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考點09軸對稱圖形

在命題趨勢

.

軸對稱圖形主要包括軸對稱的概念、線段的垂直平分線、軸對稱圖形、等腰三角形的性質與判定以及

軸對稱圖形的作圖；在中考中軸對稱與軸對稱的性質、線段的垂直平分線主要以選擇和填空的形式進行考

查，難度較低；畫軸對稱圖形往往會考查尺規(guī)作圖；等腰三角形的考查形式有多種，包括選擇、填空和解

答都有考查的可能，難度中等。

在知識導圖

概念與軸對稱的性質

軸對稱和軸對稱圖形區(qū)別與聯(lián)系

畫軸對稱圖形

在重點考向

a

一、軸對稱；

二、線段和角的軸對稱性；

三、等腰三角形。

考向一：軸對稱

L軸對稱圖形：如果一個圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱

圖形，這條直線就是它的對稱軸。

2.軸對稱圖形的性質：軸對稱圖形的時稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.

3.軸對稱：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條

直線對稱，這條直線叫做對稱軸。

4.成軸對稱的兩個圖形的性質：

①關于某條直線對稱的兩個圖形形狀相同，大小相等，是全等形；

②如果兩個圖形關于某條直線對稱，則對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線；

③兩個圖形關于某條直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么它們的交點在對稱軸上.

5.軸對稱圖形與軸對稱的區(qū)別和聯(lián)系

區(qū)別：軸對稱是指兩個圖形的位置關系，軸對稱圖形是指具有特殊形狀的一個圖形；軸對稱涉及兩個圖形，

而軸對稱圖形是對一個圖形來說的.聯(lián)系：如果把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，那么這兩個圖形

關于這條軸對稱；如果把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形.

6.用坐標表示軸對稱

點（x,y）關于X軸對稱的點的坐標為（x,-y）；點Cx,y）關于y軸對稱的點的坐標為（-x,y）；

點（x,y）關于原點對稱的點的坐標為（-x,—y）.

7.作軸對稱圖形

（1）幾何圖形都可以看作由點組成，我們只要分別作出這些點關于對稱軸的對應點，再連接這些點，就可

以得到原圖形的軸對稱圖形；

（2）對于一些由直線、線段或射線組成的圖形，只要作出圖形中的一些特殊點（如線段端點）的對稱點，

連接這些對稱點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形.

典例引襁

1.（2022?山東濟南?模擬）下列圖形中，是軸對稱圖形的是（）

A⑥網

D.

【答案】B

【分析】根據(jù)軸對稱圖形特點分別分析判斷即可.

【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，不符合題意；

B、是軸對稱圖形，符合題意；

C、不是軸對稱圖形，不符合題意；

D、不是軸對稱圖形，不符合題意，

故答案為：B.

2.如圖，將ASC折疊，使AC邊落在A8邊上，展開后得到折痕/,則/是√LSC的（）

A.中線B.角平分線C.高線D.以上都不對

【答案】B

【分析】根據(jù)折疊的性質可得NcAD=Zβ4D,由此即可得到答案.

【詳解】解：如圖，

：由折疊的性質可知ZC4D=NBAD,

/.AD是NBAC的角平分線，即/是NBAC的角平分線，

故選：B.

3.（2022.河南?漂河市第三中學九年級期末）如圖，四邊形ABCO為一長條形紙帶，48〃CD將四邊形ABCO

沿所折疊，A、。兩點分別與A:O對應，若/1=2/2,則/4EF的度數(shù)為（）

A.60oB.720C.650D.75°

【答案】B

【分析】由翻折的性質可得NAEF=NEE4,由平行線的性質可得NAEF=NI,設N2=x,易得NAEF=

N1=NFE4'=2t,然后根據(jù)平角的定義構建方程即可解決問題.

