與圓有關(guān)的位置關(guān)系（5個知識點）-中考復(fù)習(xí)講義及練習(xí)（解析版）

第五部分圓

專題20與圓有關(guān)的位置關(guān)系（5大考點）

核心考點一點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

核心考點二圓的切線的判定

核心考點核心考點三圓的切線的性質(zhì)

核心考點四與切線的判定和性質(zhì)有關(guān)的問題

核心考點五三角形的內(nèi)切圓

新題速遞

核心考點一點與圓'直線與圓'圓與圓的位置關(guān)系

0

gι∣（2021.湖南婁底.統(tǒng)考中考真題）如圖，直角坐標(biāo)系中，以5為半徑的動圓的圓心A沿X軸移動，當(dāng)

點A的坐標(biāo)為（）

C.(+12,0)D.(±13,0)

【答案】D

【分析】當(dāng)。A與直線/：y=3只有一個公共點時，則此時。A與直線Ay=?相切，（需考慮左右兩側(cè)

相切的情況）；設(shè)切點為B，此時B點同時在。A與直線/：y=\x上，故可以表示出B點坐標(biāo)，過8點作

BCIIOA,則此時八4。BSZ?08C,利用相似三角形的性質(zhì)算出OA長度，最終得出結(jié)論.

【詳解】如下圖所示，連接A3,過8點作8C〃Q4,

在RfOBC中，OB=JBC2+OC?

又???A半徑為5,

：?AB=5,

,/BCIIOA,

:./XAOBsAOBC,

πuOAABOB

BOOCBC

OA_5

λ??l?l2|，

12'1I2l1

/.OA=I3,

???左右兩側(cè)都有相切的可能,

???A點坐標(biāo)為(±13,0),

故選：D.

【點睛】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，熟知相似三角形的判定與性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

甌W（2020?上海?統(tǒng)考中考真題）在矩形ABCZ）中，AB=6,BC=S,點。在對角線AC上，圓。的半徑為

2,如果圓O與矩形ABCD的各邊都沒有公共點，那么線段Ao長的取值范圍是—.

【答案】y<ΛO<y.

【分析】根據(jù)勾股定理得到AC=I0,如圖1,設(shè)G）O與AD邊相切于E,連接OE,證明△A。ESAACO即

可求出與AD相切時的AO值；如圖2,設(shè)。O與BC邊相切于F,連接OF,證明△CoFSXCAB即可求出

BC相切時的AO值，最后即可得到結(jié)論.

【詳解】解：在矩形ABC。中，VZZ>90o,48=6,BC=S,ΛAC=10,

如圖1,設(shè)。。與AO邊相切于E,連接OE,

.?.?AOE^∕?ACD,

.OEAO

**CD-AC,

.AO2

??=,

106

3

如圖2,設(shè)。。與BC邊相切于凡連接OF,

則。尸，8C,ΛOF//AB,

：./\COF^/\CAB,

.OCOF

??二=，

ACAB

.OC2

??---=一,

106

???CzG—，

3

?.喈，

J如果圓。與矩形ABCD的各邊都沒有公共點，那么線段AO長的取值范圍是y<AO<y.

10?20

故答案為:-<AO<-.

33

【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出圖形是解

題的關(guān)鍵.

甌(2022.四川涼山.統(tǒng)考中考真題)如圖，已知半徑為5的。M經(jīng)過X軸上一點C,與y軸交于A、B

兩點，連接AM、AC,AC平分No4M,A0+C0=6

(1)判斷OM與X軸的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)求AB的長；

⑶連接并延長交圓M于點。，連接C￡),求直線Cz)的解析式.

【答案】(1)。M與X軸相切，理由見解析

(2)6

(3)y--?X+2

【分析】(1)連接CM,證CMLX即可得出結(jié)論；

(2)過點M作MMLAB于M證四邊形OCMN是矩形，得MN=OC,ON=OM=5,設(shè)AN=x,則。4=5-x,

MN=OC=6-(5-x)=l+x,利用勾股定理求出X值，即可求得AN值，再由垂徑定理得A8=2AN即可求解；

(3)連接BC,CM,過點。作QALCM于P,得直角三角形BCQ,由(2)知：AB=6,OA=2,OC=4,所

以。3=8,C(4,0),在Rt4BOC'V,/3。C=90。，由勾股定理，求得BC=4√5,在RtABCD中，NBCO=90。，

由勾股定理，即可求得CD,在放△CPO和在4△MPO中，由勾股定理，求得CP=2,PD=4,從而得出點

〃坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出直線CD解析式即可.

