2023年人教版數(shù)學中考第一輪復習三角形

人教版2022-2023中考數(shù)學第一輪復習三角形

線與角

1.(1)線段和射線是直線的一部分，直線沒有端點，射線有一個端點，線段有兩個端點；兩點確定一條

直線；兩點之間，線段最短.

(2)線段的中點及有關(guān)計算.

2.角：

(1)如果兩個角的和是一個直角(90°),那么這兩個角互為余角；

⑵如果兩個角的和是一個平角(180°),那么這兩個角互為補角；

(3)同角(或等角)的余角相等，同角(或等角)的補角相等；

(4)對頂角相等；

⑸方位角；

⑹角的測量與比較：1=60',1'=60".

3.平行線的性質(zhì)與判定：

(1)同位角相等Q兩直線平行；

(2)內(nèi)錯角相等=兩直線平行；

(3)同旁內(nèi)角互補Q兩直線平行；

(4)如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.

4.垂線：

(1)經(jīng)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；

(2)直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短.

5.角平分線與中垂線：

(1)角平分線上的點到角兩邊的距離相等；到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.

(2)線段的垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等；到線段的兩端距離相等的點在線段的垂直平分線

上.

三角形基礎(chǔ)知識

1.多邊形的內(nèi)角和公式：(n-2)?180o(n為大于2的整數(shù))；任意多邊形的外角和等于360°.

2.三角形的邊角關(guān)系：

(1)三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊；

⑵三角形的內(nèi)角和等于180°,外角和等于360°；

(3)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

3、三角形中的重要線段：

(1)三角形的中線

三角形中，連結(jié)一個頂點和它對邊中點的線段.

(2)三角形的角平分線

三角形一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個角頂點與交點之間的線段

(3)三角形的高

從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段.

注意：三角形的中線、角平分線、高是均是線段。

練習

一.選擇題(共6小題)

1.將一副三角板的直角頂點重合按如圖方式放置，其中BC〃AE,則/DFC的度數(shù)為()

A.60oB.45oC.75oD.55°

123

2.如圖，直線a〃b,等邊AABC的頂點C在直線b上，若/1=42°,則/2的度數(shù)為（）

A.92oB.102oC.112oD.114°

3.如圖所示，在AABC中，ZACB=90o,ZBAC=750,D為AB中點且DEJ_AB,交BC于點E,AC=8cm,

則BE等于（）

A.4cmB.8cmC.12cmD.16cm

4.已知三角形三邊為a、b、c,其中a、b兩邊滿足∣a-6∣+√彘=0,那么這個三角形的最大邊C的取

值范圍是（）

A.c>8B.8<c<14C.6<c<8D.2<c<14

5.如圖，Rt?ΛBCΦ,ZC=90o,BD平分NABC交AC于點D,點E為AB的中點，若AB=12,CD=3,

則ADBE的面積為（）

A.10B.12C.9D.6

6.如圖，在AABC中，DE是AC的垂直平分線,AC=8cm,且aABD的周長為16cm,則AABC的周長為（）

A.24cmB.21cmC.18cmD.16cm

二.填空題（共2小題）

7.已知：如圖所示,在Z?ABC中,點D,E,F分別為BC,AD,CE的中點，且S△型=4cm?則陰影部分

的面積為cm2.

8.如圖，在aABC中，NB與NC的平分線交于點P.若NBPC=I30°,則NA=°.

等腰三角形與直角三角形

1.有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形.

（1）性質(zhì)：等腰三角形的兩腰相等；等腰三角形的兩個底角相等（等邊對等角）；等腰三角形的頂角平分

線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（“三線合一”）.

⑵判定：

①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形；

②有兩個角相等的三角形是等腰三角形（即“等角對等邊”）.

2.三邊相等的三角形叫做等邊三角形.

（1）性質(zhì)：具備等腰三角形的所有性質(zhì)；等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等于60°；等邊三角形是

軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線是對稱軸.

⑵判定：

①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；

②三個內(nèi)角都相等（或都等于60°）的三角形是等邊三角形；

③有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

3.直角三角形：

（1）性質(zhì)：

①直角三角形的兩銳角互余；

②在直角三角形中，30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半；

③在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.