【詳解】解：由翻折的性質可知：NAEF=NFEA',

'：AB//CD,

二ZAEF=Z1,

設N2=x,則/AEF=Nl=NFE4'=Zr,

VZAEB=180°,

Λ5x=1800,

Λx=36o,

.?.NAEF=2r=72。，

故選:B.

4.在平面直角坐標系x0v中，點P(-2,4)關于X軸的對稱點的坐標是()

A.(2,4)B.(4,-2)C.(Y,2)D.(-2,-4)

【答案】D

【分析】利用關于X軸的對稱點的坐標特點可得答案.

【詳解】解：點P(-2,4)關于X軸的對稱點的坐標是(-2,-4).

故選：D.

5.在平面直角坐標系中，點41,3)關于X軸對稱點的點8所在的象限是()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】直接利用關于X軸對稱點的性質結合平面直角坐標中坐標的特點即可得出答案.

【詳解】解：：點4的坐標是(1,3).作點4關于X軸的對"稱點，得到點8,

二點B(l,-3),

.?.點B所在的象限是第四象限,

故選：D.

考向二：線段和角的軸對稱性

L線段的垂直平分線：垂直并且平分一條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線.

2.線段的軸對稱性

(1)線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是它的對稱軸.

(2)線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等；

(3)線段垂直平分線的性質定理的逆定理：到線段兩個端距離相等的點在線段的垂直平分線

3.角的軸對稱性

(1)角是軸對稱圖形，角的平分線所在的直線是它的對稱軸.

(2)角平分線上的點到角兩邊的距離相等.

(3)角的內部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.

??

j▲--?____

1.在聯(lián)歡會上，有A、8、C三名選手站在一個三角形的三個頂點位置上，他們在玩“搶凳子”游戲，要求在

他們中間放一個木凳，誰先搶到凳子誰獲勝，為使游戲公平，則凳子應放的最適當?shù)奈恢檬窃冢珹BC的()

A.三邊垂直平分線的交點B.三條中線的交點

C.三條角平分線的交點D.三條高所在直線的交點

【答案】A

【分析】根據(jù)題意得：當木凳所在位置到A、8、C三個頂點的距離相等時，游戲公平，再由線段垂直平分

線的性質，即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意得：當木凳所在位置到A、B、C三個頂點的距離相等時，游戲公平，

Y線段垂直平分線上的到線段兩端的距離相等，

二凳子應放的最適當?shù)奈恢檬窃趇ABC的三邊垂直平分線的交點.

故選：A

2.已知直線。是線段AB的垂直平分線，并且垂足為。，若CA=8cm,則CB=()

A.4cmB.6cmC.8cmD.IOcm

【答案】C

【分析】根據(jù)線段垂宜平分線的性質進行求解即可.

【詳解】解：???直線CO是線段A8的垂直平分線，并且垂足為。，C4=8cm,

CB=CA=8cm,

故選C.

3.(2022?貴州?貴陽清鎮(zhèn)北大培文學校一模)如圖，AC^AD,BC=B。，貝IJ下列判斷正確的是()

A.AB垂直平分C￡>B.8垂直平分AB

C.A3與CD互相垂直平分D.CD平分NACB

【答案】A

【分析】根據(jù)全等：.角形的性質得到ZCAB=ZDAB,根據(jù)等腰三角形的性質即可得到結論.

【詳解】解：在ΛABC與AABD中,

AC=AD

BC=BD,

AB=AB

AJ3C^=^ABD,

.?.NCAB=NDAB,

.:43垂直平分0

故選：A.

4.已知AMC(AC<BC),用尺規(guī)作圖的方法在BC上確定一點P,使尸A+PC=3C,則符合要求的作圖

【答案】D

【分析】利用線段垂直平分線的性質以及圓的性質分別分得出即可.

