4.5.3 函數(shù)模型的應(yīng)用解析版

4.5.3《函數(shù)模型的應(yīng)用》分層練習(xí)考查題型一根據(jù)實(shí)際問(wèn)題增長(zhǎng)率選擇合適的函數(shù)模型1．在一次物理實(shí)驗(yàn)中某同學(xué)測(cè)量獲得如下數(shù)據(jù)：123455.38011.23220.18434.35653.482下列所給函數(shù)模型較適合的是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】由數(shù)據(jù)中y隨x的變化情況，分析適用的函數(shù)模型.【詳解】由所給數(shù)據(jù)可知y隨x的增大而增大，且增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，而A中的函數(shù)增長(zhǎng)速度保持不變，B中的函數(shù)增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢，C中的函數(shù)是隨x的增大而y減小，D中的函數(shù)符合題意.故選:D．2．有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下:t1.993.004.005.106.12V1.54.047.51218.01現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是（）A．B．C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，作出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，如圖所示，結(jié)合選項(xiàng)，函數(shù)的增長(zhǎng)速度越來(lái)越緩慢，不符合題意；函數(shù)隨著的增大，不斷減小，不符合題意；函數(shù)的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，符合題意；函數(shù)增長(zhǎng)速度不變，不符合題意；所以最接近的一個(gè)函數(shù)是，故選：C3．某同學(xué)高三階段12次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)呈現(xiàn)前幾次與后幾次均連續(xù)上升，中間幾次連續(xù)下降的趨勢(shì)．現(xiàn)有三種函數(shù)模型：①，②，③(其中為正常數(shù)，且).若要較準(zhǔn)確反映數(shù)學(xué)成績(jī)與考試次序關(guān)系，應(yīng)選作為模擬函數(shù)(填序號(hào))；若，則所選函數(shù)的解析式為．【答案】③【詳解】由于指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)迅速，而對(duì)數(shù)型函數(shù)增長(zhǎng)緩慢，因此滿足先上升后下降再上升的是，∵，且，∴，解得，∴.故答案為：③；4．加快縣域范圍內(nèi)農(nóng)業(yè)轉(zhuǎn)移人口市名化，是“十四五”期間我國(guó)城鎮(zhèn)化和城市化戰(zhàn)略的實(shí)踐重點(diǎn)．某高二數(shù)學(xué)興趣小組，通過(guò)查找歷年數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)本縣城區(qū)常住人口每年大約以的增長(zhǎng)率遞增，若要據(jù)此預(yù)測(cè)該縣城區(qū)若干年后的常住人口，則在建立模型階段，該小組可以選擇的函數(shù)模型為（

）A．B．且C．D．且【答案】B【詳解】由題意可知，該縣城區(qū)常住人口每年大約以的增長(zhǎng)率遞增，則該縣區(qū)城區(qū)常住人口與年份的函數(shù)關(guān)系為指數(shù)型函數(shù).故選：B.5.改革開(kāi)放四十周年紀(jì)念幣從2018年12月5日起可以開(kāi)始預(yù)約．通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，得到該紀(jì)念章每1枚的市場(chǎng)價(jià)y（單位：元）與上市時(shí)間x（單位：天）的數(shù)據(jù)如下：上市時(shí)間x（天）81032市場(chǎng)價(jià)y（元）826082(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)：①；②中選取一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)刻畫(huà)紀(jì)念章市場(chǎng)價(jià)y與上市時(shí)間x的變化關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)利用你選取的函數(shù)，求紀(jì)念章市場(chǎng)價(jià)的最低價(jià)格及其上市天數(shù)．【答案】(1)選擇模型，理由見(jiàn)解析；(2)10元，20天.【詳解】（1）由表格可知，隨著上市時(shí)間的增加，市場(chǎng)價(jià)先減少、后增大，而函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，嚴(yán)格單調(diào)遞增或嚴(yán)格單調(diào)遞減，故不符合題意，所以選擇模型．（2）把，代入，得到：，解得，故．所以，上市天數(shù)為20時(shí)，市場(chǎng)價(jià)最低，最低價(jià)格為10元．考查題型二不同函數(shù)模型的應(yīng)用1．2020年國(guó)內(nèi)航空公司規(guī)定:旅客乘機(jī)時(shí)，隨身攜帶行李箱的長(zhǎng)，寬，高三者之和不超過(guò)，否則行李箱就需托運(yùn).某廠家生產(chǎn)符合該規(guī)定的行李箱，已知行李箱的長(zhǎng)為，寬比高少，則符合此規(guī)定的行李箱的最大容積為.（忽略箱體厚度）

