8.6.1 直線與直線垂直 （原卷版）

8.6.1直線與直線垂直【考點梳理】考點一兩直線的位置關(guān)系1.異面直線(1)定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線.(2)畫法：2.兩條直線的位置關(guān)系3.兩個定理(1)基本事實4①文字語言：平行于同一條直線的兩條直線平行.②符號語言：直線a，b，c，a∥b，c∥b?a∥c.③作用：證明空間兩條直線平行.(2)等角定理①內(nèi)容：如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補.②作用：證明兩個角相等或互補.4.平面內(nèi)兩直線的夾角(1)定義：平面內(nèi)兩條直線相交成4個角，其中不大于90°的角稱為這兩條直線所成的角(或夾角)；規(guī)定兩直線平行時夾角為0°，垂直時夾角為90°.(2)范圍：兩條直線夾角α的取值范圍是0°≤α≤90°.考點二異面直線所成的角1.定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任意一點O分別作直線a′∥a，b′∥b，則異面直線a與b所成的角(或夾角)就是直線a′與b′所成的銳角(或直角).2.范圍：0°<θ≤90°.特別地，當(dāng)θ＝90°時，a與b互相垂直，記作a⊥b.技巧歸納：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補角作為兩條異面直線所成的角．【題型歸納】題型一：異面直線所成的角的概念理解1．（2023·高一）兩條異面直線指的是（

）A．不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線 B．在空間內(nèi)不相交的兩條直線C．分別位于兩個不同平面內(nèi)的直線 D．某一個平面內(nèi)的一條直線和這個平面外的一條直線2．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）下圖是正方體的平面展開圖，在這個正方體中，有以下判斷：①BF與DN平行；②CM與BN是異面直線；③DF與BN垂直；④AE與DN是異面直線．則判斷正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．43．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，則下列說法中正確的是（

）A．直線與直線異面 B．直線與直線共面 C．直線與直線異面 D．直線與直線共面題型二：證明異面直線垂直4．（2022·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點，則下列說法錯誤的是（

）A．MN與CC1垂直B．MN與AC垂直C．MN與BD平行D．MN與A1B1平行5．（2022春·安徽合肥·高一?？计谀┤鐖D，三棱柱中，側(cè)棱底面，底面三角形是正三角形，E是BC中點，則下列敘述正確的是（

）A．與是異面直線 B．平面C．AE，為異面直線，且 D．平面6．（2022·全國·高一假期作業(yè)）如圖是一個邊長為2的正方體的平面展開圖，在這個正方體中，則下列說法中正確的序號是___________.①直線與直線垂直；②直線與直線相交；③直線與直線平行；④直線與直線異面；題型三：求異面直線所成的角7．（2022秋·陜西咸陽·高一統(tǒng)考期末）在我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)·商功》中劉徽注解“邪解立方得二塹堵”.如圖，在正方體中“邪解”得到一塹堵，為的中點，則異面直線與所成的角為______.8．（2022春·上海楊浦·高一復(fù)旦附中?？计谀┤鐖D，長方體中，，點和分別為線段和的中點，則異面直線與所成角的余弦值為__．9．（2022秋·江西宜春·高一江西省宜豐中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知空間四邊形的四條邊以及對角線的長均為2，M?N分別是與的中點，則異面直線和所成角的余弦值為___________.題型四：由異面直線角求其他問題10．（2022春·廣東東莞·高一?？计谥校┤鐖D，空間四邊形ABCD的對角線AC＝8，BD＝6，M、N分別為AB、CD的中點，并且異面直線AC與BD所成的角為90°，則MN＝________.11．（2022春·山東泰安·高一泰安一中?？计谥校┰谄叫兴倪呅沃校?，現(xiàn)將平行四邊形沿對角線折起，當(dāng)異面直線和所成的角為時，的長為___________.12．（2022春·重慶九龍坡·高一四川外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，在四面體中，，AC與BD所成的角為60°，M、N分別為AB、CD的中點，則線段MN的長為______．題型五：和異面直線所成的角有關(guān)的綜合性問題13．（2023·高一課時練習(xí)）空間四邊形中，且與所成的角為，、分別是、的中點，求與所成的角的大?。?4．（2023·高一單元測試）如圖所示，在四面體中，E、F分別是線段AD、BC上的點，．(1)求證：直線與是異面直線；(2)若，，求、所成角的大?。?5．（2022春·山東聊城·高一山東聊城一中?？计谥校┤鐖D所示，正三棱柱所有棱長均為分別為棱的中點.(1)求三棱錐的體積；(2)求直線與所成角的余弦值.【雙基達(dá)標(biāo)】單選題16．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）在正方體中,分別為的中點,則異面直線與所成角的大小為（