-.選擇題（共11小題）

1.如圖，在aABC中，ΛB=AC,以點B為圓心，BC的長為半徑畫弧交AC于點C、E,再分別以點C與點

E為圓心，大于CE長的一半為半徑畫弧，兩弧交于點F,連接BF交AC于點D,若NA=50°,則/

4.如圖，^ABC中，AB=AC,AD平分NBAC與BC相交于點D,點E是AB的中點，點F是DC的中點，

連接EF交AD于點P.若AABC的面積是24,PD=I.5,則PE的長是（）

A.2.5B.2C.3.5D.3

5.如圖，AABC的面積為16cnΛAP垂直NB的平分線BP于P,則APBC的面積為（）

A.7cm'B.8cm2C.9cπΓD.IOcm2

6.如圖，AB=AC,AE=EC=CD,ZA=60o,若EF=2,則DF=（）

A.3B.4C.5D.6

7、已知一個等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40°,則這個等腰三角形頂角的度數(shù)為（）

A.50oB.130oC.50°或130°D.65°或130°

8.如圖，點E是AABC內(nèi)一點，ZAEB=90o,D是邊AB的中點，延長線段DE交邊BC于點F,點F是

邊BC的中點.若AB=6,EF=L則線段AC的長為（）

A.7B.1∑C.8D.9

2

9.如圖，以數(shù)軸上數(shù)1表示的點為圓心，正方形對角線的長為半徑畫弧交數(shù)軸于點P,則點P對應(yīng)的實

數(shù)為（）

C.√2-1D.1-√2

10.如圖，《九章算術(shù)》中的''折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，問折高者幾何？

意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），一陣風將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子

底部6尺遠，則折斷處離地面的高度為（）

A.3尺B.3.2尺C.3.6尺D.4尺

11.如圖，已知AB=AB在AAl的延長線上依次取A2、A3?A4……，并依次在三角形的外部作等腰三角

形，使AlBl=AlA2,AB=A2A3,A3B3=A:Al..，若NB=50°,則NA2022A2023B2022度數(shù)為（）

A.工B.工C.工D,工

Q2022Q2023Q2022Q2023

二.填空題（共2小題）

12.一等腰三角形一個外角是110°,則它的底角的度數(shù)為

13.如圖，4ABC是等邊三角形?P是NABC的平分線BD上一點，PE_LAB于點E,線段BP的垂直平分線

交BC于點F,垂足為點Q.若BF=2,則PE的長為.

三.解答題(共3小題)

14.如圖，在AABC中，ZABC,ZACB的平分線相交于點0,過點0的直線DE/7BC,分別交AB、AC于

點D、E.

(1)求證:DE=BD+CE.

(2)若AD=3,BD=CE=2,求BC的值.

15.如圖，在AABC中，ZACB=90°,AC=20,BC=15,CD,AB于點D.

求：(1)CD的長；

(2)BD的長.

16.如圖，Z?ABC的三邊分別為AC=5,BC=12,AB=13,將AABC沿AD折疊，使AC落在AB上.

(1)試判斷aABC的形狀，并說明理由；

(2)求折痕AD的長.

CDB

全等三角形

（1）判定兩個三角形全等的方法有：SSS.SAS.ASA、AAS.HL□

（2）全等三角形的變換基本型

模型圖示

平移型B^^￡AD

ADCFBCE

中心對稱型

今工:囪“

軸對稱圖形

旋轉(zhuǎn)型（手拉手模

型）

W廬

三垂直型AA

REBEL?CE

選擇題（共4小題）

1.已知圖中的兩個三角形全等，則Na的度數(shù)是（）

A.72B.60oC.58oD.50°

b

12

2.如圖，ZSABC絲Z?DBE,ZABC=80o,ZD=65o,則NC的度數(shù)為（）

A.20oB.25oC.30oD.35°

3.如圖，在aABC和ADEF中，ZB=ZDEF,AB=DE,添加一個條件后，仍然不能證明AABCgADEF,

這個條件可能是（）

A.ZA=ZDB.AC〃DFC.BE=CFD.AC=DF

4.如圖，點C為線段AE上一動點(不與點A,點E重合),在AE同側(cè)分別作等邊aABC和等邊aCDE,

AD與BE交于點O,AD與BC交于點P,BE與CD交于點Q,連接PQ,以下四個結(jié)論，①AD=BE;②CP

=CQ;③NBOD=I20°；④PQ〃AE,正確結(jié)論是()

A.①②③④B.①②③C.②③D.①③④

二.填空題(共1小題)

5.如圖，平面直角坐標系中，AABC之AFDE,若A點的坐標為(-3,1),B,C兩點的縱坐標均為-4,

D,E兩點在y軸上，則點F到y(tǒng)軸的距離為個單位.

