空間向量與立體幾何-五年（2018-2022）高考數(shù)學(xué)真題匯編

五年2018-2022高考數(shù)學(xué)真題按知識點(diǎn)分類匯編18-空間向

量與立體幾何（含解析）

一、單選題

1.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）在正方體ABCz）-AgG。中，E,尸分別為AB,BC的中

點(diǎn)，貝!I（）

A.平面平面B.平面B∣EF，平面A∣BO

C.平面用EF//平面AACD.平面4所//平面ACQ

2.（2018?全國?高考真題）在長方體ABCo-A耳CQ中，AB=BC=?,AA,=√3,則

異面直線ADx與。片所成角的余弦值為

A.-B.正C.在D.—

5652

二、多選題

3.（2021?全國?統(tǒng)考高考真題）在正三棱柱ABC-ABC中，AB=A4,=1,點(diǎn)P滿足

BP=λBC+JLiBBl,其中幾40』],〃e[0,l],則（）

A.當(dāng)4=1時，4A8∣P的周長為定值

B.當(dāng)〃=1時，三棱錐P-ABC的體積為定值

C.當(dāng)2=；時，有且僅有一個點(diǎn)P,使得AlPLBP

D.當(dāng)〃=；時，有且僅有一個點(diǎn)P,使得A/，平面A3/

三、解答題

4.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）如圖，直三棱柱ABC-ABG的體積為4,A出C的面積

為2&?

小

B

⑴求A到平面ABC的距離；

(2)設(shè)。為AC的中點(diǎn)，AA,=AB,平面ABC，平面ABB0,求二面角A—30—C的正

弦值.

5.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)如圖，四面體ABeQ中，

AD工CD,AD=CD,ZADB=NBDC,E為AC的中點(diǎn).

A

(1)證明：平面8EZ)J_平面ACD；

(2)設(shè)43=30=2,NAce=60。，點(diǎn)F在Be)上，當(dāng)AAFC的面積最小時，求CF與平面

A8A所成的角的正弦值.

6.(2022.全國.統(tǒng)考高考真題)在四棱錐P-AfiCD中，PDL底面

ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=6

(1)證明：BDlPAi

(2)求PQ與平面R4B所成的角的正弦值.

7.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)如圖，Po是三棱錐P—48C的高，PA=PB,ABlAC,

E是總的中點(diǎn).

(1)證明：OE//平面PAC；

(2)若NABO=NCBo=3()。，Po=3,PA=5,求二面角C-A￡-3的正弦值.

8.(2022.浙江.統(tǒng)考高考真題)如圖，已知ABCZ)和CDEF都是直角梯形，ABHDC,

DCHEF,AB=5,DC=3,EF=LNBAD=NCDE=60。,二面角尸一DC-B的平

面角為60。.設(shè)M,N分別為AE,BC的中點(diǎn).

(1)證明：FNLAD；

(2)求直線BM與平面AoE所成角的正弦值.

9.(2022.北京.統(tǒng)考高考真題)如圖，在三棱柱ABC-ABe中，側(cè)面8CC∣4為正方形,

平面8CCqJ_平面4BBM，AB=BC=2,M,N分別為4蜴，AC的中點(diǎn).

(1)求證：MV〃平面BCCIBl；

(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線AB與平面BMN所成

角的正弦值.

條件①：ABlMNi

條件②：BM=MN.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

10.(2022?天津?統(tǒng)考高考真題)直三棱柱ABC-中,

AAi-AB-AC=2,AAtLAB,AC1AB,。為AiBl的中點(diǎn)，E為AAl的中點(diǎn)，F(xiàn)為Cf）的

中點(diǎn).

⑴求證：M〃平面A8C；

(2)求直線BE與平面CcID所成角的正弦值；

(3)求平面A1CD與平面CGD所成二面角的余弦值.

11?(2021?全國.統(tǒng)考高考真題)已知直三棱柱ABC-AAG中，側(cè)面AA8/為正方形,

AB=BC=2,E,F分別為AC和CG的中點(diǎn)，。為棱A冉上的點(diǎn).BF±?fi,

(1)證明：BF±DE;

（2）當(dāng)BQ為何值時，面BBCC與面。莊所成的二面角的正弦值最??？

12.（2021.全國?統(tǒng)考高考真題）如圖，四棱錐P-ABcD的底面是矩形，Pr），底面

ABCD,PD=DC=I,"為BC的中點(diǎn)，且

（1）求8C；

（2）求二面角A-PM-B的正弦值.

13.（2021.全國?統(tǒng)考高考真題）在四棱錐Q-A8C。中，底面是正方形，若

AD=2,QD=QA=EQC=3.

（1）證明：平面QA。，平面ABeD；

（2）求二面角B-QO-A的平面角的余弦值.

14.（2021?浙江?統(tǒng)考高考真題）如圖，在四棱錐P-ABco中，底面ABa）是平行四邊

形，ZABC=120o,AS=1,BC=4,PA=√15,M,N分別為8C,PC的中點(diǎn)，

PDLDC,PMLMD.

