第07講 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系-【寒假自學(xué)課】2023年高二數(shù)學(xué)寒假精品課（滬教版2020選修第一冊）（解析版）

第07講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個圓的方程判斷圓與圓的位置關(guān)系。2．能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題。3．初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想【基礎(chǔ)知識】一．直線與圓相交的性質(zhì)【知識點(diǎn)的知識】直線與圓的關(guān)系分為相交、相切、相離．判斷的方法就是看圓心到直線的距離和圓半徑誰大誰?。孩佼?dāng)圓心到直線的距離小于半徑時，直線與圓相交；②當(dāng)圓心到直線的距離等于半徑時，直線與圓相切；③當(dāng)圓心到直線的距離大于半徑時，直線與圓相離．【例題解析】例：寫出直線y＝x+m與圓x2+y2＝1相交的一個必要不充分條件：解：直線x﹣y+m＝0若與圓x2+y2＝1相交，則圓心（0，0）到直線的距離d＜1，即d＝，∴|m|，即，∴滿足的必要不充分條件均可．故答案為：滿足的必要不充分條件均可．這是一道符合高考命題習(xí)慣的例題，對于簡單的知識點(diǎn)，高考一般都是把幾個知識點(diǎn)結(jié)合在一起，這也要求大家知識一定要全面，切不可投機(jī)取巧．本題首先根據(jù)直線與圓的關(guān)系求出滿足要求的m的值；然后在考查了考試對邏輯關(guān)系的掌握程度，不失為一道好題．【考點(diǎn)解析】本知識點(diǎn)內(nèi)容比較簡單，在初中的時候就已經(jīng)學(xué)習(xí)過，所以大家要熟練掌握，特別是點(diǎn)到直線的距離怎么求，如何判斷直線與圓相切．二．直線與圓的位置關(guān)系【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．直線與圓的位置關(guān)系2．判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法直線Ax+By+C＝0與圓（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置關(guān)系的判斷方法：（1）幾何方法：利用圓心到直線的d和半徑r的關(guān)系判斷．圓心到直線的距離d＝①相交：d＜r②相切：d＝r③相離：d＞r（2）代數(shù)方法：聯(lián)立直線與圓的方程，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，用判別式△判斷．由消元，得到一元二次方程的判別式△①相交：△＞0②相切：△＝0③相離：△＜0．三．圓與圓的位置關(guān)系及其判定【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．圓與圓的位置關(guān)系2．圓與圓的位置關(guān)系的判定設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，|O1O2|＝d（1）幾何法：利用兩圓的圓心距與兩圓半徑的關(guān)系判斷①外離（4條公切線）：d＞r1+r2②外切（3條公切線）：d＝r1+r2③相交（2條公切線）：|r1﹣r2|＜d＜r1+r2④內(nèi)切（1條公切線）：d＝|r1﹣r2|⑤內(nèi)含（無公切線）：0＜d＜|r1﹣r2|（2）代數(shù)法：聯(lián)立兩圓方程，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，但要注意一個x值可能對應(yīng)兩個y值．【考點(diǎn)剖析】一．直線與圓相交的性質(zhì)（共1小題）1．（2021秋?嘉定區(qū)校級期末）已知直線l：2mx﹣y﹣8m﹣3＝0和圓C：x2+y2﹣6x+12y+20＝0．（1）m∈R時，證明l與C總相交；（2）m取何值時，l被C截得弦長最短，求此弦長．【分析】（1）將直線l變形后，得出直線l恒過A（4，﹣3），然后將圓C化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心C的坐標(biāo)及半徑r，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出點(diǎn)A到圓心C的距離d，根據(jù)d小于r得到A點(diǎn)在圓C內(nèi)，進(jìn)而確定出直線l與圓C總相交；（2）l被C截得弦長最短時，A為弦的中點(diǎn)，直線CA與直線l垂直，由A和C的坐標(biāo)求出直線AC的斜率，利用兩直線垂直時斜率滿足的關(guān)系求出直線l的斜率，根據(jù)直線l的方程即可求出m的值，再由弦心距d＝|AC|及半徑r，利用垂徑定理及勾股定理即可求出直線l被圓C截得的最短弦長．