高中數(shù)學(xué)離散型隨機(jī)變量與分布列全章復(fù)習(xí)題型完美版

./第十二講隨機(jī)變量及其分布列課程類型：□復(fù)習(xí)□預(yù)習(xí)□習(xí)題針對(duì)學(xué)員基礎(chǔ)：□基礎(chǔ)□中等□優(yōu)秀授課班級(jí)授課日期學(xué)員月日組本章主要內(nèi)容：1.離散型隨機(jī)變量的定義；2.期望與方差；3.二項(xiàng)分布與超幾何分布.本章教學(xué)目標(biāo)：1.理解隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量的含義．<重點(diǎn)>2.會(huì)求出某些簡(jiǎn)單的離散型隨機(jī)變量的分布列．<重點(diǎn)>3.理解兩點(diǎn)分布和超幾何分布及其推導(dǎo)過(guò)程,并能簡(jiǎn)單的運(yùn)用．<難點(diǎn)>第一節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布列"超幾何分布"一詞來(lái)源于超幾何數(shù)列,就像"幾何分布"來(lái)源于幾何數(shù)列。"超幾何分布"一詞來(lái)源于超幾何數(shù)列,就像"幾何分布"來(lái)源于幾何數(shù)列。幾何數(shù)列又叫等比數(shù)列,"幾何分布"、'幾何數(shù)列"名稱的來(lái)源前面的文章已經(jīng)解釋過(guò),請(qǐng)看一些帶"幾何"的數(shù)學(xué)名詞來(lái)源解釋。幾何分布〔Geometric

distribution是離散型機(jī)率分布。其中一種定義為：在第n次伯努利試驗(yàn),才得到第一次成功的機(jī)率。詳細(xì)的說(shuō),是：n次伯努利試驗(yàn),前n-1次皆失敗,第n次才成功的機(jī)率。課外拓展[知識(shí)與方法]一．離散型隨機(jī)變量的定義1定義：在隨機(jī)試驗(yàn)中,確定一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系,使得每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果都用一個(gè)確定的數(shù)字表示．在這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系下,數(shù)字隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量．①隨機(jī)變量是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系；②實(shí)驗(yàn)結(jié)果必須與數(shù)字對(duì)應(yīng)；③數(shù)字會(huì)隨著實(shí)驗(yàn)結(jié)果的變化而變化.2.表示：隨機(jī)變量常用字母X,Y,ξ,η,…表示．3.所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量,稱為離散型隨機(jī)變量<discreterandomvariable>.4.連續(xù)型隨機(jī)變量：對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值,可以取某一區(qū)間或某幾個(gè)區(qū)間內(nèi)的一切值,這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量5.注意：〔1有些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果雖然不具有數(shù)量性質(zhì),但可以用數(shù)量來(lái)表達(dá)如投擲一枚硬幣,,表示正面向上,,表示反面向上〔2若是隨機(jī)變量,是常數(shù),則也是隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系:離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系:離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果；但是離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出,而連續(xù)性隨機(jī)變量的結(jié)果不可以一一列出1.一般地,若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一個(gè)值xi<i=1,2,…,n>的概率P<X=xi>=pi,則稱表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列,簡(jiǎn)稱為X的分布列．用等式可表示為P<X=xi>=pi,i=1,2,…,n,也可以用圖象來(lái)表示X的分布列．2.離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)①pi≥0,i=1,2,…,n；②．分布列的優(yōu)缺點(diǎn)：分布列的優(yōu)缺點(diǎn)：[優(yōu)點(diǎn)]離散型隨機(jī)變量的分布列不僅能清楚地反映其所取的一切可能的值,而且也能看出取每一個(gè)值的概率的大小,從而反映出隨機(jī)變量在隨機(jī)試驗(yàn)中取值的分布情況．[缺點(diǎn)]〔1分布列不能表示X的平均水平；<2>分布列不能表示X的波動(dòng)程度．1.兩點(diǎn)分布X01P1-pp若隨機(jī)變量X的分布列具有上表的形式,則稱X服從兩點(diǎn)分布,并稱p=P<X=1>為成功概率．注意：注意：隨機(jī)變量X只有發(fā)生和不發(fā)生兩種情況才叫兩點(diǎn)分布,且X的取值只能是0和1.2.