【答案】44000【詳解】根據(jù)題意可設(shè)行李箱的長(zhǎng)，寬，高分別為；則可知，且；整理可得，，解得；行李箱的容積為，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，即時(shí)體積最大；此時(shí).故答案為：2.小明的父親飯后出去散步，從家中走20分鐘到一個(gè)離家900米的報(bào)亭看20分鐘報(bào)紙后，用20分鐘返回家里，下面圖形中能表示小明的父親離開(kāi)家的時(shí)間x與距離y之間的關(guān)系的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【詳解】小明父親行走的前20分鐘路程一直在增加，到900米之后停下看報(bào)紙，20分鐘至40分鐘路程不增加，40分鐘至60分鐘回家過(guò)程中，路程減少至0，因此A中圖象符合題意.故選：A3.已知某種果蔬的有效保鮮時(shí)間（單位：小時(shí)）與儲(chǔ)藏溫度（單位：）近似滿足函數(shù)關(guān)系（，為常數(shù)，為自然對(duì)數(shù)底數(shù)），若該果蔬在的保鮮時(shí)間為216小時(shí)，在的有效保鮮時(shí)間為8小時(shí)，那么在時(shí)，該果蔬的有效保鮮時(shí)間大約為小時(shí).【答案】【詳解】依題意，兩式相除得，則，所以當(dāng)時(shí)，小時(shí).故答案為：4.把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來(lái)的溫度是，空氣的溫度是，那么后物體的溫度（單位：）可由公式求得，其中是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正常數(shù)．現(xiàn)有的物體，放在的空氣中冷卻．后物體的溫度是，那么該物體的溫度降至還需要冷卻的時(shí)間約為（參考數(shù)據(jù)：，）A．B．C． D．【答案】D【詳解】依題意，由的物體，放在的空氣中冷卻，后物體的溫度是，得，解得，該物體的溫度降至需要冷卻的時(shí)間為，則，于是，兩邊取對(duì)數(shù)得，所以該物體的溫度降至還需要冷卻的時(shí)間約為.故選：D考查題型三利用給定函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題1.研究發(fā)現(xiàn)，X射線放射儀在使用時(shí)，其發(fā)射器發(fā)出的射線強(qiáng)度、接收器探測(cè)的射線強(qiáng)度與射線穿透的介質(zhì)厚度（單位：毫米）滿足關(guān)系式，其中正實(shí)數(shù)為該種介質(zhì)的吸收常數(shù)．工作人員在測(cè)試某X射線放射儀時(shí)，向發(fā)射器與接收器之間插入了厚5毫米的金屬板，發(fā)現(xiàn)接收器探測(cè)到的射線強(qiáng)度比插入金屬板前下降了90%．現(xiàn)想讓接收器探測(cè)到的射線強(qiáng)度會(huì)比插入金屬板前下降%．則需要向發(fā)射器與接收器之間插入金屬板的厚度至少為（

）A．毫米 B．毫米 C．毫米 D．毫米【答案】D【詳解】向發(fā)射器與接收器之間插入了厚5毫米的金屬板，發(fā)現(xiàn)接收器探測(cè)到的射線強(qiáng)度比插入金屬板前下降了%，則，有，接收器探測(cè)到的射線強(qiáng)度會(huì)比插入金屬板前下降%時(shí)，，解得.則需要向發(fā)射器與接收器之間插入金屬板的厚度至少為毫米.故選：D2.把某種物體放在空氣中冷卻，若該物體原來(lái)的溫度是，空氣的溫度是，則后該物體的溫度可由公式求得．若將溫度分別為和的兩塊物體放入溫度是的空氣中冷卻，要使得這兩塊物體的溫度之差不超過(guò)，至少要經(jīng)過(guò)（