【解答】解：（1）將直線l變形得：2m（x﹣4）+（y+3）＝0，可得出直線l恒過A（4，﹣3），將圓C化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x﹣3）2+（y+6）2＝25，∴圓心C為（3，﹣6），半徑r＝5，∵點(diǎn)A到圓心C的距離d＝＝＜5＝r，∴點(diǎn)A在圓內(nèi)，則l與C總相交；（2）∵直徑AC所在直線方程的斜率為＝3，∴此時l的斜率為﹣，又2mx﹣y﹣8m﹣3＝0變形得：y＝2mx﹣8m﹣3，即斜率為2m，∴2m＝﹣，即m＝﹣，此時圓心距d＝|AC|＝，又半徑r＝5，則l被C截得的弦長為2＝2．【點(diǎn)評】此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識有：兩點(diǎn)間的距離公式，垂徑定理，勾股定理，兩直線垂直時斜率滿足的關(guān)系，恒過定點(diǎn)的直線方程，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及點(diǎn)與圓位置關(guān)系，當(dāng)直線與圓相交時，常常根據(jù)垂徑定理由垂直得中點(diǎn)，進(jìn)而利用弦長的一半，圓的半徑及弦心距構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解決問題．二．直線與圓的位置關(guān)系（共10小題）2．（2021秋?寶山區(qū)校級期末）已知直線l過點(diǎn)（﹣2，﹣1），當(dāng)直線l與圓x2+y2+2y＝0有兩個不同的交點(diǎn)時，其斜率k的取值范圍是（）A． B． C．（﹣1，1） D．（﹣3，3）【分析】由題意考查直線與圓相切的情況，然后確定斜率的取值范圍即可．【解答】解：圓的方程即x2+（y+1）2＝1，很明顯直線的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y+1＝k（x+2），即kx﹣y+2k﹣1＝0，考查臨界情況，即直線與圓相切的情況，此時圓心到直線的距離，解得，故斜率的取值范圍是．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線距離公式及其應(yīng)用等知識，屬于基礎(chǔ)題．3．（2021秋?普陀區(qū)校級期末）實數(shù)m≠n且m2sinθ﹣mcosθ+1＝0，n2sinθ﹣ncosθ+1＝0，則經(jīng)過（m，m2），（n，n2）兩點(diǎn)的直線與圓C：x2+y2＝1的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．不能確定【分析】由已知條件可得，m，n為x2sinθ﹣xcosθ+1＝0的兩根，再結(jié)合韋達(dá)定理，以及點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解．【解答】解：∵實數(shù)m≠n且m2sinθ﹣mcosθ+1＝0，n2sinθ﹣ncosθ+1＝0，∴m，n為x2sinθ﹣xcosθ+1＝0的兩根，∴，，直線為＝（m+n）（x﹣m）+m2，＝＝，故經(jīng)過（m，m2），（n，n2）兩點(diǎn)的直線與圓C：x2+y2＝1的位置關(guān)系是相切．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，掌握點(diǎn)到直線的距離公式是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．4．（2021秋?嘉定區(qū)校級期末）過點(diǎn)M（2，﹣3）作圓C：x2+y2＝13的切線，則切線的方程為2x﹣3y﹣13＝0．【分析】根據(jù)題意，分析可得點(diǎn)M在圓C上，由直線與圓相切的性質(zhì)分析切線的斜率，計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，圓C：x2+y2＝13，點(diǎn)M（2，﹣3），有22+（﹣3）2＝13，即點(diǎn)M在圓C上，又由kMC＝﹣，則切線的斜率k＝，則切線的方程為y+3＝（x﹣2），變形可得2x﹣3y﹣13＝0，故答案為：2x﹣3y﹣13＝0．