石室中學(xué)高2024屆2024-2025學(xué)年度下期二診模擬考試數(shù)學(xué)（文科）A卷答案2.19

成都石室中學(xué)2024-2025年度下期高2024屆二診模擬考試數(shù)學(xué)試題（文）（A卷）參考答案選擇題：1.已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則的虛部是A.B.C.D.1.A,所以的虛部是.2.若集合，則是的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2.A，則A是B的真子集，則是的充分不必要條件.1187712511877125131312A.這8位同學(xué)數(shù)學(xué)月考成績的極差是14B.這8位同學(xué)數(shù)學(xué)月考成績的中位數(shù)是122C.這8位同學(xué)數(shù)學(xué)月考成績的眾數(shù)是118D.這8位同學(xué)數(shù)學(xué)月考成績的平均數(shù)是1243.B對于選項A,極差是，故A錯誤;對于選項B，中位數(shù)是，故B正確;對于選項C，眾數(shù)是117，故C錯誤;對于選項D，平均數(shù)是，故D錯誤，故選B.4.已知一個空間幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖、側(cè)視圖都是由半圓和矩形組成，則這個幾何體的體積是A.B.C.D.4.A還原成直觀圖后，幾何體由一個圓柱和八分之三個球組成，故這個幾何體的體積.5.已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，則的值為A.2B.4C.6D.85.B因為，由等差數(shù)列的性質(zhì)，得，，所以.6.若是正實數(shù)，且，則的最小值為A．B．C．D．6.A因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為.7.當(dāng)時，關(guān)于的不等式有解，則的最小值是A．B．C．D．7.A當(dāng)時，，所以在上有解，所以，所以.由，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值是2.7.當(dāng)時，關(guān)于的不等式有解，則的最小值是A．B．C．D．7.A當(dāng)時，，所以在上有解，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值是.8.在2023年成都“世界大學(xué)生運動會”期間，組委會將甲，乙，丙，丁四位志愿者分配到三個場館執(zhí)勤，若每個場館至少分到一人，且甲不能被分配到場館，則不同分配方案的種數(shù)是A．48B．36C．24D．12C分兩種情況：第一種情況，甲單獨一人執(zhí)勤一個場館，共有種；第二種情況，甲和另一個人一起執(zhí)勤一個場館，共有種，則共有24種.8.（文科）已知函數(shù)，則下列結(jié)論中不正確的是A．為函數(shù)的一個周期B．點是曲線的一個對稱中心點C．在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的最大值為D．將函數(shù)的圖象向右平移個長度單位后，得到一個偶函數(shù)的圖象8．C【解析】對于A，函數(shù)的最小正周期為，所以為函數(shù)的一個周期，正確；對于B：令，解得，當(dāng)時，，所以點是的一個對稱中心點，故B正確；對于C：，得，令，因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以實數(shù)a的最大值為，故C不正確；對于D：，故D正確.綜上，故選C．9.已知拋物線，弦過其焦點，分別過弦的端點的兩條切線交于點，點到直線距離的最小值是A．B．C．1D．29.D設(shè)，設(shè)過處的直線是，聯(lián)立，得，，即，則在處的切線方程為，同理，處的切線方程為，設(shè)交點的坐標(biāo)為，點在兩條切線上，所以，，則直線的方程是.又過其焦點，易知交點的軌跡是，所以C，：，所以交點到直線的距離是，所以當(dāng)時d的最小值為2.10.如圖，四棱柱中，為棱的中點，為四邊形對角線的交點，下列說法：①//平面；②若//平面，則；③若四邊形矩形，且，則四棱柱為直四棱柱.其中正確說法的個數(shù)是0B.1C.2D.310.C對于①，若//平面，過作的平行線交于其中點，為連接，由于平面，且//平面，所以平面//平面，所以//平面，所以//.當(dāng)與不平行時，//不成立.①是假命題.對于②，同①，//，則.②是真命題.對于③，四邊形矩形，所以.又，所以平面//平面，所以四棱柱可看作為上底面，為下底面的四棱柱，過作的平行線交于點，則為的中點，連接，由條件有，又，則平面，則，，所以，又，所以平面，則四棱柱為直四棱柱.③是真命題.10.(B卷)如圖，在長方體中，，，，分別是棱和上的兩個動點，且，則的中點到的距離為（