【詳解】(I)解：OM與X軸相切，理由如下：

連接CM，如圖，

.9.ZMCA=ZMACt

「AC平分/OAM,

：.ZMAC=ZOACf

.?.NMCA=NOAG

β.βZOAC+ZACO=90o,

.*.ZMCO=ZMCA+ZΛCO=ZOAC÷ZACO=90o,

YMC是。M的半徑，點C在無軸上，

???。加與X軸相切；

(2)解：如圖，過點M作MNLAB于N,

由(1)知，NMCo=90。,

TMN上AB于N,

o

ΛZMNO=90iAB=2AN,

又?：/CON=90。,

???四邊形OeMN是矩形，

：.MN=OC,ON=CM=5,

9

?0A+0C=6f

設(shè)AN=x,

.*.0A=5-xfMN=OC=6-(5-x)=I+x,

在用ZkMM4中，NMNA=90。,由勾股定理，得

x2+(l+x)2=52,

解得：X尸3,X2=-4(不符合題意，舍去)，

ΛΛ∕V=3,

.?AB=2AN=6;

(3)解：如圖，連接3C,CMf過點。作。P,CM于P,

.?OB=8tC(4,0)

在心ZkBOC中，NBoC=90。，由勾股定理，得

2222

BC=y∣OB+OC=√8+4=4√5，

是。M的宜徑，

.,.ZBCD=90o,BD=10,

在M48CD中，ZBCD=9Qo,由勾股定理，得

CD=√BD2-BC2=^lO2-(4√5)2=2√5.即CD2=IG,

在放ACPO中，由勾股定理，得PD2=CZ)2-CP2=2O-CP2,

在心AMPO中，由勾股定理，得PD2=MU-MP2=MD2-(MC-CP)2≈52-(5-CP)2=?OCP-CP2,

：.IG-CP2=WCP-CP2,

,

..CP=2t

.?.PZ>2=20-CP2=20-4=16,

.?.PC=4,即。點橫坐標(biāo)為OC+PD=4+4=8,

：.D(8,-2),

設(shè)直線CD解析式為尸質(zhì)+b,把C(4,0),D(8,-2)代入，得

解得:卜T

4?÷?=0

Sk+h=-2

h=2

，直線CD的解析式為：y=-〈X+2.

【點睛】本題考查直線與圓相切的判定，勾股定理，圓周角定理的推論，垂徑定理，待定系數(shù)法求一次函

數(shù)解析式，熟練掌握直線與圓相切的判定、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的方法是解題的關(guān)鍵.

齡命題矗南

1、點和圓的位置關(guān)系

點和圓的點到圓心的距離與半徑的關(guān)系

圖示

位置關(guān)系文字語言符號語言

圓內(nèi)各點到圓心的距離都小于半徑，

點在圓內(nèi)點?在圓內(nèi)。d<r

到圓心的距離小于半徑的點都在圓內(nèi)

圓內(nèi)各點到圓心的距離都等于半徑，?P

點在圓上點P在圓上=d=r

到圓心的距離等于半徑的點都在圓上

圓內(nèi)各點到圓心的距離都大于半徑，p

點在圓外點P在圓外Od>「}

到圓心的距離大于半徑的點都在圓外

2、直線和圓的位置關(guān)系

1.設(shè)Oo的半徑為r,圓心。到直線/的距離為d,則直線和圓的位置關(guān)系如下表:

位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定

相離2直線與圓沒有公共點d>ro直線/與。O相離

直線與圓有唯一公共點，直線叫做

相切d=vo直線/與QO相切

圓的切線，公共點叫做切點

直線與圓有兩個公共點，直線叫做

相交"Vr0直線/與QO相交

圓的割線

從另一個角度，直線和圓的位置關(guān)系還可以如下表示:

直線和圓的位置關(guān)系相交相切相離

公共點個數(shù)210

圓心到直線的距離d與半徑r的關(guān)系d<rd=rd>r

公共點名稱交占切點—

直線名稱割線切線—

3、圓和圓的位置關(guān)系的定義、性質(zhì)及判定

設(shè)。a、。Q的半徑分別為R、r（其中R>r）,兩圓圓心距為d,則兩圓位置關(guān)系如下表:

位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定

兩個圓沒有公共點，并且每個圓上的

外離d>R+ro兩圓外離

點都在另一個圓的外部.

兩個圓有唯一公共點，并且除了這個

外切公共點之外，每個圓上的點都在另一d=R+r。兩圓外切

個圓的外部.

相交(??r?)兩個圓有兩個公共點.R—rv"<R+r<≠>兩圓相交

⑥兩個圓有唯一公共點，并且除了這個

內(nèi)切公共點之外，一個圓上的點都在另一d=R—ro兩圓內(nèi)切

個圓的內(nèi)部.

兩個圓沒有公共點，并且一個圓上的

內(nèi)含柞7?，點都在另一個圓的內(nèi)部，兩圓同心是O≤d<R-ro兩圓內(nèi)含

兩圓內(nèi)含的一種特例.