超幾何分布一般地,在含有M件次品的N件產(chǎn)品中,任取n件,其中恰有X件次品,則P<X=k>=,k=0,1,2,…,m,其中m=min,且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.X01…mP…如果隨機(jī)變量X的分布列具有上表的形式,則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布．[例題與變式]題型一隨機(jī)變量[例1]判斷正誤：<1>隨機(jī)變量的取值可以是有限個(gè),也可以是無(wú)限個(gè)．<><2>在拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣試驗(yàn)中,"出現(xiàn)正面的次數(shù)"為隨機(jī)變量．<><3>隨機(jī)變量是用來(lái)表示不同試驗(yàn)結(jié)果的量．<><4>試驗(yàn)之前可以判斷離散型隨機(jī)變量的所有值．<>[例2]判斷下列各個(gè)量,哪些是隨機(jī)變量,哪些不是隨機(jī)變量,并說(shuō)明理由．<1>北京國(guó)際機(jī)場(chǎng)候機(jī)廳中2016年5月1日的旅客數(shù)量；<2>2016年5月1日至10月1日期間所查酒駕的人數(shù)；<3>2016年6月1日XX到北京的某次動(dòng)車到北京站的時(shí)間；<4>體積為1000cm3的球的半徑長(zhǎng)．[變式1]判斷下列各個(gè)量,哪些是隨機(jī)變量,哪些不是隨機(jī)變量,并說(shuō)明理由．<1>某天騰訊公司客服接到咨詢電話的個(gè)數(shù)；<2>標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下,水沸騰的溫度；<3>在一次繪畫作品評(píng)比中,設(shè)一、二、三等獎(jiǎng),你的一件作品獲得的獎(jiǎng)次；<4>體積為64cm3的正方體的棱長(zhǎng)．[例3]指出下列隨機(jī)變量是否是離散型隨機(jī)變量,并說(shuō)明理由．<1>某座大橋一天經(jīng)過(guò)的車輛數(shù)X；<2>某超市5月份每天的銷售額；<3>某加工廠加工的一批某種鋼管的外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差ξ；<4>XXXX市長(zhǎng)江水位監(jiān)測(cè)站所測(cè)水位在<0,29]這一范圍內(nèi)變化,該水位站所測(cè)水位ξ.[變式2]下列變量中屬于離散型隨機(jī)變量的有________．<填序號(hào)><1>在2017張已編號(hào)的卡片<從1號(hào)到2017號(hào)>中任取1張,被取出的編號(hào)數(shù)為X；<2>連續(xù)不斷射擊,首次命中目標(biāo)需要的射擊次數(shù)X；<3>在XX至XX的電氣化鐵道線上,每隔50m有一電線鐵塔,從XX至XX的電氣化鐵道線上將電線鐵塔進(jìn)行編號(hào),其中某一電線鐵塔的編號(hào)；<4>投擲一枚骰子,六面都刻有數(shù)字8,所得的點(diǎn)數(shù)X.題型二隨機(jī)變量的可能取值及試驗(yàn)結(jié)果[例1]口袋中有6個(gè)同樣大小的黑球,編號(hào)為1,2,3,4,5,6,現(xiàn)從中隨機(jī)取出3個(gè)球,用X表示取出的最大號(hào)碼,則X的所有可能取值有哪些？[例2]〔2017春?清河區(qū)月考設(shè)b,c分別是先后拋擲一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù)．設(shè)隨機(jī)變量ξ=|b-c|,求隨機(jī)變量ξ的取值情況．[變式]〔2017春?大武口區(qū)期中袋中有4個(gè)紅球,3個(gè)黑球,從袋中隨機(jī)取球,設(shè)取到一個(gè)紅球得2分,取到一個(gè)黑球的1分,現(xiàn)在從袋中隨機(jī)摸出4個(gè)球,列出所得分?jǐn)?shù)X的所有可能.題型三分布列及其性質(zhì)的應(yīng)用[例1]設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P<X=i>=eq\f<i,a><i=1,2,3,4>,求：<1>P<X=1或X=2>；<2>.[例2]〔2017春?文昌月考設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為則等于〔A．B．C．D．[例3]已知數(shù)列是等差數(shù)列,隨機(jī)變量的分布列如下表：X求.[變式1]若離散型隨機(jī)變量X的分布列為：X01求常數(shù)a．[變式2]〔2017春?秦都區(qū)月考設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為,則a的值為〔A．B．C．D．[變式3]〔2017春?武陵區(qū)月考若離散型隨機(jī)變量X的分布列為：X01則實(shí)數(shù)a的值為_______．[例4]設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為：X012340.20.10.10.3m求：<1>2X+1的分布列；<2>|X-1|的分布列.[變式4]<2017·XX二模>設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列如下表,則P<|X-2|=1>=〔X1234mA.eq\f<7,12>B.eq\f<1,2>C.eq\f<5,12>D.eq\f<1,6>題型四求離散型隨機(jī)變量的分布列[例1]口袋中有6個(gè)同樣大小的黑球,編號(hào)為1,2,3,4,5,6,現(xiàn)從中隨機(jī)取出3個(gè)球,用X表示取出的最大號(hào)碼,求X的分布列．[例2]〔2017春?清河區(qū)月考設(shè)b,c分別是先后拋擲一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù)．