運(yùn)算

【考試要求】L理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義.2.掌握向量的加法、減法運(yùn)

算，并理解其幾何意義及向量共線的含義?3.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.

?落實(shí)主干知識(shí)

【知識(shí)梳理】

1.向量的有關(guān)概念

(1)向量：既有大小又有力囪的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或模).

(2)零向量：長(zhǎng)度為止的向量，記作0.

(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量.

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量,也叫做共線向量，規(guī)定：零向量與任意向量平行.

(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.

2.向量的線性運(yùn)算

向量

法則(或幾何意義)運(yùn)算律

運(yùn)算

Nb

a

交換律：a+b=b+a;

加法三角形法則

結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)

a

平行四邊形法則

減法a-b=a+(-b)

a*

兒何意義

數(shù)乘,∣2α∣=川“I，當(dāng)2>0時(shí)，2。的方向與“的方向λ(∕ιa)=(λμ)a↑

相同;(λ+μ)a=λa+μa↑

當(dāng)2<0時(shí)，加的方向與。的方向相反;λ(a-?-b)=λa+λb

當(dāng)A=O時(shí)，Aa=O

3.向量共線定理

向量”(α≠0)與B共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)人使得b=λa.

【常用結(jié)論】

I.一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向

量，即用￡+無益+用用4-----FA,,-∣A,=XjX,,特別地，一個(gè)封閉圖形，首尾連接而成的向量

和為零向量.

2.若產(chǎn)為線段48的中點(diǎn)，。為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則泣'=∕δλ+5h).

3.若A,B,C是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，則莉+而+無=OoP為AABC的重心，崩=IGM

~?~AC).

4.若宓=7??+〃拉7(九〃為常數(shù))，則A,B,C三點(diǎn)共線的充要條件是a+p=l.

5.對(duì)于任意兩個(gè)向量4,b,都有IkII-I訓(xùn)WkslWl⑷+向.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(I)IaI與Ibl是否相等，與a,5的方向無關(guān).(√)

(2)若向量“與》同向，且間>|例，則a>b.(×)

(3)若向量初與向量δb是共線向量，則A,B,C,。四點(diǎn)在一條直線上.(X)

(4)起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量.(J)

【教材改編題1

1.給出下列命題：

①若a與b都是單位向量，則a=b?,

②直角坐標(biāo)平面上的X軸、y軸都是向量；

③若用有向線段表示的向量而與而不相等，則點(diǎn)M與N不重合；

④海拔、溫度、角度都不是向量.

則所有正確命題的序號(hào)是()

A.①②B.①③

C.②③D.@@

答案D

解析①錯(cuò)誤，由于單位向量長(zhǎng)度相等，但是方向不確定；②錯(cuò)誤，由于只有方向，沒有大

小，故X軸、），軸不是向量；③正確，由于向量起點(diǎn)相同，但長(zhǎng)度不相等，所以終點(diǎn)不同；

④正確，海拔、溫度、角度只有大小，沒有方向，故不是向量.

2.下列各式化簡(jiǎn)結(jié)果正確的是（）

A.AB+A＜J=BC

B.AM+MB+BO+OM=AM

C.AB+BC-AC=O

D-AB-AD-DC=BC

答案B

3.已知“與方是兩個(gè)不共線的向量，且向量α+勸與-S-3α）共線，則4=.

答案S

解析由題意知存在Z∈R,

使得α+M=M-（b—3α）］,

-探究

題型一平面向量的概念

例1（1）給出下列命題，正確的有（）

A.若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同

B.若A,B,C,。是不共線的四點(diǎn)，且Q=皮，則四邊形ABCO為平行四邊形

C.α=Z＞的充要條件是IaI=向且“〃力

D.已知九"為實(shí)數(shù)，若/.a=μb,則。與B共線

答案B

解析A錯(cuò)誤，兩個(gè)向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩個(gè)向量相等，但兩個(gè)向量相等，不一定

有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn)；

B正確，因?yàn)橼A=灰?，所以而|=|成!且油〃皮，又4,B,C,。是不共線的四點(diǎn)，所以

四邊形48C。為平行四邊形；

C錯(cuò)誤，當(dāng)a〃Z＞且方向相反時(shí)，即使Ial=Ib也不能得到α=b,所以Ial=Ibl且a〃b不是。

=6的充要條件，而是必要不充分條件；

D錯(cuò)誤，當(dāng)2=〃=0時(shí)，α與》可以為任意向量，滿足癡=曲，但α與b不一定共線.

(2)如圖，在等腰梯形ABe。中，對(duì)角線AC與8。交于點(diǎn)尸，點(diǎn)E,F分別在腰AQ,BC上,

EF過點(diǎn)P,且E77"A8,則下列等式中成立的是()

A,AD=BCB.AC=BD

C.PE=PFD.EP=PF

答案D

【教師備選】

下列命題為假命題的是()

A.若α與b為非零向量，且a〃b,則α+5必與α或人平行

B.若e為單位向量，且a〃e,則a=∣a∣e

C兩個(gè)非零向量a,b,若|a—。I=Ial+|可，則a與方共線且反向

D.“兩個(gè)向量平行”是“這兩個(gè)向量相等”的必要不充分條件

答案B

思維升華平行向量有關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)

(1)非零向量的平行具有傳遞性.