(1)證明：ABlPM;

(2)求直線AN與平面尸ZW所成角的正弦值.

15.(202卜北京?統(tǒng)考高考真題)如圖：在正方體A8CA4G。中，E為AA中點(diǎn)，BC

與平面CoE交于點(diǎn)F.

(1)求證：尸為8￡的中點(diǎn)；

(2)點(diǎn)M是棱A4上一點(diǎn)，且二面角"-FC-E的余弦值為更，求普的值.

3Aq

16.(2021.天津.統(tǒng)考高考真題)如圖，在棱長為2的正方體4BC。-AAcQ中，E為

棱BC的中點(diǎn)，尸為棱CO的中點(diǎn).

(I)求證：。尸//平面AEG；

(II)求直線AG與平面AEG所成角的正弦值.

(III)求二面角A-Ae-E的正弦值.

17.（2020.全國.統(tǒng)考高考真題）如圖，。為圓錐的頂點(diǎn)，。是圓錐底面的圓心，AE為

底面直徑，AE^AD.ABC是底面的內(nèi)接正三角形，P為。。上一點(diǎn)，PO=-DO.

6

（2）求二面角B-PC-E的余弦值.

18.（2020?海南?統(tǒng)考高考真題）如圖，四棱錐P-ABC。的底面為正方形，PoJ■底面

ABCD.設(shè)平面以。與平面PBC的交線為/.

（1）證明：/_L平面PDC-.

（2）已知PD=AO=1,。為/上的點(diǎn)，求PB與平面QCO所成角的正弦值的最大值.

19.（2020.天津?統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱柱ABC-A4G中，CGjL平面

ABC,ACBC,AC=BC=2,CQ=3,點(diǎn)。，E分別在棱AA和棱CG上，且

AD=?CE=2,M為棱4用的中點(diǎn).

(I)求證：C∣Λ∕1B,D;

(ID求二面角B-BlE-。的正弦值；

(JII)求直線AB與平面DB也所成角的正弦值.

20.(2020?北京?統(tǒng)考高考真題)如圖，在正方體ABCABCQ中，E為BBI的中點(diǎn).

(II)求直線AA與平面AAE所成角的正弦值.

21.(2020?海南?高考真題)如圖，四棱錐P-ABC。的底面為正方形，底面ABCD.設(shè)

平面心￡＞與平面PBC的交線為/.

(1)證明：/，平面產(chǎn)。c；

(2)已知Po=A0=1,Q為/上的點(diǎn)，QB=6,求尸B與平面QC。所成角的正弦值.

22.(2020?江蘇?統(tǒng)考高考真題)在三棱錐A—BC。中，已知CB=C￡>=逐,80=2,。為

BO的中點(diǎn)，Aoj_平面BCD,Ao=2,E為AC的中點(diǎn).

(1)求直線AB與。E所成角的余弦值；

(2)若點(diǎn)尸在BC上，滿足BF=LBC,設(shè)二面角F—QE—C的大小為仇求sin。的值.

4

23.(2019?全國?高考真題)如圖，直四棱柱ABCAA向C/O/的底面是菱形,A4∕=4,AB=2,

ZBAD=GO0,E,M,N分別是BC,BB∣,A/O的中點(diǎn).

(1)證明：MN〃平面C/OE；

(2)求二面角A-MA/-N的正弦值.

24.(2018?全國?高考真題)如圖，在三棱錐尸-4?C中，AB=BC=20，

PA=PB=PC=AC=4,。為AC的中點(diǎn).

(1)證明：P。，平面ABC；

(2)若點(diǎn)M在棱8C上，且二面角M-PA-C為30。，求PC與平面24〃所成角的正

弦值.

25.(2018?全國?高考真題)如圖，四邊形ABa)為正方形，E,尸分別為AO,8C的中點(diǎn),

以QF為折痕把二。RC折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且

(1)證明：平面尸￡尸_1_平面ΛBFD;

(2)求￡)P與平面ABH)所成角的正弦值.

26.(2019?全國?統(tǒng)考高考真題)圖1是由矩形AoEB,Rt△A8C和菱形BFGC組成的一

個平面圖形，其中AB=I,BE=BF=2,NFBC=60。,將其沿AB,BC折起使得BE與BF

重合，連結(jié)QG,如圖2.

(1)證明：圖2中的A,C,G,。四點(diǎn)共面，且平面ABC，平面BCGE；

(2)求圖2中的二面角B-CG-A的大小.

圖1圖2

27.（2019?浙江?高考真題）如圖，已知三棱柱ABC-ABe,平面AAGe_L平面

oo

ABC,ZABC=90,^BAC=30,A1A=AtC=AC,E,F分別是4C,A,B∣的中點(diǎn).

(1)證明：EFJ.BC；

(2)求直線針與平面ABC所成角的余弦值.