說明：圓和圓的位置關(guān)系，又可分為三大類：相離、相切、相交，其中相離兩圓沒有公共點，它包括外離

與內(nèi)含兩種情況；相切兩圓只有一個公共點，它包括內(nèi)切與外切兩種情況.

【變式1](2022?上海松江??？既?已知ABGAB=IOcm,BC=6cm,以點B為圓心，以BC為半徑畫

圓，B,以點A為圓心，半徑為小畫圓A.已知A與B外離,則廠的取值范圍為()

A.0<r≤4B.0≤r≤4C.0<r<4D.0≤r<4

【答案】C

【分析】設(shè)半徑為RCm,則R=6cm,根據(jù)兩圓外離的條件得到AB>廠+R,從而得到〃的范圍.

【詳解】解：設(shè)3半徑為RCm,則R=Be=6cm,

.)A與B外離,

AB>r+R,

.?r<AB-R

即14,

,r>0,

.?.0<r<4.

故選：C.

【點睛】本題考杳園與圓的位置關(guān)系：兩圓的圓心距為d、兩圓的半徑分別為R,r,兩圓外離od>H+r;

兩圓外切。"=/?+〃；兩圓相交=R-r<d<R+r(R≥r):兩圓內(nèi)切Od=R-r(R>r)：兩圓內(nèi)含

^d[R-KR)r).

3

【變式2](2022.江蘇無錫.統(tǒng)考一模)如圖，已知直線y=(x—3,與X軸、y軸分別交于A、JB兩點，P是

以C(0,1)為圓心，1為半徑的圓上一動點，連接物、PB,則△/?B面積的最小值是()

A.6B.C.5

2

【答案】B

【分析】過C作CMLAB于M,連接AC,MC的延長線交。C于N,則由三角形面積公式得，^×AB×CM=

^~×OA×BC,可知圓C上點到直線y=gx-3的最短距離是乎-1=?,由此求得答案.

2455

3

【詳解】解：V直線y=jχ-3與X軸、y軸分別交于4、B兩點,

當(dāng)x=0時，y=-3；y=0時，x=4

：.OB=3；OA=4

由勾股定理得，AB=JoA2+OB-=5

VC(0,1)

???OC=I

ΛBC=OB+OC=3+1=4

過C作CMLAB于M,連接AC如圖,

則由三.角形面積公式得，y×AB×CM=^×OA×BCf

Λ5×CM=16,

?“16

??CM——,

5

???圓C上點到直線尸%3的最小距離是y-l=y,

Λ∕?PAB面積的最小值是y×5×y-=^?,

故選：B.

【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，三角形的面積，點到直線的距離公式的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是

求出圓上的點到直線AB的最小距離.

【變式3］（2022?上海青浦?統(tǒng)考二模）如圖，在直角梯形ABCO中，A?！˙C,ZA=90。，E是AO上一定點，

A3=3,BC=6,AZ)=8,AE=2.點P是BC上一個動點，以P為圓心，PC為半徑作。P.若。P與以E為圓

心，1為半徑的。E有公共點，且。P與線段4。只有一個交點，則PC長度的取值范圍是

【答案】?<PC≤4或PC=3

τ4

【分析】根據(jù)題意可得PC的最小值為圓P與AD相切，切點為M；PC最大值為圓P'與圓E內(nèi)切，切點為

Q,由直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系即可解決問題.

【詳解】解：根據(jù)題意可知：PC的最小值為圓P與AO相切，切點為M,如圖所示：

在直角梯形A8CD中，

,.?AD//BC.

：.ZABC=ZA=90o,

四邊形ABPM是矩形，

.,.PM=AB=PC=3,

PC最大值為圓P與圓E內(nèi)切，切點為Q,

P,C=P'Q=P,E+EQ=3+?-4,

當(dāng)PC=R4時，此時圓P與線段AD開始有2個交點，不符合題意,

設(shè)PC=Λ4=x,則BP=8C-PC=6-x.A3=3,

Λ(6-X)2+9=X2,

則PC長度的取值范圍是二<PC≤4或PC=3.

4

故答案為：與<PC≤4或PC=3.

【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，直角梯形，解決本題的關(guān)鍵是掌握直線與

圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系.

4

【變式4】（2022?上海浦東新?統(tǒng)考二模）如圖，在RtMC中，NAeB=90。,CoSA=MC。為A8邊上的中線，

CD=5,以點8為圓心，r為半徑作B.如果B與中線CQ有且只有一個公共點，那么B的半徑r的取

值范圍為.

【答案】5<r≤6或r='##r=y或5<r≤6

【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，判斷出符合題意的OB的半徑r的取值范圍的臨界值并求解即可；

【詳解】解：在RtABC中，ZACB=90o,CO為AB邊上的中線，CD=5,

：.AB=W,CD=BD=5,

..、A_AC_4

?cosA=-----=一,

AB5

???AC=8,

?,?BC=√AB2-AC2=√102-82=6，

24

/.Cz）邊的高=6x8÷2÷2x2÷5=W,

Y:B與中線C。有且只有一個公共點，

二：B的半徑度的取值范圍為5<r≤6或r=￡.