(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān).

(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.

⑷Ai是與a同方向的單位向量.

Ial

跟蹤訓(xùn)練1(1)下列命題不正確的是()

A.零向量是唯一沒有方向的向量

B.零向量的長(zhǎng)度等于O

C.若a,5都為非零向量，則使聲喘=O成立的條件是a與b反向共線

D.若a=》，b—c,則a=c

答案A

解析A項(xiàng)，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A錯(cuò)誤；

B項(xiàng)，由零向量的定義知，零向量的長(zhǎng)度為0,故B正確；

C項(xiàng)，因?yàn)楹吓c言都是單位向量，所以只有當(dāng)與l是相反向量，即a與b是反向共線時(shí)才

成立，故C正確；

D項(xiàng)，由向量相等的定義知D正確.

（2）對(duì)于非零向量α,b,%+》=0"是%∕?”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析若α+?=0,

則α=-b,則α〃兒即充分性成立；若a〃b,則a=-b不一定成立，即必要性不成立，

即飛+5=0”是“all6'的充分不必要條件.

題型二平面向量的線性運(yùn)算

命題點(diǎn)I向量加、減法的幾何意義

例2（2022?濟(jì)南模擬）已知單位向量ei，?2,…,?2023,則期+e?+…+e2023∣的最大值是>

最小值是.

答案20230

解析當(dāng)單位向量e∣,€2,…，02023方向相同時(shí)，

∣eι+e2∏----He2023∣取得最大值，

∣ei+e2H----F￠2023∣—kll+k2HHe2023∣

=2023；

當(dāng)單位向量e∣,C2,????e2023首尾相連時(shí),

ei+e2+…+e2O23=O,

所以∣e1+e2T----Fe2023∣的最小值為0.

命題點(diǎn)2向量的線性運(yùn)算

例3如圖，在四邊形A8C。中，AB//CD,ABLAD,AB=2AD^2CD,E是BC邊上一點(diǎn),

且反?=3比，尸是AE的中點(diǎn)，則下列關(guān)系式不正確的是（）

-A1——?—?

λ.BC=~^AB+AD

—?1—?1—?

BAF=^AB+-jAD

C.B>=-∣Aβ+∣AD

—*If2-

-τAB-^AD

D.CF=0?

答案C

AAAAA--A?A?A?

解析因?yàn)锽C=BA+A。+OC=-AB+A。+/B=~^AB+AD,

所以選項(xiàng)A正確；

―?1―?1—?—?

因?yàn)锳∕7=]AE=1(4B+BE)

=KAM砌,

而反=V贏+病，

-A1-A?-?

代入可得A尸=鏟B+,AO,

所以選項(xiàng)B正確；

因?yàn)橛?=4＞一贏，

~?1-?1―?

而4尸=1A8+§4￡),

.2—]一

代入得B尸=一鏟8+養(yǎng)。，

所以選項(xiàng)C不正確；

因?yàn)?=歷+扇+赤

=-^AB-AD+AF9

f1-1-*

而4/=養(yǎng)3+?￡),

.fIf2f

代入得CT7=-τAB~τAD,

O3

所以選項(xiàng)D正確.

命題點(diǎn)3根據(jù)向量線性運(yùn)算求參數(shù)

例4(2022.青島模擬)己知平面四邊形ABCO滿足Ab=I正，平面內(nèi)點(diǎn)E滿足讀'=3無，CD

與AE交于點(diǎn)M,^BM=xAB+yAD,則x+y等于()

,55

?ib--2

44

e,?D.—?

答案C

解析如圖所示，

AD

易知BC=4ADf

CE=2AD9

BM=AM-AB

=∣AE-AB

1—?―?—?

=^AB+BE)-AB

1―?——?—?

=W(AB+6AQ)-AB

2-?—?

=-^AB+2AD,

4

.?x+y=g?

【教師備選】

1.（2022?資陽(yáng)模擬）在AABC中,AD為BC邊上的中線,若點(diǎn)。滿足?5=2?b,則無'等于（）

A.一qAB+%C2-1→

B.^AB—^AC

C.∣AB-∣ΛCD.—∣AB+∣AC

答案A

解析如圖所示,

,：D為BC的中點(diǎn)，

.?.ΛD=∣(AB+AC),

t

?AO=2θb9

.?AO=^AI)=^AB-?-^AC9

：.OC=AC-AO=AC-(∣AB+∣AC

=—∣AB+∣AC.