【點(diǎn)評】本題考查圓的切線方程，涉及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．5．（2021秋?長寧區(qū)校級期末）已知圓C：x2+y2＝16，直線l：（a﹣b）x+（3b﹣2a）y﹣a＝0（a、b不同時為0），當(dāng)a、b變化時，圓C被直線l截得的弦長的最小值為．【分析】先求出直線l的定點(diǎn)，再結(jié)合垂徑定理，即可求解．【解答】解：∵直線l：（a﹣b）x+（3b﹣2a）y﹣a＝0（a、b不同時為0），∴a（x﹣2y﹣1）+b（﹣x+3y）＝0，，解得，∴直線l恒過定點(diǎn)（3，1），當(dāng)圓C被直線l截得的弦長的最小值時，圓心（0，0）到定點(diǎn)（3，1）距離為，則由垂徑定理可得，弦長的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．6．（2022秋?寶山區(qū)校級期中）從點(diǎn)P（m，3）向圓（x+2）2+（y+2）2＝1引切線，則此切線長的最小值為2．【分析】根據(jù)題意，設(shè)圓的圓心為C，切點(diǎn)為T，由切線長公式可得|PT|＝＝，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)圓（x+2）2+（y+2）2＝1的圓心為C，從點(diǎn)P（m，3）向圓（x+2）2+（y+2）2＝1引切線，切點(diǎn)為T，圓C，（x+2）2+（y+2）2＝1，其圓心為（﹣2，﹣2），半徑為1，則|PT|＝＝＝，當(dāng)m＝﹣2時，|PT|取得最小值，且其最小值為2；故答案為：2．【點(diǎn)評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及圓的切線長的計算，屬于基礎(chǔ)題．7．（2022秋?寶山區(qū)校級期中）已知直線l：．（1）若直線l與圓：（x﹣2）2+y2＝4交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|．（2）若直線l1過點(diǎn)（1，2），且與直線l的夾角為，求直線l1的方程．【分析】（1）求出圓心與半徑，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線l的距離，再根據(jù)圓的弦長公式求解即可；（2）求出直線l的傾斜角，再根據(jù)直線l1與直線l的夾角可求得直線l1的傾斜角，再根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程即可得解．【解答】（1）解：圓：（x﹣2）2+y2＝4的圓心為（2，0），半徑r＝2，則圓心（2，0）到直線l的距離，所以；（2）解：直線l：的斜率為，則傾斜角為，因為直線l1與直線l的夾角為，所以直線l1的傾斜角為或，當(dāng)直線l1的傾斜角為時，方程為x＝1，當(dāng)直線l1的傾斜角為時，其斜率為，所以方程為，即，綜上，直線l1的方程為x＝1或．【點(diǎn)評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．8．（2022秋?楊浦區(qū)校級期中）直線x﹣y＝0與圓M：x2+y2﹣mx+＝0相切，則實數(shù)m的值是（）A．±1 B．±2 C．±4 D．±8【分析】將直線與圓聯(lián)立，可得4x2﹣mx+＝0，令Δ＝0，即可求解．【解答】解：直線x﹣y＝0與圓M：x2+y2﹣mx+＝0相切，∴，化簡整理可得，4x2﹣mx+＝0，令Δ＝m2﹣4×4×＝0，解得m＝±2，∴實數(shù)m的值是±2．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，需要學(xué)生較強(qiáng)的綜合能力，屬中檔題．9．（2021秋?普陀區(qū)校級期末）若圓心坐標(biāo)為（2，﹣1）的圓被直線x﹣y﹣1＝0截得的弦長為，則圓的半徑為2．【分析】先求出弦心距，再根據(jù)弦長求出半徑．【解答】解：由題意可得弦心距d＝＝，故半徑r＝＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，弦長公式的應(yīng)用，屬于中檔題．10．（2021秋?閔行區(qū)校級期末）若直線y＝2x+b與曲線沒有公共點(diǎn)，則實數(shù)b的取值范圍是．【分析】作出圖形，求出半圓的切線，從而得出b的范圍．【解答】解：曲線表示圓的下半個圓，設(shè)直線y＝2x+b與半圓相切，則，解得b＝3（舍）或b＝﹣3．