<1>設(shè),求的概率；<2設(shè)隨機(jī)變量ξ=|b-c|,求ξ的分布列．[例3]<2016·天津卷節(jié)選>某小組共10人,利用假期參加義工活動(dòng).已知參加義工活動(dòng)次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4.現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會(huì).<1>設(shè)A為事件"選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4",求事件A發(fā)生的概率；<2>設(shè)X為選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值,求隨機(jī)變量X的分布列.[變式1]將一顆骰子擲兩次,求兩次擲出的最大點(diǎn)數(shù)ξ的分布列．[變式2]某商店試銷某種商品20天,獲得如下數(shù)據(jù)：日銷售量〔件0123頻數(shù)1595試銷結(jié)束后<假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變>,設(shè)某天開始營(yíng)業(yè)時(shí)有該商品3件,當(dāng)天營(yíng)業(yè)結(jié)束后檢查存貨,若發(fā)現(xiàn)存量少于2件,則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至3件,否則不進(jìn)貨,將頻率視為概率.<1>求當(dāng)天商店不進(jìn)貨的概率；<2>記X為第二天開始營(yíng)業(yè)時(shí)該商品的件數(shù),求X的分布列.題型五兩點(diǎn)分布[例1]<1>利用隨機(jī)變量研究一類問(wèn)題,如抽取的獎(jiǎng)券是否中獎(jiǎng),買回的一件產(chǎn)品是否為正品,新生嬰兒的性別,投籃是否命中等,這些有什么共同點(diǎn)？<2>只取兩個(gè)不同值的隨機(jī)變量是否一定服從兩點(diǎn)分布？[例2]在一次購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)中,假設(shè)10張獎(jiǎng)券中有一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券1張,可獲價(jià)值50元的獎(jiǎng)品,有二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券3張,每張可獲價(jià)值10元的獎(jiǎng)品,其余6張沒(méi)有獎(jiǎng)品．顧客甲從10張獎(jiǎng)券中任意抽取1張,求中獎(jiǎng)次數(shù)X的分布列.[變式]設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的2倍,用隨機(jī)變量ξ描述一次試驗(yàn)的成功次數(shù),則P<ξ=0>等于〔A．0B．eq\f<1,3>C．eq\f<1,2>D．eq\f<2,3>題型六超幾何分布[例1]在一次購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)中,假設(shè)10張獎(jiǎng)券中有一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券1張,可獲價(jià)值50元的獎(jiǎng)品,有二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券3張,每張可獲價(jià)值10元的獎(jiǎng)品,其余6張沒(méi)有獎(jiǎng)品．顧客乙從10張獎(jiǎng)券中任意抽取2張.<1>求顧客乙中獎(jiǎng)的概率；<2>設(shè)顧客乙獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值為Y元,求Y的分布列．[例2]老師要從10篇課文中隨機(jī)抽3篇讓學(xué)生背誦,規(guī)定至少要背出其中2篇才能及格．某同學(xué)只能背誦其中的6篇,試求：<1>抽到他能背誦的課文的數(shù)量的概率分布；<2>他能及格的概率.[例3]〔2017春?大武口區(qū)期中袋中有4個(gè)紅球,3個(gè)黑球,從袋中隨機(jī)取球,設(shè)取到一個(gè)紅球得2分,取到一個(gè)黑球的1分,現(xiàn)在從袋中隨機(jī)摸出4個(gè)球,求：<1>列出所得分?jǐn)?shù)X的分布列；<2>得分大于6分的概率．[變式1]<2017·XX模擬>某外語(yǔ)學(xué)校的一個(gè)社團(tuán)中有7名同學(xué),其中2人只會(huì)法語(yǔ)；2人只會(huì)英語(yǔ),3人既會(huì)法語(yǔ)又會(huì)英語(yǔ),現(xiàn)選派3人到法國(guó)的學(xué)校交流訪問(wèn).<1>在選派的3人中恰有2人會(huì)法語(yǔ)的概率；<2>在選派的3人中既會(huì)法語(yǔ)又會(huì)英語(yǔ)的人數(shù)X的分布列.[變式2]<2017·XX調(diào)研>PM2.5是指懸浮在空氣中的空氣動(dòng)力學(xué)當(dāng)量直徑小于或等于2.5微米的顆粒物,也稱為可入肺顆粒物.根據(jù)現(xiàn)行國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB3095－2012,PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí)；在35微克/立方米～75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級(jí)；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo).從某自然保護(hù)區(qū)20XX全年每天的PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本,監(jiān)測(cè)值頻數(shù)如下表所示：PM2.5日均值<微克/立方米>[25,35]<35,45]<45,55]<55,65]<65,75]<75,85]頻數(shù)311113<1>從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中,隨機(jī)抽出3天,求恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率；<2>從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù),記X表示抽到PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù),求X的分布列.1.設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量,其分布列為：X-101Peq\f<1,3>2-3qq2則q的值為<>A.1B.eq\f<3,2>±eq\f<\r<33>,6>C.eq\f<3,2>－eq\f<\r<33>,6>D.eq\f<3,2>＋eq\f<\r<33>,6>2.設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的2倍,用隨機(jī)變量X去描述1次試驗(yàn)的成功次數(shù),則P<X=0>等于<>A.0B.eq\f<1,2>C.eq\f<1,3>D.eq\f<2,3>3.中裝有10個(gè)紅球、5個(gè)黑球.每次隨機(jī)抽取1個(gè)球后,若取得黑球則另?yè)Q1個(gè)紅球放回袋中,直到取到紅球?yàn)橹?若抽取的次數(shù)為ξ,則表示"放回5個(gè)紅球"事件的是<>A.ξ=4B.ξ=5C.ξ=6D.ξ≤54.從裝有3個(gè)白球、4個(gè)紅球的箱子中,隨機(jī)取出了3個(gè)球,恰好是2個(gè)白球、1個(gè)紅球的概率是<>A.eq\f<4,35>B.eq\f<6,35>C.eq\f<12,35>D.eq\f<36,343>5.隨機(jī)變量X的分布列如下：X-101Pabc其中a,b,c成等差數(shù)列,則P<|X|=1>等于<>A.eq\f<1,6>B.eq\f<1,3>C.eq\f<1,2>D.eq\f<2,3>6.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3M若隨機(jī)變量Y=|X-2|,則P<Y=2>=________.7.袋中有4只紅球3只黑球,從袋中任取4只球,取到1只紅球得1分,取到1只黑球得3分,設(shè)得分為隨機(jī)變量X,則P<X≤6>=________.8.<2017·XX診斷>某高校一專業(yè)在一次自主招生中,對(duì)20名已經(jīng)選拔入圍的學(xué)生進(jìn)行語(yǔ)言表達(dá)能力和邏輯思維能力測(cè)試,結(jié)果如下表：由于部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失,只知道從這20名參加測(cè)試的學(xué)生中隨機(jī)抽取一人,抽到語(yǔ)言表達(dá)能力優(yōu)秀或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生的概率為eq\f<2,5>.<1>從參加測(cè)試的語(yǔ)言表達(dá)能力良好的學(xué)生中任意抽取2名,求其中至少有一名邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生的概率；<2>從參加測(cè)試的20名學(xué)生中任意抽取2名,設(shè)語(yǔ)言表達(dá)能力優(yōu)秀或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列.9.某超市在節(jié)日期間進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷,凡在該超市購(gòu)物滿300元的顧客,將獲得一次摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì),規(guī)則如下：獎(jiǎng)盒中放有除顏色外完全相同的1個(gè)紅球,1個(gè)黃球,1個(gè)白球和1個(gè)黑球.顧客不放回地每次摸出1個(gè)球,若摸到黑球則停止摸獎(jiǎng),否則就要將獎(jiǎng)盒中的球全部摸出才停止.規(guī)定摸到紅球獎(jiǎng)勵(lì)10元,摸到白球或黃球獎(jiǎng)勵(lì)5元,摸到黑球不獎(jiǎng)勵(lì).<1>求1名顧客摸球3次停止摸獎(jiǎng)的概率；<2>記X為1名顧客摸獎(jiǎng)獲得的獎(jiǎng)金數(shù)額,隨機(jī)變量X的分布列.1.實(shí)際完成情況：□按計(jì)劃完成；□超額完成,原因分析________________________________________________________________________；□未完成計(jì)劃內(nèi)容,原因分析__________________________________________________________________.2.授課及學(xué)員問(wèn)題總結(jié)：第二節(jié)二項(xiàng)分布及其應(yīng)用超幾何分布超幾何分布和二項(xiàng)分布的區(qū)別：1.超幾何分布需要知道總體的容量,而二項(xiàng)分布不需要;2.超幾何分布是不放回抽取,而二項(xiàng)分布是放回抽取〔獨(dú)立重復(fù);3.