）（?。海〢． B． C． D．【答案】C【詳解】的物塊經(jīng)過(guò)后的溫度的物塊經(jīng)過(guò)后的溫度．要使得這兩塊物體的溫度之差不超過(guò)，即須使，解得，即至少要經(jīng)過(guò)5.52min．故選：C.3.某藥廠研制出一種新型藥劑，投放市場(chǎng)后其廣告投入x(萬(wàn)元)與藥品利潤(rùn)y(萬(wàn)元)存在的關(guān)系為(為常數(shù))，其中x不超過(guò)5萬(wàn)元.已知去年投入廣告費(fèi)用為3萬(wàn)元時(shí)，藥品利潤(rùn)為27萬(wàn)元，若今年投入廣告費(fèi)用5萬(wàn)元，預(yù)計(jì)今年藥品利潤(rùn)為萬(wàn)元.【答案】125【詳解】因?yàn)橥度霃V告費(fèi)用為3萬(wàn)元時(shí)，藥品利潤(rùn)為27萬(wàn)元，所以，即當(dāng)今年投入廣告費(fèi)用5萬(wàn)元，預(yù)計(jì)今年藥品利潤(rùn)為，故答案為：4.研究表明，過(guò)量的碳排放會(huì)導(dǎo)致全球氣候變暖等問(wèn)題，因而減少碳排放具有深遠(yuǎn)的意義．為了響應(yīng)國(guó)家節(jié)能減排的號(hào)召，2023年某企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)新能源汽車(chē)生產(chǎn)設(shè)備．通過(guò)市場(chǎng)分析，全年投入固定成本2500萬(wàn)元，每生產(chǎn)（單位：百輛）新能源汽車(chē)需另投入成本（單位：萬(wàn)元），且如果每輛車(chē)的售價(jià)為5萬(wàn)元，且假設(shè)全年內(nèi)生產(chǎn)的車(chē)輛當(dāng)年能全部銷售完．（注：利潤(rùn)＝銷售額－成本）(1)求2023年的利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)2023年的年產(chǎn)量為多少百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn)．【答案】(1)；(2)100百輛，最大利潤(rùn)為1800萬(wàn)元．【詳解】（1）∵∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．故（2）由（1）得當(dāng)時(shí)，，∴；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故．∵，故當(dāng)2023年的年產(chǎn)量為100百輛時(shí)，該企業(yè)所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為1800萬(wàn)元．考查題型四建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題1.某市年國(guó)民生產(chǎn)總值為億元，計(jì)劃在今后的年里，平均每年增長(zhǎng)，問(wèn)年該市國(guó)民生產(chǎn)總值可達(dá)億元．（精確到億元）【答案】【詳解】設(shè)該市國(guó)民生產(chǎn)總值在年后的第年為億元，則：第年：，第年：，，第年：，第年：（億元）．故答案為：.2.一天，小明從家出發(fā)勻速步行去學(xué)校上學(xué)．幾分鐘后，在家休假的爸爸發(fā)現(xiàn)小明忘帶數(shù)學(xué)書(shū)，于是爸爸立即勻速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到書(shū)后以原速的快步趕往學(xué)校，并在從家出發(fā)后23分鐘到校（小明被爸爸追上時(shí)交流時(shí)間忽略不計(jì)）．兩人之間相距的路程y（米）與小明從家出發(fā)到學(xué)校的步行時(shí)間x（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則小明家到學(xué)校的路程為米．

【答案】2080【詳解】解：設(shè)小明原速度為x（米/分鐘），則拿到書(shū)后的速度為1.25x（米/分鐘），則家校距離為，設(shè)爸爸行進(jìn)速度為y（米/分鐘），由題意及圖形得：，解得：∴小明家到學(xué)校的路程為：（米）.故答案為：2080．3.為了方便進(jìn)行核酸檢測(cè)，某市擬建造一批外形為長(zhǎng)方體的核酸檢測(cè)工作房，如圖所示．房子的高度為，占地面積為，墻體和的造價(jià)均為800元，墻體和的造價(jià)均為1200元，地面和房頂?shù)脑靸r(jià)共20000元．則一個(gè)這樣的工作房的總造價(jià)最低為元．【答案】48800【詳解】設(shè)，，則，則這樣的工作房總造價(jià)為，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以一個(gè)這樣的工作房的總造價(jià)最低為48800元.故答案為：48800.4.某商人購(gòu)貨，每件貨物的進(jìn)價(jià)已按原價(jià)a扣去25%，他希望對(duì)貨物定一個(gè)新價(jià)，以便按新價(jià)讓利20%銷售后仍可獲售價(jià)25%的利潤(rùn)，則此商人經(jīng)營(yíng)這種貨物的件數(shù)x與按新價(jià)讓利總額y之間的函數(shù)關(guān)系式是.【答案】.【詳解】設(shè)每件貨物的新價(jià)為b，則售價(jià)為，進(jìn)價(jià)為，依題意，每件獲利，解得，所以.故答案為：1.某企業(yè)用1960萬(wàn)元購(gòu)得一塊空地，計(jì)劃在該空地建造一棟（，）層，每層2800平方米的樓房．經(jīng)測(cè)算，該樓房每平方米的平均建筑費(fèi)用為（單位：元）．若該樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用不超過(guò)2000元，（注：綜合費(fèi)用＝建筑費(fèi)用＋購(gòu)地費(fèi)用），則該樓房最多建的層數(shù)為（

