江蘇省無錫市四校2023-2024學(xué)年高三年級上冊12月學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2023-2024學(xué)年度12月學(xué)情調(diào)研試卷

局二數(shù)學(xué)

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

L若集合A4kz￡3={巾=1嗎耳,則AB=()

A.[-2,2]B,[0,2]C.(0,2]D.[2,”)

【答案】C

【解析】

【分析】解二次不等式和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)化簡集合A,3,再取交集即可得解.

【詳解】由f<4,可得—2WxW2,所以A={X,2<4}=[—2,2],

由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得3={小=log2x}=(0,+oo),

則Ac3=(0,2].

故選：C.

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z(l+i)=2—2i(i是虛數(shù)單位)，則三的虛部為()

A.2B.-2iC.-2D.2i

【答案】A

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求得z,進(jìn)而求得三，由此得解.

【詳解】因?yàn)閦(l+i)=2—2i,

2-2i2。-i)。-i)

所以z=KF=—2i,

(l+i)。-i)

則I=2i，所以I的虛部為2.

故選：A.

3.設(shè)平面向量。，b均為單位向量，則"a—2々=[2a+葉，是“日廠的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】c

【解析】

【分析】將卜-2可=|2。+,兩邊平方，化簡后即可得由此即可選出答案.

【詳解】因?yàn)椴穇2,=恒+同Q時(shí)_4式石+4忖=4|tz|2+4a-Z?+|Z?|

oa-b=0oa-Lb，

所以“■-2母=慳+,”是L，的充分必要條件,

故選：C.

4.北京時(shí)間2020年11月24日我國嫦娥五號探月飛行器成功發(fā)射.嫦娥五號是我國探月工程“繞、落、回”三

步走的收官之戰(zhàn)，經(jīng)歷發(fā)射入軌、地月轉(zhuǎn)移、近月制動等11個(gè)關(guān)鍵階段.在經(jīng)過交會對接與樣品轉(zhuǎn)移階段后，

若嫦娥五號返回器在近月點(diǎn)（離月面最近的點(diǎn)）約為200公里，遠(yuǎn)月點(diǎn)（離月面最遠(yuǎn)的點(diǎn)）約為8600公里，

以月球中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓形軌道上等待時(shí)間窗口和指令進(jìn)行下一步動作，月球半徑約為1740公里，則

此橢圓軌道的離心率約為（）

A.0.48B.0.32C.0.82D.0.68

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意直接求解出橢圓的實(shí)半軸長和半焦距，進(jìn)而求解.

【詳解】由題意可知橢圓實(shí)軸長2a=200+8600+2x1740=12280,所以。=6140,

焦距2c=2a-（200+1740）x2=12280—3880=8400，所以c=4200，

c4200

所以橢圓的離心率e=—笈0.68,

a6140

故選：D.

5.兩個(gè)圓錐有等長的母線，它們的側(cè)面展開圖恰好拼成一個(gè)圓，若它們的側(cè)面積之比為1:2,則它們的體

積比是（）

A.l：V10B.1：A/5C.2:710D.2:75

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)圓錐母線長為/,小圓錐半徑為「、高為〃，大圓錐半徑為R,高為根據(jù)側(cè)面積之比可得

R=2r,再由圓錐側(cè)面展開扇形圓心角的公式得到/=3r,利用勾股定理得到九〃關(guān)于一的表達(dá)式，從而將

兩個(gè)圓錐的體積都表示成一的表達(dá)式，求出它們的比值即可.

【詳解】設(shè)圓錐母線長為/，側(cè)面積較小的圓錐半徑為一，

側(cè)面積較大的圓錐半徑為R，它們的高分別為力、H,

則兀4:（兀R/）=l:2,得R=2r，

因?yàn)閮蓤A錐的側(cè)面展開圖恰好拼成一個(gè)圓，

所以2兀醛"？,得l=3r,

再由勾股定理，得口=，/2_尸=2行廠,

同理可得〃=,尸—尺2=石廠,

所以兩個(gè)圓錐的體積之比為：

|—nr2X2A/2F|—nx4r2xy/5r\=1：V1O.

故選：A.