當(dāng)總體的容量非常大時(shí),超幾何分布近似于二項(xiàng)分布。課外拓展[知識(shí)與方法]一．條件概率1．條件概率的概念一般地,設(shè)A,B為兩個(gè)事件,且,稱為在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的條件概率．讀作A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率．2．條件概率的性質(zhì)<1>；<2>,當(dāng)事件與事件對(duì)立時(shí),當(dāng)事件與事件相等時(shí)；<3>如果B與C是兩個(gè)互斥事件,則；<4>；<5>要注意與的區(qū)別,這是分清條件概率與一般概率問(wèn)題的關(guān)鍵.在中,事件A成為樣本空間,在中,樣本空間則為全體情況.二．相互獨(dú)立實(shí)驗(yàn)1．相互獨(dú)立事件的定義和性質(zhì)<1>定義：設(shè)A,B為兩個(gè)事件,如果P<AB>=P<A>P<B>,那么稱事件A與事件B相互獨(dú)立．<2>如果A與B相互獨(dú)立,那么A與,與B,與也都相互獨(dú)立．<3>如果A與B相互獨(dú)立,那么P<B|A>=P<B>,P<A|B>=P<A>．2．相互獨(dú)立事件與互斥事件的區(qū)別互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件,而相互獨(dú)立事件是指一個(gè)事件是否發(fā)生對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響,二者不能混淆．3．n個(gè)事件相互獨(dú)立對(duì)于n個(gè)事件A1,A2,…,An,如果其中任一個(gè)事件發(fā)生的概率不受其他事件是否發(fā)生的影響,則稱n個(gè)事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立．4．獨(dú)立事件的概率公式<1>若事件A,B相互獨(dú)立,則P<AB>=P<A>×P<B>；<2>若事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立,則P<A1A2…An>=P<A1>×P<A2>×…×P<An>．三．二項(xiàng)分布1．n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)一般地,在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．2．二項(xiàng)分布一般地,在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p,則P<X=k>=Ceq\o\al<k,n>pk<1－p>n－k,k=0,1,2,…,n.此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,記作X～B<n,p>,并稱p為成功概率．[例題與變式]題型一條件概率[例1]判斷<正確的打"√",錯(cuò)誤的打"×"><1>若事件A與B互斥,則P<B|A>=0.<><2>若事件A等于事件B,則P<B|A>=1.<><3>P<B|A>與P<A|B>相同．<>[例2]設(shè)某動(dòng)物由出生算起活到20歲的概率為0.8,活到25歲的概率為0.4,現(xiàn)有一個(gè)20歲的這種動(dòng)物,則它活到25歲的概率是________．[變式1]設(shè)A,B為兩個(gè)事件,且P<A>>0,若P<AB>=eq\f<1,3>,P<A>=eq\f<2,3>,則P<B|A>=________.[變式2]在100件產(chǎn)品中有95件合格品,5件不合格品．現(xiàn)從中不放回地取兩次,每次任取一件,則在第一次取到不合格品后,第二次再取到不合格品的概率為________．[例3]一個(gè)袋中有2個(gè)黑球和3個(gè)白球,如果不放回地抽取兩個(gè)球,記事件"第一次抽到黑球"為A；事件"第二次抽到黑球"為B.<1>分別求事件A,B,AB發(fā)生的概率；<2>求P<B|A>．[例5]現(xiàn)有6個(gè)節(jié)目準(zhǔn)備參加比賽,其中4個(gè)舞蹈節(jié)目,2個(gè)語(yǔ)言類節(jié)目,如果不放回地依次抽取2個(gè)節(jié)目,求：<1>第1次抽到舞蹈節(jié)目的概率；<2>第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目的概率；<3>在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下,第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率．[變式3]在5道題中有3道理科題和2道文科題,如果不放回地依次抽取2道題,求：<1>第一次抽取到理科題的概率；<2>第一次和第二次都抽取到理科題的概率；<3>在第一次抽到理科題的條件下,第二次抽到理科題的概率.[變式4]從1,2,3,4,5,6中任取2個(gè)不同的數(shù),事件A="取到的兩個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)",事件B="取到的兩個(gè)數(shù)均為偶數(shù)",則P<B|A>=<>A.eq\f<1,8>B.eq\f<1,4>C.eq\f<2,5>D.eq\f<1,2>[變式5]將一枚骰子連續(xù)拋擲兩次,記"第一次拋出的是合數(shù)"為事件A,"第二次拋出的是質(zhì)數(shù)"為事件B,則_______.[變式6]<2016·XX二模>已知甲在上班途中要經(jīng)過(guò)兩個(gè)路口,在第一個(gè)路口遇到紅燈的概率為0.5,兩個(gè)路口連續(xù)遇到紅燈的概率為0.4,則甲在第一個(gè)路口遇到紅燈的條件下,第二個(gè)路口遇到紅燈的概率為<>[變式7]一張儲(chǔ)蓄卡的密碼共有6位數(shù)字,每位數(shù)字都可從0～9中任選一個(gè),某人在銀行自動(dòng)提款機(jī)上取錢時(shí),忘記了密碼的最后一位數(shù)字,求〔1任意按最后一位數(shù)字,不超過(guò)2次就按對(duì)的概率；〔2如果他記得密碼的最后一位是偶數(shù),不超過(guò)2次就按對(duì)的概率。