第04講 正弦定理與余弦定理（人教A版2019必修第二冊(cè)）（原卷版）

第04講正弦定理與余弦定理【人教A版2019】·模塊一余弦定理·模塊二正弦定理·模塊三三角形面積公式·模塊四課后作業(yè)模塊一模塊一余弦定理1．余弦定理(1)余弦定理及其推論的表示文字表述三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.公式表述a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.推論(2)對(duì)余弦定理的理解①余弦定理對(duì)任意的三角形都成立.

②在余弦定理中，每一個(gè)等式都包含四個(gè)量，因此已知其中三個(gè)量，利用方程思想可以求得未知的量.

③余弦定理的推論是余弦定理的第二種形式，適用于已知三角形三邊來(lái)確定三角形的角的問(wèn)題.用余弦定理的推論還可以根據(jù)角的余弦值的符號(hào)來(lái)判斷三角形中的角是銳角還是鈍角.

④余弦定理的另一種常見(jiàn)變式：+-=2bcA，+-=2acB，+-=2abC.【考點(diǎn)1\o"余弦定理邊角互化的應(yīng)用"\t"/gzsx/zj168409/_blank"余弦定理邊角互化的應(yīng)用】【例1.1】（2023上·浙江金華·高二校考開學(xué)考試）在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，若b2=a2+A．π6 B．π3 C．3π【例1.2】（2023下·云南紅河·高一?？茧A段練習(xí)）已知一個(gè)三角形的三邊分別是a、b、a2+A．90° B．120° C．135°【變式1.1】（2023上·陜西商洛·高二?？计谀┰凇鰽BC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若bcosC+ccosB=bA．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．鈍角三角形【變式1.2】（2023上·陜西商洛·高二?？计谀┰凇鰽BC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若A=2π3，bc=3，且b+c=52A．23 B．33 C．22【考點(diǎn)2\o"余弦定理解三角形"\t"/gzsx/zj168409/_blank"余弦定理解三角形】【例2.1】（2023下·河南鄭州·高一?？计谀┰凇鰽BC中，a，b，c分別是∠A，∠B，C的對(duì)邊.若b2=ac，且a2A．π6 B．π3 C．2π【例2.2】（2023·四川自貢·統(tǒng)考一模）在△ABC中角A、B、C所對(duì)邊a、b、c滿足a=c-2acosB，c=5，3a=2b，則b=（

A．4 B．5 C．6 D．6或15【變式2.1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，BC=2，AC=2AB，D是BC的中點(diǎn)，E是線段AC上的點(diǎn)，且AC=4EC，∠ADB=∠EDC，則AB=（

）A．2 B．3 C．2 D．5【變式2.2】（2023·安徽·池州市校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖是一塊空曠的土地，準(zhǔn)備在矩形OABC區(qū)域內(nèi)種菊花，區(qū)域GOD內(nèi)種桂花，區(qū)域GDC內(nèi)種茶花.若△GOC面積是△GOD面積的3倍，∠ODG=120°，GD=2,OA=3，則當(dāng)GCA．2+33 B．4+23 C．6-23模塊二模塊二正弦定理1．正弦定理(1)正弦定理的表示在△ABC中，若角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別是a,b,c，則各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即==.(2)正弦定理的常見(jiàn)變形在△ABC中，由正弦定理得===k(k>0)，則a=kA，b=kB，c=kC，由此可得正弦定理的下列變形：①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB；

②======；

③a:b:c=A:B:C；④===2R，（R為△ABC外接圓的半徑）.(3)三角形的邊角關(guān)系

由正弦定理可推導(dǎo)出，在任意三角形中，有“大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊”的邊角關(guān)系.2．解三角形(1)解三角形的概念一般地，三角形的三個(gè)角A,B,C和它們的對(duì)邊a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形.(2)余弦定理在解三角形中的應(yīng)用利用余弦定理可以解決以下兩類解三角形的問(wèn)題：

①已知兩邊及它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角；

③已知三邊，求三角形的三個(gè)角.(3)正弦定理在解三角形中的應(yīng)用公式==反映了三角形的邊角關(guān)系.