28.(2018?全國?高考真題)如圖，邊長為2的正方形ABa)所在的平面與半圓弧C。所

在平面垂直，M是CO上異于C,。的點(diǎn).

(1)證明：平面AME>_L平面8A/C；

(2)當(dāng)三棱錐M-ABC體積最大時，求面MAB與面MC。所成二面角的正弦值.

29.(2019?北京?高考真題)如圖，在四棱錐P-ABCf)中，朋，平面ABCDADLCD,

PP1

AD//BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E為PZ)的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在PC上，且正=§.

(I)求證：CZ)_L平面PAD；

(II)求二面角F-AE-P的余弦值；

(In)設(shè)點(diǎn)G在PB上，且P寡G=：2.判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說明理由.

PB3

30.(2019?天津?高考真題)如圖，AE_L平面ABC。，CF//AE,AD//BC,

ADlAB,AB=AD=I,AE=BC=2.

(I)求證：BF〃平面ADE；

(II)求直線CE與平面53E所成角的正弦值；

(HI)若二面角￡—尸的余弦值為g,求線段CF的長.

31.(2018?浙江?高考真題)如圖,已知多面體46C-A4G，AAB]B,GC均垂直于平面

o

ABC,ZABC=120,Λ1A=4,C1C=IMB=βC=B1B=2.

4

(I)求證：AA，平面ABC:

(II)求直線ACl與平面A88,所成角的正弦值.

32.(2018?北京?高考真題)如圖，在三棱柱ABC-ABC中，CC∣?L平面ABC,D,E,

F,G分別為AA,AC,AtCl,BBl的中點(diǎn)，AB=BC=亞,AC=Aa=2.

(2)求二面角8-8-G的余弦值；

(3)證明：直線FG與平面BCD相交.

33.(2018?江蘇?高考真題)如圖，在正三棱柱ABe-A/B/C/中，AB=AA/=2,點(diǎn)P,Q分

別為A∕B∕,BC的中點(diǎn).

(1)求異面直線B尸與AG所成角的余弦值；

(2)求直線CG與平面AQG所成角的正弦值.

34.(2018?天津?高考真題)如圖，AD∕∕BCS.AD=2BC,AZ)_LC￡>,EG〃A。且EG=AQ,

CD∕∕FG艮CD=2FG,DG15PffiABCD,DA=DC=DG=I.

(I)若M為C尸的中點(diǎn)，N為EG的中點(diǎn)，求證：MN〃平面CDE；

(II)求二面角E-8C—F的正弦值；

(III)若點(diǎn)P在線段DG上，且直線BP與平面4。GE所成的角為60。，求線段OP的

長.

參考答案：

1.A

【分析】證明叱工平面8。。，即可判斷A；如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)AB=2,分別求出平面片正尸，A1BD,ACQ的法向量，根據(jù)法向量的位置關(guān)系，即可判

斷BCD.

【詳解】解：在正方體ABCo-A4G。中，

AClB。且，平面ABCD,

又EFU平面ABCO,所以EfLOR,

因?yàn)镋F分別為A3,BC的中點(diǎn)，

所以歷〃AC,所以EFJ_%＞，

又BDDD1=D,

所以EFl平面BOR,

又EFU平面片EF,

所以平面片EFL平面BOR,故A正確；

選項BCD解法一：

如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2,

則4(2,2,2),E(2,l,0),F(l,2,0),B(2,2,0),A(2,0,2),A(2,0,0),C(0,2,0),

C1(0,2,2),

則EF=(T,l,0),E6=(0,l,2),OB=(2,2,0),OA=(2,0,2),

M=(0,0,2),AC=(-2,2,0),A1C1=(—2,2,0),

設(shè)平面BlEF的法向量為機(jī)=(x∣,y∣,z∣),

m?EF=-X÷y=O

則有11可取加=(2,2,—1),

m?EBT=M+2Z]=O

同理可得平面ABC的法向量為勺=(1,-1,-1),

平面AIAC的法向量為%=0,1,0),

平面ACQ的法向量為n,=(1,1,-1),

貝

∣JZM?M1=2-2+1=1WO,

所以平面用EF與平面ABO不垂直，故B錯誤;

UU

因?yàn)橛门c〃2不平行，

所以平面與EF與平面A1AC不平行，故C錯誤;

因?yàn)榧优c〃3不平行，

所以平面BEF與平面AG。不平行，故D錯誤,

故選：A.