直線經(jīng)過A（﹣3，0），可得b＝6，∵直線y＝2x+b與曲線沒有公共點(diǎn)，∴b＜﹣3或b＞6．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．11．（2022秋?嘉定區(qū)校級期中）若對圓（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1上任意一點(diǎn)P（x，y），|3x﹣4y+a|+|9﹣3x+4y|的取值與x、y無關(guān)，則實數(shù)a的取值范圍是[4，+∞）．【分析】由題意可得故3x﹣4y+d+|3x﹣4y﹣9可以看作點(diǎn)P到直線m：3x﹣4y+a＝0與直線l：3x﹣4y﹣9＝0距離之和的5倍，進(jìn)一步分析說明圓位于兩直線內(nèi)部，再由點(diǎn)到直線的距離公式求解直線3x﹣4y+a＝0與圓相切時的a值，則答案可求．【解答】解：設(shè)，故（3x﹣4y+d+|3x﹣4y﹣9|可以看作點(diǎn)P（x，y）到直線m：3x﹣4y+a＝0與直線l：3x﹣4y﹣9＝0距離之和的5倍，∵|3x﹣4y+a|+|3x﹣4y﹣9|的取值與x，y無關(guān)，∴這個距離之和與點(diǎn)P在圓上的位置無關(guān)，如圖所示：可知直線m平移時，P點(diǎn)與直線m，l的距離之和均為m，l的距離，即此時圓在兩直線內(nèi)部，當(dāng)直線m與圓（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1相切時，，化簡得|a+1|＝5，解得a＝4或a＝﹣6（舍去），∴a≥4，即a∈[4，+∞）．故答案為：[4，+∞）．【點(diǎn)評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．三．圓與圓的位置關(guān)系及其判定（共6小題）12．（2022秋?嘉定區(qū)校級期中）圓x2+y2﹣2x＝0和x2+y2+4y＝0的位置關(guān)系是（）A．相離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切【分析】把兩圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，分別找出圓心坐標(biāo)和半徑，利用兩點(diǎn)間的距離公式，求出兩圓心的距離d，然后求出R﹣r和R+r的值，判斷d與R﹣r及R+r的大小關(guān)系即可得到兩圓的位置關(guān)系．【解答】解：把圓x2+y2﹣2x＝0與圓x2+y2+4y＝0分別化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x﹣1）2+y2＝1，x2+（y+2）2＝4，故圓心坐標(biāo)分別為（1，0）和（0，﹣2），半徑分別為R＝2和r＝1，∵圓心之間的距離d＝，R+r＝3，R﹣r＝1，∴R﹣r＜d＜R+r，則兩圓的位置關(guān)系是相交．故選：C．【點(diǎn)評】圓與圓的位置關(guān)系有五種，分別是：當(dāng)0≤d＜R﹣r時，兩圓內(nèi)含；當(dāng)d＝R﹣r時，兩圓內(nèi)切；當(dāng)R﹣r＜d＜R+r時，兩圓相交；當(dāng)d＝R+r時，兩圓外切；當(dāng)d＞R+r時，兩圓外離（其中d表示兩圓心間的距離，R，r分別表示兩圓的半徑）．13．（2021秋?長寧區(qū)校級期末）雙曲線﹣＝1（a＞0，b＞0）的一個焦點(diǎn)為F1，頂點(diǎn)為A1、A2，P是雙曲線上任意一點(diǎn)，則分別以線段PF1，A1A2為直徑的兩圓一定（）A．相交 B．相切 C．相離 D．以上情況都有可能【分析】畫出圖象，考查兩圓的位置關(guān)系，就是看圓心距與半徑和或與半徑差的關(guān)系，分情況P在左支、右支，推導(dǎo)結(jié)論．【解答】解：設(shè)以線段PF1、A1A2為直徑的兩圓的半徑分別為r1、r2，若P在雙曲線左支，如圖所示，則|O1O2|＝|PF2|＝（|PF1|+2a）＝|PF1|+a＝r1+r2，即圓心距為半徑之和，兩圓外切．若P在雙曲線右支，同理求得|O1O2|＝r1﹣r2，故此時，兩圓相內(nèi)切．綜上，兩圓相切，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查圓與圓的位置關(guān)系及其判定，雙曲線的定義和簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想方法，是中檔題．14．（2021秋?