）A． B． C． D．10.C取的中點，連接，以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，因為是的中點，所以，所以，而，所以，即，所以點到的距離就是，因為，所以，即，所以，即，所以的中點到的距離為.故選：C.11.已知函數(shù)，若,,，則A.B.C.D.11.B是偶函數(shù)，，則在上是增函數(shù).構(gòu)造函數(shù)，則，令，得，令，得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.又，所以，所以，所以，所以，所以.11.（B卷）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．11.B由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)知，即，同理，又，即，，所以，即，綜上，故選：B．12.若雙曲線的左、右焦點分別為，過右焦點的直線與雙曲線交于兩點，已知的斜率為，，且，，則直線的斜率是A.B.C.D.12.A設(shè)，則，由雙曲線定義，得.在中，由余弦定理，得，解得.在中，由余弦定理，得,解得.法一：令，則，，設(shè)：，聯(lián)立，，得，.由，得，則，所以.法二：設(shè)直線傾斜角為，由雙曲線第二定義得：，，又，則，又，則.二、填空題：13.已知向量，，若，則實數(shù).13.1因為，所以，解得.14.已知實數(shù)滿足約束條件，則的最大值是.14.3作出滿足的可行域如圖中陰影部分所示，作出直線并平移，當(dāng)直線過點時，，所以的最大值是3.15.已知等比數(shù)列的前項和為，若，則取最大值時，的值為．15.3等比數(shù)列的公比為，由等比數(shù)列前項和公式，得.又，則，，所以取最大值時，的值是3.16.若，恒有，則的取值范圍是.16.由，得在上恒成立，即.且，即.因為在上是增函數(shù)，所以，所以.令，則，所以在上單調(diào)遞增，，所以.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.（12分）為了去庫存，某商場舉行如下促銷活動：有兩個摸獎箱，箱內(nèi)有1個紅球、1個黑球、8個白球，箱內(nèi)有4個紅球、4個黑球、2個白球，每次摸獎后放回．消費額滿300元有一次箱內(nèi)摸獎機會，消費額滿600元有一次箱內(nèi)摸獎機會.每次機會均為從箱子中摸出1個球，中獎規(guī)則如下：紅球獎50元代金券、黑球獎30元代金券、白球獎10元代金券．（Ⅰ）某三位顧客各有一次箱內(nèi)摸獎機會，求中獎10元代金券人數(shù)的分布列；（Ⅱ）某顧客消費額為600元,請問：這位顧客如何抽獎所得的代金券期望值較大？解：（Ⅰ）三位顧客每人一次箱內(nèi)摸獎中10元代金券的概率都為，中獎10元代金券的人數(shù)服從二項分布，，……4分故的分布列為0123P…………6分（Ⅱ）可以在箱摸獎2次，或者在箱內(nèi)摸獎1次箱摸獎1次所得獎金的期望值為，…………8分箱摸獎1次所得獎金的期望值為，………10分箱摸獎2次所得獎金的期望值為，箱摸獎1次所得獎金的期望值為34，所以這位顧客選箱摸獎1次所得獎金的期望值較大．…………12分17.（文）某校從高二年級學(xué)生中隨機抽取60名學(xué)生，將他們的期中成績（均為整數(shù)）分成六段，，后得到如圖所示的頻率分布直方圖，觀察圖形，回答下列問題：(1)求，并估計此次期中考試成績的眾數(shù).(2)利用分層抽樣的方法從樣本中成績在和兩個分數(shù)段內(nèi)的學(xué)生中抽5人，再從這5人中隨機抽取2人，求這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值不大于10的概率.【詳解】（1）由直方圖知：，則，由圖知：區(qū)間的頻率最大，故眾數(shù)為75.…………4分（2）成績在分數(shù)段的人數(shù)有，成績在分數(shù)段的人數(shù)有，采用分層抽樣的方式，在抽取人，記為A，B，C，抽取人，記為1，2，從這5人中隨機抽取兩人，所有的基本事件有共10種，……8分2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值不大于10等價于這2個同學(xué)在同一個分數(shù)段.