選項BCD解法二：

解：對于選項B,如圖所示，設(shè)48BIE=M,EFBD=N,則MN為平面AE尸與平面

A8。的交線，

在，BMN內(nèi),作BPLMN于點(diǎn)P,在二EMN內(nèi),作GPJ_MN,交EN于點(diǎn)G,連結(jié)BG,

則ZBPG或其補(bǔ)角為平面BIEF與平面A1BD所成二面角的平面角,

由勾股定理可知：PB2+PN2=BN2,PG2+PN2=GN2,

底面正方形ABCf)中，E,尸為中點(diǎn)，則防_L8D,

由勾股定理可得NB2+NG-=BG2,

從而有：NB2+NG-=(PB2+PN2)+(PG2+PN2)=BG2,

據(jù)此可得PB2+PG1≠BG1,即ZBPG≠90,

據(jù)此可得平面gEF_L平面不成立，選項B錯誤;

對于選項C,取Ag的中點(diǎn)“，則A"B∣E,

由于AH與平面AAC相交，故平面與EF〃平面AAC不成立，選項C錯誤;

對于選項D,取AO的中點(diǎn)M,很明顯四邊形ABLM為平行四邊形，則AMBiF,

由于AM與平面ACQ相交，故平面BIE尸〃平面ACQ不成立，選項D錯誤;

故選：A.

2.C

【詳解】分析：先建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積求向量夾角，再根

據(jù)向量夾角與線線角相等或互補(bǔ)關(guān)系求結(jié)果.

詳解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DDi為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

zχo,0,0),41,0,0),與(1,1,6),0(0，。，K),所以AA=(To，6),。與=(1,1,6),

/,c?AQ?明-1+3√5

因?yàn)镃OS(AA,3)=M閾=女方=—,所以異面直線A。與四所成角的余弦值為

手，選C.

點(diǎn)睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破"建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g

直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出

平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.

3.BD

【分析】對于A,由于等價向量關(guān)系，聯(lián)系到一個三角形內(nèi)，進(jìn)而確定點(diǎn)的坐標(biāo)；

對于B,將尸點(diǎn)的運(yùn)動軌跡考慮到一個三角形內(nèi)，確定路線，進(jìn)而考慮體積是否為定值；

對于C,考慮借助向量的平移將P點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來求解尸點(diǎn)

的個數(shù)；

對于D,考慮借助向量的平移將尸點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來求解P點(diǎn)

的個數(shù).

【詳解】

易知，點(diǎn)P在矩形8CG4內(nèi)部（含邊界）.

對于A,當(dāng)4=1時，BP=BC+juBB∣=BC+juCC∣,即此時PW線段CG，用尸周長不是定

值，故A錯誤；

對于B,當(dāng)〃=1時，BP=λBC+BB=BBi+/14G,故此時P點(diǎn)軌跡為線段AG,而B1C1//BC,

BCH平面A/C,則有P到平面ABC的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確.

對于C,當(dāng)/!=；時，BP=；BC+〃BB「取BC,8￡中點(diǎn)分別為。，H,則8尸=80+〃。"，

所以P點(diǎn)軌跡為線段QH,不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，AlqQ1］，

12）

p（o,o,∕z）,8（o,；,o）則AP=_曰,0,〃_1,BP=（0,_；,〃），APBP=1）=0,

所以〃=0或〃=1.故",Q均滿足，故C錯誤；

對于D,當(dāng)〃=；時，BP=4BC+gBB-取BB∣,CG中點(diǎn)為Λ√,N.BP=BM+aMN，所

1λ

以P點(diǎn)軌跡為線段MN.設(shè)P（O,%,5,因?yàn)锳乎,0,0,所以AP=

加2-

AB=,所以;+；%-；=OnyO=-；，此時P與N重合，故D正確.

、乙乙）-NN乙

故選：BD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的等價替換，關(guān)鍵之處在于所求點(diǎn)的坐標(biāo)放在三角形內(nèi).

4.(1)√2

Q)&

2

【分析】(1)由等體積法運(yùn)算即可得解；

(2)由面面垂直的性質(zhì)及判定可得BC上平面ABBM,建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向

量法即可得解.

【詳解】(1)在直三棱柱ABC-AAG中，設(shè)點(diǎn)A到平面ABC的距離為力，

則匕-ABC=；SABC/=半/?=9-A%=/SA%?AA=+0C-AB&

解得〃=√∑,

所以點(diǎn)A到平面A8C的距離為亞；

(2)取4出的中點(diǎn)E,連接AE,如圖，因?yàn)锳A=A8,所以AELAf,

又平面ABCj_平面ABBM，平面ABCC平面ABB/=AB,

且AEU平面ABA4,所以AEL平面A8C,

在直三棱柱ABC-ABiG中，BBlJ.平面ABC,

由BCu平面ABC,56'匚平面48(7可得/1￡_18。，BB11BC,

又AE,叫U平面A8AA且相交，所以BC1平面ABBlA1,

所以8C,BA,B與兩兩垂直，以8為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

由(I)得AE=√L所以AA=AB=2,Λ,β=2√2,所以BC=2,

則A(0,2,0),A(0,22),8(0,0,0),C(2,0,0),所以AC的中點(diǎn)D(IJl),

則BO=(IJl),BA=(0,2,0),3C=(2,0,0),

設(shè)平面AaD的一個法向量機(jī)=(x,y,z),則〈c',

'z[tnBA=2y=0

可取加=(1,0,-1),

設(shè)平面BDC的一個法向量”=(α,"c),則'二;;

可取，=(0,1,-1),

則8SM>麗=W=5，

所以二面角A—如一C的正弦值為，_(；[=曰.