）A．11 B．8 C．12 D．10【答案】C【詳解】設(shè)該樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用為元，則，即，則，解得．因?yàn)椋栽摌欠孔疃嘟?2層．故選：C.2.今年月日，日本不顧國(guó)際社會(huì)的強(qiáng)烈反對(duì)，將福島第一核電站核污染廢水排入大海，對(duì)海洋生態(tài)造成不可估量的破壞.據(jù)有關(guān)研究，福島核污水中的放射性元素有種半衰期在年以上；有種半衰期在萬(wàn)年以上.已知某種放射性元素在有機(jī)體體液內(nèi)濃度與時(shí)間（年）近似滿足關(guān)系式為大于的常數(shù)且.若時(shí)，；若時(shí)，.則據(jù)此估計(jì)，這種有機(jī)體體液內(nèi)該放射性元素濃度為時(shí)，大約需要（）（參考數(shù)據(jù):）A．年 B．年 C．年 D．年【答案】B【詳解】由題意得:，解得，所以，當(dāng)時(shí)，得，即，兩邊取對(duì)數(shù)得，所以，即這種有機(jī)體體液內(nèi)該放射性元素濃度為時(shí)，大約需要年.故選：B.3.許多建筑物的地板是用正多邊形的地磚鋪設(shè)而成的（可以使用多種正多邊形的地磚）.用正多邊形地磚可以鋪出很多精美的圖案，如圖.若用邊長(zhǎng)相等的正多邊形地磚鋪滿地面，且保持每塊地磚完整不受損壞，則至少使拼接在同一頂點(diǎn)處的所有正多邊形地磚的內(nèi)角和恰為.現(xiàn)用正多邊形地磚給一個(gè)地面面積較大的客廳鋪設(shè)地板（所有類型地磚邊長(zhǎng)均相等），要求每塊地磚完整不受損壞，鋪設(shè)地磚后無(wú)空余地面（不考慮客廳墻角和周邊地帶），每個(gè)頂點(diǎn)周?chē)挥?塊正多邊形地磚拼接在一起，則在某一頂點(diǎn)處的拼法（不考慮排列順序）最多有（

）A．16種 B．15種 C．4種 D．5種【答案】C【詳解】一個(gè)正邊形各內(nèi)角的和是，則每個(gè)內(nèi)角為.設(shè)在頂點(diǎn)處有塊磚拼湊在一起，它們的邊數(shù)分別為，則有，即，所以，.（1）由（1）式可得.當(dāng)時(shí)，，（2）設(shè)（2）式的一組解為，首先求出（2）式的全部整數(shù)解.①當(dāng)時(shí)，由（2）式可解得.這組解給出的正多邊形可以鋪設(shè)地板，如圖所示.故這時(shí)只有一種拼法.②當(dāng)中恰有兩個(gè)相等，不妨設(shè)，由（2）式得，即，易知（2）式的全部解為=（5,5,10），（8,8,4），（12,12,3），依題設(shè)可知用正五邊形和正十邊形鋪設(shè)地面，一定會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)正十邊形有一條邊重合的情況，這時(shí)，要鋪滿地面，另一個(gè)角是72°，而正五邊形的1個(gè)內(nèi)角是108°，則（5,5,10），不合要求.而對(duì)于解（8,8,4），（12,12,3），給出的拼接方法符合要求，如圖2和圖3.故這時(shí)有兩種拼法.③當(dāng)兩兩不相等，不妨設(shè)，由（2）式得，即.類似②對(duì)于解（5，5，10）不能鋪設(shè)地面的討論可知，必須是偶數(shù)，同理可得，都是偶數(shù).由知，，代入（2）式得，.則，解得.故可推出，則.從而兩兩不相等的解為（4,6,12）能鋪設(shè)地面，它們對(duì)應(yīng)一種拼法，如圖.綜上，滿足條件的拼法最多有4種.故選：C.4.第19屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日至10月8日在我國(guó)杭州舉行，本屆亞運(yùn)會(huì)的吉祥物是一套機(jī)器人，包括三個(gè)：“琮琮”代表世界遺產(chǎn)良渚古城遺址，“蓮蓮”代表世界遺產(chǎn)西湖，“宸宸”代表世界遺產(chǎn)京杭大運(yùn)河.某公益團(tuán)隊(duì)計(jì)劃舉辦杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物的展銷會(huì)，并將所獲利潤(rùn)全部用于社區(qū)體育設(shè)施建設(shè)