6.等差數(shù)列｛q｝各項(xiàng)均為正數(shù)，首項(xiàng)與公差相等,—7==百，則％023的值為（

+

A.6069B.6079C.6089D.6099

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為"，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法化簡方程求出d,由此

得解.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d（d>0）,

因?yàn)槭醉?xiàng)外與公差d相等，所以q=〃i+（幾一=,

因?yàn)榛?恐-"*3屈,1

所以，-F=----7==6d-日)=，

=，所以d=3,

k=ia*+/，+iddd

所以a2023=2023xd=2023義3=6069,

21

正實(shí)數(shù)。,5滿足"2。)+/3-2)=4,則—+—的最小值為()

ab

C.4D.9

2

【答案】B

【解析】

【分析】先判斷函數(shù)的對稱性與單調(diào)性，從而得到2a+6=2,再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.

【詳解】因?yàn)?(x)=ln卜用i+x)+2,

所以+=ln(jx2+1+x)+2+ln(Jx2+1-x)+2=4,

故函數(shù)關(guān)于(0,2)對稱；

又/(%)的定義域?yàn)镽，/(尤)=In(Jx?+1+九)+2,

所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷了(%)在R上單調(diào)遞增；

又/■(20+)(6-2)=4,所以2a+b—2=0,即2a+0=2,

人

?n7nx211f2(2b.12b2a)9

又a>O,Z?>0,故—1--=——H—\(2a+b}=-5H------1--5+2,/-------

ab21ab)2^ab)2[\ab2

當(dāng)且僅當(dāng)一=一,即。=人=7時(shí)，等號成立.

ab3

21Q

所以一+丁的最小值為一.

ab2

故選：B.

8.已知函數(shù)/(%)在R上都存在導(dǎo)函數(shù)/'(%),對于任意的實(shí)數(shù)，^=e2"當(dāng)無＜0時(shí),

/(%)-/(%)>0,若#2),Z?=ef(-1),c=5fHn|j,則a,4c的大小關(guān)系是()

A.a>c>bB.c>b>aC.c>a>bD.a>b>c

【答案】B

【解析】

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=J學(xué)，研究g(x)的奇偶性、單調(diào)性，從而比較大小得解.

e

【詳解】令g(x)=/半，因?yàn)閤<0時(shí)，/(x)-r(x)>0,

所以當(dāng)x<0時(shí)，g，(x)=/'(._/(x)<0,則g(x)在(—8,0)上單調(diào)遞減，

e%

因?yàn)間(x)=J學(xué)的定義域?yàn)镽，又用g=e"，則/區(qū)=正立，

eA/(-x)exe-x

所以g(_x)=/t?=/3=g(x),所以g(x)為偶函數(shù)，

exe%

故g(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增，

又。="；2)=g(n2),Z?=ef(-l)=g(-l)=g(l),

c=5/[ln!]=g[ln：=g(-In5)=g(ln5),

而In5>l>ln2,所以g(ln5)>g⑴〉g(ln2),即c>6>°.

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的解決關(guān)鍵是觀察條件，構(gòu)造出g(x)=華，從而得解.

e

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對得2分.

9.若a<b且而。0,則下列結(jié)論成立的是()

A.->yB.a3<b3c.同D.2a<3b

ab

【答案】BC

【解析】

【分析】舉例說明判斷AD；利用不等式性質(zhì)推理判斷BC.

【詳解】對于A,取。=-13=1,滿足。<6,止匕時(shí)工=—1<1=,，A錯(cuò)誤；

ab

對于B,a<b,由不等式性質(zhì)知，成<83成立，B正確;

對于C,當(dāng)a<0</?時(shí)，。同<0<6網(wǎng)，當(dāng)0<a<6,0<|a|<|Z?|,則《《〈小網(wǎng),

當(dāng)a</?<0時(shí)，-a>—6>0,|a|>|Z?|>0,則一a|a|>—b|b|>。，于是網(wǎng),

因此若a<Z?且,則a|a|<Z?同成立，C正確;

對于D,取a=-3/=-2,滿足。<從而2"=1〉工=3",D錯(cuò)誤

89

故選：BC

圖象如圖所示，則（）

71

B.

