【數(shù)學(xué) 】平面向量及其應(yīng)用（經(jīng)典基礎(chǔ)題） 2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)同步單元練習(xí)（人教A版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁01平面向量及其應(yīng)用（經(jīng)典基礎(chǔ)題）-2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)同步單元練習(xí)（人教A版，2019新版）一、單選題1．（2022下·福建莆田·高一莆田一中?？计谀┰谥?，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，2．（2023下·福建福州·高一校聯(lián)考期末）瑞云塔位于福清市融城東南龍首橋頭，如圖，某同學(xué)為測量瑞云塔的高度MN，在瑞云塔的正東方向找到一座建筑物AB，高約為17.3m，在地面上點(diǎn)C處（B，C，N三點(diǎn)共線）測得建筑物頂部A，瑞云塔頂部M的仰角分別為和，在A處測得瑞云塔頂部M的仰角為，瑞云塔的高度約為（

）

A．39m B．34.6m C．33m D．32m3．（2023下·福建福州·高一校聯(lián)考期末）在中，點(diǎn)為BC邊上一點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．4．（2023下·福建福州·高一校考期末）若，是兩個(gè)單位向量，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．5．（2023下·福建三明·高一統(tǒng)考期末）已知平面向量、滿足，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．6．（2023下·福建福州·高一校聯(lián)考期末）在中，，，，則（

）A． B．2 C．1 D．7．（2023下·福建福州·高一?？计谀┰谥?，，則的值為（

）A． B． C． D．8．（2023下·福建三明·高一統(tǒng)考期末）麒麟山位于三明市區(qū)中部，海拔262米，原名牛壟山．在地名普查時(shí)，發(fā)現(xiàn)山腰有一塊“孔子戲麒麟”石碑，故更現(xiàn)名．山頂?shù)镊梓腴w仿古塔造型是八角重檐閣．小李為測量麒麟閣的高度選取了與底部水平的直線AC，如圖，測得，，米，則麒麟閣的高度CD約為（參考數(shù)據(jù)：，）（

）

A．米 B．米 C．米 D．米9．（2023下·福建福州·高一福建省福州高級中學(xué)?？计谀┑娜齼?nèi)角，，所對邊分別為，，，若，則角的大?。?/p>

）．A． B． C． D．10．（2023下·福建三明·高一統(tǒng)考期末）設(shè)為的內(nèi)心，，，，則（

）A． B． C． D．11．（2023下·福建三明·高一統(tǒng)考期末）在平行四邊形ABCD中，，，G為EF的中點(diǎn)，則（

）

A． B． C． D．12．（2023下·福建福州·高一福州三中?？计谀┰谥?，已知，向量在向量方向上的投影向量為，，則（

）A．12 B．8 C．6 D．4二、多選題13．（2020下·福建龍巖·高一期末）如圖，的內(nèi)角，所對的邊分別為，，.若，且，是外一點(diǎn)，，，則下列說法正確的是（

）

A．是等邊三角形B．若，則四點(diǎn)共圓C．四邊形面積最大值為D．四邊形面積最小值為14．（2023下·福建福州·高一校聯(lián)考期末）已知是鈍角三角形，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，則最大的邊c的取值可能是（

）A．4.5 B．5 C．6 D．6.515．（2023下·福建三明·高一統(tǒng)考期末）在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，下列說法正確的是（

）A．若則是等腰三角形B．若，，，則滿足條件的三角形有且只有一個(gè)C．，，BC邊上的中線，則的面積為D．若，則為鈍角三角形16．（2023下·福建福州·高一校考期末）已知中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，若點(diǎn)P是邊BC上一點(diǎn)，Q是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)O是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若在方向上的投影向量為，則的最小值為C．若點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，則D．若，則為定值1817．（2023下·福建廈門·高一統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，向量，如圖所示，則（

）

A．B．C．在方向上的投影向量的模為1D．存在實(shí)數(shù)，使得與共線三、填空題18．（2023下·福建福州·高一校聯(lián)考期末）已知，，，則向量與的夾角為．19．（2023下·福建福州·高一校考期末）已知向量，，若，則．20．（2023下·福建福州·高一?？计谀┮阎喆珹和輪船B同時(shí)離開C島，A船沿北偏東的方向航行，B船沿正北方向航行（如圖）．若A船的航行速度為60nmile/h，1小時(shí)后，B船測得A船位于B船的北偏東的方向上，則此時(shí)A，B兩船相距nmile．