5.(1)證明過程見解析

⑵B與平面由所成的角的正弦值為挈

【分析】(1)根據(jù)已知關(guān)系證明得到AB=CB,結(jié)合等腰三角形三線合一

得到垂直關(guān)系，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；

(2)根據(jù)勾股定理逆用得到BEiZ)E,從而建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線面角的運(yùn)算法則

進(jìn)行計算即可.

(1)

因?yàn)锳r)=CO,E為AC的中點(diǎn)，所以ACLDE；

在△Μ￡>和ACBD中，因?yàn)锳。=8,ZADB=NCDB,DB=DB,

所以aABZ涇ACBO,所以AB=C8,又因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以AC_L5E；

又因?yàn)椤！?8EU平面BE￡>,DECBE=E,所以ACJ-平面8匹，

因?yàn)锳CU平面AeD,所以平面，平面ACZX

(2)

連接EF,由(1)知，ACj■平面BED,因?yàn)榉繳平面BED,

所以AC_LE尸，所以SA"C=∕AC?EF,

當(dāng)￡FJ_Bz)時，EF最小，即AAFC的面積最小.

因?yàn)锳AB恒ACBD,所以CB=AS=2,

又因?yàn)镹Ace=60。，所以「ABC是等邊三角形，

因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以AE=EC=1,BE=B

因?yàn)锳O_LC￡),所以。E=JAC=I,

在右DE8中，DE2+BE2=BD2所以BKIDE

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E-沖z,

則A(l,θ,θ),8(θ,后0),D(0,0,l),所以AQ=(TO,I),AB=卜l,"θ),

設(shè)平面ΛBA的一個法向量為"=(x,y,z),

n?AD=-X+z=0L/r\

則J-,取y=G,則"=(3,j3,3),

n?ΛB=-x+√3y=017

又因?yàn)镃(-1,O,O),F0,日,|,所以B=用,,

cf,64√3

所以COS∕∕?,CF?=Λ,.

'/HICFIv∑τ×

設(shè)CF與平面ABD所成的角的正弦值為(0≤?！?/p>

所以Sine=^os(〃,C尸，=,

所以C尸與平面ABO所成的角的正弦值為生g.

7

6.(1)證明見解析;

⑵絡(luò).

【分析】(1)作QE1ΛB于E,CF上A3于尸，利用勾股定理證明45工3。，根據(jù)線面垂

直的性質(zhì)可得PDLBD,從而可得平面P4O,再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；

(2)以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.

(1)

證明：在四邊形ABCD中，作Z)ElAB于E,CF上AB于F,

因?yàn)镃r>∕∕A8,AZ)=α>=CB=l,A8=2,

所以四邊形ABCD為等腰梯形，

所以AE=B/=4，

2

故OE=*,BD=NDE?+BE?=6,

所以A￡>2+Bh=AB?,

所以AO工3￡),

因?yàn)镻L)L平面A8C。，3。u平面ABC。,

所以叨_L3￡>,

又PDcAD=D,

所以BZ)I平面P4。，

又因?yàn)锽Au平面尸Ar),

所以BD_L24；

(2)

解：如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,

BD=6,

則A(I,O,O),B(O,百,o),p(o,o,?/?,

則4P=(-l,0,g),BP=(O,-6,G),OP=(0,0,6),

設(shè)平面QAB的法向量〃=(x,y,z),

,n?AP=-x+?∕3z=0IL、

則有｛L，可取"=G,革,

∕7?BP=-√3γ+√r3z=O',

n-DP√5

則COS(幾E)P)=

HIDPI5，

所以與平面皿所成角的正弦值為手.

P

7.(1)證明見解析

【分析】(1)連接BO并延長交Ae于點(diǎn)。，連接。4、Pr>,根據(jù)三角形全等得到OA=O8,

再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AO=OO，即可得到。為8。的中點(diǎn)從而得到OE〃/吟，即可

得證；

(2)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦的絕對值，再根據(jù)同

角三角函數(shù)的基本關(guān)系計算可得.