2.(2022?長(zhǎng)春調(diào)研)在aABC中，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)M使得3C=2CM,連接AM,點(diǎn)N為AM上

一點(diǎn)且AN=%M,若AN=Λ48+"AC,則λ+μ等于()

11

-B-

A.32

11

C-D-

2?3

答案A

解析由題意，知病=g贏=/贏+的

If13->

=^AB+^×^BC

=∣A?+^(AC—AB)

1一1一

=~7AB+τAC,

O2

又病=癡+癡?,

所以％=一焉，//=|,貝!∏+A=?∣.

思維升華平面向量線性運(yùn)算的常見類型及解題策略

(1)向量求和用平行四邊形法則或三角形法則；求差用向量減法的幾何意義.

(2)求參數(shù)問題可以通過向量的運(yùn)算將向量表示出來，進(jìn)行比較，求參數(shù)的值.

跟蹤訓(xùn)練2(1)點(diǎn)G為AABC的重心，設(shè)壽=α,GC=b,則B等于()

31

A.b-2aB./a—/b

C.∣α÷^?D.2a+?

答案A

解析如圖所示，由題意可知

^AB+BG=^GC9

故贏=Gb—2灰;=~一20.

(2)(2022?大連模擬)在AABC中，AD=2DB,AE=2EC,P為線段。E上的動(dòng)點(diǎn)，^AP=λAB+

μACfλf/ER,貝!|丸+〃等于()

23

A.1BqC，2D.2

答案B

解析如圖所示，由題意知，

AE=∣AC,AD—^AB,

設(shè)麗=x5k

所以布=Q)+5>=Q)+x虎

-AD-?-χ(AE-AD)

=ΛAE+(I-X)AD

2-2―

=QXAC+g(l—x)AB,

22

所以〃=Wx,λ=^(l-X),

222

所以2+〃=]x+§(l-χ)-y

題型三共線定理及其應(yīng)用

例5設(shè)兩向量”與b不共線.

(1)若最="+Z>,BC=2a+Sb,CD^3(a-b).求證：A,B,。三點(diǎn)共線；

(2)試確定實(shí)數(shù)化使Aα+b和。+心共線.

⑴證明'：AB=a+b,BC=2a+Sb,

CD=3(a—b).

.?Bb=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5Aβ..'.AB,而共線,

又它們有公共點(diǎn)8,

.?.A,B,。三點(diǎn)共線.

⑵解?.??α+b與α+劭共線，.?.存在實(shí)數(shù)九

使ka+b=λ(a+kb),即ka+b=λa+λkb,

.,.(k—λ)a=(λk—1)6.

Vα,b是不共線的兩個(gè)向量，

:.k——λ=λk——1=0,Λ?2——1=0,Λ?=÷l.

【教師備選】

1.已知P是aABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足該+崩+正=2初，若SAMC=6,則△/?B的

面積為()

A.2B.3

C.4D.8

答案A

解析,：PA-?-PB-\-PC=IAB=I(PB-PA),

J.3PA^PB-PC^CB,

J.PA//CB,且兩向量方向相同，

.SAABC_BC_\CB\

,.SA/MBAP∣→∣，

又SAA8C=6,S?β?β-T-2.

2.設(shè)兩個(gè)非零向量。與8不共線，若α與〃的起點(diǎn)相同，且α,力，∕α+b)的終點(diǎn)在同一條

直線上，則實(shí)數(shù)，的值為.

答案g

解析■：a,tb,g(α+Z>)的終點(diǎn)在同一條直線上，且a與b的起點(diǎn)相同，

.,.a-tb與α一;(α+A)共線，

即a—Ib與多;一?∣5共線，

存在實(shí)數(shù)λ,使a—fb=∕(∣a—切，

又a,8為兩個(gè)不共線的非零向量，

思維升華利用共線向量定理解題的策略

(l)a∕/力SQ=助(b≠0)是判斷兩個(gè)向量共線的主要依據(jù).

⑵若a與b不共線且λa=μb,則2=//=0.

(3)OA=λOB+μOC(λf"為實(shí)數(shù))，若A,B,。三點(diǎn)共線，則∕l+"=l.

跟蹤訓(xùn)練3(1)若a,》是兩個(gè)不共線的向量，已知質(zhì)V=a-2b,PN=2a+kb,PQ=3a-b,

若M,N,Q三點(diǎn)共線，則％等于()

A.-1B.1C.∣D.2

答案B

解析由題意知，

NQ=PQ-PN=a-(k+?)b,

因?yàn)镸,N,。三點(diǎn)共線，故存在實(shí)數(shù)大,

使得訪/=2液,

即α-2B="4—(A+1)R,解得2=1,k=?.