閔行區(qū)校級期末）圓O1：x2+y2﹣2x＝0與圓O2：x2+y2﹣4y＝0的位置關(guān)系是（）A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切【分析】根據(jù)題意，分析兩個圓的圓心和半徑，求出圓心距，分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，圓O1：x2+y2﹣2x＝0，即（x﹣1）2+y2＝1，其圓心為（1，0），半徑R＝1，圓O2：x2+y2﹣4y＝0，即x2+（y﹣2）2＝4，其圓心為（0，2），半徑r＝2，圓心距d＝＝，有2﹣1＜＜2+1，則兩個圓相交，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查圓與圓位置關(guān)系的判斷，涉及圓的一般方程，屬于基礎(chǔ)題．15．（2022秋?寶山區(qū)校級期中）已知兩圓分別為圓和圓，這兩圓的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相交 C．內(nèi)切 D．外切【分析】根據(jù)兩個圓的圓心距離與半徑的和差關(guān)系即可得出結(jié)論．【解答】解：圓，圓C1（0，0），半徑R＝7；圓，化為（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16，圓心C2（3，4），半徑r＝4．∴|C1C2|＝＝5，而r+R＝7+4＝11，R﹣r＝7﹣4＝3，∴R﹣r＜|C1C2|＜r+R，這兩圓的位置關(guān)系是相交，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了兩個圓的圓心距離與半徑的和差關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．16．（2021秋?青浦區(qū)校級月考）已知圓C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1，圓C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝9，M，N分別為圓C1，C2上的點(diǎn)，P為x軸上的動點(diǎn)，則|PM|+|PN|的最小值為（）A． B． C． D．【分析】由題可求得C1和C2的圓心與半徑，設(shè)點(diǎn)C1關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為C3，則|PM|+|PN|≥|PC1|﹣1+|PC2|﹣3＝|PC3|﹣1+|PC2|﹣3≥|C2C3|﹣4，再利用兩點(diǎn)間距離公式求出|C2C3|即可得解．【解答】解：由C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1知C1的圓心為（2，3），半徑為1；由C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝9，知圓C2的圓心為（3，4），半徑為3，如圖所示，設(shè)點(diǎn)C1關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為C3，則C3（2，﹣3），則|PM|+|PN|≥|PC1|﹣1+|PC2|﹣3＝|PC3|﹣1+|PC2|﹣3≥|C2C3|﹣4，而|C2C3|＝＝5，所以|PM|+|PN|≥5﹣4，即|PM|+|PN|的最小值為5﹣4．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查圓與圓的位置關(guān)系的判斷，著重考查圓中的最值問題、點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題，考查數(shù)形結(jié)合思想、等價轉(zhuǎn)化思想，考查作圖能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．17．（2022秋?寶山區(qū)校級期中）若實數(shù)x1，x2，y1，y2滿足：x12+y12＝1，x22+y22＝1，x1x2+y1y2＝，則|x1+y1﹣1|+|x2+y2﹣1|的最大值為2+【分析】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），＝（x1，y1），＝（x2，y2），A，B兩點(diǎn)在圓x2+y2＝1上，且AB＝1，A，B到直線x+y﹣1＝0的距離d1+d2＝，由此利用兩平行線的距離能求出|x1+y1﹣1|+|x2+y2﹣1|的最大值．