由正弦定理的推導(dǎo)過(guò)程知，該公式實(shí)際表示為：=，=，=.上述的每一個(gè)等式都表示了三角形的兩個(gè)角和它們的對(duì)邊的關(guān)系.從方程角度來(lái)看，正弦定理其實(shí)描述的是三組方程，對(duì)于每一個(gè)方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用來(lái)解決兩類解三角形的問(wèn)題：

①已知兩角和任意一邊，求其他的邊和角，

③已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其他的邊和角.【考點(diǎn)1

\o"正弦定理邊角互化的應(yīng)用"\t"/gzsx/zj168410/_blank"正弦定理邊角互化的應(yīng)用】【例1.1】（2023·陜西商洛·統(tǒng)考一模）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，bA．13 B．23 C．38【例1.2】（2023上·廣東肇慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知asinB=bsinA．π6 B．π4 C．π3【變式1.1】（2023上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若asinA=bcosC+ccosA．直角三角形 B．銳角三角形C．鈍角三角形 D．不確定【變式1.2】（2023·上海普陀·統(tǒng)考一模）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a=3，且c-2b+23cosA．1 B．3 C．2 D．2【考點(diǎn)2

\o"正弦定理判定三角形解的個(gè)數(shù)"\t"/gzsx/zj168410/_blank"正弦定理判定三角形解的個(gè)數(shù)】【例2.1】（2022下·福建莆田·高一?？计谀┰凇鰽BC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（

）A．b=4，A=20°，C=40° B．a(chǎn)=4C．a(chǎn)=4，b=6，A=35° D．a(chǎn)=4，b=6【例2.2】（2023上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，A=π3，a=3，b=A．有一解 B．有兩解C．無(wú)解 D．有解但解的個(gè)數(shù)不確定【變式2.1】（2023上·北京大興·高三統(tǒng)考期中）在△ABC中，∠A=π6?,AB=4?,BC=a，且滿足該條件的A．0,2 B．2,2C．2,4 D．2【變式2.2】（2023下·安徽馬鞍山·高一?？计谥校鰽BC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若A=60°，b=10，則結(jié)合a的值，下列解三角形有兩解的為（

）A．a(chǎn)=8 B．a(chǎn)=9 C．a(chǎn)=10 D．a(chǎn)=11【考點(diǎn)3\o"正弦定理解三角形"\t"/gzsx/zj168410/_blank"正弦定理解三角形】【例3.1】（2023上·內(nèi)蒙古通遼·高三?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a=6，sinA=378，cosB=A．8 B．5 C．4 D．3【例3.2】（2023上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．4a=5c，cosC=35A．35 B．255 C．5【變式3.1】（2023上·遼寧·高三校聯(lián)考期中）已知△ABC的外接圓半徑為2，且內(nèi)角A,B,C滿足sinC=7cosAsinB，cosA．13 B．23 C．637【變式3.2】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，2cosB-3cbA．338 B．558 C．37模塊三模塊三三角形面積公式1．三角形的面積公式(1)常用的三角形的面積計(jì)算公式①=a=b=c(,,分別為邊a,b,c上的高).

②將=bC，=cA，=aB代入上式可得=abC=bcA=acB，即三角形的面積等于任意兩邊與它們夾角的正弦值乘積的一半.(2)三角形的其他面積公式①=r(a+b+c)=rl，其中r,l分別為△ABC的內(nèi)切圓半徑及△ABC的周長(zhǎng).

②=，=，=.【考點(diǎn)1三角形面積公式的應(yīng)用】【例1.1】（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考期中）在△ABC中，若AB=3,AC=7,B=120°，則△ABC的面積為（