21．（2023下·福建福州·高一福建省福州高級中學(xué)?？计谀┮阎蛄?，．且，則為．22．（2023下·福建三明·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，若，則m的值為．四、解答題23．（2023下·福建福州·高一?？计谀┲?，，，D為AC上一點(diǎn)，，．(1)請畫出大致圖形，求BD的長度；(2)四邊形ABPD的四頂點(diǎn)共圓，求的取值范圍．24．（2023下·福建福州·高一?？计谀┤鐖D，在菱形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)F，設(shè)，．(1)用向量，表示和；(2)若，，求．25．（2023下·福建福州·高一校考期末）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，S為的面積，且．(1)求角B的大??；(2)若，，BD平分，交AC于點(diǎn)D，求BD的長．26．（2023下·福建福州·高一福建省福州高級中學(xué)?？计谀榈娜齼?nèi)角，其對邊分別為，若．(1)求A；(2)若三角形ABC是銳角三角形，，求的取值范圍27．（2023下·福建三明·高一統(tǒng)考期末）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．點(diǎn)D在BC上，且(1)若，求c(2)若AD是∠BAC的角平分線，且，求周長的最小值．28．（2023下·福建三明·高一統(tǒng)考期末）在中，角的對邊分別，滿足．(1)求；(2)若，，求的面積．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．C【分析】由三角形內(nèi)角和可判斷A項(xiàng)，由三角形中大邊對大角可判斷B項(xiàng)，由正弦定理解三角形可判斷C項(xiàng)，由余弦定理解三角形可判斷D項(xiàng).【詳解】對于A項(xiàng)，由，，可得，所以三角形只有一解；對于B項(xiàng)，由，，，可得，所以，此時(shí)三角形有唯一的解；對于C項(xiàng)，由正弦定理，可得，可得B有兩解，所以三角形有兩解；對于D項(xiàng)，由余弦定理得，可得c有唯一的解，所以三角形只有一解．故選：C．2．B【分析】由題意，由直角三角形的性質(zhì)，可得AC的大小，在△AMC中，由正弦定理可得MC的大小，進(jìn)而在Rt△MNC中，求出MN的大?。驹斀狻吭赗t△ABC中，，由題意可得，由圖知，，所以，在△AMC中，由正弦定理可得：即，解得在Rt△MNC中，如圖可得故選：B．3．C【分析】根據(jù)題意，過點(diǎn)P作PD∥AB，交AC于點(diǎn)D，作交AB于點(diǎn)，然后結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算及平面向量基本定理，即可得到結(jié)果．【詳解】如圖，過點(diǎn)P作PD∥AB，交AC于點(diǎn)D，作交AB于點(diǎn)E，

∵，∴，∴，∴，∴，∴故選：C．4．D【分析】，是兩個(gè)單位向量，則，但，方向不能確定，即可判斷AB；利用數(shù)量積的定義與性質(zhì)可判斷CD．【詳解】，是兩個(gè)單位向量，則，但，方向不能確定，故選項(xiàng)AB錯(cuò)誤；，只有，同向共線時(shí)，才有，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；，，，選項(xiàng)D正確.故選：D.5．A【分析】由已知可得，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得，結(jié)合向量夾角的取值范圍可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則，解得，因?yàn)?，故，故與的夾角為.故選：A.6．D【分析】依題意可得，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律及平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得.【詳解】在中，，所以，又，，所以故選：D7．C【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理化角為邊，再利用余弦定理計(jì)算作答.【詳解】在中，角所對的邊分別為，，由正弦定理得，令，由余弦定理得：.故選：C.8．C【分析】由得，再根據(jù)可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以，又，所以，又米，所以，解得?故選：C.9．A【分析】直接利用余弦定理計(jì)算可得.【詳解】依題意由余弦定理，又，所以.故選：A10．B【分析】取的中點(diǎn)，連，則為內(nèi)切圓的半徑，利用面積關(guān)系求出，得，再根據(jù)得，由平面向量基本定理求出可得答案.【詳解】取的中點(diǎn)，連，因?yàn)?，，所以，，所以的?nèi)心在線段上，為內(nèi)切圓的半徑，因?yàn)椋?，所以，得，所以，所以，又，所以，又已知，所以，所?

故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用面積關(guān)系求出內(nèi)切圓半徑,進(jìn)而得到是本題解題關(guān)鍵.11．D【分析】利用向量的加減法的幾何意義將轉(zhuǎn)化為、即可.【詳解】.故選：D.

12．B【分析】若，由題設(shè)及向量數(shù)量積的幾何意義可得，再由，利用數(shù)量積的運(yùn)算律求即可.【詳解】如下圖，若，則在方向上的投影向量為，又向量在向量方向上的投影向量為，則，即，