故答案為：5<r≤6或r=g24.

【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系、三角形的面積、直角三角形斜邊上的中線、解直角三角形等知

識；熟練掌握直線與圓的位置關(guān)系，由三角函數(shù)求出BC是解決問題的關(guān)鍵.

【變式5］（2022?遼寧鞍山?模擬預(yù)測）如圖，正方形ABa）中，點E,F,G分別為邊A8,BC,ADk

的點，且AE=BF=DG,連接EF,GE,GF.

D

(1)?B防可以看成是AGE繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)ɑ角所得，請在圖中畫出點并直接寫出1角的度數(shù)；

(2)當(dāng)點E位于何處時，EFG的面積取得最小值？請說明你的理由；

(3)試判斷直線。與..EFG外接圓的位置關(guān)系，并說明你的理由.

【答案】(1)見解析

(2)當(dāng)點E位于AB的中點時，ErG面積取得最小值，理由見解析

(3)：當(dāng)點E位于AB的中點時，直線CO與一瓦G外接圓相切；當(dāng)點E位于AB的非中點時，直線CD與一EFG

外接圓相交.理山見解析

【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，連接8。交G尸于點M,則點M即為旋轉(zhuǎn)中心；

(2)先證明RtC4EgRtEBF(SAS),得GE=FE,ZAEG=NBFE,得到EFG是等腰直角三角形，再

2

根據(jù)勾股定理與三角形面積公式得到%FG=』GE2=4AG2+A6)=(X」，+La,然后利用二次函數(shù)的

最值求解即可；

(3)分兩種情況：當(dāng)點E位于AB的中點時，直線8與AEFG外接圓相切；當(dāng)點E位于AB的非中點時,

直線C。與,.EFG外接圓相交.分別說明理由即可.

【詳解】(1)解：如圖1,連接BO交GF丁點M,則點M即為所求，

：?旋轉(zhuǎn)角α=NAMB=90。；

(2)解：當(dāng)點E位于AB的中點時，IftEFG面積取得最小值.

理由：設(shè)正方形的邊找為",AE=BF=DG=X,貝IJAG=a—X,

在RtGAE和RtZ?EB尸中，

GA=EB

-ZDAB=ZABC,

AE=BF

.?.Rt,GAE絲RtEBF(SAS),

：.GE=FE,ZAEG=ZBFE,

??.,EFG是等腰直角=角形，

,,S.EFG=；GE?=?^(AG2+AE2)=^X-?∣6tj+%2'

，當(dāng)X=；。時，即點E位于AB的中點時，面積最小，

(3)解：當(dāng)點E位于AB的中點時，直線CQ與-EFG的外接圓相切.

理由：設(shè)GF的中點為。，連接。E,如圖2,

.?.OE=LGF,

2

當(dāng)點E位于AB的中點時，點G于AD的中點，點產(chǎn)于Ce的中點,

.,.GF=CD=AD,

：.OE=-AD,

2

；?當(dāng)。到以＞的距離為

.,.直線CD%_EFG外接圓相切；

當(dāng)點E位于A8的非中點時，直線CD與EFG外接圓相交,

理由：當(dāng)點E位于A3的非中點時，GF＞CD.

到CO的距離＜0E

...直線CO與EFG外接圓相交.

綜上當(dāng)點E位于AB的中點時，直線8與EFG外接圓相切；當(dāng)點E位于AB的非中點時，直線8勺-EFG

外接圓相交.

【點睛】本踢考查正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，切線的判定，證明

Rt.G4E^RtEB尸是解題的關(guān)鍵.

核心考點二圓的切線的判定

0氟題招究

gl∣（2020.浙江.統(tǒng)考中考真題）如圖，已知。T是RtMBO斜邊AB上的高線，AO=BO.以。為圓心，

OT為半徑的圓交OA于點C,過點C作。。的切線CC,交AB于點D則下列結(jié)論中錯誤的是（）

A.DC=DTB.AD=丘DTC.BD=BOD.2OC=5AC

【答案】D

【分析】根據(jù)切線的判定知Qr是。。的切線，根據(jù)切線長定理可判斷選項A正確；可證得AADC是等腰直

角三角形，可計算判斷選項8正確;根據(jù)切線的性質(zhì)得到CD=CT,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到NDoC=/TOC,

根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可判斷選項C正確；

YOT是半徑，OTLAB,

.?.DT是。。的切線，

「CC是。。的切線，

：.DC=DT,故選項A正確;