57r

C.對任意的x都有“X）2/

12

D.“可在區(qū)間［-肛司上的零點(diǎn)之和為事

【答案】AB

【解析】

5兀

【分析】利用圖象求得函數(shù)了（尤）的解析式，可判斷AB選項(xiàng)的正誤；計(jì)算/的值，可判斷選項(xiàng)的

12C

正誤；利用正弦型函數(shù)的對稱性可判斷D選項(xiàng)的正誤.

【詳解】由題圖可知函數(shù)/（%）的最小正周期為T=g""兀E2兀、

冗，則G=—=2,

12671

nnn

所以，〃%）=sin（2x+0）,把』)代入得1=5也|?+9),則?+0=]+2左刀■（左wZ）,得

32

夕=看+2左eZ）,

閹<一,：.（p=—，則AB選項(xiàng)均正確;

26

5萬

sinf2%+^-1,當(dāng)冗二正時(shí)，〃）不滿足對任意的都有，錯(cuò)誤;

/(%)=x=0,x12c

i-7i117rl3%

XGr-n.71,/.2x+—€-----,----,

L」6L66J

則/（%）共有4個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)為。、b、c、d，S.a<b<c<d,

EC%C7萬c/萬、c兀c■，兀c3兀

則2aH---F2bH—=2x,2cH---F2dH—=2x—,

66{2J662

一4

兩式相加，整理得2Q+2b+2c+2d=—TC,

3

故八X）的所有零點(diǎn)之和為a+b+c+d=T，D錯(cuò)誤，

故選：AB.

11.已知5（x2,%）是圓。：爐+9=1上兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若點(diǎn)。到直線AB的距離為；，貝U|=百

B.若JLQ3的面積為且，則4。3=二

43

C.若％超+%%=；，則點(diǎn)。到直線A3的距離為日

D.歸+y-1|的最大值為C+1，最小值為四-1

【答案】AC

【解析】

【分析】利用弦長公式判定選項(xiàng)A正確；先利用三角形的面積公式求出sin/AO5=Y3,再結(jié)合角的范圍

2

判定選項(xiàng)B錯(cuò)誤；利用數(shù)量積的計(jì)算公式求出cos4。3=工，進(jìn)而判定三角形的形狀判定選項(xiàng)C正確；

2

設(shè)Xi=cos8,%=sin。，且0<8<2兀，利用輔助角公式和三角函數(shù)的性質(zhì)判定選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

【詳解】對于A：易知圓。：/+/=i的半徑r=i,

因?yàn)辄c(diǎn)0到直線AB的距離d=L

2

所以|AB|=25_唐=2^^=6,

即選項(xiàng)A正確;

對于B：因?yàn)镴L03的面積為縣

4

所以L|O4||03|sinNA03=正

24

即—sinZAOB=，解得sinZAOB=>

242

因?yàn)?<NAOB<7i,

TT27r

所以NA03=2或NA03=」,

33

即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對于C：因?yàn)榘俚?+X%=g，所以。4,0B=g,

^\OA\-\OB\cosZAOB=工，即cosZAOB=

22

7T

因0<NAOB<71,所以NA03=—,

3

即，AOB是邊長為1的等邊三角形，

所以點(diǎn)。到直線AB的距離為走，

2

即選項(xiàng)C正確；

對于D：由題意設(shè)％=cos6,%=sin。，且0<6<2兀，

則玉+%—iHcose+sinS—lH&sin[e+：）—l

7T7TQjr

因?yàn)?4842TD，所以一—V—，

444

則—1Ksin(6>+-)<1,-V2<42sin(6>+-)<72,

44

-V2-l<V2sin(6?+-)-l<V2-l,

4

所以oq行sin(e+殳)一1區(qū)行+1,

4

即00玉+乂一1區(qū)夜+1,

即選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：AC.