(2)如圖，已知A,B,C是圓。上不同的三點(diǎn)，線段C。與線段AB交于點(diǎn)。(點(diǎn)。與點(diǎn)。不

重合)，若灰=疝?+∕∕δ?G,〃WR),則什"的取值范圍是()

A.(0,1)B.(1,+∞)

C.(1,√2]D.(-1,0)

答案B

解析因?yàn)榫€段Co與線段AB交于點(diǎn)

所以。，C,。三點(diǎn)共線，

所以歷與山)共線，

設(shè)歷=〃?而，則加＞1,

因?yàn)殂?2萬(wàn)l+∕∕5?,

所以加元＞=2總+〃協(xié)，

可得OO=-m04+m

因?yàn)锳,B,。三點(diǎn)共線，

所以5+2=1,可得，+〃=加＞1,

mm

所以2+〃的取值范圍是(1,+∞).

課時(shí)精練

C基礎(chǔ)保分練

1.如圖所示，在正六邊形ABCQE尸中，晶+δb+祥等于（）

DE

cOf

β----A

A.0B.BE

CADD.CF

答案D

解析根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，

易得，BA+CD+BA+AF+EF

^BF+CB=CF.

2.若a,b為非零向量，則噎=方是％，b共線”的（）

A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

答案B

解析W卷分別表示與db同方向的單位向量，育=看，則有α,b共線,而α,辦共線，

則含，卷是相等向量或相反向量，所以"1?=Q是％，力共線”的充分不必要條件?

3.設(shè)α=（A?+δb）+（應(yīng):+蘇I）,〃是一個(gè)非零向量，則下列結(jié)論不正確的是（）

A.a∕∕bB.a+b=a

C.a+b=bD.∣α+?∣=∣α∣+∣6∣

答案B

解析由題意得，α=（AB+eb）+（BC+DA）=AC+C?=O,且分是一個(gè)非零向量，所以a〃b

成立，所以A正確；由α+∕>=b,所以B不正確，C正確；由∣α+Z>∣=步|,∣α∣+∣Z>∣=網(wǎng)，

所以∣α+b∣=∣α∣+∣b∣,所以D正確.

4.（2022?汕頭模擬）下列命題中正確的是（）

A.若“〃），則存在唯一的實(shí)數(shù)力使得α=M

B.若a〃b,b〃c,W∣Ja∕7c

C.若“√>=0,則α=0或8=0

D.∣α∣-∣ft∣≤∣fl+*∣≤∣α∣+∣*l

答案D

解析若α〃從且5=0,則可有無數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)/使得α=勸，故A錯(cuò)誤；

若“〃仇?√c（*≠0）,則a〃c,若8=0,

則4,C不一定平行，故B錯(cuò)誤；

若Λ??=0,也可以為aJLb,故C錯(cuò)誤；

根據(jù)向量加法的三角形法則和向量減法的幾何意義知，⑷一例W∣a+MWlal+步|成立，故D正

確.

5.在平行四邊形ABeQ中，n與而交于點(diǎn)O,E是線段。。的中點(diǎn).若最?="，BD=b,

則能等于（）

I21

A-4β?30+36

1,2,

Cqa+%D.鏟+下

答案C

解析如圖所示,

'：AC=a,BD=b,

.?AD=AO+δb

I,1,

^2a+2b'

.,.AE=AD-ED=ya+^b~τb

1l

-?+

4ft

6.下列說法正確的是（）

A.向量油與向量防的長(zhǎng)度相等

B.兩個(gè)有共同起點(diǎn)，且長(zhǎng)度相等的向量，它們的終點(diǎn)相同

C.向量“與》平行，則。與6的方向相同或相反

D,向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù)

答案A

解析A項(xiàng)，贏與俄的長(zhǎng)度相等，方向相反，正確；

B項(xiàng)，兩個(gè)有共同起點(diǎn)且長(zhǎng)度相等的向量，若方向也相同，則它們的終點(diǎn)相同，故錯(cuò)誤；

C項(xiàng)，向量。與平行時(shí)，若?；蚍譃榱阆蛄?，不滿足條件，故錯(cuò)誤；

D項(xiàng)，向量的模是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，故錯(cuò)誤.

7.如圖，在平行四邊形ABCZ）中，E為BC的中點(diǎn)，/為Z）E的中點(diǎn)，若喬=Λ成+加，則

X等于（）

1

clD

4

答案C

解析連接AE（圖略），因?yàn)镕為OE的中點(diǎn)，

-1—→

所以AF=5（AO+AE）,

—?―?—?-A1—>—?1―?

而AE=A5+3E=A5+/?=43+'AO,

-*If-

所以AF=子4。+A￡）

=XAL+贏+地）

-^AB+^AD,

→—3—

又AF=X4B+jAD,

所以x=∣.

8.莊嚴(yán)美麗的國(guó)旗和國(guó)徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何

圖形，且與黃金分割有著密切的聯(lián)系，在如圖所示的正五角星中，以A,B,C,D,E為頂

點(diǎn)的多邊形為正五邊形，且整=耳?.下列關(guān)系中正確的是（）

∕i√乙

B

R

CD

λ.BP-TS=y^^iRS

B.&+力=呼」點(diǎn)

C.ES~AP^~lBQ

D.AT+BQ=^~iCR

答案A

解析由題意得，成一點(diǎn)=花一點(diǎn)=豆=1誓」忌，所以A正確；CQ+TP=PA+

2

)=6=呼1?,所以B錯(cuò)誤；ES-AP=RC-QC=RQ=^~iQB,所以C錯(cuò)誤；而'+的

^SD+RD,^γ^-CR=^=RD-SD,若后+麗=夸二無，則豆)=0,不符合題意，所以

D錯(cuò)誤.