【詳解】(1)證明：連接BO并延長交AC于點(diǎn)。，連接。4、PD,

因?yàn)镻O是三棱錐P-ABC的高，所以P。工平面ABC,40,3。<=平面46<7,

所以POLA。、POlBO,

MA=PB,所以4P04三Z?P03,即04=03,所以NOAB=NO84,

又AB工AC,即N8AC=90°,所以NoA3+/04。=9()°,/054+NOZM=90°,

所以ZWA=NQW

所以AO=D0,即Ao=Z)O=08,所以。為8。的中點(diǎn)，又E為依的中點(diǎn)，所以O(shè)E//PD,

又OEa平面PAC,Pz)U平面PAC,

所以O(shè)E〃平面PAC

(2)解：過點(diǎn)A作Az〃OP,如圖建立平面直角坐標(biāo)系,

因?yàn)镻O=3,AP=5,所以Q4=JA"-PO2=4,

又NOBA=/OBC=30。，所以33=204=8,則Ar>=4,AB=4√3,

所以AC=12,所以006,2,0),β(4√3,θ,θ),P(26,2,3),C(0,12,0),

所以E06,1,∣),

貝IJAE=AB=(4√3,O,θ),AC=(0,12,0),

?

n?AE=3>∕3x+y+—z=O

設(shè)平面A￡?的法向量為"=(x,y,z),則■'2,令z=2,則產(chǎn)-3,

n?AB=4?∣3x=O

X=O,所以〃=(0,-3,2)；

-3

,…L-=/∕77?AE=3Λ∕3^÷?÷-c=0

設(shè)rt平面AEC的法向量II為f機(jī)=(〃,》,cx),則<2

m?AC=12〃=O

令α=JJ,則C=—6,b=0,所以加=(6,0,—6)；

4√3

所以"÷/÷?in≠-mf而-1詢2

^^I3-?

4√3

設(shè)二面角C-AE-B的大小為θ,則ICoSM=gs(","U

?

所以Sine=Jl-cos2j=^,即二面角C-ΛE-B的正弦值為j∣.

y

8.(1)證明見解析；

(2)5"

14

【分析】(1)過點(diǎn)E、。分別做直線DC、A8的垂線EG、O”并分別交于點(diǎn)G、H,由

平面知識易得FC=3C,再根據(jù)二面角的定義可知，∕BCF=60,由此可知，F(xiàn)NlBC,

FNLCD,從而可證得尸Nj?平面ABCZ),即得FNL4)；

(2)由(1)可知RVJ?平面ABa),過點(diǎn)N做A8平行線NK,所以可以以點(diǎn)N為原點(diǎn)，NK,

NB、NF所在直線分別為X軸、N軸、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系N-DZ,求出平面ADE的

一個法向量，以及8M，即可利用線面角的向量公式解出.

【詳解】(1)過點(diǎn)E、。分別做直線DC、A8的垂線EG、?！辈⒎謩e交于點(diǎn)G、H.

；四邊形ABCD和EFCD都是直角梯形，AB//DC,CD//EF,AB=5,DC=3,EF=],

Z-BAD=ACDE=60°,由平面幾何知識易知，

DG=AH=2,AEFC=ADCF=NDCB=ZABC=90°,則四邊形EFCG和四邊形DCBH是矩

形，在Rt-EG3和Rt.Z)∕Z4,EG=DH=26

VDCLCF,DClCB,且BCeB=C,

.?.￡>CJ?平面BCF,NBCF是二面角K-OC-B的平面角，則/BCF=60,

...△8CF是正三角形，由Z)CU平面4BC。，得平面ABa)I平面BCF,

：N是BC的中點(diǎn)，??.?RVJ_BC,又OCj"平面Bb,FNU平面BCF,可得RV_LCZ),

而BeCa)=C,二RV，平面ABCD,而45U平面ABC。；.RV_LAD.

(2)因?yàn)镕NL平面ABC￡),過點(diǎn)N做A8平行線NK,所以以點(diǎn)N為原點(diǎn)，NK,NB、

Nf'所在直線分別為X軸、y軸、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系N-孫Z,

設(shè)A(5,6,0),8(0,6,0),0(3,-6,0),E(1,0,3),則M3,-,-,

:.BM=3,-芋，之,AD=(-2,-2^,O),DE=(-2,√3,3)

設(shè)平面AoE的法向量為〃=(X,y,Z)

〃?AD=O/口-2x-2√3j=0

??,得《?w=(√3,-l,√3),

nDE=O-2x+?∣3y+3z=0

設(shè)宜線BM與平面ADE所成角為。,

9.(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)取AB的中點(diǎn)為K,連接MKNK,可證平面MKN〃平面8CC4,從而可證MW/

平面.

(2)選①②均可證明8片_L平面ABC,從而可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間

向量可求線面角的正弦值.