三.解答題(共5小題)

6.如圖，已知AB=AC,ΛD=AE,ZBΛC=ZDAE,且B、D、E三點共線，

(1)證明：AABDgAACE;

(2)證明：Z3=Z1+Z2.

7.如圖，DE_LAB于點E,DF_LAC于點F,若BD=CD,BE=CF.

(1)求證：AD平分NBAC；

(2)請猜想AB+AC與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明.

8.已知，如圖，在四邊形ABCD中，ND=NB=90°,且AO平分NBAC,點0是BD的中點.

(1)求證：CO平分NACD；

(2)求證:AC=AB+CD.

9.已知，如圖，4ABC為等邊三角形，ΛE=CD,AD、BE相交于點P.

(1)求證：Z?AEBgZ?CDA;

(2)求NEPQ的度數(shù)；

(3)若BQLAD于Q,PQ=7,PE=3,求BE的長.

10.如圖1,直角三角形ABC和直角三角形DCE的直角頂點C重合，點D在斜邊AB上，AC=BC,CD=CE,

連接AE.

(1)求證:AE=BD.

(2)若BD=LΛD=3,求DE的長.

(3)如圖2,點F也在AB邊上，且在點A,D之間，若NDCF=45°,求證：AF2+BD2=DF2.

相似三角形

1.比例的基本性質(zhì)

(1)兩條線段的長度之比叫做兩條線段的比.

⑵在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段,簡

稱比例線段.

⑶若a：b=b:c或一=—,則b叫做a,c的比例中項.

(4)比例的基本性質(zhì)=*≠>ad=bc.

bɑ

(5)合比性質(zhì):一=一=-?-=

(6)等比性質(zhì)：

-=-(b+d+???+nWO)n-=::1:..

⑺黃金分割：如圖，點C為線段AB上一點,AC>BC,若AC2=AB?BC,則點C為線段ΛB的黃金分割點,AC=？AB

≈0.618AB,BC=-AB,---------------------------1

2AICIi

一條線段有2個黃金分割點.

(8)平行線分線段成比例定理：

①平行線分線段成比例定理：

三條平行線截兩條直線,所得的對應(yīng)線段成比例.

②推論：

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應(yīng)線段成比例.

2.相似三角形

(1)定義:對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形.

(2)相似三角形的判定定理

①相似三角形的判定定理1:兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；

②相似三角形的判定定理2:三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似；

③相似三角形的判定定理3:兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似；

④平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或延長線)相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；

⑤直角三角形被斜邊上的高分成的兩個三角形與原三角形相似.補充:若CD為RtΔΛBC斜邊上的高(如

圖)，則RtΔABC^RtΔACD^RtΔCBD,且AC2=AD?AB,CD2=AD?BD,BC2=BD?AB.

⑶性質(zhì)：

①相似三角形的對應(yīng)角相等；

②相似三角形的對應(yīng)線段(邊、高、中線、角平分線)成比例；

③相似三角形的周長比等于相似比,面積比等于相似比的平方.

3.相似多邊形

⑴定義：各角對應(yīng)相等，各邊對應(yīng)成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形;相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相

似比.

(2)性質(zhì)：

①相似多邊形的對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例.

②相似多邊形的周長比等于相似比,面積比等于相似比的平方.

4.圖形的位似

⑴位似圖形定義：如果兩個圖形不僅相似,而且每組對應(yīng)點所在直線都經(jīng)過同一點，那么這樣的兩個圖

形叫做位似圖形,這個點叫做位似中心,此時相似比又稱位似比.

(2)位似圖形的性質(zhì)：位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離比等于位似比,位似圖形周長的比等

于位似比,面積比等于位似比的平方.

-.選擇題（共5小題）

1.如圖，^OAB和aOCD是以點O為位似中心的位似圖形，已知A（-4,2）,aOAB與aOCD的相似比

為2：1,則點C的坐標為（）

A.(2,-1)B.(-2,1)C.(1,-2)D.(-1,2)

2.如圖，AB〃CD〃EF,AF與BE相交于點G,且AG=2,GD=I,DF=5,貝∣JCE:BC=()

A.5：3B.1：3C.3：5D.2：3

3.一般認為，如果一個人的肚臍以上的高度與肚臍以下的高度符合黃金分割，則這個人身材好.如圖，

是一個參加空姐選拔的選手的實際身高情況，如果要使身材好，那么她穿鞋子的高度最好為（）

cm（精確到Iem,參考數(shù)據(jù)：黃金分割比為近二！七0.618）.

