微分方程專題訓練題_第1頁
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微分方程專題訓練題1.求解下列微分方程：a.$y'+2y=0$解答：給定微分方程$y'+2y=0$，將其轉(zhuǎn)化為分離變量的形式，得到：$$\frac{dy}{dx}=-2y$$分離變量：$$\frac{1}{y}dy=-2dx$$對上式兩邊同時積分：$$\int\frac{1}{y}dy=\int-2dx$$$$\ln|y|=-2x+C$$其中$C$為常數(shù)。解得：$$|y|=e^{-2x+C}$$$$y=\pme^{-2x+C}$$b.$y''-2y'+y=0$解答：給定微分方程$y''-2y'+y=0$，設(shè)其特征方程為$r^2-2r+1=0$。解特征方程得到重根$r=1$。所以通解形式為$y=c_1e^x+c_2xe^x$。2.求解下列常微分方程的特解：a.$y'-3y=x$解答：給定常微分方程$y'-3y=x$，首先求其對應(yīng)的齊次方程$y'-3y=0$的通解。齊次方程的解為$y=ce^{3x}$，其中$c$為常數(shù)。對于特解，我們可以猜測形式為$y_p=ax+b$，帶入原方程得到：$$a-3(ax+b)=x$$整理得到：$$-3ax+(a-3b)=x$$由此可得$a=-\frac{1}{3}$，$b=-\frac{1}{9}$。所以原方程的特解為$y_p=-\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}$。綜合齊次方程的通解和特解，得到原方程的通解為$y=ce^{3x}-\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}$。b.$y''+4y'+4y=2e^{-2x}$解答：給定常微分方程$y''+4y'+4y=2e^{-2x}$，首先求其對應(yīng)的齊次方程$y''+4y'+4y=0$的通解。齊次方程的特征方程為$r^2+4r+4=0$，解得重根$r=-2$。所以齊次方程的通解為$y=(c_1+c_2x)e^{-2x}$。對于特解，我們可以猜測形式為$y_p=ae^{-2x}$，帶入原方程得到：$$4ae^{-2x}-8ae^{-2x}+4ae^{-2x}=2e^{-2x}$$整理得到$a=\frac{1}{2}$。所以原方程的特解為$y_p=\frac{1}{2}e^{-2x}$。綜合齊次方程的通解和特解，得到原方程的通解為$y=(c_1+

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