【詳解】(1)取AB的中點(diǎn)為K,連接用KNK,

由三棱柱ABC-AAC可得四邊形ABBlAt為平行四邊形，

而耳M=M41'BK=KA,則MKilBB

而雄仁平面8。。由，B8∣u平面8CC4,故MK〃平面BCG與，

而CN=NA,BK=KA,則NK〃8C,同理可得NK〃平面3。6片，

而NKnMK=K,NK,MKU平面MKN,

故平面MKV〃平面BCC4，而MNU平面MKN,故MN〃平面BCGB∣,

(2)因?yàn)閭?cè)面BCC向?yàn)檎叫危蔆BIB片,

而CeU平面BCCM,平面CBBtCt，平面ABB∣A,

平面CBBcC平面ABBiAt=BB1,故CBJ_平面ABB0，

因?yàn)镹KHBC,椒NKl平面ABBtAi,

因?yàn)锳BU平面ABBIA,故NKJ_A3,

若選①，則ABjL腦V,而NKJ.AB,NKMN=N,

故AB/平面MNK,而MKU平面MNK,故AB_LMK,

所以ABLB耳，而CBLBB∣,CBcAB=B,故，平面ABC,

故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則3(0,0,0),A(0,2,0),N(U,0),M(0,l,2),

故顏=(0,2,0),8N=(1,1,0),BM=(0,1,2),

設(shè)平面BNM的法向量為n=(x,y,Z),

n?BN=0[x÷y=0.、

則八，從而C八，取Z=—1,則”=z-2,2,-1,

n-BM-0[y+2z=0

設(shè)直線AB與平面BNM所成的角為。，則

sinθ=∣cos(〃,AB)I=J?=?∣.

若選②，因?yàn)镹K〃8C,故NKJ_平面48B∣A,而KMU平面MKN,

故NKlKM,而片例=BK=I,NK=I,故B、M=NK,

而BlB=MK=2,MB=MN,故BB1M=MKN,

所以NBgM=NMKN=90。，故ABlJ?8與，

而C8JL8A，CBcAB=B,故3線，平面ABC,

故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則3(0,0,0),A(0,2,0),N(l,l,0),M(0,1,2),

故BA=(0,2,0),BN=(1,1,0),8M=(0,1,2),

設(shè)平面3MW的法向量為"=(x,y,z),

n?BN=Qx+y=Q

從而取z=-l,則”=(-2,2,-1),

n?BM=Oy+2z=0

設(shè)直線A8與平面BMW所成的角為。，則

10.(1)證明見解析

⑶巫

10

【分析】(I)以點(diǎn)4為坐標(biāo)原點(diǎn)，A|A、AM、AG所在直線分別為X、y、Z軸建立空間

直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可證得結(jié)論成立；

(2)利用空間向量法可求得直線BE與平面CC1D夾角的正弦值；

(3)利用空間向量法可求得平面A1CD與平面CG。夾角的余弦值.

【詳解】(1)證明：在直三棱柱ABC-ABlG中，AA，平面ABc,且ACJ.ΛB,則AG?AB1

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AA、A與、AG所在直線分別為X、y、Z軸建立如下圖所示的空間

直角坐標(biāo)系,

則A(2,0,0)?8(220)、C(2,0,2)?A(O，。，。)、名(0,0,2)、C(0,0,2)、O((U,0)、￡(1,0,0)、

FD,則EF=(O

易知平面ABC的一個法向量為m=(l,0,0),則E尸.”=0，故EF_L〃z,

EFa平面ABC,故E∕j7/平面ABC.

(2)解：GC=(2,0,0),C1D=(0,1,-2),EB=(1,2,0),

設(shè)平面CCQ的法向量為"=α,y,zj,則“ff=2x∣U

U-CxD=yx-2zl=0

LnEB?u4

取y=2,可得〃=(0,2,1),C°S<E8,M>=同刊=g.

因此，直線BE與平面CCQ夾角的正弦值為

(3)解：AC=(2,0,2),Λ,D=(0,l,0),

設(shè)平面AcD的法向量為j=(W，%，Z2)，則。，

./u?V1Vio

取X0,可得v=(l,0,-l),則c°s<"，"=麗=-瓦/=-記

因此，平面ACD與平面CCQ夾角的余弦值為畫.

10

11.(1)證明見解析；(2)BQ=；

【分析】（I）方法二：通過己知條件，確定三條互相垂直的直線，建立合適的空間直角坐標(biāo)

系，借助空間向量證明線線垂直；

（2）方法一：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的平面角的余弦值最大，進(jìn)

而可以確定出答案；

【詳解】（1）［方法一］：幾何法

因?yàn)锽FIABI,Aιq//AB,所以3b,AB.

又因?yàn)?B188∣,BFnBBi=B,所以ABl平面BCC∣8∣.又因?yàn)锳B=BC=2,構(gòu)造正方

體ABCG-ABCG∣,如圖所示,

過E作AB的平行線分別與AGBC交于其中點(diǎn)",N,連接司/出加，

因?yàn)镋,尸分別為AC和CG的中點(diǎn)，所以N是BC的中點(diǎn)，

易證RtBCF=RtBxBN,則NCBF=NBBIN.

又因?yàn)镹BB∣N+NB∣NB=90°,所以NCB尸+/4NB=90°,BFIB1N.

又因?yàn)锽FIABI,B∣NA1B1=B1,所以平面AMNg.

又因?yàn)镋r）U平面AMN片，所以BFJ_￡>E.