2

A.5B.8C.10D.12

4.如圖，在平行四邊形ABCD中，延長CD至點E,使DE=DC,連接BE交AC于點F,則也變的值是（）

SZkCEF

A.1B.1C.9D.1

9442

5.如圖，D、E分別是aABC的邊AB、AC的中點，若AADE的面積為1,則四邊形DECB的面積為（）

A

A.2B.3C.4D.6/A

二.填空題（共4小題）/\

6.在陽光下，高為6m的旗桿在地面上的影長為4m,在同一時刻，測得附近建筑影長為20m,

則這座建筑物的高度為m.

7.如圖，正方形ABCD中，P為AD上一點，PE_LBP交BC的延長線于點E,交CD于點F,若AB=6,AP

=4,則CE的長為.

8.如圖，1”L分別是反比例函數(shù)y=K和y=-2在第二象限內(nèi)的圖象，點A在L上，線段OA交1?

XX

于點B,作ACJ_x軸于點C,交k于點D,連接OD并延長交L于點E,作EF_LX軸于點F,若世上，

AE3

則k的值是.

9.如圖1,在aABC中，ZB=36o,動點P從點A出發(fā)，沿折線AfBfC勻速運動至點C停止.若點P

的運動速度為ICm∕s,設(shè)點P的運動時間為t（s）,AP的長度為y（cm）,y與t的函數(shù)圖象如圖2

所示.當AP恰好平分NBAC時t的值為

三.解答題(共3小題)

10.如圖，四邊形ACBD內(nèi)接于。O,AB是OO的直徑，CD平分NACB交AB于點E,點P在AB延長線上,

ZPCB=ZBDC.

(1)求證：PC是Θ0的切線；

(2)求證：PE2=PB?PA.

11.如圖，在矩形ABCD中，ΛB=5,BC=IO,點E是邊BC上一點(點E不與B,C重合)，過點E作EF

_LDE交AB于點F,連接DF.

(1)當BE=2時，求tanN印F的值；

(2)當AF=EF時，求NADF的度數(shù)；

(3)若點F為AB的中點，求BE的長.

12.如圖，AB是OO的直徑，點C是OO上異于A、B的一點，點D是NABC角平分線上一點，連接AD、

BD,其中BD交AC于點E,交Θ0于點F,且點F是DE的中點.

(1)求證：直線AD是。O的切線；

(2)若點E是BF的中點，求SinNCAB的值；

(3)若AB=13,BC=5,求BE的長.

三角函數(shù)

1、銳角三角函數(shù)

1.在直角三角形中，一個銳角的對邊與斜邊的比叫做這個銳角的正弦.銳角A的正弦記作,SinA.

2.在直角三角形中，一個銳角的鄰邊與斜邊的比叫做這個銳角的余弦.銳角A的余弦記作CoSA.

3.在直角三角形中，一個銳角的對邊與鄰邊的比叫做這個銳角的正切..銳角A的正切記作

IanA.

..NA的對邊a

正弦:SlnA='~~而市,=一

斜邊C

NA的鄰邊b

余弦:CoSAλ=——7—=-

斜邊C

正切:

NA的鄰邊b

常見三角函數(shù)值:

?7W

三角X30°45°60°

?√2√3

Sina

2~T^2^

?√2?

CoSa

T~T2

√3

tana1√3

T

2、三角函數(shù)的應(yīng)用

（1）仰角、俯角

如圖①，在測量時，視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫做仰角，在.水平線下方的叫

做俯角.

視線

'A

線，、娜水平線

西F匕

I、視線

圖①南

⑵坡度（坡比）、坡角圖③

如圖②，坡面的高度h和水平距離1的比叫坡度（或坡比），即i=tanα=:,坡面與水平面的夾角

ɑ叫坡角.

⑶方向角

指南或指北的方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角.如圖③，OA是表示北

偏東60」方向'的一條射線.

