高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)學(xué)案函數(shù)第二講

第二講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)一根式與指數(shù)冪的運(yùn)算1．根式的概念根式的概念符號(hào)備注如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根n>1且n∈N*當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)eq\r(n,a)零的n次方根是零當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)±eq\r(n,a)(a>0)負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根2.兩個(gè)重要公式(1)eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，n為奇數(shù)，,|a|＝\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa≥0，,－aa<0))n為偶數(shù)；))(2)(eq\r(n,a))n＝a(注意a必須使eq\r(n,a)有意義)．3．有理數(shù)指數(shù)冪(1)冪的有關(guān)概念③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義．(2)有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．知識(shí)點(diǎn)一根式與指數(shù)冪的運(yùn)算1．(易錯(cuò)題)化簡(jiǎn)4aeq\f(2,3)·b－eq\f(1,3)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)a－\f(1,3)b\f(2,3)))的結(jié)果為()A．－eq\f(2a,3b)B．－eq\f(8a,b)C．－eq\f(6a,b)D．－6ab2．化簡(jiǎn)eq\r(4,16x8y4)(x＜0，y＜0)＝________.知識(shí)點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)0<a<1a>1圖象性質(zhì)定義域：R值域：(0，＋∞)當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1，即過(guò)定點(diǎn)(0,1)當(dāng)x>0時(shí)，0<y<1；當(dāng)x<0時(shí)，y>1當(dāng)x>0時(shí)，y>1；當(dāng)x<0時(shí)，0<y<1在R上是減函數(shù)在R上是增函數(shù)題型一指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用1．函數(shù)f(x)＝1－e|x|的圖象大致是()2．(多選題)(2021·山東日照模擬)若實(shí)數(shù)x，y滿足5x－4y＝5y－4x，則下列關(guān)系式中可能成立的是()A．x＝y(tǒng)B．1＜x＜yC．0＜x＜y＜1D．y＜x＜0題型二指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用考法(一)比較大小或解不等式[例1](1)(2020·高考全國(guó)卷Ⅱ)若2x－2y＜3－x－3－y，則()A．ln(y－x＋1)＞0B．ln(y－x＋1)＜0C．ln|x－y|＞0D．ln|x－y|＜0(2)若偶函數(shù)f(x)滿足f(x)＝2x－4(x≥0)，則不等式f(x－2)＞0的解集為_(kāi)_______．考法(二)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的值域問(wèn)題[例2](1)函數(shù)y＝eq\r(16－2x)的值域是()A．[0，＋∞)B．[0,4]C．[0,4)D．(0,4)(2)已知y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝－eq\f(1,4x)＋eq\f(1,2x)，則此函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_______．考法(三)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用[例3]已知函數(shù)f(x)＝a|x＋b|(a＞0，且a≠1，b∈R)．(1)若f(x)為偶函數(shù)，求b的值；(2)若f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)，試求a，b應(yīng)滿足的條件．1．設(shè)a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)＜b＜cB．a(chǎn)＜c＜bC．b＜a＜c D．b＜c＜a2.不等式的解集為_(kāi)_______．a(chǎn)＜b＜cB．b＜c＜aC．c＜b＜a D．b＜a＜c(2021·臨沂三校)函數(shù)f(x)＝2－2x(x＜0)的值域是()A(1,2)B(－∞，2)C(0,2)D(1，＋∞)5．函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是()A[1,2]B(－∞，－1)C(－∞，－2] D．[2，＋∞)6．(2021·青島模擬)函數(shù)y＝ax＋2－1(a＞0且a≠1)的圖象恒過(guò)的點(diǎn)是()A．(0,0)B．(0，－1)C．(－2,0) D．(－2，－1)7．若關(guān)于x的方程|ax－1|＝2a(a＞0且a≠1)有兩個(gè)不等實(shí)根，則a的取值范圍是()A．(0,1)∪(1，＋∞)B．(0,1)C．(1，＋∞)D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))8．已知函數(shù)f(x)＝2x＋k·2－x，k∈R.(1)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的值(2)若對(duì)任意x∈[0，＋∞)都有f(x)＞2－x成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．第二講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)(答案)知識(shí)點(diǎn)一根式與指數(shù)冪的運(yùn)算1．(易錯(cuò)題)化簡(jiǎn)4aeq\f(2,3)·b－eq\f(1,3)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)a－\f(1,3)b\f(2,3)))的結(jié)果為()A．－eq\f(2a,3b)B．－eq\f(8a,b)C．－eq\f(6a,b)D．－6ab答案：C2．化簡(jiǎn)eq\r(4,16x8y4)(x＜0，y＜0)＝________.答案：－2x2y知識(shí)點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)題型一指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用1．函數(shù)f(x)＝1－e|x|的圖象大致是()答案：A2．(多選題)(2021·山東日照模擬)若實(shí)數(shù)x，y滿足5x－4y＝5y－4x，則下列關(guān)系式中可能成立的是()A．x＝y(tǒng)B．1＜x＜yC．0＜x＜y＜1D．y＜x＜0解析：由題意，實(shí)數(shù)x，y滿足5x－4y＝5y－4x，可化為4x＋5x＝5y＋4y，設(shè)f(x)＝4x＋5x，g(x)＝5x＋4x，由基本初等函數(shù)的性質(zhì)，可得f(x)，g(x)在R上都是單調(diào)遞增函數(shù)，畫(huà)出函數(shù)y＝f(x)，y＝g(x)的大致圖象，如圖所示．根據(jù)圖象可知，當(dāng)x＝0時(shí)，f(0)＝g(0)＝1；當(dāng)x＝1時(shí)，f(1)＝g(1)＝9.