【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），＝（x1，y1），＝（x2，y2），∵實數(shù)x1，x2，y1，y2：滿足，，∴A，B兩點(diǎn)在圓x2+y2＝1上，且＝，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等邊三角形，AB＝1，A到直線x+y﹣1＝0的距離d1＝，B到直線x+y﹣1＝0的距離d2＝，A，B在第三象限，AB所在直線與直線x+y＝1平行，可設(shè)AB：x+y+t＝0，（t＞0），由圓心O到直線AB的距離d＝，可得2＝1，解得t＝，即有兩平行線的距離為＝，∴d1+d2＝≤，∴|x1+y1﹣1|+|x2+y2﹣1|≤2+∴|x1+y1﹣1|+|x2+y2﹣1|的最大值為2+．故答案為：2+．【點(diǎn)評】本題考查代數(shù)式的躡大值的求法，考查圓的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2022·上海市青浦高級中學(xué)高二階段練習(xí)）與兩圓，都相切，且半徑為3的圓一共有（

）個A．9 B．7 C．5 D．3【答案】B【分析】求出兩圓圓心、半徑，根據(jù)兩外切，一外切一內(nèi)切，兩外切討論，即可求得.【詳解】設(shè)圓圓心，半徑，圓心，半徑.由已知圓，半徑.當(dāng)圓與兩圓都外切時，有，即有，可得在的垂直平分線上，即，由，可得，有2個圓滿足；當(dāng)圓與圓相外切，與圓相內(nèi)切時，有，即，解得，即有2個圓滿足；同理，當(dāng)圓與圓相外切，與圓相內(nèi)切時，有2個圓滿足；當(dāng)圓與兩圓都內(nèi)切時，有，即有，解得，即有1個圓滿足.綜上所述，共有7個圓滿足情況.故選：B.2．（2022·上海市吳淞中學(xué)高二期中）已知兩圓分別為圓和圓，這兩圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相交 C．內(nèi)切 D．外切【答案】B【分析】先求出兩圓圓心和半徑，再由兩圓圓心之間的距離和兩圓半徑和及半徑差比較大小即可求解.【詳解】由題意得，圓圓心，半徑為7；圓，圓心，半徑為4，兩圓心之間的距離為，因為，故這兩圓的位置關(guān)系是相交.故選：B.二、填空題3．（2022·上海市大同中學(xué)高二期末）直線被圓截得的弦長為___________.【答案】【分析】求出圓的圓心和半徑，再求圓心到直線的距離，再利用弦長公式即可求得弦長.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，所以圓心到直線的距離.直線被圓所截得的弦長為：，故答案為：.4．（2022·上海市向明中學(xué)高二期末）若圓上有且只有兩點(diǎn)到直線的距離為2，則圓的半徑的取值范圍是_____．【答案】【分析】先求出圓心到直線的距離，利用到直線的距離為2可以得出兩條平行直線，判斷該兩條直線與圓的位置關(guān)系，從而得出半徑的范圍【詳解】圓心的坐標(biāo)為，到直線的距離為，而與直線距離為2的點(diǎn)的軌跡是與平行且與距離為2的兩條平行直線，如圖虛線，，而根據(jù)題意知直線與圓有兩個不同的交點(diǎn)，直線與圓沒有公共點(diǎn)，所以圓的半徑的取值范圍為，故答案為：5．（2022·上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)高二期末）已知圓，直線，若當(dāng)?shù)闹蛋l(fā)生變化時，直線被圓所截的弦長的最小值為2，則值為_____．【答案】【分析】先求得圓心到直線距離，即可表示出弦長，根據(jù)弦長最小值得出.【詳解】由圓的圓心到直線的距離為則弦長為:若要弦長最小，則所以，解得

故答案為：.6．（2022·上海市行知中學(xué)高二期末）已知是直線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為.則四邊形面積的最小值為___________.【答案】8【分析】由四邊形面積最小，則切線長最小，從而最小，最小值即為圓心到直線的距離，由此計算即可.【詳解】由圓得，因為四邊形的面積，在中，要使四邊形的面積最小，只需要最小即可，此時，所以，所以，，故答案為：87．（2022·上海市青浦高級中學(xué)高二階段練習(xí)）若圓上有且只有兩個點(diǎn)到直線的距離為1，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】.【分析】求出圓心到直線的距離等于，根據(jù)直線與圓的三種位置關(guān)系討論，能求出半徑的取值范圍.