）A．63 B．3-14 C．3+14【例1.2】（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，BC=3，sinB+sinC=103sinA，且△ABCA．π6 B．π4 C．π3【變式1.1】（2023上·安徽蕪湖·高二?？茧A段練習(xí)）已知鈍角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，2bsinA=3bcosC+3ccosB．若A．32 B．C．32或332【變式1.2】（2023上·陜西西安·高三交大附中?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若sin2A-sin2C+sin2B=sinA．3 B．934 C．33【考點(diǎn)2正、余弦定理在幾何圖形中的應(yīng)用】【例2.1】（2023上·黑龍江哈爾濱·高三?？计谀┰凇鰽BC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且3c(1)求角A的大小；(2)若1tanB+1tanC【例2.2】（2023上·廣東汕頭·高二校考階段練習(xí)）在△ABC中，c=2bcos(1)求B；(2)再?gòu)臈l件①條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求BC邊上中線的長(zhǎng)．條件①：△ABC的周長(zhǎng)為4+23；條件②：△ABC的面積為3（若選擇多個(gè)做答，按第一作答給分）【變式2.1】（2023上·廣西河池·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，若3sin(1)求a的值；(2)若△ABC的面積為3b2+【變式2.2】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且sin2C+2(1)若a=3,b=4，求c的值以及(2)若BM=λBC0<λ<1,tan【考點(diǎn)3距離、高度、角度測(cè)量問(wèn)題】【例3.1】（2023上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，A、B兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸(不可到達(dá))，若在河岸選取相距20米的C、D兩點(diǎn)，測(cè)得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，那么此時(shí)A，B兩點(diǎn)間的距離是多少？【例3.2】（2023上·廣東湛江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）山東省濱州市的黃河樓位于蒲湖水面內(nèi)東南方向的東關(guān)島上，渤海五路以西，南環(huán)路以北.整個(gè)黃河樓顏色質(zhì)感為灰紅，意味黃河樓氣勢(shì)恢宏，更在氣勢(shì)上體現(xiàn)黃河的宏壯.如圖，小張為了測(cè)量黃河樓的實(shí)際高度AB，選取了與樓底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C,D，現(xiàn)測(cè)得∠BCD=30°,∠BDC=95°,CD=116m，在點(diǎn)D處測(cè)得黃河樓頂A的仰角為【變式3.1】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）如圖，某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上．在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30°方向且與該港口相距20nmile的A處，并以30nmile/h的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設(shè)該小艇沿直線方向以vnmile/h的航行速度勻速行駛，經(jīng)過(guò)

(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30nmile/h【變式3.2】（2023上·遼寧·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）某景區(qū)為打造景區(qū)風(fēng)景亮點(diǎn)，欲在一不規(guī)則湖面區(qū)域（陰影部分）上A,B兩點(diǎn)之間建一條觀光通道，如圖所示．在湖面所在的平面（不考慮湖面離地平面的距離，視湖面與地平面為同一平面）內(nèi)距離點(diǎn)B50米的點(diǎn)C處建一涼亭，距離點(diǎn)B70米的點(diǎn)D處再建一涼亭，測(cè)得∠ACB=∠ACD，cos∠ACB=

(1)求sin∠BDC(2)測(cè)得AC=AD，觀光通道每米的造價(jià)為2000元，若景區(qū)準(zhǔn)備預(yù)算資金8萬(wàn)元建觀光通道，問(wèn)：預(yù)算資金夠用嗎？模塊四模塊四課后作業(yè)1．（2023下·江蘇揚(yáng)州·高一?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，a，b，c是角A，B，C分別所對(duì)的邊，若A:B:C=1:2:3，則a:b:c=（

）A．1:2:3 B．3:2:1 C．1:3:2 D2．（2023下·江蘇蘇州·高一?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，已知a=13，b=4，c=3，則cosA=（A．12 B．22 C．323．（2024·四川自貢·統(tǒng)考一模）在△ABC中角A、B、C所對(duì)邊a、b、A．4 B．5 C．6 D．6或154．（2023上·重慶·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知A=2B，a=3，b=2，則cosBA．14 B．13 C．235．（2023下·河北石家莊·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）在△ABC中，b=2c，a=10，A=3πA．2 B．1 C．22 D．6．（2024上·北京·高三清華附中?？奸_學(xué)考試）在△ABC中，a=42，A=45°，b=m，若滿足條件的△ABCA．8 B．6 C．4 D．27．（2023上·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一艘游輪航行到A處時(shí)看燈塔B在A的北偏東75°，距離為126海里，燈塔C在A的北偏西30°，距離為123海里，該游輪由A沿正北方向繼續(xù)航行到D處時(shí)再看燈塔B在其南偏東60°方向，則此時(shí)燈塔C位于游輪的（A．正西方向 B．南偏西75°方向 C．南偏西60°方向 D．南偏西45°方向8．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考一模）在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，若cos2A2=b+cA．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形9．（2023下·江西贛州·高一統(tǒng)考期末）已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．若sinA>sinB．若B=30°,b=C．若sin2A=sinD．若△ABC的面積S=3410．（2022上·