《5.1.1 任意角》課件與導(dǎo)學(xué)案

第5章

三角函數(shù)5.1.1任意角角的定義【導(dǎo)入】現(xiàn)實(shí)生活中隨處可見超出0°~360°范圍的角.例如體操中的“前空翻轉(zhuǎn)體540度”“后空翻轉(zhuǎn)體720度”等動(dòng)作.這里不僅角度超出了0°~360°，并

且旋轉(zhuǎn)的方向也不相同.【探究】如圖是兩個(gè)咬合的齒輪旋轉(zhuǎn)的示意圖，可以看出兩

個(gè)齒輪旋轉(zhuǎn)的方向剛好相反，聯(lián)想到角的旋轉(zhuǎn)定義(一個(gè)角的大小取決于繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的的射線旋轉(zhuǎn)的角度)，我們知道，要準(zhǔn)確描述這些現(xiàn)象，不僅要知道旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，還要知道旋轉(zhuǎn)的方向，這就需要我們對(duì)角的概念加以推廣.角的分類【定義】我們規(guī)定，一條射線繞其端點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角，按順

時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角.如果一條射線沒有任何旋轉(zhuǎn)，那么它就

形成了一個(gè)零角.零角的始邊和終邊重合，如果是零角，那么.

左圖中的角是一個(gè)正角，它等于730°.右圖中，正角，負(fù)角

，，正常情況下，如果以零時(shí)為起始位置，那么鐘表的時(shí)針與分針在旋轉(zhuǎn)時(shí)形成的角總是負(fù)角.730°

為了簡(jiǎn)單起見，在不引起混淆的情況下，角或∠可以簡(jiǎn)記為

相等角、角的加減【1】設(shè)∠α由射線OA繞端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)而成，∠β由射線OA繞端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)而成.如果它們

的旋轉(zhuǎn)方向相同且旋轉(zhuǎn)量相等，那么就稱α=β.

設(shè)α，β是任意角，我們規(guī)定：把角α的終邊旋轉(zhuǎn)角β，這時(shí)終邊所對(duì)應(yīng)的角是α+β.類似于實(shí)數(shù)t的相反數(shù)是-t，我們引入角α的相反角的概念.如圖：我們把射線OA繞端點(diǎn)O按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個(gè)角叫做互為相反角.角α的相反角記為-α，則α-β=α+(-β).

于是角的減法可以轉(zhuǎn)化為角的加法，如圖：αβα+βαα-α-α30°-120°OA相等角、角的加減【總結(jié)】（1）角的概念推廣后，角度的范圍不再局限于0°~360°（2）確定任意角的度數(shù)既要知道旋轉(zhuǎn)量，又要知道旋轉(zhuǎn)方向，如順時(shí)針旋

轉(zhuǎn)30°和逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°縮成的角是不同的，它們互為相反角.（3）用圖像表示角時(shí)，箭頭的方向體現(xiàn)角的正負(fù)，因此箭頭不能少.（4）角的概念推廣后，角的加減可以類比正負(fù)數(shù)的加減規(guī)則.象限角與軸線角【定義】我們通常在坐標(biāo)系內(nèi)討論角.為了方便，我們把角的頂點(diǎn)固定在原點(diǎn)，角

的終邊始終與軸的非負(fù)半軸重合.

那么，角的終邊在第幾象限，就說這個(gè)角是第幾象限的角.如下圖左

邊的角α就是第一象限角，角β就是第三象限角.αβ如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，那么它就不屬于任何一個(gè)象限，此時(shí)我們稱這個(gè)角為軸線角.如上邊右圖的角γ.γ

象限角與軸線角【問題】銳角，第一象限角，小于90°的角，它們之間的區(qū)別是什么？α=390°【答】①第一象限角不一定是銳角，如圖左②銳角是大于0°且小于90°的角，一定是第一象限角，如圖中30°75°③小于90°的角還包括零角和負(fù)角，如圖右α=0°β=-130°【問題】把角放在坐標(biāo)系中之后，給定一個(gè)角，就有唯一的一條終邊與之對(duì)應(yīng)，反

過來，對(duì)于直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一條射線OB，以它為

終邊的角是否唯一？

答案是否定的.那么終邊相同的角有什么關(guān)系？終邊相同的角30°OB【答】不難發(fā)現(xiàn)，OB除了可以表示30°的角之外，還可以表示390°，-330°等角.