12.在正四棱錐P—ABCD中，AB=桓,尸4=百，點(diǎn)。滿足PQ=PA+xA3+yA。，其中

xe[O,l],ye[0,1],則下列結(jié)論正確的有（）

A.|尸。|的最小值是J5

B.當(dāng)x=l時(shí)，三棱錐P-ADQ的體積為定值

7T

c.當(dāng)時(shí)，PB與所成角可能為一

6

D.當(dāng)x+y=l時(shí)，A5與平面PAQ所成角正弦值的最大值為典

6

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)向量關(guān)系可得。為正方形A3CD內(nèi)的點(diǎn)（包括邊界），設(shè)AC30=0,根據(jù)正棱錐的性質(zhì)

結(jié)合條件可得|PQ|判斷A,根據(jù)棱錐的體積公式結(jié)合條件可判斷B,根據(jù)線面角的求法結(jié)合條件可

判斷C,利用坐標(biāo)法表示出線面角，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值可判斷D.

【詳解】由PQ=PA+xAB+yA。，可得PQ—PA=AQ=xA3+yAD,其中xe[0,l],je[0,l],

所以。為正方形ABCD內(nèi)的點(diǎn)（包括邊界），

在正四棱錐尸一A5CD中，AB=6,PA=S，設(shè)ACBD=O,連接尸0，

則P01平面ABC。，OA=OB=l,PO=y[2,

對A,由題可知|pgNpo|=四，當(dāng)Q0重合時(shí)取等號，故A正確；

對B,當(dāng)x=l時(shí)，AQ=AB+yAD,即故。在線段上，

因?yàn)锳D//3C,所以三角形AOQ的面積為定值，而三棱錐P-ADQ的高P0為定值，故三棱錐

P-ADQ的體積為定值，故B正確；

對C,當(dāng)％=丁時(shí)，AQ=x^AB+AD^=xAC,故Q在線段AC上，

由題可知尸0,0民03，。4,尸0<^。4=0,尸。,。4<=平面巳4。，故平面PAC,

所以P0為PB在平面PAC內(nèi)的射影，NBPQ>ZBPO,

而在RtZ^POB中，tanN8P0=3=也>3,所以NBPO>工,ZBPQ>~,故依與PQ所成角

V22366

TT

不可能為一，故c錯(cuò)誤；

6

對D,當(dāng)x+y=l時(shí)，AQ=xAB+yAD,故。在線段上，

如圖以0為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)Q(O/O)(—1WY1),則4(1,0,0),磯0,1,0),網(wǎng)0,0,、歷卜

所以45=(-1,1,0),”=/1,0,四),4。=(-1/,0),

/、[m-AP=-a+V2c=0

設(shè)平面PAQ的法向量為相=(6"c),貝葉，

m-AQ=-a-^-tb=0

令匕=0,則加=(衣，&/),設(shè)與平面PA。所成角為。，

ABm|A/2-

所以sin。

網(wǎng).帆拒Y3t2+2

2(r-l)(3?2+2)-6r(r-l)2_(-i)(6r+4)

設(shè)/■⑺=('T)，1,1］，則/■'(/)=Z

V'3產(chǎn)+2(3『+2)2(3r+2了，

所以當(dāng)/e-1，一|卜寸，/'⑺>0,/'⑺單調(diào)遞增，當(dāng)摩

時(shí)，單調(diào)遞減,

所以/(<Lx=/

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)向量關(guān)系結(jié)合條件得到點(diǎn)Q的位置，然后結(jié)合條件利用立體幾何

知識解決即得.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若命題“大目1,3],%2+依+1>0，，是假命題，則實(shí)數(shù)a的最大值為.

【答案】一史

3

【解析】

【分析】由命題的否定轉(zhuǎn)化為恒成立問題，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】由題知命題的否定“也以1,3],/+依+140”是真命題.^f(x)=x2+ax+l(xe]l,3]),則

二。解得av—丁，故實(shí)數(shù)。的最大值為一下.

/(3)=3a+10<0,33

故答案為：-----

3

14.己知向量,卜2,人在°方向上的投影向量為—3a，則a/=.

【答案】-12

【解析】

【分析】利用投影向量公式即可得解.

【詳解】因?yàn)?在a方向上的投影向量為-3a，卜|=2,

所以仃,n=-3a，即巴0?。=一3。，所以。力=—12?

回rl4

故答案為：-12.