9.(2022?太原模擬)已知不共線向量a,h,AB=∕α-?(r∈R),AC=2a+3b,若A,B,C三點(diǎn)

共線，則實(shí)數(shù)t—.

2

較案—-

口呆3

解析因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)使得B=盛，

所以ta~b=k(2a+3b)=2ka+3kb,

即Q-2k)α=(3k+l)4

t-2k=O,

因?yàn)棣?力不共線，所以“，

3/+1=0,

10.己知AABC的重心為G,經(jīng)過點(diǎn)G的直線交AB于。,交AC于E,若Ab=弱,AE=μAC,

w?+Λ=-------------

答案3

解析如圖，設(shè)尸為BC的中點(diǎn)，

A

則AG=IA∕7=g(A8+AC),

又AC=~AEf

.'.AG=^^AD+^AE,

又G,D,E三點(diǎn)共線，

.?.]+4=l,即;+'=3.

3Λ3μλμ

11.若正六邊形ABCZ)EF的邊長(zhǎng)為2,中心為O,W∣J∣EB+δb+CA∣=.

答案2√5

解析正六邊形ABCQEF中，EB+θb+CA=E?+DC+θb+CA=ED+DA=EA,

在AAE尸中，ZAFE=UOo,AF=EF=2,

.,.∣E4∣=√22+22-2×2×2×cos120o=2√3,

≡P∣?+δb+CA∣=2√3.

12.在平行四邊形ABC。中，點(diǎn)M為BC邊的中點(diǎn)，AC=λAM+μBD,則2+〃=,

答案3

解析京=4（贏+；Ab）+〃（Ab-石）

=（2~μ）AJi+Ab,

又因?yàn)閱?初+最?,

λ-//—1>['=]，

所以"解得《:

ELg

所以2+〃=/

過技能提升練

13?點(diǎn)P是AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且滿足I麗一麗1一|麗+正一2兩|=0,則AABC是

________三角形，

答案直角

解析因?yàn)辄c(diǎn)P是BC所在平面內(nèi)一點(diǎn),

^?PB-PC?-?PB+PC-2PA?=0,

所以|乃|一|（兩一詼）+（元1一說）|=0,

gP∣Cβ∣=∣AB+AC∣,

所以I成一啟I=I/+@|,

等式兩邊平方并化簡(jiǎn)得啟?贏=0,

所以元，贏，ZBAC=90°,則4ABC為直角三角形.

14.在AABC中，ZA=60o,ZA的平分線交BC于點(diǎn)。，若AB=4,一旦標(biāo)=裁'+2贏QGR）,

貝IJ2=,AO的長(zhǎng)為.

答案I3√3

解析VB,D,C三點(diǎn)共線，

13

；[+2=1，解得A=]

如圖，過。分別作AC,AB的平行線交AB,AC于點(diǎn)M,N,

則俞=；啟，AM=-AB,

；在AABC中，N4=60。，NA的平分線交BC于。，

四邊形AMrW是菱形，

VAB=4,AN=AM=3,

ΛAD=3√3.

過拓展沖刺練

15.（2022?滁州模擬）已知P為XABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，AB+PB+PC^0,∣AB∣=∣PB∣=∣PC∣

=2,則AABC的面積為（）

A.√3B.2√3C.3√3D.4√3

答案B

解析設(shè)8C的中點(diǎn)為。，AC的中點(diǎn)為M,連接PO,MD,BM,如圖所示，

A

M,

則有麗+正=2而.

由贏+麗+元=0,

得贏=—2訪,

又。為BC的中點(diǎn)，M為4C的中點(diǎn)，

所以贏=一2成，則防=血，

貝∣JP,D,例三點(diǎn)共線且。為PM的中點(diǎn),

又。為BC的中點(diǎn)，

所以四邊形CPBM為平行四邊形.

又而|=|而|=|正|=2,

所以I而=I而1=2,則IAbI=4,

且I詼I=I的=2,

所以AAMB為等邊三角形，ZBAC=60o,

則SAABC=3X2X4X坐=2yβ.

16.若2d+無+3詼=0,5ΔA0C.SAABC分別表示AAOC,Z?4BC的面積，則SAAOC：S9死

答案1：6

解析若2晶+為+3沆1=O,

設(shè)。彳=20A,OC'=30C,

可得。為△/!'BC的重心，如圖,

設(shè)SAAOB=X,S4BOC=y,SAAOC=Z,

,,

貝IJSΔΛ08=2X,S&BOC=3y,SΔΛOC=6zf

由2x=3y=6zf

可得SΔAOC:S4ABC=Z:(X+y+z)=l:6.