與30°終邊相同的這些角都可以表示成30°角與k個(gè)(k∈Z)周角的和.390°=30°+360°(k=1)-330°=30°-360°(k=-1)一般地，所有與α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可以構(gòu)成一個(gè)集合S={β|β=α+k·360°，k∈Z}即任一與α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和.【總結(jié)】對(duì)于S={β|β=α+k·360°，k∈Z}的理解應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：終邊相同的角【1】α是任意角【2】k∈Z有三層含義：①特殊性：每取一個(gè)整數(shù)值，就對(duì)應(yīng)一個(gè)具體的角②一般性：表示所有與角α終邊相同的角(包括角α本身)③從集合意義上看，k表示角的終邊按一定的方向旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)，k取正整數(shù)

時(shí)，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)；k取負(fù)整數(shù)時(shí)，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)；k=0時(shí)，沒有旋轉(zhuǎn).【3】集合中的k·360°與α之間用+連接，如k·360°-30°應(yīng)看成k·360°+(-30°)，

表示與-30°角終邊相同的角【整理】各象限角的集合表示終邊相同的角{α|k·360°＜α＜k·360°+90°，k∈Z}{α|k·360°+90°＜α＜k·360°+180°，k∈Z}{α|k·360°+180°＜α＜k·360°+270°，k∈Z}{α|k·360°+270°＜α＜k·360°+360°，k∈Z}【整理】軸線角的集合表示終邊相同的角{α|α=k·360°，k∈Z}{α|α=k·360°+180°，k∈Z}{α|α=k·360°+90°，k∈Z}{α|α=k·360°+270°，k∈Z}{α|α=k·180°，k∈Z}{α|α=k·180°+90°，k∈Z}{α|α=k·90°，k∈Z}【1】銳角是第幾象限角？直角呢？鈍角呢？【解】銳角是第一象限角；直角是軸線角；鈍角是第二象限角.【2】第一象限角一定是銳角嗎？軸線角一定是直角嗎？第二象限角一定是鈍角嗎？【解】第一象限角不一定是銳角，如390°；

軸線角不一定是直角，如180°；

第二象限角不一定是鈍角，如-210°.【3】分別寫出圖中終邊落在兩個(gè)陰影部分的角α的集合【解】①在0°~3600°范圍來看，陰影部分的角α的

范圍是30°≤α≤105°，所以在坐標(biāo)系中角α

的范圍是

30°75°①②{α|k·360°+30°≤α≤k·360°+105°,k∈Z}②在0°~360°范圍來看，陰影部分的角α的范圍是210°≤α≤285°，所以在坐標(biāo)系中角α的范圍是{α|k·360°+210°≤α≤k·360°+285°,k∈Z}【4】若α是第二象限角，請(qǐng)確定2α的終邊所在的位置【解】①因?yàn)棣潦堑诙笙藿牵?/p>

k·360°+90°＜α＜k·360°+180°,k∈Z所以2k·360°+180°＜2α＜2k·360°+360°,k∈Z如圖，即2α的終邊位于第三或者第四象限，或者位于y軸的負(fù)半軸上.【5】若α是第二象限角，請(qǐng)確定的終邊所在的位置【解】①因?yàn)棣潦堑诙笙藿?，所?/p>

①

k·360°+90°＜α＜k·360°+180°,k∈Z所以k·180°+45°＜

＜k·180°+90°,k∈Z

k=2n(n∈Z)時(shí)，k·360°+45°＜

＜k·360°+90°,k∈Z

k=2n+1(n∈Z)時(shí)，k·360°+225°＜

＜k·360°+270°,k∈Z

所以

的終邊位于第一或者第三象限.

②③④②①③④也可以運(yùn)用圖示的高階方法，從

軸正半軸沿逆時(shí)針把每個(gè)象限平分成2部分，并且依次標(biāo)上①②③④，則標(biāo)②的就是所在的區(qū)域.

【5】若α是第二象限角，請(qǐng)確定的終邊所在的位置【解】

①

②③④②①③④這次我們直接運(yùn)用圖示的高階方法，從

軸正半軸沿逆時(shí)針把每個(gè)象限平分成3部分，并且依次標(biāo)上①②③④，則標(biāo)③的就是所在的區(qū)域.④①②③

5.1任意角和弧度制第五章三角函數(shù)《