［方法二］【最優(yōu)解】：向量法

因?yàn)槿庵鵄BC-ASe是直三棱柱，.?.BBl1底面ABC,：.BBlIAB

AtBl//AB,BFIABI防J_AB,又BBlCB尸=B,.：ABl平面BCGq.所以BA,8C,BB∣

兩兩垂直.

以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以848C,3q所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.

.?.B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),B1(0,0,2),Λ1(2,0,2),C,(0,2,2),E(1,1,O),F(0,2,l).

由題設(shè)D(α,0,2)(0≤a<2).

因?yàn)锽F=(0,2,1),E>E=(1-a］,—2),

所以BF?C>E=0x(l-4)+2x1+lx(-2)=0,所以Bfr>E.

［方法三］:因?yàn)?FLA4，AlBt∕∕AB,所以BF_LAB,故5尸44=0,BFAB=O,所

以

BF?ED=BF(EB+BBi+B、D)=BF-BlD+BF^EB+=BFEB+BFBB1

=BF?--BA--βC?+BFBB.=--BF-BA--BF-BC+BF-BB=--BF-BC+BF-BB.

I22J22'121

1?2I

=-?IBF∣?∣βC∣cosZFBC+∣BF∣?∣ββl∣cosZFBB1=--×√5×2×-^+√5×2×-^=0,所以

BFA.ED.

(2)［方法一］【最優(yōu)解】：向量法

設(shè)平面DFE的法向量為m=(x,y,z),

因?yàn)镋F=(T,1,1),DE=(J41,-2),

［m-EF,=0f-x+y+z=O

所咪"=0'K(.-φ÷,v-2z=0?

令z=2-α,則"z=(3,l+α,2-α)

因?yàn)槠矫鍮CGBI的法向量為BA=(2,0,0),

設(shè)平面BCC1B1與平面DEF的二面角的平面角為6,

'1'一沖網(wǎng)2×√2α2-2α+14√2a2-2a+14'

127

當(dāng)ɑ=］時，2/一2α+4取最小值為奇，

3_√6

此時CoSe取最大值為yy-5.

所以(Sin九=卜閨一等此時他總

［方法二］:幾何法

如圖所示，延長E尸交AG的延長線于點(diǎn)S,聯(lián)結(jié)DS交Be于點(diǎn)7,則平面OFE平面

作4"IFT,垂足為從因?yàn)椤?_L平面BAGC,聯(lián)結(jié)?！?，則NDHBl為平面84GC與

平面DFE所成二面角的平面角.

設(shè)4。=f,/€［0,2］,BtT=S,過Cl作C1G//44交。S于點(diǎn)G.

CS1CG1

由京1二二右1得GGF2T)?

又=M：,即］0八一2-s，所以S=S^.

C1GC1/t+v

B,HBTBlHsS

又評=萬'即丁="一尸所以及D”LJ=Jι+(2.s)>

所以的=廊E=忌?。?IS1.

DΓ)=-=^=

KlJsinZDWB1=-I-

DHAI.

?2r-2t+5

所以，當(dāng)r=g時，(Sin∕OH8),m=g.

［方法三］：投影法

如圖，聯(lián)結(jié)FB?,FN,

J)EF在平面BBCC的投影為一B∣NF,記面BBGC與面DFE所成的二面角的平面角為8,

則CoSe=2.

、“DEF

222

設(shè)BID=f(0≤f≤2),在RtOBI/中，DF=λ∣B1D+B1F=√r+5.

在Rt-ECF中，EF7EC?+FC?=百，過。作用N的平行線交EN于點(diǎn)Q.

222

在RtZ?QEQ中，DE=yJQD+EQ=√5+(I-Z).

在..DEF中，由余弦定理得cosNDFE=DF士EF2二DE?=+D,

2DFEF3(r+5)

.z_∣2t^—2z+14?1I~~；-----------3

SlnNDFE=-~?-,S=-DF-EFsinZDFE=-√2r2-2r+14,SHNF=一，

]∣3(r2+5)nDFEF22b'w2

SBNF3.C[9~

cosθ?-?=,,s?n0?l--ττ;--------γ,

SDFE√r2∕2-2r+14N2[t2-t+7)

當(dāng)f=J,即8Q=；,而B8CC與面OFE所成的二面角的正弦值最小，最小值為立.

223

【整體點(diǎn)評】第一問，方法一為常規(guī)方法，不過這道題常規(guī)方法較為復(fù)雜，方法二建立合適

的空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量求解是最簡單，也是最優(yōu)解：方法三利用空間向量加減法

則及數(shù)量積的定義運(yùn)算進(jìn)行證明不常用，不過這道題用這種方法過程也很簡單，可以開拓學(xué)

生的思維.

第二問：方法一建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的平面角是最常規(guī)的方法，

也是最優(yōu)方法；方法二：利用空間線面關(guān)系找到，面BBCC與面。在所成的二面角，并求

出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面OEE在面BBCC上的投影三角形

的面積與ADFE面積之比即為面BBCC與面OFE所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最

小值，進(jìn)而求出二面