§5.2平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

【考試要求】1.了解平面向量基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.3.

會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算4理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.

-落實(shí)

【知識(shí)梳理】

1.平面向量基本定理

如果e∣,e?是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量α,有且只有

一對(duì)實(shí)數(shù)2∣,λz,使α=九eι+∕e2.

我們把不共線的向量e∣,62叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

2.平面向量的正交分解

把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.

3.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

(1)向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及向量的模

設(shè)4=(X1，X),)=(X2，")，則

α+Z>=(xι+x2,丫|+丫2)，(Xl—Λ?,丫1一1'2)，λa=(λx?,λy?),?a?=yjxi+y^.

(2)向量坐標(biāo)的求法

①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).

②設(shè)4(xι,X),B(X2，m)，則AB=(刈一XI，刀一yι),?AB∣=??∣(.xz-x?)2+(yι^-7∣)2?

4.平面向量共線的坐標(biāo)表示

設(shè)a=(x”yι),b=(×2>刃)，其中b≠0,則XzH=O.

【常用結(jié)論】

已知P為線段AB的中點(diǎn)，若A(X乃)，B(X2,y2),則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(口^也，畛目；已知

?ΛBC的頂點(diǎn)A(XI,yl),8(X2，為)，C(x3,y3)，則∕?ABC的重心G的坐標(biāo)為

網(wǎng)十m+心yi+)、+)。

V3，3y

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(1)平面內(nèi)的任意兩個(gè)向量都可以作為一組基底.(×)

(2)設(shè)a,?是平面內(nèi)的一組基底，若實(shí)數(shù)為，μ?,彩，〃2滿足力α+4ι)=A2。+〃2瓦則九=石，

4ι="2?(J)

（3）若α=（xι,%）,?=（x2,yι）,則α/%的充要條件可以表示成￡=1.（X）

（4）平面向量不論經(jīng)過怎樣的平移變換之后其坐標(biāo)不變.（√）

【教材改編題1

1.下列各組向量中，可以作為基底的是（）

A.eι=(O,O),e2=(l,—2)

B.ei=(—1,2),e2=(5,—10)

C.e∣=(3,5),￠2=(6,10)

C2=&3、

D.eι=(2,3),

答案D

2.若尸∣(1,3),P2(4,0),且尸是線段PB的一個(gè)三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)多），則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（）

A.(2,2)B.(3,-1)

C.(2,2)或(3,-1)D.(2,2)或(3,1)

答案A

解析設(shè)P{x,y)>

由題意知耳？=；八后,

?φ?(x~1,y-3)=β(4-1,0—3)=(1,—1),

X—1=1,X^~2.9

即，

?-3=-1,y=2?

3.已知向量a=(x,l),5=(2,χ-l),若(2。一①〃α,則X為.

答案2或一1

解析2α-?=(2χ-2,3—%),

"."(2a-b)//a,

2x—2=x(3—x),

即9一X—2=0,

解得x=2或x=-l.

■探究核心題型

題型一平面向量基本定理的應(yīng)用

例1（1）在BC中，AD為BC邊上的中線，E為A拉的中點(diǎn)，則EB等于（）

AtABACIf3->

BaAB-WAC

C^AB+^ACD.∣ΛB+∣AC

答案A

(2)如圖，已知平面內(nèi)有三個(gè)向量?λ,OB,OC,其中5λ與勵(lì)的夾角為120°,以與歷的夾

角為30。，?δA∣=∣δβ∣=l,?OC?=2yβ.^OC=λOA+μOB(λ,;∕∈R),則2+幺=.

OA

答案6

解析方法一如圖，作平行四邊形OBC4,

則δ?=旃+而，

因?yàn)樘K與無的夾角為120。，蘇與沆的夾角為30。，

所以NBloC=90。.

在Rt4OB∣C中，NoCBl=30。，∣δq=2√3,

所以I兩∣=2,I瓦下|=4,

所以|5前|=|京忑|=4,

所以δ?=4-+2(?,

所以2=4,〃=2,

所以2+〃=6.

方法二以。為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

則4(1,0),fif-?里)，C(3,√3).

由歷=疝!+〃δk

f3=2^?'μ=4,

得〈解得所以2+〃=6.

,—亞『4=2.

[?√3-2μ9

【教師備選】

JT

1.（2022?山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)等四校聯(lián)考）如圖，在RIZ?ABC中，ZABC=^AC=2AB,ZBAC

的角平分線交AABC的外接圓于點(diǎn)。，設(shè)B=",啟="則向量Q）等于（）

C.α÷^?D.α÷∣?