題型二相互獨(dú)立事件[例1]袋內(nèi)有3個(gè)白球和2個(gè)黑球,從中不放回地摸球,用A表示"第一次摸得白球",用B表示"第二次摸得白球",則A與B是<>A．互斥事件 B．相互獨(dú)立事件C．對(duì)立事件 D．不相互獨(dú)立事件[例2]判斷下列各對(duì)事件是否是相互獨(dú)立事件．<1>甲組3名男生,2名女生；乙組2名男生,3名女生,現(xiàn)從甲、乙兩組中各選1名同學(xué)參加演講比賽,"從甲組中選出1名男生"與"從乙組中選出1名女生"；<2>容器內(nèi)盛有5個(gè)白乒乓球和3個(gè)黃乒乓球,"從8個(gè)球中任意取出1個(gè),取出的是白球"與"從剩下的7個(gè)球中任意取出1個(gè),取出的還是白球"；<3>擲一顆骰子一次,"出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)"與"出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)"．[變式1]下列事件中,A,B是相互獨(dú)立事件的是<>A．一枚硬幣擲兩次,A="第一次為正面",B="第二次為反面"B．袋中有2白,2黑的小球,不放回地摸兩球,A="第一次摸到白球",B="第二次摸到白球"C．?dāng)S一枚骰子,A="出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)",B="出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)"D．A="人能活到20歲",B="人能活到50歲"[變式2]甲、乙兩名射手同時(shí)向一目標(biāo)射擊,設(shè)事件A："甲擊中目標(biāo)",事件B："乙擊中目標(biāo)",則事件A與事件B<>A．相互獨(dú)立但不互斥 B．互斥但不相互獨(dú)立C．相互獨(dú)立且互斥 D．既不相互獨(dú)立也不互斥題型三相互獨(dú)立事件發(fā)生的概率[例]面對(duì)非洲埃博拉病毒,各國(guó)醫(yī)療科研機(jī)構(gòu)都在研究疫苗,現(xiàn)有A,B,C三個(gè)獨(dú)立的研究機(jī)構(gòu)在一定的時(shí)期內(nèi)能研制出疫苗的概率分別是eq\f<1,5>,eq\f<1,4>,eq\f<1,3>.求：<1>他們都研制出疫苗的概率；<2>他們都失敗的概率；<3>他們能夠研制出疫苗的概率.[變式]一個(gè)袋子中有3個(gè)白球,2個(gè)紅球,每次從中任取2個(gè)球,取出后再放回,求：<1>第1次取出的2個(gè)球都是白球,第2次取出的2個(gè)球都是紅球的概率；<2>第1次取出的2個(gè)球1個(gè)是白球、1個(gè)是紅球,第2次取出的2個(gè)球都是白球的概率．題型四二項(xiàng)分布[例1]1.任意拋擲三枚均勻硬幣,恰有2枚正面朝上的概率為<>A.eq\f<3,4>B.eq\f<3,8>C.eq\f<1,3>D.eq\f<1,4>2.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)滿足的條件是________．<填序號(hào)>①每次試驗(yàn)之間是相互獨(dú)立的；②每次試驗(yàn)只有發(fā)生和不發(fā)生兩種情況；③每次試驗(yàn)中發(fā)生的機(jī)會(huì)是均等的；④每次試驗(yàn)發(fā)生的事件是互斥的．3.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,X～B,則P<X=2>等于________.4.姚明比賽時(shí)罰球命中率為90%,則他在3次罰球中罰失1次的概率是________．[例2]甲、乙兩人各射擊一次,擊中目標(biāo)的概率分別是eq\f<2,3>和eq\f<3,4>.假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒(méi)有影響；每人各次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間也沒(méi)有影響．<1>求甲射擊4次,至少有1次未擊中目標(biāo)的概率；<2>求兩人各射擊4次,甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)3次的概率．[例3]一名學(xué)生每天騎自行車上學(xué),從家到學(xué)校的途中有5個(gè)交通崗,假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的,并且概率都是.<1>求這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)ξ的分布列；<2>求這名學(xué)生在首次遇到紅燈或到達(dá)目的地停車前經(jīng)過(guò)的路口數(shù)η的分布列．[例4]甲乙兩隊(duì)參加奧運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽,每隊(duì)3人,每人回答一個(gè)問(wèn)題,答對(duì)者為本隊(duì)贏得一分,答錯(cuò)得零分．假設(shè)甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為eq\f<2,3>,乙隊(duì)中3人答對(duì)的概率分別為eq\f<2,3>,eq\f<2,3>,eq\f<1,2>,且各人回答正確與否相互之間沒(méi)有影響．用ξ表示甲隊(duì)的總得分．<1>求隨機(jī)變量ξ的分布列；<2>用A表示"甲、乙兩個(gè)隊(duì)總得分之和等于3"這一事件,用B表示"甲隊(duì)總得分大于乙隊(duì)總得分"這一事件,求P<AB>．