注意：東北方向指北偏東45°方向，東南方向指南偏東45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南

方向指南偏西4。5°方向.我們一般畫圖的方位為上北下南，左西右東。

-.選擇題（共4小題）

1.在RtAABC中，ZC=90o,若COSA=工，則NA的大小是（）

2

A.30oB.45oC.60oD.75°

2.如圖，要測量小河兩岸相對的兩點P,A的距離，可以在小河邊取PA的垂線PB上的一點C,測得PC

=IoO米，ZPCA=32o,則小河寬PA等于（）

A.100sin32o米B.100sin58o米C.100tan32o米D.100tan58o米

2345

3.如圖，在平面直角坐標系中，點A,B分別在X軸負半軸和y軸正半軸上，點C在OB上，OC：OB=I:

3,連接AC,過點。作OP〃AB交AC的延長線于點P.若P（1,1）,則tan/ACO的值是（）

A.1B.3c.AD.2

32

4.如圖，點A、B、0都在格點上,則NAOB的正切值是（)_

A.漢適B.1C.AD.叵

102310

二.填空題（共3小題）

5.攔水壩的橫斷面如圖所示，迎水坡AB的坡比是1：√3,壩高BC=8m,則坡面AB

6.計算6sin45o-2cos60o=

7.將一副學生常用的三角板如圖擺放在一起，組成一個四邊形ABCD,連接AC,探究tanZACD的值

為?

三.解答題（共2小題）

8.數(shù)學活動小組到某廣場測量標志性建筑AB的高度.如圖，他們在地面上C點測得最高點A的仰角為

37°,再向前70m至D點，又測得最高點A的仰角為45°,點C,D,B在同一直線上，求該建筑物

AB的高度.（參考數(shù)據(jù)：sin37o,cos37°弋2，tan37oQ旦）

554

9.虎門外語學校教師宿舍AB后面有一座山城，其坡度為i=√3,山坡坡面上E點處有一休息亭，測

得山坡坡腳C與樓房水平距離BC=20米，與亭子距離CE=16米，數(shù)學周老師從樓房頂測得E點的俯

角為45°.

求：

（1）山城坡角NDCF；

（2）教師宿舍AB的高度.

人教版2022-2023中考數(shù)學第一輪復習三角形答案

三角形

一.選擇題（共6小題）

1.將一副三角板的直角頂點重合按如圖方式放置，其中BC〃AE,則/DFC的度數(shù)為（)

E

A.60oB.45oC.75oD.55o

【分析】依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到NBCE=NE=30°,再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到NDFC=NB+NBCE,計算

即可.

【解答】解：VBC/7AE,

ΛZBCE=ZE=30o,

VZB=45o,

ΛZDFC=ZB+ZBCE=45o+30°=75°.

故選：C.

【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是運用兩直線平行，內(nèi)錯角相等.

2.如圖，直線a〃b,等邊AABC的頂點C在直線b上，若Nl=42°,則N2的度數(shù)為()

A.92oB.102oC.112oD.114°

【分析】根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出NA=NACB=60°,根據(jù)平行線的性質(zhì)求出N2的度數(shù).

【解答】解：YaABC是等邊三角形，

ΛZA=ZACB=60o,

VZl=42°,

ΛZADE=420,

ΛZAED=180°-60°-42°=78°,

ΛZAEF=180o-ZAED=180°-78°=102°,

Y直線a〃直線b,

ΛZ2=ZAEF,

ΛZ2=102o,

故選：B.

【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵掌握兩直線平行，同位角相等.

3.如圖所示，在AABC中，ZACB=90o,ZBAC=750,D為AB中點且DE_LAB,交BC于點E,AC=8cm,則BE等于

()

A.4cmB.8cmC.12cmD.16cm

【分析】先利用直角三角形的兩個銳角互余可得NB=15°,再利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得EA=EB,從而可得

ZB=ZBAE=15°,然后利用三角形的外角性質(zhì)可得NAEC=30°,再在RtZXAEC中，利用含30度角的直角三角形

可求出AE的長，即可解答.

【解答】解：VZACB=90o,ZBAC=75°,

ΛZB=90o-ZBAC=15°,

?.?D為AB中點且DEj_AB,

???DE是AB的垂直平分線，

ΛEA=EB,

???NB=NBAE=15°,

ΛZAEC=ZB+ZBAE=30o,

VAC=8cm,

.β.AE=2AC=16cm,

/.BE=AE=16cm,

故選：D.