,COA=OB,ZAOB=90o,

.,.ZA=ZB=45o,

???OC是切線，

ΛCD±OC,

???NACZ)=90。，

.φ.ZA=ZADC=45o,

：.AC=CD=DT,

:.AD=?CD=ODT,故選項3正確：

VOD=OD1OC=OT9DC=DTt

：./\DOC^/\DOT(SSS),

/.ZDOC=ZDOTf

9

：OA=OB.OTLAB1NAOB=90。，

o

/.ZAOT=ZBOT=45f

，N。Or=NooC=22.5。，

，NBOD=NoDB=67.5。,

BO=BD,故選項C正確；

VOA=OB,NAoB=90。，OTlAB,

設(shè)。。的半徑為2,

ΛOT=OC=AT=BT=2,

/.OA=OB=2λ∕2，

.工星”1-，

OC25

2OC≠5AC故選項。錯誤；

故選：D.

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓的有關(guān)知識，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正

確的識別圖形、靈活運用這些性質(zhì)進行推理是本題的關(guān)鍵.

殖(2022?廣西桂林?統(tǒng)考中考真題)如圖，某雕塑MN位于河段04上，游客P在步道上由點0出發(fā)沿

03方向行走.己知NAO8=30t5,MN=2OM=40m,當(dāng)觀景視角NMPN最大時，游客尸行走的距離。尸是

_____米.

A

N

OPB

【答案】20√3

【分析】先證OB是③F的切線，切點為E,當(dāng)點尸與點E重合時，觀景視角/MPN最大，由直角三角形的

性質(zhì)可求解.

【詳解】解：如圖，取MN的中點凡過點尸作FELOB于E,以直徑MN作0居

,/MN=2OM=40m,點尸是MN的中點，

.*.MF=FN=20m,OF=40m,

VZAOB=30o,EF1.OB,

ΛEF=20m,OE=6EF=20y∕im,

：.EF=MFi

β

?EF-LOBt

???。8是Θ尸的切線，切點為E

???當(dāng)點P與點E重合時，觀景視角NMPN最大，

此時OP=20Gm,

故答案為：20√3.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，切線的判定，直角三角形的性質(zhì)，證明OB是。F的切線是解題

的關(guān)鍵.

甌（2022?江蘇淮安?統(tǒng)考中考真題）如圖，ABC是。的內(nèi)接三角形，ZAC8=60。，A。經(jīng)過圓心。交

。于點E,連接3D，ZAD8=30。.

（1）判斷直線BE）與。的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）若AB=4√5,求圖中陰影部分的面積.

【答案】（I）宜線8。與：。相切，理由見解析

⑵圖中陰影部分的面積8√5-?

【分析】（1）連接BE,根據(jù)圓周角定理得到NA￡B=NC=60。，連接OB,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到

ZfiOD=60°,根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)圓周角定理得到NABE=90。，解直角三角形得到。8,根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）解：直線8。與工。相切，

理由：如圖，連接班，

???ZACB=60。，

JZA￡3=NC=60。，

連接。8,

?：OB=OC,

?*?Z?Q8E是等邊三角形，

JZBOD=60。，

:ZADB=30°,

JZOBD=180o~60°~30°=90°,

LOBtBD,

???。5是。的半徑，

???直線30與【?O相切；

(2)解：如(1)中圖，

B

β.?AE是。。的直徑,

/.ZABE=900,

;AB=4√3，

?..χAB4y∕3\/3

??sinzλ/Aj7EdB=Sinn6o0==---=—,

AEAE2

???AE=S,

：?03=4,

VOBLBD,ZADB=SOo

tanΛADB=tan30°=-=—,

BD3

.?.BD=-,

3

二圖中陰影部分的面積=SCW-SiL；x4x4g-史等=8反印

Z30U5

【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，扇形面積的計算,

正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

厚命題自南

1.切線的判定

（I）判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

點撥：切線必須滿足兩個條件：（1）經(jīng)過半徑的外端；（2）垂直于這條半徑，兩個條件缺一不可。

吩四延8≡

【變式1］（2023?河北邢臺?統(tǒng)考一模）如圖，已知AB是半圓。的直徑，點C,。將AB分成相等的三段弧,

點M在AB的延長線上，連接MO.對于下列兩個結(jié)論，判斷正確的是（）

結(jié)論I：若NoME>=30。，則MO為半圓。的切線；

結(jié)論H：連接AC,CL>,則NAa)=I30。

A.I和∏都對B.I對U錯C.I錯∏對D.I和∏都錯

【答案】B

【分析】連接。。，OC,先得出AC=OC=QB,ZAOC=NOOB=180。=60。，進而得出NODM=90。,

為半圓。的切線；連接AC8,再證明AOC,△">C是等邊三角形，即可得出NA8=12(Γ.