答案C

解析設(shè)圓的半徑為r,

JT

在RtZVLBC中，NABC=2,AC=IAB,

所以NBAC=ZACB=V,

?o

又/BAC的角平分線交4A3C的外接圓于點(diǎn)D,

TT

所以ZACB=NBAD=ZCAD=V

o1

則根據(jù)圓的性質(zhì)得Bo=A3,

又因?yàn)樵赗tZ?ABC中，AB=2ΛC=r=OD,

所以四邊形ABOO為菱形，

所以Zi）=魂+AO=α+g力.

2.（2022?鄭州質(zhì)檢）如圖，在平行四邊形A8C。中，E,尸分別為邊A8,Be的中點(diǎn)，連接CE,

DF,交于點(diǎn)G.若δ?=∕lδb+〃為（九∕z∈R）,則。=.

AEB

答案2

解析由題圖可設(shè)&7=x函0<x<I）,

則??=x6+函=[①+；同

X―?—?

=^CD+xCB.

因?yàn)镚=Zdb+〃次,詼與無不共線，

Y

所以4=2，μ=x,

所以鋁

思維升華(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則

進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.

(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)

論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決.

跟蹤訓(xùn)練1(1)如圖，矩形ABC。的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,E為Ao的中點(diǎn)，若5k=?+aAb

{λ,M為實(shí)數(shù))，則”+〃2等于()

A，Bi

A-8坎4

5

C.1D.T7

Io

答案A

解析DE=^DA÷^DO

=昴+那

1—?1—?—?

135

所以2=不"=一不故》+〃2=京

(2)如圖，以向量才1=〃，加=b為鄰邊作平行四邊形QAZ)8,BM=∣BC,C7√=∣cb,則加=

.(用a，b表示)

BD

答案2a~6b

解析?'BA=OA-OB^a-b,

：.OM=OB+BM=b+(^a~^

'J0iy=a+b,

C.σN=OCA-?cD=?δb^OD

?+??

題型二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

例2(1)已知α=(5,-2),*=(-4,-3),若a-2b+3c=0,則C等于()

<134、C13

C.(?p于D?T'

答案D

解析Va—2b+3c=O,

Λc=-∣(α-2?).

Va-2?=(5,-2)-(-8,—6)=(13,4),

1(134A

.?c=-?(ɑ-2fr)=l-?,—?j.

(2)如圖，在直角梯形A8CD中，AB∕∕DC,ADLDC,AD=DC=IAB,E為AQ的中點(diǎn)，若無

^λCE+μDB(λ^∕z∈R),則2+〃的值為()

A./BC.2DT

答案B

解析建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

則￡>(0,0).

不妨設(shè)AB=1,則CD=AD=2,

ΛC(2,0),A(0,2),8(1,2),￡(0,1),

3=(—2,2),CE=(-2,1),Z)β=(l,2),

?'CA=λ^+μDB,

.?.(—2,2)=晨-2,1)+〃(1,2),

r/=6

—2λ~?~μ=-2,I5,

???丁H,解得［l,

故2+∕∕=∣.

【教師備選】

己知四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(0,2),B(-l,-2),C(3,l),且說?=4b,則頂點(diǎn)O的坐標(biāo)

為()

C.(3,2)D.(1,3)

答案A

解析設(shè)D(x,>■),

則4B=(x,y-2),詼=(4,3),

又反?=助，

思維升華向量的坐標(biāo)表示把點(diǎn)與數(shù)聯(lián)系起來，引入平面向量的坐標(biāo)可以使向量運(yùn)算代數(shù)化,

成為數(shù)與形結(jié)合的載體.

跟蹤訓(xùn)練2⑴向量α,b,C在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若C=癡+油（九"∈R）,則（

等于（）

A.IB.2

C.3D.4

答案D

解析以向量“和》的交點(diǎn)O為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系（設(shè)每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)

為1）,

則4(1,-1),8(6,2),C(5,-I)，

.,.a=AO=(-l,l),b=OB=(6,2),

C=謊=(—1,-3),

?c-^λcιΛ~,ιb,

?β?(-1?-3)=Λ(-1,1)÷∕z(6,2),

-2+6〃=-1,

則

λ+2μ=-39

λ—-2,

解得(__1

（2）在AABC中，點(diǎn)P在5C上，且麗=2正，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若前=（4,3）,的=（1,5）,

則屁=，BC=.

答案(-3,2)(-6,21)

解析通=的一方=(1,5)—(4,3)

=(-3,2),

PC=PA+AC=PA+2AQ=(4,3)+2(-3,2)

=(-2,7).

BC=3PC=3(-2,7)=(-6,21).

題型三向量共線的坐標(biāo)表示

例3(1)已知Q=(1,2+sinx),5=(2,COSx),c=(—1,2),若(a—b)〃c，則銳角X等于()

A.15oB.30o

C.45oD.60o

答案C

(2)已知在平面直角坐標(biāo)系XOy中,Pl(3,l),P2(-l,3),PI,P2,B三點(diǎn)共線且向量萬(wàn)甚與向

量α=(l,-1)共線，若旗=2褊+(1—2)?不耳，則力等于()

A.-3B.3

C.1D.-1

答案D

解析設(shè)而i=(x,>'),

則由0月〃α知x+y=O,

所以0^=(x,—x).