15.如圖，“雪花曲線”也叫“科赫雪花”，它是由等邊三角形生成的.將等邊三角形每條邊三等分，以每條邊

三等分的中間部分為邊向外作正三角形，再將每條邊的中間部分去掉，這稱為“一次分形”；再用同樣的方

法將所得圖形中的每條線段重復(fù)上述操作，這稱為“二次分形”；L.依次進(jìn)行“〃次分形"(〃eN*).規(guī)

定：一個(gè)分形圖中所有線段的長度之和為該分形圖的長度.若將邊長為1的正三角形“〃次分形”后所得分形

圖的長度不小于120,則〃的最小值是.(參考數(shù)據(jù)：1g2a0.3010,1g3。0.47力)

【答案】13

【解析】

4

【分析】依題意可得“每次分形”圖的長度可看成是首項(xiàng)為4,公比為一的等比數(shù)列，從而可得到“〃次分

3

形''圖的長度為4義(：］,列出不等式，結(jié)合〃eN*，即可求解.

4

【詳解】依題意可得“幾次分形”圖的長度是“n-1次分形”圖的長度的一,

3

由“一次分形”圖的長度為工X4X3=4,

3

4

所以“每次分形”圖的長度可看成是首項(xiàng)為4,公比為一的等比數(shù)列，

3

所以“〃次分形''圖的長度為4x(：],

故4x[()>120.即[9]>30.兩邊取對數(shù)得(〃—l)(21g2—Ig3"l+lg3,

l+lg31+0.4771

所以“-12-----------------------土11.8,貝|”之12.8,

21g2-lg32x0.301-0.4771

又“eN*，故”的最小整數(shù)值是13.

故答案為：13.

2In%xN1

16.已知函數(shù)/(%)={3,令g(x)=/(%)—依,當(dāng)左=—e?時(shí),有g(shù)(Xo)=O,貝!|/=

—X+2x,x<1

；若函數(shù)g(x)恰好有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)上的取值范圍為.

0,|

【答案】①.0或_點(diǎn)+2②，

【解析】

【分析】分和尤<1兩種情況，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)判斷出函數(shù)單調(diào)性，求出零點(diǎn)；先得到0為g(x)的一個(gè)零

21nxj、

點(diǎn)，再參變分離，構(gòu)造/(%)=<%L)，只需左二1x)有3個(gè)零點(diǎn)，畫出《％)的圖象,

—尤2+2,XG(—8,0)D(0,1)

數(shù)形結(jié)合得到答案.

【詳解】當(dāng)左=—e?時(shí)，g(%)=o,即/(%)+，/=0,

22

當(dāng)時(shí)，21nx0+ex0=0,=21nx+ex,x>\,

9

/(X)=—+e2>0在［1,+8)上恒成立，

X

故/i(x)=21nx+e2x在［1,+GO)上單調(diào)遞增，

又Zz(l)=e2>0,故/z(x)=21nx+e2%>0在［1,+°0)恒成立，無解,

當(dāng)x<l時(shí)，—x；+2%+e~x()=0,即(―x；+2+e~)Xo=0,

2

故％=0或—XQ+2+e=0,

但Je2+2>1舍去，其余兩個(gè)滿足要求,

當(dāng)x=0時(shí)，-03+2義0_().左=o，故。為g(x)的一個(gè)零點(diǎn),

當(dāng)xwO時(shí)，令g(x)=O,

2T*

當(dāng)時(shí)，-----=k,當(dāng)x?yo,0)(0,1)時(shí)，春+2=k，

X

21nxj、

----，%￡1,+8)

令/(x)=?X

-X2+2,XG(-8,0)U(0,1)

當(dāng)時(shí)，(x)=2-2Jnx,

X

當(dāng)%>e時(shí)，f(尤)<0,單調(diào)遞減，當(dāng)lWx<e時(shí)，?x)>0,r(x)單調(diào)遞增,

2

故《尤)在％=0時(shí)取得極大值，也是最大值，且/(e)=—,

e

且當(dāng)尤>1時(shí)，/(x)>0恒成立,

四、解答題：本題共6小題，共70分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文

字說明，證明過程或演算步驟.

17.在ABC中，NA，NB，NC的對邊別為。，b,c,若acosC+百asinC—6—c=0.

(1)求角A；

(2)若b+c=4,/，求a.

