《3.2.1 單調(diào)性與最大（?。┲怠氛n件與導(dǎo)學(xué)案

第3章

函數(shù)的概念與性質(zhì)3.2.1單調(diào)性與最大(小)值實(shí)例探究在初中我們利用函數(shù)圖像探究過(guò)函數(shù)值隨自變量的增大而增大(減小)的性質(zhì)，這性質(zhì)叫做函數(shù)的單調(diào)性.下面進(jìn)一步刻畫(huà)這種性質(zhì).

先研究二次函數(shù)的單調(diào)性.畫(huà)出圖像，可以看到，當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減小，也就是說(shuō)，任意取，得到，有.這時(shí)我們就說(shuō)函數(shù)在區(qū)間(-∞，0]上是單調(diào)遞減的.

同理，函數(shù)在[0,+∞)上是單調(diào)遞增的.

函數(shù)在(-∞，0]上為減函數(shù)，在[0,+∞)上為增函數(shù)，但在(-∞,+∞)上不具有單調(diào)性.因?yàn)?，所以?shí)例探究【問(wèn)題】如何判斷本題中的大??？

【1】觀察圖像法，從右側(cè)圖像中很容易得到函數(shù)在(-∞，0]上為減函數(shù)，在[0,+∞)上為增函數(shù)，但在(-∞,+∞)上不具有單調(diào)性.

【2】做差法：

所以

在區(qū)間(-∞，0]單調(diào)遞減；在區(qū)間[0，+∞)單調(diào)遞增.【思考】函數(shù)和函數(shù)各有怎樣的單調(diào)性？【解】作出兩個(gè)函數(shù)的圖像，由圖像可知：

函數(shù)在區(qū)間(-∞，0]單調(diào)遞增；在區(qū)間[0，+∞)單調(diào)遞減.單調(diào)性的定義一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镾，區(qū)間，如果，當(dāng)時(shí)，都有，那么就稱函數(shù)在區(qū)間A上單調(diào)遞增.特別地，若函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，我們就稱它為增函數(shù).

如果，當(dāng)時(shí)，都有，那么就稱函數(shù)在區(qū)間A上單調(diào)遞減.特別地，若函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞減時(shí)，我們就稱它為減函數(shù).函數(shù)具有單調(diào)性的的區(qū)間叫做單調(diào)區(qū)間.

單調(diào)性的定義【探究】在函數(shù)單調(diào)性的定義中，對(duì)區(qū)間A有什么要求？（1）區(qū)間A可以是整個(gè)定義域S.如函數(shù)y=x，他在定義域上單調(diào)，A=S.（2）區(qū)間A可以是定義域S的真子集，如函數(shù)y=|x|，S=(-∞，+∞)，當(dāng)A=(-∞，0]時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.（3）區(qū)間A一定是連續(xù)的，如果中間有斷裂，則無(wú)法稱

作單調(diào)遞增或者單調(diào)遞減.如圖示的函數(shù).

單調(diào)性的定義函數(shù)單調(diào)性定義的等價(jià)形式(對(duì)于任意的)：

【1】

在D上為增函數(shù)；【2】

在D上為減函數(shù)；【3】

在D上為增函數(shù)；

【4】

在D上為減函數(shù).

即自變量之差與函數(shù)值之差的乘積同號(hào)，函數(shù)為增函數(shù)；自變量之差與函數(shù)值之差的乘積同號(hào)，函數(shù)為減函數(shù)；單調(diào)性定義的應(yīng)用【1】判斷(證明)單調(diào)性：【2】比較函數(shù)值大?。骸?】已知函數(shù)值大小比較自變量：并非所有函數(shù)都有單調(diào)性或者單調(diào)區(qū)間.如函數(shù)雖然它的定義域?yàn)镽，但是它不具有單調(diào)性.

單調(diào)性定義的應(yīng)用【問(wèn)題】書(shū)寫(xiě)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間端點(diǎn)有何要求？

函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處有定義時(shí)，由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)，沒(méi)有增減的變化，所以不存在單調(diào)性問(wèn)題，因此在書(shū)寫(xiě)單調(diào)區(qū)間時(shí)，可以包括，也可以不包括.如函數(shù)y=t的單調(diào)增區(qū)間可以寫(xiě)(0，+∞)，也可以寫(xiě)成[0，+無(wú)窮大)

反之，函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處無(wú)定義時(shí)，書(shū)寫(xiě)單調(diào)區(qū)間時(shí)就不能包括端點(diǎn).單調(diào)性的應(yīng)用【例題1】根據(jù)定義，研究函數(shù)的單調(diào)性.

【解】函數(shù)的定義域是R，對(duì)于任意的且

，

由知，所以：

①當(dāng)時(shí)，，即，

這時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)；

①當(dāng)時(shí)，，即，

這時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)；

且，有：?jiǎn)握{(diào)性的應(yīng)用【例題2】物理學(xué)中的玻意耳定律(為正常數(shù))告訴我們，對(duì)于一定量的

氣體，當(dāng)其體積V減少時(shí)，壓強(qiáng)P將增大.試對(duì)此用函數(shù)的單調(diào)性證明.【分析】根據(jù)題意，只要證明函數(shù)是減函數(shù)即可.

【證明】

由得；由得

又，所以即

所以函數(shù)是減函數(shù).問(wèn)題得證.

【觀察】觀察函數(shù)的圖像可以發(fā)現(xiàn)，二次

函數(shù)的圖像上有一個(gè)最低點(diǎn)(0，0)，即：函數(shù)的最值(最大值和最小值)

當(dāng)一個(gè)函數(shù)有最低點(diǎn)時(shí)，我們就說(shuō)這個(gè)函數(shù)有最小值.【定義】一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)锳，如果當(dāng)自變量時(shí)，有：

，那么我們就稱是函數(shù)的最小值；

反之，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)锳，如果當(dāng)自變量時(shí)，有：

，那么我們就稱是函數(shù)的最大值.

【常用結(jié)論與表達(dá)方式】函數(shù)的最值(最大值和最小值)【1】若函數(shù)在區(qū)間

上單調(diào)遞增，那么函數(shù)的最小值

，最大值

【2】若函數(shù)在區(qū)間

上單調(diào)遞減，那么函數(shù)的最小值

，最大值

【3】函數(shù)的最大值和最小值可以有多個(gè)，如圖：第三章函數(shù)概念與性質(zhì)3.2.1.1函