若5K=而K+(IT)旗，

則(x,—x)=2(3,1)÷(1—Λ)?(-1,3)

=(4λ—1,3—2A),

4Λ-l=x,

即

[3—2λ=-X,

所以42—1+3—27=0,解得2=—1.

【教師備選】

1.己知向量α=(l,2),?=(2,—2),C=(Lλ).若?！?2α+b),則2=.

答案I

解析由題意得2α+b=(4,2),

因?yàn)閏=(l,z),c∕∕(2a+b),

所以42—2=0,解得2=；

2.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(6,3),若點(diǎn)尸在直線OA上，且∣δ>∣=3該|,P是OB的中點(diǎn),

則點(diǎn)B的坐標(biāo)為.

答案(4,2)或(一12,-6)

解析：點(diǎn)P在直線OA上,

:,OP//PA,

又?.?∣δ>∣=m的，

：.OP=^PA,

設(shè)點(diǎn)P(m,ri),

則。P=(∕%,H),24=(6一3—〃).

①若δ>=g或，

則(加，n)=^(6-∕n,3-n),

m=g(6-m),

{H=∣(3-H),

m=2,

解得

In=I,

???P(2,1),

Y尸是03的中點(diǎn)，ΛB(4,2).

②若δ?=一多有，

則(加，〃)=-g(6一肛3一〃)，

m=-2(6-τn),

{"=-(3+),

m=-6,

解得

n=-3,

；?P(—6,—3),

Y尸是08的中點(diǎn),

ΛB(-12,-6).

綜上所述，點(diǎn)3的坐標(biāo)為(4,2)或(一12,-6).

思維升華平面向量共線的坐標(biāo)表示問題的解題策略

(1)若α=(xι,y∣),b=(x2,yi)f其中5≠0,則?！ǚ降某湟獥l件是Xly2=x2)k

(2)在求與一個(gè)已知向量α共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為2Λ(Λ∈R).

跟蹤訓(xùn)練3平面內(nèi)給定三個(gè)向量α=(3,2),*=(-l,2),c=(4,l).

(1)若(a+h)〃(28—a),求實(shí)數(shù)左；

(2)若d滿足(d-c)〃(“+b),且Id-Cl=黃，求d的坐標(biāo).

解(l)α+kc=(3+4k,2+Z),

2*-α=(-5,2),

由題意得2X(3+4火)一(-5)X(2+Q=0,

解得太=-

(2)設(shè)d=(x,y),

則d—c=(X—4,y—1),

又α+Z>=(2,4),∣<Z-c∣=√5,

.?.d的坐標(biāo)為(3,一1)或(5,3).

課時(shí)精練

過基礎(chǔ)保分練

1.(2022.巴中模擬)若向量油=(2,3),AC=(4,7),則心等于()

A.(-2,-4)B.(2,4)

C.(6,10)D.(-6,-10)

答案B

2.(2022?TOP300尖子生聯(lián)考)已知A(T,2),2(2,-1),若點(diǎn)C滿足啟+通=0,則點(diǎn)C的

坐標(biāo)為()

?(?2)B.(—3,3)

C.(3,13)D.(-4,5)

答案D

3.下列向量組中，能表示它們所在平面內(nèi)所有向量的一組基底是()

A.α=(l,2),?=(0,0)

B.a=(l,-2),6=(3,5)

C.α=(3,2),5=(9,6)

D.α=f-1,鄉(xiāng),b=（3,—2）

答案B

4.在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為4,b,c,m=（a,b）,zι=（cosB,cosA）,則

''m∕7n''是"XABC是等腰三角形”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案D

解析由m//n,

得?cosB-αcosA=O,

即sinBCoSB=sinAcosA,

所以sin2B=sin2A,

所以24=28或2A+2B=7t,

即A-B或A+B=^,

所以AABC為等腰三角形或直角三角形；

反之，ZVlBC是等腰三角形，若α=c≠Z>,

則不能得到機(jī)〃”，

所以“mHn"是"AABC是等腰三角形”的既不充分也不必要條件.

5.（2022?聊城一中模擬）在梯形A8CZ）中，AB//CD,AB=2CD,E,尸分別是AB,CT）的中

點(diǎn)，AC與BO交于點(diǎn)M,設(shè)誦=α,AD=b,則下列結(jié)論不正確的是（）

A,AC=^a+bB.8C=~^a+b

C.BM-~?a+^bD.際=Ta+，

答案C

解析AC=AD+DC=AD+^AB=^a+b,

故A正確；

BC=BA-?-AIJ+DC=-Aβ+AI）+^AB

——^a+b,故B正確；

————7—22

BM=BA+AM--AB+^AC--^a+^^b,

故C錯(cuò)誤；

-A->-A-A1-?—A1-A

EF=EA+AD+DF=