）A． B． C． D．17．（2023·高一單元測試）在如圖所示的正方體中，異面直線與所成角的大小為（

）A．30° B．45° C．60° D．90°18．（2023·高一單元測試）在正四面體中，D為的中點，則直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．19．（2023·高一課時練習(xí)）空間四邊形的兩對邊，、分別是、上的點，且，，則與所成角大小為（

）A．30° B．45° C．60° D．90°20．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）在平行六面體中，底面是邊長為2的正方形，，，則異面直線與直線所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．21．（2023春·全國·高一）如圖所示，長方體中，，P是線段上的動點，則下列直線中，始終與直線BP異面的是（

）A． B． C． D．22．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=A1A=2,M?N分別是BB1和B1C1的中點,則直線AM與CN所成角的余弦值等于（

）A． B． C． D．23．（2022春·山東聊城·高一山東聊城一中?？茧A段練習(xí)）如圖，正方體的棱長為，線段上有兩個動點E，F(xiàn)，且，以下結(jié)論不正確的有（）A．B．異面直線所成的角為定值C．二面角A－EF－B的大小為定值D．三棱錐的體積是定值24．（2022春·吉林長春·高一統(tǒng)考期末）已知直三棱柱，若AB=BC，AB⊥BC，則異面直線AC與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．25．（2022·高一課時練習(xí)）如圖，在空間四邊形中，，，，延長到，使，取中點，求異面直線與的距離和它們所成的角．26．（2022春·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中?？计谥校┤鐖D所示，正方體的棱長為1，過頂點B、D、截下一個三棱錐．(1)求剩余部分的體積V；(2)求異面直線與所成角的余弦值．【高分突破】一、單選題27．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在正方體中，點E為棱的中點，則異面直線AC與DE所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．28．（2021春·河北唐山·高一開灤第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）一個正方體的展開圖,如圖所示,為原正方體的頂點,為原正方體一條棱的中點．在原來的正方體中,與所成角的余弦值為（

）．A． B． C． D．29．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，E，F(xiàn)，G分別是的中點．若，則異面直線與所成角的大小為（

）A． B． C． D．30．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，是正三角形，E是的中點，則下列敘述中正確的是（

）A．與是異面直線 B．與共面C．與是異面直線 D．與所成的角為二、多選題31．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知正方體中，M為的中點，則下列直線中與直線BM是異面直線的有（

）A． B． C． D．32．（2022·高一課時練習(xí)）下列命題中正確的有（

）A．若，，則B．若，，則C．若，不平行于，則一定不垂直于D．若，不垂直于，則一定不垂直于33．（2023·高一課時練習(xí)）如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，則下列說法中正確的是（

）A．直線與直線共面 B．直線與直線異面C．直線與直線共面 D．直線與直線異面34．（2022春·江蘇宿遷·高一沭陽縣修遠(yuǎn)中學(xué)期中）如圖，在棱長為2的正方體中，M，N，P分別是，，的中點，則（

）A．M，N，B，四點共面 B．異面直線與MN所成角的余弦值為C．平面BMN截正方體所得截面為等腰梯形 D．三棱錐的體積為35．（2022春·河北石家莊·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，正方體的棱長為2，以下結(jié)論正確的是（

）A．直線與平行 B．直線與是異面直線C．直線與垂直 D．三棱錐的外接球的表面積為36．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線AM與BN是平行直線B．直線BN與MB1是異面直線C．直線MN與AC所成的角為60°D．平面BMN截正方體所得的截面面積為三、填空題37．（2023·高一單元測試）長方體中，棱，，則與所成角的余弦值是______．38．（2023·高一課時練習(xí)）在空間四邊形中，是的中點，是的中點，對角線，異面直線與所成角大小為60°，則的長度是______．39．（2023·高一單元測試）如圖所示，在正方體中，E、F分別是AB、AD的中點，則異面直線與EF所成的角的大小為_________.40．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在三棱臺的9條棱所在直線中，與直線是異面直線的共有___________條.41．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知四棱錐的底面是矩形，其中，側(cè)棱底面，且直線與所成角的余弦值為，則四棱錐的外接球體積為___________.四、解答題42．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，四面體A－BCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點.若BD，AC所成的角為60°，且BD＝AC＝2.求EF的長度.43．（2023春·全