高等教育數(shù)學同濟版(下冊)期末考試題和答案解析四套

./高等數(shù)學〔下冊期末考試試卷〔一一、填空題〔每小題3分,共計24分1、=的定義域為D=。2、二重積分的符號為。3、由曲線及直線,所圍圖形的面積用二重積分表示為,其值為。4、設曲線L的參數(shù)方程表示為則弧長元素。5、設曲面∑為介于及間的部分的外側(cè),則。6、微分方程的通解為。7、方程的通解為。8、級數(shù)的和為。二、選擇題〔每小題2分,共計16分1、二元函數(shù)在處可微的充分條件是〔〔A在處連續(xù)；〔B,在的某鄰域內(nèi)存在；〔C當時,是無窮??；〔D。2、設其中具有二階連續(xù)導數(shù),則等于〔〔A；〔B；<C>；<D>0。3、設：則三重積分等于〔〔A4；〔B；〔C；〔D。4、球面與柱面所圍成的立體體積V=〔〔A；〔B；〔C；〔D。5、設有界閉區(qū)域D由分段光滑曲線L所圍成,L取正向,函數(shù)在D上具有一階連續(xù)偏導數(shù),則〔A；〔B；〔C；〔D。6、下列說法中錯誤的是〔方程是三階微分方程；方程是一階微分方程；方程是全微分方程；方程是伯努利方程。7、已知曲線經(jīng)過原點,且在原點處的切線與直線平行,而滿足微分方程,則曲線的方程為〔〔A；〔B；〔C；〔D。8、設,則〔〔A收斂；〔B發(fā)散；〔C不一定；〔D絕對收斂。三、求解下列問題〔共計15分1、〔7分設均為連續(xù)可微函數(shù)。,求。2、〔8分設,求。四、求解下列問題〔共計15分。1、計算。〔7分2、計算,其中是由所圍成的空間閉區(qū)域〔8分五、〔13分計算,其中L是面上的任一條無重點且分段光滑不經(jīng)過原點的封閉曲線的逆時針方向。六、〔9分設對任意滿足方程,且存在,求。七、〔8分求級數(shù)的收斂區(qū)間。高等數(shù)學〔下冊期末考試試卷〔二1、設,則。2、。3、設,交換積分次序后,。4、設為可微函數(shù),且則。5、設L為取正向的圓周,則曲線積分。6、設,則。7、通解為的微分方程是。8、設,則它的Fourier展開式中的。二、選擇題〔每小題2分,共計16分。1、設函數(shù),則在點〔0,0處〔〔A連續(xù)且偏導數(shù)存在；〔B連續(xù)但偏導數(shù)不存在；〔C不連續(xù)但偏導數(shù)存在；〔D不連續(xù)且偏導數(shù)不存在。2、設在平面有界區(qū)域D上具有二階連續(xù)偏導數(shù),且滿足及,則〔〔A最大值點和最小值點必定都在D的內(nèi)部；〔B最大值點和最小值點必定都在D的邊界上；〔C最大值點在D的內(nèi)部,最小值點在D的邊界上；〔D最小值點在D的內(nèi)部,最大值點在D的邊界上。3、設平面區(qū)域D：,若,則有〔〔A；〔B；〔C；〔D不能比較。4、設是由曲面及所圍成的空間區(qū)域,則=〔〔A；〔B；〔C；〔D。5、設在曲線弧L上有定義且連續(xù),L的參數(shù)方程為,其中在上具有一階連續(xù)導數(shù),且,則曲線積分〔<A>；<B>；<C>；<D>。6、設是取外側(cè)的單位球面,則曲面積分=〔<A>0；<B>；<C>；<D>。7、下列方程中,設是它的解,可以推知也是它的解的方程是〔<A>；<B>；<C>；<D>。8、設級數(shù)為一交錯級數(shù),則〔<A>該級數(shù)必收斂；<B>該級數(shù)必發(fā)散；<C>該級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散；<D>若,則必收斂。