【詳解】連接8,OC，

?；點C,C將AB分成相等的三段弧，

??AC=DC=DB，

.?.ZAOC=NDoB=JXI80°=60°,

3

,/NQMZ)=30。，

.,.ZODM=90°,

,/。。是半徑，

二M力為半圓。的切線，故I對，

連接ACa),

,/OD,OC是半徑，ZAOC=ZCOD=60°,

/..AOC,aDOC是等邊三角形，

二ZACO=ZDCO=60°,

.*.ZACD=120°,故∏錯，

故選：B.

【點睛】本題考查切線的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【變式2】（2022.內(nèi)蒙古包頭.模擬預(yù)測）如圖，在AABC中，AB=AC,以AB為直徑的OO交BC于點￡>,

過點C作C/〃AB,在CF上取一點E,使。E=OC,連接BE.對于下列結(jié)論：

(T)BD=DC;②∕?CABs∕?CDE;③Bc=AD；④BE為。。的切線,

C.①④D.①②④

【答案】D

【分析】根據(jù)圓周角定理和AB=AC可得結(jié)論①；根據(jù)等邊對等角和平行線的性質(zhì)可得NA8C=/ACB=

NDCE=NDEC,可得結(jié)論②；無法確定/84C=90。，③不一定正確；由。B=OC=OE可得點E在以BC

為直徑的圓上，于是N8EC=9。。，由A8〃CE即可得結(jié)論④；

【詳解】解：:NB為直徑，

ZADβ=90°,

：.ADVBC,

而AB=CA,

：.BD=DC,所以①正確;

"：AB=CA,

：./ABC=ZACB,

而CD=ED,

：.NDCE=ZDEC,

'JCF∕∕AB,

：.ZABC=ZDCE,

.?.ZABC=ZACB=NDCE=NDEC,

：.XCBASXCED,所以②正確；

???△ABC不能確定為直角三角形，

.?./ABC不能確定等于45。，

.,?BD與AD不能確定相等，所以③不一定正確；

'：DB=DC=DE,

點E在以BC為直徑的圓上，

二NBEC=90。,

：.CEA.BE,

而CF//AB.

：.AB±BE,

.?.8E為。。的切線，所以④正確；

綜上所述①②④正確，

故選：D.

【點睛】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定，切線的判定等知識；掌握相關(guān)

性質(zhì)和判定方法是解題關(guān)鍵.

【變式3］（2022?河北保定??？家荒＃┮阎?，如圖，RfAABC中，ZABC=90o,ZBAC=60o,A（1,0）,

AB=2.

（1）點C坐標(biāo)為.

（2）若y軸上存在點M,使得∕AMB=∕BC4,則這樣的點有個.

【答案】(3,2√3)2

【分析】（1）先根據(jù)含30度直角三角形的性質(zhì)得到4C的長，進而求出BC的長即可得到點C的坐標(biāo)；

（2）如圖所示，取4C中點E,過點E作E尸于尸，EG_L_y軸于G,則四邊形E尸。G是矩形，證明圓E

與y軸相切，即圓E與），軸只有一個交點，再由圓周角定理得到NAG8=NAC8,即當(dāng)點例與點G重合時滿

足題意，據(jù)此即可得到答案.

【詳解】解：（1）在RfAABC中，ZABC=90o,ZBAC=GOo,

：.∕C=30°,

.,.AC=IAB=A,

?-?BC=AC1-AB-=2√3，

又?.Q=1,

.,.OB=OA+AB=3,

??.點C的坐標(biāo)為（3,26）,

故答案為：（3,2√3）

（2）如圖所示，取AC中點E,過點E作所，AB于F,EGLy軸于G,則四邊形EFOG是矩形,

LEG=OF,

是AC的中點，

AE=-AC=I,

2

同理可得乙4EF=30。，

/.AF=-AE=I,

2

：.GE=OF=OA+AF=2,

又：EG_Ly軸，

.?.圓E與y軸相切，即圓E與y軸只有一個交點，

：當(dāng)以E為圓心，2為半徑畫圓時，點A、B、C、G都在圓E上，

ΛZAGB=ZACB,即當(dāng)點M與點G重合時滿足題意，

此情形下只有一個點滿足題意，

由對稱性可知當(dāng)M在y軸下方時也有一個點滿足題意，

一共有2個點滿足題意，

故答案為：2.

【點睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，圓切線的判定，圓周角定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，矩形

的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【變式4】(2021?天津河北?統(tǒng)考二模)如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，ABC的頂點A、B、

C均落在格點上.

(/)ΛBC的面積為；

(〃)請在如圖所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺在力C上作一點M,使以M為圓心，MC為半徑的M與AB

相切，并簡要說明點M的位置是如何找到的(不要求證明).

【答案】6作NABC的角平分線8。交AC與M,則點M即為所求

【分析】(I)利用三角形面積公式求解即可；

(Il)計算得到AB=5,取格點E,連接AE,取AE中點D,連接BD,利用等腰三角形的性質(zhì)即可得到BD

是/A8C的角平分線.