所以，又，所以.故選：B13．AC【分析】根據(jù)正弦定理及三角恒等變換化簡條件式可判定A，由余弦定理可判定B，設(shè)，由正弦定理結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可判定C、D.【詳解】由正弦定理，得，，，B是等腰的底角，，是等邊三角形，A正確；對于B，若四點(diǎn)共圓，則四邊形對角互補(bǔ)，由A正確知，但由于時(shí)，，∴B不正確.對于C、D，設(shè)，則，，，，，，，，∴C正確，D不正確；故選：AC.14．CD【分析】根據(jù)余弦定理結(jié)合三角形兩邊之和大于第三邊分析判斷【詳解】由題意可得，所以，所以，因?yàn)樵谌切沃袃蛇呏痛笥诘谌?，所以，所以，所以選項(xiàng)AB錯(cuò)誤，CD正確，故選：CD15．BC【分析】對于A利用正弦邊角關(guān)系及三角形內(nèi)角性質(zhì)可得或判斷；對于B應(yīng)用余弦定理求即可判斷；對于C借助向量的數(shù)量工具，求得，由余弦定理即可求得，由面積公式求得三角形面積即可判斷;對于D由向量數(shù)量積定義判斷；【詳解】對于A：由正弦定理得，則，則中或，故A錯(cuò)誤；對于B：由，則，可得，故，滿足條件的三角形有一個(gè)，故B正確；對于C：設(shè)，容易知，故可得，可得，解得.由余弦定理可得；由，可得.故可得三角形面積為.,故C正確；對于D，即，為銳角，故不一定為鈍角三角形，故D錯(cuò)誤；故選：BC16．BCD【分析】對于A，根據(jù)向量加法的運(yùn)算法則化簡計(jì)算；對于B，易知當(dāng)時(shí)，取得最小值，計(jì)算可得；對于C，根據(jù)平行四邊形法則計(jì)算可得；對于D，根據(jù)余弦定理及三點(diǎn)共線的向量表示求值.【詳解】對于A，設(shè)中點(diǎn)為，由可知上的中線與垂直，所以是等腰三角形，，所以，則，所以，故A錯(cuò)誤；對于B，由題意知，易知當(dāng)時(shí)，取得最小值，為，故B正確；對于C，由，得，由平行四邊形法則可知，即，故C正確；對于D，根據(jù)題意，由可知的平分線與垂直，故是等腰三角形，，所以，則，由余弦定理得，即，得,又，則，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，故，所以為定值，所以D正確.故選：BCD．17．BCD【分析】由題意可得：，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】由題意可得：.對于選項(xiàng)A：因?yàn)?，所以，不垂直，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：因?yàn)?，所以，故B正確；對于選項(xiàng)C：因?yàn)?，所以在方向上的投影向量的模為，故C正確；對于選項(xiàng)D：因?yàn)?，若與共線，則，解得，所以當(dāng)時(shí)，與共線，故D正確；故選：BCD.18．/【分析】首先求出，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出，最后根據(jù)夾角公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，又，，所以，即，即，所以，所以，又，所以，即向量與的夾角為.故答案為：19．【分析】根據(jù)數(shù)量積公式求得，再根據(jù)二倍角的正切公式，即可求解.【詳解】，得，.故答案為：20．【分析】利用正弦定理求的長度即可.【詳解】由題設(shè)，nmile，且，由正弦定理有，則，可得nmile.故答案為：.21．【分析】根據(jù)向量共線定理求解即可；【詳解】因?yàn)椋运裕?故答案為：.22．/【分析】根據(jù)平面向量平行的坐標(biāo)表示列式可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，且，所以，?故答案為：.23．(1)圖形見解析，(2)【分析】（1）根據(jù)，結(jié)合余弦定理，建立方程，即可求解；（2）由條件可知，根據(jù)四點(diǎn)共圓的幾何性質(zhì)，結(jié)合正弦定理，討論點(diǎn)在圓弧的不同位置，將的取值范圍轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）設(shè)，，則，因?yàn)?，則，即，解得：，則

（2）由（1）知，在中，，，為外接圓的直徑，為外接圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)在點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)在點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)在優(yōu)弧上時(shí)，，設(shè)，，在中，由正弦定理可知，，則，，，其中，，，，因?yàn)?，所以，，，?dāng)時(shí)，為，當(dāng)時(shí)，的最大值為，所以此時(shí)的取值范圍是；當(dāng)點(diǎn)在劣弧上時(shí)，，設(shè)，，在中，由正弦定理可知，，則，，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，的最大值為，但，，所以，則的范圍是，綜上可知，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的綜合應(yīng)用問題，本題第二問利用正弦定理，邊角互化，將邊轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求取值范圍，本題的難點(diǎn)是需討論點(diǎn)的位置，需分情況討論.24．(1)，(2)【分析】（1）在菱形中，根據(jù)是的中點(diǎn)，，，結(jié)合向量的線性運(yùn)算可得答案；（2）用表示向量，然后分別求得，再由平面向量的夾角公式求解．【詳解】（1）在菱形中，E是CD的中點(diǎn)，，則，,.（2）因?yàn)椋?，又為菱形，，，所以，，，，，所?25．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由余弦定理及三角形面積公式可得出，從而可求出；（2）根據(jù)及余弦定理可得出，然后由，結(jié)合三角形面積公式求解．【詳解】（1）由余弦定理得，又，∴，整理得，又，∴.（2）∵的面積為，且，∴，∴，又由余弦定理得，即，則，即，∵，，∴，∴，∴．26．(1)或(2)【分析】（1）根據(jù)正弦的和角公式以及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，結(jié)合三角形內(nèi)角和以及誘導(dǎo)公式，化簡等式，可得答案；（2）根據(jù)正弦定理，整理函數(shù)解析式，利用三角形內(nèi)角和、正弦差角公式、輔助角公式化簡函數(shù)，結(jié)合整體思想以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.【詳解】（1），，，由，則，，由，則或.（