三、求解下列問題〔共計15分1、〔8分求函數(shù)在點A〔0,1,0沿A指向點B〔3,-2,2的方向的方向?qū)?shù)。2、〔7分求函數(shù)在由直線所圍成的閉區(qū)域D上的最大值和最小值。四、求解下列問題〔共計15分1、〔7分計算,其中是由及所圍成的立體域。2、〔8分設為連續(xù)函數(shù),定義,其中,求。五、求解下列問題〔15分1、〔8分求,其中L是從A〔a,0經(jīng)到O〔0,0的弧。2、〔7分計算,其中是的外側(cè)。六、〔15分設函數(shù)具有連續(xù)的二階導數(shù),并使曲線積分與路徑無關,求函數(shù)。高等數(shù)學〔下冊期末考試試卷〔三一、填空題〔每小題3分,共計24分1、設,則。2、函數(shù)在點〔0,0處沿的方向?qū)?shù)=。3、設為曲面所圍成的立體,如果將三重積分化為先對再對最后對三次積分,則I=。4、設為連續(xù)函數(shù),則,其中。5、,其中。6、設是一空間有界區(qū)域,其邊界曲面是由有限塊分片光滑的曲面所組成,如果函數(shù),,在上具有一階連續(xù)偏導數(shù),則三重積分與第二型曲面積分之間有關系式：,該關系式稱為公式。7、微分方程的特解可設為。8、若級數(shù)發(fā)散,則。二、選擇題〔每小題2分,共計16分1、設存在,則=〔〔A；〔B0；〔C2；〔D。2、設,結論正確的是〔〔A；〔B；〔C；〔D。3、若為關于的奇函數(shù),積分域D關于軸對稱,對稱部分記為,在D上連續(xù),則〔〔A0；〔B2；〔C4；<D>2。4、設：,則=〔〔A；〔B；〔C；〔D。5、設在面內(nèi)有一分布著質(zhì)量的曲線L,在點處的線密度為,則曲線?。痰闹匦牡淖鴺藶椤病玻?；〔B=；〔C=；〔D=,其中M為曲線?。痰馁|(zhì)量。６、設為柱面和在第一卦限所圍成部分的外側(cè),則曲面積分＝〔〔A0；〔B；〔C；〔D。７、方程的特解可設為〔〔A,若；〔B,若；〔C,若；〔D,若。８、設,則它的Fourier展開式中的等于〔〔A；〔B0；〔C；〔D。三、〔１２分設為由方程確定的的函數(shù),其中具有一階連續(xù)偏導數(shù),求。四、〔８分在橢圓上求一點,使其到直線的距離最短。五、〔８分求圓柱面被錐面和平面割下部分的面積Ａ。六、〔１２分計算,其中為球面的部分的外側(cè)。七、〔10分設,求。八、〔10分將函數(shù)展開成的冪級數(shù)。高等數(shù)學〔下冊考試試卷〔一參考答案一、1、當時,；當時,；2、負號；3、；4、；5、180；6、；7、；8、1；二、1、D；2、D；3、C；4、B；5、D；6、B；7、A；8、C；三、1、；；2、；；四、1、；2、；五、令則,；于是=1\*GB3①當L所圍成的區(qū)域D中不含O〔0,0時,在D內(nèi)連續(xù)。所以由Green公式得：I=0；=2\*GB3②當L所圍成的區(qū)域D中含O〔0,0時,在D內(nèi)除O〔0,0外都連續(xù),此時作曲線為,逆時針方向,并假設為及所圍成區(qū)域,則六、由所給條件易得：又=即即又即七、令,考慮級數(shù)當即時,亦即時所給級數(shù)絕對收斂；當即或時,原級數(shù)發(fā)散；當即時,級數(shù)收斂；當即時,級數(shù)收斂；級數(shù)的半徑為R=1,收斂區(qū)間為[1,3]。