記“這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值不大于10”為事件N，則事件N包含的基本事件有共4種，…………10分所以所求概率為.……………12分18.（12分）已知，設(shè).（Ⅰ）求函數(shù)的對稱中心；（Ⅱ）若中，角所對的邊分別為，，且外接圓的半徑為，是邊的中點，求線段長度的最大值.解：（Ⅰ）由，得.令,解得,所以函數(shù)的對稱中心為……6分（Ⅱ）∵，∴，又且外接圓的半徑為，則，法一：∴由余弦定理，得.，,.由，，得，即（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），∴，即，此時，.………………12分法二：直接畫出三角形的外接圓，由圖可知，當(dāng)時，AD最大，此時為等邊三角形，所以AD=，所以.19.（12分）如圖，棱長為的正方體中,是棱上靠近的三等分點.（Ⅰ）求證：與平面不垂直；（Ⅱ）在線段上是否存在一點使得平面平面？若存在，請計算的值；若不存在，請說明理由.解：以為坐標(biāo)原點建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，.（Ⅰ）,因為，所以與平面不垂直..…………5分（Ⅱ）存在點，且.設(shè)，則.，設(shè)平面的法向量為，則，令，得.同理，平面的一個法向量為.若平面平面，則，即，.所以在線段上存在一點使得平面與平面垂直，且.…………12分19（文科）如圖，棱長為的正方體中,.（Ⅰ）若是線段的中點，求證：平面；（Ⅱ）求三棱錐的體積.解：（Ⅰ）如圖，分別作出線段的三等分點，連接，，.分別是的中點又平面平面平面平面…………………………6分（Ⅱ）…………………12分20.（12分）已知點是橢圓的右焦點，過原點的直線交橢圓于兩點,面積的最大值為，.（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）已知過點的直線與橢圓E交于兩點，是否存在定點，使得直線的斜率之和為定值？若存在，求出定點的坐標(biāo)及該定值.若不存在，請說明理由.解：（Ⅰ）因為，當(dāng)且僅當(dāng)是軸與橢圓的交點時取等號，所以.又,所以，所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.………4分（Ⅱ）設(shè)直線的方程為由在直線上，得聯(lián)立化簡得.由，得.由根與系數(shù)的關(guān)系，得………………7分故直線的斜率之和為…………9分……..11分要使上式為定值，則故，且……..12分21.（12分）已知函數(shù)（Ⅰ）是否存在實數(shù)使得在區(qū)間上恒成立，若存在，求出的取值范圍，若不存在，請說明理由；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù)).解：（Ⅰ），因為在區(qū)間上恒成立，所以，所以>0，故對任意的>0都能滿足在區(qū)間上恒成立.…………4分（Ⅱ）由區(qū)間得，所以.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，.……6分下面先證明：．設(shè)，則，由得，所以在上是增函數(shù)，故．所以．……………7分，①當(dāng)，即時，函數(shù)在上無零點；②當(dāng)，即時，函數(shù)在上無零點；③當(dāng)，即時，,由于，，,下面證明.令，則，令，則， 令，則，所以在上單調(diào)遞增，，所以在上單調(diào)遞增，，所以在上單調(diào)遞增，，所以，所以函數(shù)在上有一個零點.……11分綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)無零點；當(dāng)時，函數(shù)有一個零點.…12分22.（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，傾斜角為的直線過定點，以為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線與曲線相交于不同的兩點.（Ⅰ）若，求線段中點的直角坐標(biāo)；（Ⅱ）若，求的最小值.解析：（Ⅰ）曲線的普通方程為……1分當(dāng)時，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入，得……2分設(shè)，對應(yīng)的參數(shù)為，，則，……3分所以對應(yīng)的參數(shù)為，……4分代入?yún)?shù)