【詳解】(I)由圖中可判斷/48C為直角三角形，直角邊為4C,BC,分別長為3,4,

則Sasc=gx3x4=6

故答案為：6；

(II)由題M為圓心的圓與AB相切且MC為半徑，作NABC的角平分線，則有MC=MP且則M

與AB相切

故答案為：作/ABC的角平分線B。交AC與M,則點M即為所求.

【點睛】本題考查三角形的面積、角平分線的性質(zhì)、切線的判定，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是關(guān)鍵

【變式5］（2023?陜西西安??？级＃┤鐖D，以.ABC的一邊43為直徑作O,。與BC邊的交點恰好為

8C的中點。，與AC邊的交點為F,過點。作3E人AC于點E.

（1）求證：直線。E是.O的切線；

（2）若AB=5,tanZACB=2,求弦AF的長度.

【答案】（1）見解析

（2）3

【分析】（1）連接0。，如圖，先證明。。為AABC的中位線，則。D〃AC,由于DE?ZAC,所以。DIDE,

于是可根據(jù)切線的判定定理得到直線DE是。的切線；

（2）連接AO,根據(jù)圓周角定理得到ZAFB=NCFB=ZADB=90°,證明AD垂直平分BC,得到AC=AB=5,

根據(jù)三角函數(shù)的定義得到~=2,設(shè)4/=χ,在AAB/中，利用勾股定理列出方程，解之即可.

【詳解】(1)解：證明:連接0。，如圖，

點。為A8的中點，點。為BC的中點，

：.OD為ABC的中位線，

.?OD∕∕AC,

DElAC1

:.ODLDEJ

，直線OE是C.O的切線；

(2)連接4￡),???A5是直徑，

???ZAFB=NCFB=ZADB=90°,

YBD=CD,

?,?Ae)垂直平分BC,

.*.AC=AB=5,

TtanZACB=變=2,設(shè)Ab=x,

CF

則CF=5-x,BF=2(5-x),

在Z?A3∕7中，AF2+BF2=AB2，

ΛX2+[2(5-X)]2=52,

解得：x=3或x=5(舍)，

：,AF=3.

A

BDC

【點睛】本題考查了切線的判定，圓周角定理和勾股定理以及垂直平分線的判定和性質(zhì)，解直角三角形，

經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接

圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可.

核心考點三圓的切線的性質(zhì)

A意題招熨

甌I（2022?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）如圖所示，己知三角形ABE為直角三角形，/4BE=90。，BC為O

切線，C為切點，C4=CD,則ABC和，CQE面積之比為（）

A.1:3B.1:2C.√2r2D.（√2-l）:1

【答案】B

【分析】根據(jù)圓周角定理，切線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)進行計算

即可.

【詳解】解：如圖取OE中點0,連接0C.

A

???。后是圓。的直徑.

ZDCE=ZDCA=90°.

TBC與圓。相切.

：?NBCo=90。.

,.?ZDCA=ZBCO=90°.

???ZACB=ZDCO.

?.?ZABD+ZACD=180°.

???ZA+ZBDC=180o.

又YZBDC+ZCDO=180°.

JZA=ZCDO.

VZACB=ZDCO9AC=DC9ZA=NCDO.

JAABC=?DOC(ASA).

??SMBC=SWOC?

Y點。是。E的中點.

??S∕?DOC=0?5S△CQE?

,?SgBC=°?5%CDE-

??SAABC?SACDE=1：2

故答案是：1:2.

故選：B.

【點睛】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形以及全等三角形的性質(zhì)，理解切線的性質(zhì)，圓周

角定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的前提.

甌（2022?四川瀘州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在RtZXABC中，ZC=90o,AC=6,βC=2√3,半徑為1

的。在RtZ?ABC內(nèi)平移（?？梢耘c該三角形的邊相切），則點A到，。上的點的距離的最大值為

【答案】2√7+l

【分析】設(shè)直線Ao交（。于M點（M在。點右邊），當(dāng)（。與A&8C相切時，AM即為點A到＜。上的

點的最大距離.

【詳解】設(shè)直線A。交（O于朋點（M在。點右邊），則點A到，。匕的點的距離的最大值為AM的長度

當(dāng)：。與AB、BC相切時，AM最長

設(shè)切點分別為。、F,連接08,如圖

VZC=90o,AC=6,BC=2√3

AC_________

?,.tanB=-=y∣r3,AB=AC1+BC2=4√3

DC

.,./8=60。

Y：O?AB,8C相切

ZOBD=-ZB=30°

2

?/:。的半徑為1

/.OD=OM=I

二BD=√3OD=√3

-,.AD=AB-DB=3拒

,122

??OA=yjAD-+OD=A∕(3√3)+1=2√7

-".AM=OA+OM=2>∕1+?