【點評】本題考查了含30度角的直角三角形，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握含30度角的直角三角形，以及線

段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.已知三角形三邊為a、b、c,其中a、b兩邊滿足;a-6+√彘=0,那么這個三角形的最大邊C的取值范圍是（）

A.c>8B.8<c<14C.6<c<8D.2<c<14

【分析】根據(jù)兩個非負數(shù)的和是0,可以求得a,b的值.因而根據(jù)三角形的三邊關(guān)系就可以求得第三邊的范圍.

【解答】解：根據(jù)題意得：a-6=0,b-8=0,

解得a=6,b=8,

因為C是最大邊，所以8<c<6+8,

即8<c<14.

故選：B.

【點評】本題考查了三角形三邊關(guān)系和非負數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理結(jié)合題目的已知條件列出不等式，

然后解不等式即可.

5.如圖，RtZSABC中，ZC=90o,BD平分NABe交AC于點D,點E為AB的中點，若AB=12,CD=3,則ADBE的面

積為（）

【分析】過D作DF_LAB于F,由角平分線的性質(zhì)求出DF,根據(jù)三角形的面積公式即可求出ADBE的面積.

【解答】解：過D作DFLAB于F,

VZC≈90o,

ΛDC±BC,

YBD平分NABC,CD=3,

ΛDF=CD=3,

；點E為AB的中點,AB=12,

BE=6,

.?ADBE的面積=」BE?DF=」X6X3=9,

22

故選：C.

【點評】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的面積公式，掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解決問

題的關(guān)鍵.

6.如圖，在aABC中，DE是AC的垂直平分線，AC=8cm,且aABD的周長為16cm,則aABC的周長為（）

BfD

A.24cmB.21cmC.18cmD.16cm

【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到DA=DC,根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案.

【解答】解：:DE是AC的垂直平分線，

ΛDA=DC,

,.?AABD的周長為16cm,

AB+BD+DA=AB+BD+DC=AB+BC=16cm,

,△ABC的周長=AB+BC+AC=16+8=24(cm),

故選：A.

【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解

題的關(guān)鍵.

二.填空題(共2小題)

7.已知：如圖所示，在aABC中，點D,E,F分別為BC,AD,CE的中點，且SA?BC=4C√,則陰影部分的面積為1cπΛ

【分析】易得AABD,AACD為AABC面積的一半，同理可得ABEC的面積等于AABC面積的一半，那么陰影部分的

面積等于aBEC的面積的一半.

【解答】解：?.?D為BC中點，根據(jù)同底等高的三角形面積相等，

SAABD=Szu0>=-^?SzkABc=-??X4=2(Cm),

22

同理SABDlJ=SACDE=a?SzιBCE=1?X2=l(Cnr),

22

?'?SΔBCE=2(Cm),

?.?F為EC中點，

?'?S?BEF--^-S?BCE--?-X2—1(cm).

22

故答案為1.

【點評】此題考查了三角形中線的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是知道同底等高的三角形面積相等.

8.如圖，在AABC中，NB與NC的平分線交于點P.若NBPC=I30°,則/A=80°.

【分析】據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°,求出NPBC+NPCB的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義，求得NABC+NACB.在

△ABC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可求出NBAC的度數(shù).

【解答】解：?ΔPBCΦ,VZBPC=130°,

ΛZPBC+ZPCB=180°-130°=50°.

VPB?PC分別是/ABC和NACB的角平分線，

.?.∕ABC+NACB=2(ZPBC+ZPCB)=2X50°=100°,

在aABC中，NA=I80°-(ZABC+ZACB)=180°-IOO0=80°.

故答案為：80°.

【點評】本題主要考查了利用三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義求解，熟練掌握定理和角平分線的定義是解題

的關(guān)鍵.

等腰三角形及直角三角形

選擇題（共11小題）

1.如圖，在aABC中，AB=AC,以點B為圓心，BC的長為半徑畫弧交AC于點C、E,再分別以點C與點E為圓心，大

于CE長的一半為半徑畫弧，兩弧交于點F,連接BF交AC于點D,若NA=50°,則NCBD的大小是（）

A.25oB.40oC.50oD.65°

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出NACB,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求

出NCBE,即可解決問題.

【解答】解：YAB=AC,NA=解°,

.*.ZACB=（180o-50o）÷2=65o,

由題意可知，BC=BE,

.?.NBEC=NACB=65°,

NCBE=180°-65oX2=50°,

...NCBD=工NCBE=25°.