【詳解】圖1圓心到直線的距離，如圖1，當(dāng)直線與圓相交時，，要使圓上有且只有兩個點(diǎn)到直線的距離為1，應(yīng)有，即，所以有；如圖2，當(dāng)直線與圓相離時，，要使圓上有且只有兩個點(diǎn)到直線的距離為1，應(yīng)有，即，所以有；圖2如圖3，當(dāng)直線與圓相切時，則，顯然圓上有且只有兩個點(diǎn)到直線的距離為1，所以有滿足.圖3綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.8．（2022·上海市青浦高級中學(xué)高二階段練習(xí)）直線被圓所截得的弦長為______．【答案】【分析】根據(jù)所給圓，確定圓心以及半徑，再結(jié)合點(diǎn)線距離即可求解.【詳解】依據(jù)題意得圓心為，半徑，圓心到直線的距離.則直線被圓截得的弦長為.故答案為：9．（2022·上海市建平中學(xué)高二期中）已知圓，則過點(diǎn)的圓的切線方程為______.【答案】【分析】根據(jù)切線與過切點(diǎn)的半徑垂直即可求解.【詳解】點(diǎn)在圓上,圓心為，，所以切線的斜率，則過點(diǎn)的圓的切線方程為,即.故答案為：.10．（2022·上海松江·高二期末）已知圓與圓相交于，兩點(diǎn)，且滿足，則_________.【答案】【分析】求得兩個圓的圓心和半徑，根據(jù)兩圓相交弦的性質(zhì)列方程來求得的值.【詳解】圓的圓心為，半徑.圓，即，所以圓心為，半徑.由于，所以，是坐標(biāo)原點(diǎn).即兩圓公共弦的垂直平分線過，根據(jù)兩圓相交弦的性質(zhì)可知，公共弦的垂直平分線，所以，所以，解得.故答案為：11．（2022·上海市青浦高級中學(xué)高二階段練習(xí)）已知圓與圓交于、兩點(diǎn)，則所在的直線方程是__________．【答案】.【分析】兩圓方程作差，即可得到交線的方程.【詳解】聯(lián)立方程，即，兩式作差得，，整理可得，.所以，所在的直線方程是.故答案為：.12．（2022·上海市建平中學(xué)高二期中）若圓和圓外切，則______.【答案】4【分析】根據(jù)兩圓外切則圓心距等于半徑之和即可求解.【詳解】圓圓心為，半徑為1，圓圓心為，所以圓心距，因為兩圓外切，所以,所以.故答案為：4.13．（2022·上?！とA師大二附中高二階段練習(xí)）若圓：和圓：沒有公共點(diǎn)，則實數(shù)k的取值范圍是_______．【答案】【分析】求出兩圓的圓心坐標(biāo)與半徑，再由圓心距與半徑間的關(guān)系列式求解即可．【詳解】化圓：為，則，圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓：的圓心坐標(biāo)為，半徑為1，要使圓：和圓：沒有公共點(diǎn)，則或，而，所以或，解得或，故實數(shù)k的取值范圍為.故答案為：.14．（2022·上海·華師大二附中高二階段練習(xí)）已知圓C與圓D：關(guān)于直線對稱，則圓C的方程為_______．【答案】【分析】已知圓D：，化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心坐標(biāo)及半徑，圓C與圓D關(guān)于直線對稱，轉(zhuǎn)化為兩圓心關(guān)于直線對稱，半徑相等，求出圓C的圓心，則可得圓C的方程.【詳解】因為，設(shè)圓C的圓心為，又因為圓C與圓D關(guān)于直線對稱，即圓心與關(guān)于直線對稱，所以，解得，所以，圓C的方程為15．（2022·上?！とA師大二附中高二期中）已知圓和圓內(nèi)切，則m的值為___________．【答案】##3.5【分析】首先根據(jù)題中圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓的圓心與半徑，再根據(jù)兩圓相切求出的值.【詳解】解：圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，所以兩圓的圓心距，又因為兩圓內(nèi)切，有，解得.故答案為：.三、解答題16．（2022·上海松江·高二期末）已知平面內(nèi)兩點(diǎn).(1)求的中垂線方程；(2)求與直線平行且與圓相切的直線方程.【答案】(1)；(2)或【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)和斜率求得的中垂線方程.（2）設(shè)出平行直線的方程，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離求得正確答案.【詳解】（1），所以的中垂線的斜率為，線段的中點(diǎn)為，所以的中垂線的方程為，即.（2）設(shè)所求直線方程為，圓的圓心為，半徑，圓心到直線的