故當(dāng)x＝y(tǒng)＝0或1時(shí)，f(x)＝g(y)，所以5x－4y＝5y－4x成立，故A正確；當(dāng)1＜x＜y時(shí)，f(x)＜g(y)，故B不正確；當(dāng)0＜x＜y＜1時(shí)，f(x)＝g(y)可能成立，故C正確；當(dāng)y＜x＜0時(shí)，f(x)＝g(y)可能成立，故D正確．答案：ACD題型二指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用考法(一)比較大小或解不等式[例1](1)(2020·高考全國(guó)卷Ⅱ)若2x－2y＜3－x－3－y，則()A．ln(y－x＋1)＞0B．ln(y－x＋1)＜0C．ln|x－y|＞0D．ln|x－y|＜0(2)若偶函數(shù)f(x)滿足f(x)＝2x－4(x≥0)，則不等式f(x－2)＞0的解集為_(kāi)_______．[解析](1)∵2x－2y＜3－x－3－y，∴2x－3－x＜2y－3－y.∵y＝2x－3－x＝2x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在R上單調(diào)遞增，∴x＜y，∴y－x＋1＞1，∴l(xiāng)n(y－x＋1)＞ln1＝0.(2)f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝f(－x)＝2－x－4.∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－4，x≥0，,2－x－4，x＜0，))當(dāng)f(x－2)＞0時(shí)，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2≥0，,2x－2－4＞0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＜0，,2－x＋2－4＞0，,))解得x＞4或x＜0.∴不等式解集為{x|x＞4或x＜0}．1.比較兩個(gè)指數(shù)冪大小時(shí)，盡量化為同底或同指，當(dāng)?shù)讛?shù)相同，指數(shù)不同時(shí)，構(gòu)造同一指數(shù)函數(shù)，然后比較大??；當(dāng)指數(shù)相同，底數(shù)不同時(shí)，構(gòu)造同一冪函數(shù)，利用圖象比較大?。?．有關(guān)指數(shù)不等式問(wèn)題，應(yīng)注意a的取值，及結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．考法(二)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的值域問(wèn)題[例2](1)函數(shù)y＝eq\r(16－2x)的值域是()A．[0，＋∞)B．[0,4]C．[0,4)D．(0,4)(2)已知y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝－eq\f(1,4x)＋eq\f(1,2x)，則此函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_______．[解析](1)函數(shù)y＝eq\r(16－2x)中，因?yàn)?6－2x≥0，所以2x≤16.因此2x∈(0,16]，所以16－2x∈[0,16)．故y＝eq\r(16－2x)∈[0,4)．(2)設(shè)t＝eq\f(1,2x)，當(dāng)x≥0時(shí)，2x≥1，∴0＜t≤1，f(t)＝－t2＋t＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))2＋eq\f(1,4)，∴0≤f(t)≤eq\f(1,4)，故當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))).∵y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0)).故函數(shù)的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，\f(1,4))).考法(三)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用[例3]已知函數(shù)f(x)＝a|x＋b|(a＞0，且a≠1，b∈R)．(1)若f(x)為偶函數(shù)，求b的值；(2)若f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)，試求a，b應(yīng)滿足的條件．[解析](1)因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以對(duì)任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)，即a|x＋b|＝a|－x＋b|，|x＋b|＝|－x＋b|，解得b＝0.(2)記h(x)＝|x＋b|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋b，x≥－b，,－x－b，x＜－b.))①當(dāng)a＞1時(shí)，f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)，即h(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)，所以－b≤2，b≥－2；②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)，即h(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是減函數(shù)，但h(x)在區(qū)間[－b，＋∞)上是增函數(shù)，故不存在a，b的值，使f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)．所以f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)時(shí)，a，b應(yīng)滿足的條件為a＞1且b≥－2.1．設(shè)a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)＜b＜cB．a(chǎn)＜c＜bC．b＜a＜c D．b＜c＜a答案：C2.不等式的解集為_(kāi)_______．答案：{x|－1＜x＜4}A．a(chǎn)＜b＜cB．b＜c＜aC．c＜b＜a D．b＜a＜c答案：D4．(2021·臨沂三校)函數(shù)f(x)＝2－2x(x＜0)的值域是()A(1,2)B(－∞，2)C(0,2)D(1，＋∞)案：A5．函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是()A[1,2]B(－∞，－1)C(－∞，－2] D．[2，＋∞)解析：令t＝－x2＋4x－5，其圖象的對(duì)稱軸方程為x＝2，單調(diào)遞減區(qū)間為[2，＋∞)．又函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))t為減函數(shù)，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[2，＋∞)．答案：D6．(2021·青島模擬)函數(shù)y＝ax＋2－1(a＞0且a≠1)的圖象恒過(guò)的點(diǎn)是()A．(0,0)B．(0，－1)C．(－2,0) D．(－2，－1)答案：C7．若關(guān)于x的方程|ax－1|＝2a(a＞0且a≠1)有兩個(gè)不等實(shí)根，則a的取值范圍是()A．(0,1)∪(1，＋∞)B．(0,1)C．(1，＋∞)D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析：方程|ax－1|＝2a(a＞0且a≠1)有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝|ax－1|與y＝2a的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，如圖①，所以0＜2a＜1，即0＜a＜eq\f(1,2)；②當(dāng)a＞1時(shí)，如圖②，2a＞1不符合要求．綜上，0＜a＜eq\f(1,2).答案：D8．已知函數(shù)f(x)＝2x＋k·2－x，k∈R.(1)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的值(2)若對(duì)