/.y|

【答案】(1)A=j

⑵a=V7

【解析】

【分析】(1)根據(jù)正弦定理及兩角和的正弦公式、輔助角公式化簡即可得解；

(2)根據(jù)三角形的面積公式及余弦定理即可得解.

【小問1詳解】

因?yàn)閍cosC+gasinC-/?-c=0

由正弦定理得：sinAcosC+A/3sinAsinC=sinB+sinC

即sinAcosC+A/3sinAsinC=sin(A+C)+sinC,

所以sinAcosC+gsinAsinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC

即gsinA-cosA=1，

故sin(A-g]=g,由A為三角形內(nèi)角可得A=百，

V6；266

A4——兀.

3

【小問2詳解】

0」?4—島_36

S/\ABC=-bcsmA^—bc^—^->

be=3,

由余弦定理/=Z?2+c2一2Z?ccosA=(b+c)--3bc,

又?b+c=4,代入得a=J7.

18.己知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，且S“+2"=24+l.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列樣+(-1)向々[(“eN*)的前幾項(xiàng)和人

nl

【答案】⑴an=n-2-

【解析】

【分析】(1)由S“,為關(guān)系消S”得遞推關(guān)系，再構(gòu)造等差數(shù)列求通項(xiàng);

(2)由等差與等比數(shù)列特點(diǎn)分組求和.

【小問1詳解】

由S“+2"=2a"+l①

當(dāng)〃=1時(shí)，Si+2=2〃i+l,所以％=1

當(dāng)時(shí)，SI+2〃T=2/_]+1②

①②式相減得an+2"T=2%+1,即4—2a=2"^

兩邊同除以2"得，/一|詈=），

又言■=：,所以數(shù)列｛墨｝是以3為首項(xiàng),3為公差的等差數(shù)歹U,

—=—I"—(n—1)=—,則a“=〃-2”T

2"222

【小問2詳解】

可知數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，

可知數(shù)列[(-1)用召"｝是以3為首項(xiàng)，-3為公比的等比數(shù)列，

<=[g+l+|++|V_3+(-9)+27+(-1)"+1-3"_

"I”；3[1一(一3)"

-2-1-(-3)

1131-(-3)"

=-n2+—"+

444

19.如圖，在四棱錐P—ABCD中，M！.底面A3CD,AD//BC,A3。.點(diǎn)M在棱PB上,

2

PM=2MB,點(diǎn)N在棱PC上，PA=AB=AD=-BC=2.

3

(1)若CN=2NP,。為P￡)的中點(diǎn)，求證：NQ〃平面R43；

2PN

(2)若直線E4與平面AAW所成角的正弦值為求力1的值.

【答案】(1)證明見解析

⑵—=-

PC3

【解析】

【分析】(1)根據(jù)相似可得線線平行，即可由線面平行的判定求解,

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解線面角，即可求解.

【小問1詳解】

證明：過M作的平行線交PC于連接印),

PMPHMHPH

，又PM=2MB，:.HC^-PC,又CN=2NP,

PBPC~BC~PC33

：.NH=PN=HC,:.N為PH的中點(diǎn)、,又。為P￡)的中點(diǎn),

:.NQ//HD,

2

5LMH=-BC=2,又A￡)=2,AD!IBC,

:.AD//MH,且AD=MW,

，四邊形MHDA是平行四邊形,

:.HD//MA,:.NQ//AM,

.?.NQz平面巴45,AMu平面？AB,；.NQ//平面MB

【小問2詳解】

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD,AP所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則A(0,0,0),M(1,0,1),尸(0,0,2).C(2,3,0),A=,0,

AP=(0,0,2\PC=(2,3,-2),

設(shè)PN=/IPC=(22,32,-22)(0<2<l),

AN=AP+PN=(0>0,2)+(22,32,—2A),=(22,32,2—22)

設(shè)平面AMN的一個(gè)法向量為"=(x,y,z),

42

n-AM=—x+—z=014-62

則33令x=l,貝Uz=—2,丁=^，

n?AN=22%+32y+(2—22)z=0

4-6A

「?平面AMN的一個(gè)法向量為〃=(1,

3Z

設(shè)直線PA與平面AMN所成角為。,

n>|=|AP"|=----------1-------=21

/.sin0=|cos<AP,加川利2，+4+（中23,則

PN_1

PC-3

20.如圖，半徑為1的光滑圓形軌道圓。1、圓。2外切于點(diǎn)M,點(diǎn)"是直線。1。2與圓02的交點(diǎn)，在圓形

軌道a、圓a上各有一個(gè)運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)2，。同時(shí)分別從點(diǎn)M、”開始逆時(shí)針繞軌道做勻速圓周運(yùn)動，點(diǎn)