[變式1]某氣象站天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率為80%,計(jì)算<結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后面第2位>：<1>5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確的概率；<2>5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確的概率．[變式2]袋中有8個(gè)白球、2個(gè)黑球,從中隨機(jī)地連續(xù)抽取3次,每次取1個(gè)球．有放回抽樣時(shí),求取到黑球的個(gè)數(shù)X的分布列．[變式3]某架飛機(jī)載有5位空降兵依次空降到A,B,C三個(gè)地點(diǎn),每位空降兵都要空降到A,B,C中的任意一個(gè)地點(diǎn),且空降到每一個(gè)地點(diǎn)的概率都是eq\f<1,3>,用X表示地點(diǎn)C空降人數(shù),求：<1>地點(diǎn)A空降1人,地點(diǎn)B,C各空降2人的概率；<2>隨機(jī)變量X的分布列.1.已知X～B,則P<X=2>等于<>A.eq\f<3,16>B.eq\f<4,243>C.eq\f<13,243>D.eq\f<80,243>2.某電子管正品率為eq\f<3,4>,次品率為eq\f<1,4>,現(xiàn)對(duì)該批電子管進(jìn)行測(cè)試,設(shè)第ξ次首次測(cè)到正品,則P<ξ=3>=<>A． B．C.D.3.已知P<B|A>=eq\f<1,3>,P<A>=eq\f<2,5>,則P<AB>等于<>A.eq\f<5,6>B.eq\f<9,10>C.eq\f<2,15>D.eq\f<1,15>4.明天上午李明要參加"青年文明號(hào)"活動(dòng),為了準(zhǔn)時(shí)起床,他用甲乙兩個(gè)鬧鐘叫醒自己,假設(shè)甲鬧鐘準(zhǔn)時(shí)響的概率為0.80,乙鬧鐘準(zhǔn)時(shí)響的概率為0.90,則兩個(gè)鬧鐘至少有一個(gè)準(zhǔn)時(shí)響的概率是________.5.一名學(xué)生騎自行車去上學(xué),從他家到學(xué)校的途中有6個(gè)交通崗,假設(shè)在各個(gè)交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的,并且概率都是eq\f<1,3>.設(shè)X為這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù),求X的分布列．1.實(shí)際完成情況：□按計(jì)劃完成；□超額完成,原因分析________________________________________________________________________；□未完成計(jì)劃內(nèi)容,原因分析__________________________________________________________________.2.授課及學(xué)員問(wèn)題總結(jié)：第三節(jié)離散型隨機(jī)變量的期望與方差在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中,數(shù)學(xué)期望<mean>〔或均值,亦簡(jiǎn)稱期望是試驗(yàn)中每次可能結(jié)果的概率乘以其結(jié)果的總和,是最基本的數(shù)學(xué)特征之一。它反映隨機(jī)變量平均取值的大小。在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中,數(shù)學(xué)期望<mean>〔或均值,亦簡(jiǎn)稱期望是試驗(yàn)中每次可能結(jié)果的概率乘以其結(jié)果的總和,是最基本的數(shù)學(xué)特征之一。它反映隨機(jī)變量平均取值的大小。需要注意的是,期望值并不一定等同于常識(shí)中的"期望"——"期望值"也許與每一個(gè)結(jié)果都不相等。期望值是該變量輸出值的平均數(shù)。期望值并不一定包含于變量的輸出值集合里。大數(shù)定律規(guī)定,隨著重復(fù)次數(shù)接近無(wú)窮大,數(shù)值的算術(shù)平均值幾乎肯定地收斂于期望值。課外拓展[知識(shí)與方法]一．離散型隨機(jī)變量的均值1.定義：若離散型隨機(jī)變量X的分布列為：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱E<X>=x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望．2.意義：它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．3.性質(zhì)：如果X為<離散型>隨機(jī)變量,則Y=aX＋b<其中a,b為常數(shù)>也是隨機(jī)變量,且P<Y=axi＋b>=P<X=xi>,i=1,2,3,…,n.E<Y>=E<aX＋b>=aE<X>＋b.二．離散型隨機(jī)變量的方差1.定義：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則<xi－E<X>>2描述了xi<i=1,2,…,n>相對(duì)于均值E<X>的偏離程度,而D<X>=為這些偏離程度的加權(quán)平均,刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E<X>的平均偏離程度．稱D<X>為隨機(jī)變量X的方差,其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差．2.意義：隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離于均值的平均程度．