高等數(shù)學〔下冊考試試卷〔二參考答案一、1、1；2、-1/6；3、；4、；5、；6、；7、；8、0；二、1、C；2、B；3、A；4、D；5、C；6、D；7、B；8、C；三、1、函數(shù)在點A〔1,0,1處可微,且；；而所以,故在A點沿方向?qū)?shù)為：++2、由得D內(nèi)的駐點為且,又而當時,令得于是相應且在D上的最大值為,最小值為四、1、的聯(lián)立不等式組為所以2、在柱面坐標系中所以五、1、連接,由公式得：2、作輔助曲面,上側(cè),則由Gauss公式得：+===六、由題意得：即特征方程,特征根對應齊次方程的通解為：又因為是特征根。故其特解可設為：代入方程并整理得：即故所求函數(shù)為：高等數(shù)學〔下冊考試試卷〔三參考答案一、1、；2、；3、；4、；6、,公式；7、8、。二、1、C；2、B；3、A；4、C；5、A；6、D；7、B；8、B三、由于,由上兩式消去,即得：四、設為橢圓上任一點,則該點到直線的距離為；令,于是由：得條件駐點：依題意,橢圓到直線一定有最短距離存在,其中即為所求。五、曲線在面上的投影為于是所割下部分在面上的投影域為：,由圖形的對稱性,所求面積為第一卦限部分的兩倍。六、將分為上半部分和下半部分,在面上的投影域都為：于是：；,=七、因為,即所以八、又高等數(shù)學〔下冊期末考試試卷〔四填空題：〔本題共5小題,每小題4分,滿分20分,把答案直接填在題中橫線上1、已知向量、滿足,,,則．2、設,則．3、曲面在點處的切平面方程為．4、設是周期為的周期函數(shù),它在上的表達式為,則的傅里葉級數(shù)在處收斂于,在處收斂于．5、設為連接與兩點的直線段,則．※以下各題在答題紙上作答,答題時必須寫出詳細的解答過程,并在每張答題紙寫上：姓名、學號、班級．解下列各題：〔本題共5小題,每小題7分,滿分35分1、求曲線在點處的切線及法平面方程．2、求由曲面及所圍成的立體體積．3、判定級數(shù)是否收斂？如果是收斂的,是絕對收斂還是條件收斂？4、設,其中具有二階連續(xù)偏導數(shù),求．5、計算曲面積分其中是球面被平面截出的頂部．〔本題滿分9分拋物面被平面截成一橢圓,求這橢圓上的點到原點的距離的最大值與最小值．〔本題滿分10分計算曲線積分,其中為常數(shù),為由點至原點的上半圓周．〔本題滿分10分求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù)．〔本題滿分10分計算曲面積分,其中為曲面的上側(cè)．〔本題滿分6分設為連續(xù)函數(shù),,,其中是由曲面與所圍成的閉區(qū)域,求．備注：①考試時間為2小時；②考試結束時,請每位考生按卷面答題紙草稿紙由表及里依序?qū)φ凵辖?；不得帶走試卷。高等?shù)學A<下冊>期末考試試題[A卷]參考解答與評分標準20XX6月填空題[每小題4分,共20分]1、；2、；3、；4、3,0；5、.試解下列各題[每小題7分,共35分]1、解：方程兩邊對求導,得,從而,…………..[4]該曲線在處的切向量為…………..[5]故所求的切線方程為………………..[6]法平面方程為即……..[7]２、解：,該立體在面上的投影區(qū)域為．…..[2]故所求的體積為……..[7]３、解：由,知級數(shù)發(fā)散…[3]又,.故所給級數(shù)收斂且條件收斂．[7]４、解：,…………………[3][7]５、解：的方程為,在面上的投影區(qū)域為．又,…..………[３]故..[7]三、[9分]解：設為該橢圓上的任一點,則點到原點的距離為……[1]令,則由,解得,．于是得到兩個可能極值點…[7]又由題意知,距離的最大值和最小值一定存在,所以距離的最大值與最小值分別在這兩點處取得．故……[9]四、[10分]解：記與直線段所圍成的閉區(qū)域為,則由格林