P,。運(yùn)動的角速度之比為2：1,設(shè)點(diǎn)Q轉(zhuǎn)動的角度為8,以。為原點(diǎn)，。1。2為X軸建立平面直角坐標(biāo)

系.

(1)若。為銳角且sin(e—4]=走，求尸、。的坐標(biāo)；

I4J10

(2)求|PQ|的最大值.

【答案】(1)小白頭；。仁』

I2525JI55J

⑵地

4

【解析】

【分析】(1)由已知條件求出cos[。-則利用正弦的兩角和公式可求出sin。=sin

從而可得cos夕，sin26?,cos26?的值，進(jìn)而可求得尸、。的坐標(biāo)；

(2)根據(jù)題意得P(cos20,sin2。)，g(2+cos6),sin6,),則

葉=(cos26-cos。-2y+(sin2。-sin。)？，化簡后利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出其最大信

【小問1詳解】

JT(JT7T\

因?yàn)椤殇J角，所以。一丁￡一~

41441

(八口兀］0070虛4

所以sin?=sin6—H——=—x----1-------x—=一

\4；4J1021025

_______Q

所以cos6=vl-sin29=飛,

247

所以sin29=2sin。cos。=—,cos20-2cos20-1=-----,

2525

134

所以。

T9?，I25'25

【小問2詳解】

因?yàn)辄c(diǎn)F,。分別運(yùn)動的角速度之比為2：1,

所以當(dāng)點(diǎn)。轉(zhuǎn)動的角度為。時(shí)，尸轉(zhuǎn)動角度為26,

因此P(cos20,sin2。),Q(2+cos9,sin6).

\QP^=(cos23-cos0-2)2+(sin28-sin行

=cos223+cos20+4-2cos20cos0-4cos26+4cos^+sin22^+sin26^-2sin28sin0

=6-2(cos2。cos0+sin26sin，)一4cos28+4cos6

=6-4cos28+2cos0

——8cos28+2cose+10，

所以當(dāng)cos6=：時(shí)，|PQ『取得最大值—8x(工］+2x-+10=—，

o\8)88

所以|PQ|的最大值為苧.

J

21.已知橢圓C:=+y2=i(〃〉i)的上頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為尸，直線"與圓

a

M：3+>2-6%一2y+7=0相切.

(1)求橢圓。的方程;

（2）若不過點(diǎn)A的動直線/與橢圓相交于尸，。兩點(diǎn)，若陽p+七0=2,求證：直線/過定點(diǎn)，并求出該

定點(diǎn)坐標(biāo).

2

【答案】（1）—+/=1

3-

（2）證明見解析，該定點(diǎn)坐標(biāo)為

【解析】

【分析】（1）根據(jù)直線與圓相切，由點(diǎn)到直線的距離公式即可求解,

（2）聯(lián)立直線與橢圓方程得韋達(dá)定理，即可由斜率公式代入化簡求解.

【小問1詳解】

由題意4（0,1）,E（c,O）,則直線"的方程為：x+cy-c=0

可知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（1—3『+（y—I）?=3,

.|3+c-c|

百，貝1。2=2,又匕=1，，a2=A2+c2=3,

2

【小問2詳解】

設(shè)尸&，%），Q（孫必）

若直線尸。斜率不存在，設(shè)％=則L+y2=],...%+%=（）

3一

71Vi_1Vn_1_22

左"+左A0=—-1—=；=-：=2'：.t=~\

直線P。：x=-l.

若直線尸。的斜率存在，設(shè)直線方程為>=米+加（加。1）

，%2+3丫2=3

由v=>（1+3左2）%2+6根區(qū)+3根2-3=0

y=kx+m'7

A—36加之女2—4（1+3k2）（3刃2—3）>0即3廿+1-m2>0