??.點A到。。上的點的距離的最大值為2√7+1.

【點睛】本題考查切線的性質(zhì)、特殊角度三角函數(shù)值、勾股定理，解題的關(guān)鍵是確定點A到。。上的點的最

大距離的圖形.

甌(2022?四川巴中?統(tǒng)考中考真題)四邊形ABCQ內(nèi)接于：直徑AC與弦交于點E,直線尸8與O

相切于點B.

(1)如圖1,若NP8A=30。，且EO=E4,求證：BA平分ZP8￡)；

(2)如圖2,連接08,若NDBA=2NPBA,求證：VOAB爾CDE.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)連接。B,根據(jù)切線的性質(zhì)可得NPBA+ZABO=90°,再由NPBA=30°,可得ZABO=60°,

從而得到.508為等邊二角形，再跟等邊三角形的性質(zhì)可得BE平分NABO,即可求證；

(2)根據(jù)切線的性質(zhì)和直徑所對的圓周角是直角可得NPB4=NO8C=NOCE,從而得到

ZAOB=2AOCB=2ZPBA,進而得到NAo3=NACD,再由NBAO=NBz)C,即可求證.

【詳解】(1)證明：連接OB,

直線尸B與C。相切于點B,

.-.ZPBO=90°,

：.ZPBA+ZABO=90°.

/PBA=30。，

.-.ZABO=60°,

又：OA=OB,

AoB為等邊三角形，

又.OE=AEf

「.BE平分ZA50,

.?.NABE=LZA30=30。,

2

.?.BA平分NPBD；

(2)證明：Y直線依與O相切于點8,

.?.NPBO=90°,

.?ZPBA+ZABO=90°,

???AC為直徑，

.?NABC=90。，

???NoBC+430=90。，

：?/OBC=ZPBA,

?：OB=OCf

：?ZPBA=ZOBC=ZOCB，

.?.ZAOB=2/0CB=2/PBA，

QZACD=ZABD=2/PBA,

:.ZAOB=ZACD,

又Q/BAO=ABDC,

.?ΛOAB^∕?CDE.

【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握切線的性

質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

命題出南

1.切線的判定與性質(zhì)

（1）性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過點的半徑。

拓展

推論：①經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點；

②經(jīng)過切點且垂直到切線的直線必經(jīng)過圓心。

圓的切線性質(zhì)定理與它的兩個推論涉及一條直線滿足的三個條件：（1）垂直于切線；（2）過切點；（3）過

圓心，如果一條直線滿足于以上三個條件中的任意兩個，那么它一定滿足另外一個條件，也可理解為“二

推一

,雪卷頸縮

【變式1】（2023?山東?統(tǒng)考一模）.如圖，在JlBC中，AC=4,以點C為圓心，2為半徑的圓與邊A8相

切于點。，與AC,BC分別交于點E和點F,點”是優(yōu)弧EF上一點，NE“尸=70。，則ZBDF的度數(shù)是（）

【答案】B

【分析】連接C。，由切線的性質(zhì)得出CDJ_AB,NCDB=90。，利用解直角三角形求出NACD=60。，由圓

周角定理求出NACB=I40。，進而求出408=80。，再利用等腰三角形的性質(zhì)求出NeC）廠的度數(shù)，繼而求

出ZfiDF的度數(shù).

【詳解】如圖，連接C。，

.-.CDYAB,

ZCDB=90°,

,AC=4,CD=2,

?

.?.cosZACD=—=-

AC42

.?.ZACZ)=60°,

,NEHF=70。，

..ZACB=2/EWF=I40°,

.?.ZDCB=ZACB-ZACD=140o-60o=80o,

.CD=CF,

.?.ZCDF=ZCFD=18°T0°=50。,

2

ZBDF=NCDB-ZCDF=90o-50o=40o,

故選：B.

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，掌握切線的性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理，等腰三角

形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

【變式2］（2023?浙江舟山?統(tǒng)考一模）如圖，圓。是RtAABC的外接圓，ZACB=90o,ZA=25°,過點C

作圓。的切線，交AB的延長線于點。，則/D的度數(shù)是（）

A

A.40oB.50oC.550D.65°

【答案】A

【分析】首先連接OC,由NA=25。，可求得NBOC的度數(shù)，由8是圓。的切線，可得OCLCD,繼而

求得答案.

【詳解】解：連接OC，

A

丫圓。是RlZiABC的外接圓，ZACB=90。，

二A8是直徑，

??ZA=25°,

：.ZBOC=2ZA=50o,

?.?8是圓。的切線，

OCLCD.

JZD=90o-ZBOC=40o.

故選：A.

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓的切線垂直于過切點的半徑，所以此類題若出現(xiàn)圓的切線，必連過切

點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系.

【變式3】（2023?陜西?交大附中分校校考模擬預(yù)測）如圖，在