2

故選:A.

【點評】本題考查基本作圖、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用知識解決問題，

屬于中考?？碱}型.

2.等腰三角形的一邊為4,另一邊為9,則這個三角形的周長為（）

A.17B.22C.13D.17或22

【分析】本題可先根據(jù)三角形三邊關(guān)系，確定等腰三角形的腰和底的長，然后再計算三角形的周長.

【解答】解：當腰長為4時，則三角形的三邊長為：4、4、9；

V4+4<9,不能構(gòu)成三角形；

因此這個等腰三角形的腰長為9,則其周長=9+9+4=22.

故選：B.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；對于己知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情

況，分類進行討論，還應(yīng)驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，DE=Il,FG=3,BF、CG分別平分/ABC、ZACB,DE∕/BC,則BD+CE=（）

A.3B.11C.7D.8

【分析】根據(jù)角平分線的定義和等腰三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：；BF、CG分別平分NABC、ZACB,

.?.∕DBF=NCBF,ZECG=ZBCG,

VDE√BC,

ZDFB=NCBF,ZEGC=ZECG,

ZDBF=ZDFB,ZEGC=ZECG,

.?.BD=DF,EG=CE,

ΛBD+CE=DF+EG=DE-FG=Il-3=8,

故選：D.

【點評】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定和性

質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，AABC中，AB=AC,AD平分NBAC與BC相交于點D,點E是AB的中點，點F是DC的中點，連接EF交AD于

點P.若aABC的面積是24,PD=L5,則PE的長是（）

【分析】如圖，過點E作EG±AD于G,證明aEGP會aFDP,得PG=PD=I.5,由三角形中位線定理可得AD的長,

由三角形ABC的面積是24,得BC的長，最后由勾股定理可得結(jié)論.

【解答】解：如圖，過點E作EG,AD于G,

VAB=AC,AD平分NBAC,

ΛAD±BC,BD=CD1

.?.NPDF=NEGP=90°,EG〃BC,

二點E是AB的中點,

.?.G是AD的中點,

ΛEG=ABD,

2

?.?F是CD的中點，

.?.DF=ACD,

2

ΛEG=DF,

VZEPG-ZDPF,

ΛΔEGP^ΔFDP(AAS),

ΛPG=PD=I.5,

ΛAD=2DG=6,

?..△ABC的面積是24,

.?.A?BC?AD=24,

2

ΛBC=48÷6=8,

.?.DF=ABC=2,

4

.?.EG=DF=2,

由勾股定理得：PE=√22+1.52=2.5.

故選：A.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積等知識,

作輔助線構(gòu)建全等三角形是解本題的關(guān)鍵.

5.如圖，Z?ABC的面積為16CΠΛAP垂直NB的平分線BP于P,則aPBC的面積為()

【分析】延長AP交BC于E,根據(jù)AP垂直/B的平分線BP于P,即可求出AABP絲ABEP,又知aAPC和aCPE等底

同高，可以證明兩三角形面積相等，即可證明三角形PBC的面積.

【解答】解：延長AP交BC于E,

VAP垂直NB的平分線BP于P,

.?.NABP=NEBP,

又?.?BP=BP,ZAPB=ZEPB=90°,

Λ?ABP^ΔEBP,

-SAVBP=SABEP,AP=PE,

.?.△APC和ACPE等底同高,

?,?S?ΛPC=S?PCE>

2

?*?SΔPBC-SΔPBE+SΔPCE--??SΛΛBC=-?-×16=8(cm),

22

故選：B.

【點評】本題主要考查面積及等積變換的知識點.證明出三角形PBC的面積和原三角形的面積之間的數(shù)量關(guān)系是解

題的難點.

6.如圖，AB=AC,AE=EC=CD,NA=60°,若EF=2,則DF=()

A.3B.4C.5D.6

【分析】過點E作EGLBC,交BC于點G,先證明AABC是等邊三角形，再證明NAFE=90°,然后利用等腰三角形

的“三線合一”性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)定理求得EG的長，隨后利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得DE的長，

最后將EF與DE相加即可.