方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小,則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越?。?.性質(zhì)：設(shè)a,b為常數(shù),則D<aX＋b>=a2D<X>．三．常見(jiàn)的兩種分布的均值與方差設(shè)p為一次試驗(yàn)中成功的概率,則<1>兩點(diǎn)分布E<X>=p,D<X>=p<1－p>；<2>二項(xiàng)分布E<X>=np,D<X>=np<1－p>.[例題與變式]題型一離散型隨機(jī)變量的期望[例1]1.下列說(shuō)法正確的有________．<填序號(hào)>①隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E<X>是個(gè)變量,其隨X的變化而變化；②隨機(jī)變量的均值反映樣本的平均水平；③若隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E<X>=2,則E<2X>=4；④隨機(jī)變量X的均值E<X>=eq\f<x1＋x2＋…＋xn,n>.2.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為：X123Peq\f<3,5>eq\f<3,10>eq\f<1,10>則X的數(shù)學(xué)期望E<X>=________.3.設(shè)E<X>=10,則E<3X＋5>=________.[例2]某運(yùn)動(dòng)員投籃命中率為p=0.6.<1>求投籃1次時(shí)命中次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望；<2>求重復(fù)5次投籃時(shí),命中次數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望．[例3]已知隨機(jī)變量X的分布列如下：X－2－1012Peq\f<1,4>eq\f<1,3>eq\f<1,5>meq\f<1,20><1>求m的值；<2>求E<X>；<3>若Y=2X－3,求E<Y>．[例4]在甲、乙等6個(gè)單位參加的一次"唱讀講傳"演出活動(dòng)中,每個(gè)單位的節(jié)目集中安排在一起,若采用抽簽的方式隨機(jī)確定各單位的演出順序<序號(hào)為1,2,…,6>,求：<1>甲、乙兩單位的演出序號(hào)至少有一個(gè)為奇數(shù)的概率；<2>甲、乙兩單位之間的演出單位個(gè)數(shù)ξ的分布列與均值.[例5]隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件,經(jīng)質(zhì)檢,其中一等品126件,二等品50件,三等品20件,次品4件．已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤(rùn)分別為6萬(wàn)元、2萬(wàn)元、1萬(wàn)元,而1件次品虧損2萬(wàn)元,設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(rùn)<單位：元>為X.<1>求X的分布列；<2>求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)<即X的數(shù)學(xué)期望>；<3>經(jīng)技術(shù)革新后,仍有四個(gè)等級(jí)的產(chǎn)品,但次品率降為1%,一等品率提高為70%,如果此時(shí)要求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)不小于4.73萬(wàn)元,則三等品率最多是多少？[變式1]已知隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ-101Peq\f<1,2>eq\f<1,3>m若η=aξ＋3,E<η>=eq\f<7,3>,則a=<>A．1B．2C．3D．4[變式2]盒中裝有5節(jié)同牌號(hào)的五號(hào)電池,其中混有兩節(jié)廢電池．現(xiàn)在無(wú)放回地每次取一節(jié)電池檢驗(yàn),直到取到好電池為止,求抽取次數(shù)X的分布列及均值．[變式3]甲、乙兩人各自獨(dú)立破譯某個(gè)密碼,甲破譯出密碼的概率是eq\f<2,3>,乙破譯出密碼的概率是eq\f<4,5>,設(shè)破譯出該密碼的人數(shù)為X,求其數(shù)學(xué)期望．題型二離散型隨機(jī)變量的方差[例1]1.下列說(shuō)法正確的有________<填序號(hào)>．①離散型隨機(jī)變量ξ的期望E<ξ>反映了ξ取值的概率的平均值；②離散型隨機(jī)變量ξ的方差D<ξ>反映了ξ取值的平均水平；③離散型隨機(jī)變量ξ的期望E<ξ>反映了ξ取值的波動(dòng)水平；④離散型隨機(jī)變量ξ的方差D<ξ>反映了ξ取值的波動(dòng)水平．2.已知隨機(jī)變量ξ,D<ξ>=eq\f<1,9>,則ξ的標(biāo)準(zhǔn)差為________．3.已知隨機(jī)變量ξ的分布列如下表：ξ-101Peq\f<1,2>eq\f<1,3>eq\f<1,6>則ξ的均值為________,方差為________．[例2]1.若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,且成功概率P=0.5,則D<X>=________,E<X>=________.2.一批產(chǎn)品中,次品率為eq\f<1,3>,現(xiàn)連續(xù)抽取4次,其次品數(shù)記為X,則D<X>的值為________.3.已知隨機(jī)變量X,D<10X>=eq\f<100,9>,則X的標(biāo)準(zhǔn)差為________．[例3]為防止風(fēng)沙危害,某地政府決定建設(shè)防護(hù)綠化帶,種植楊樹、沙柳等植物．某人一次種植了n株沙柳,已知各株沙柳成活與否是相互獨(dú)立的,成活