【解答】解：如圖，過點E作EGLBC,交BC于點G

VAB=AC,ZA=60σ,

ΛΔABC是等邊三角形，

ΛZACB=60o,

VEC=CD,

NCED=∕CDE=?1/ACB=30°，

2

ΛZAEF=30°,

ΛZAFE=90o,BPEF±AB,

?..△ABC是等邊三角形，AE=CE,

,BE平分NABC,

.?.EG=EF=2,

在RtZJ）EG中,DE=2EG=4,

ΛDF=EF+DE=2+4=6;

方法二、

VΛB=AC,ZA=60o,

.β.ΔABC是等邊三角形，

ΛZACB=60o,

VEC=CD,

NCED=∕CDE=?1∕ACB=3O°,

2

ZkABC是等邊三角形，AE=CE,

BE平分NABC,

ΛZABE=ZCBE=30o=ZCDE,

ΛBE=DE,ZBFD=90o,

.?.BE=2EF=4=DE,

ΛDF=DE+EF=6;

故選：D.

【點評】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)及含30度角的直角三角形的性質(zhì),

熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵.

7、已知一個等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40°,則這個等腰三角形頂角的度數(shù)為（）

A.50oB.130oC.50°或130°D.65°或130°

【解答】解：①如圖L等腰三角形為銳角三角形，

VBDlAC,NABD=40°,

ΛZA=50β.

即頂角的度數(shù)為50°.

②如圖2,等腰三角形為鈍角三角形，

?'BD±ACtNDBA=40,

.?.∕BAD=50°,

ΛZBAC=130o.

故選：C.

8.如圖，點E是AABC內(nèi)一點，ZAEB=90o,D是邊AB的中點，延長線段DE交邊BC于點F,點F是邊BC的中點.若

AB=6,EF=I,則線段AC的長為（）

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出DE,由EF=I,得到DF,再根據(jù)三角形中位線定理即可求出線段AC的長.

【解答】解：?.?NAEB=90°,D是邊AB的中點，AB=6,

ΛDE=AAB=3,

2

ΛDF=DE+EF=3+1=4.

：D是邊AB的中點，點F是邊BC的中點,

.?.DF是AABC的中位線，

.?.AC=2DF=8.

故選：C.

【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，三角形中位線定理，求出DF的長是解題的

關(guān)鍵.

正方形對角線的長為半徑畫弧交數(shù)軸于點P，則點P對應(yīng)的實數(shù)為（）

C.√2-1D.l-√2

【分析】先根據(jù)勾股定理求出正方形對角線的長，再根據(jù)負半軸上點的坐標特點求出P點坐標即可.

【解答】解：???正方形的邊長為1,

.?.其對角線長=√i2+12=√5,

Λ0P=√2-1,

???點P在數(shù)軸的負半軸上，

...點P對應(yīng)的實數(shù)為1-√2.

故選：D.

【點評】本題考查的是勾股定理，實數(shù)與數(shù)軸，熟知實數(shù)與數(shù)軸上各點是一一對應(yīng)關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.

10.如圖，《九章算術(shù)》中的“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，問折高者幾何？意思是：一

根竹子，原高一丈（一丈=十尺），一陣風將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部6尺遠，則折斷處離

地面的高度為（）

3.2尺C.3.6尺D.4尺

【分析】竹子折斷后剛好構(gòu)成直角三角形，設(shè)竹子折斷處離地面X尺，則斜邊長為（IO-X）尺，利用勾股定理解

題即可.

【解答】解：設(shè)竹子折斷處離地面X尺，則斜邊長為（IO-X）尺，

根據(jù)勾股定理得：X2+62=（10-X）2,

解得：x=3.2,

，折斷處離地面的高度為3.2尺，

故選：B.

【點評】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用題目信息構(gòu)造直角三角形，從而運用勾股定理解題.

11.如圖,已知AB=AB在AAl的延長線上依次取A2、A3、A’……，并依次在三角形的外部作等腰三角形,使AB=AiA2,

A2B2=A2A3,A3B3—A3A4........）若NB=50,貝NA2022A2023B2022度數(shù)為（）

人第B?弱C65?！銮?/p>

'22022

【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出NBAlA的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)分別求出N

B1A2A1,NB2A3A2及NB3A4A3…的度數(shù)，從而找出規(guī)律.

o

【解答】解：?.?在aABAi中，ZB=30,AB=A1B,

oo

ΛZBA1A=A(180-ZB)=65,

2

<A]A2=AB,NBAlA是AAiAzB]的外角，

ΛZB1A2A1=A×ZBA1A=JLX75°:

22

O

/.ZB2A3A2=A×A×6