【詳解】解：A、如圖所示：此時BA=BP,則無法得出AP=B尸，故不能得出R4+PC=BC,故此選項錯

誤；

B、如圖所示：此時B4=PC,則無法得出AP=8P,故不能得出R4+PC=BC,故此選項錯誤；

C、如圖所示：此時C4=CP,則無法得出AP=BP,故不能得出R4+PC=BC,故此選項錯誤；

D、如圖所示：此時BP=AP，故能得出PA+PC=8C,故此選項正確；

故選：D.

5.如圖，AABC中，AB的垂直平分線交AC于。，如果AC=5cm,BC=4cm,那么△OBC的周長是（）

A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm

【答案】D

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的定義得到AO=3。，即可求出答案.

【詳解】解：???OE垂直平分A8，

：.AD=BD9

VAC=5cm,βC=4cm,

；?ADBC的周長=Co+8O+5C

=CD+AD+BC

=AC+BC

=9（cm）,

故選：D.

考向三：等腰三角形

1.等腰三角形

（1）定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.

（2）等腰三角形性質

①等腰三角形的兩個底角相等，即“等邊對等角”；

②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡稱“三線合一”）.特別地，等腰直

角三角形的每個底角都等于45°.

(3)等腰三角形的判定

如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(即“等角對等邊“).

2.等邊三角形

(1)定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.

(2)等邊三角形性質：等邊三角形的三個角相等，并且每個角都等于60。.

(3)等邊三角形的判定：

①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；

②三個角都相等的三角形是等邊三角形；

③有一個角為60。的等腰三角形是等邊三角形.

3.直角三角形的性質定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

1.(2022.山東.濟南九中模擬)如圖，在ABC中，點D是BC上的點，AD=BD,將AABD沿Ao翻折得

到若NB=40。，則NCZ)E等于()

A.20oB.30oC.35oD.40°

【答案】A

【分析】根據(jù)等邊對等角得到NBAD=NABC=40。，根據(jù)翻折的性質以及三角形內角和定理得到

ZADE=ZADB=?00°,再利用外角性質得到NM>C=80p,進一步求出NCOE=20。.

【詳解】解：：AO=BD,

.*.ZBAD=ZABC=40°

?：將AABD沿AD翻折得到LAED,

/.ZAZ>￡=ZAZ)B=180o-ZABC-ZBAD=180o-40o-40o=IOOo,

VZADC=ZABC+ZBAD=400+40°=80°,

.*.NCDE=100o-80°=20o,

故選：A

2.（2022?山東濟南?模擬）如圖，在ABC中，NC=90。，々=30。，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別

交AB,AC于點M和N,再分別以M、N為圓心，大于MV的長為半徑畫弧，兩弧交于點P,連結ΛP并延

長交BC于點。，則下列說法中不正確的是（）

A.Ao是NBAC的平分線

C.點。在AB的中垂線上D?SADAC：^ΔABD=1：3

【答案】D

【分析】A根據(jù)作圖的過程可以判定AD是/84C的角平分線；

B利用角平分線的定義可以推知NC4Q=30。，則由直角三角形的性質來求/4）C的度數(shù)；

C利用等角對等邊可以證得AD=JD8,由線段垂直平分線的判定可以證明點。在AB的中垂線匕

D利用30。角所對的直角邊是斜邊的?半求出CD=gAO=gθB,進而可得SZUMC：S△./）=1：2.

【詳解】解：根據(jù)作圖方法可得Ao是/EAC的平分線，故A正確；

VZC=90o,NB=30。,

/.ZG4S=60o,

TA。是/84。的平分線，

JΛDAC=ZDAB=30°,

ΛZADC=ωo,故B正確；

VZB=30o,ZZMB=30%

JAD=DB,

???點D在A3的中垂線上，故C正確；

o

?/ZCAD=309

：.CD=-AD,

2

VAD=DB，

：.CD=-DB

2f

?*?S△/MC:S△.)=1：2,故D錯誤,

3.如圖.在./BC中，AB=AC.若AQ是，ABC的角平分線，則下列說法錯誤的是（）

A.BD=CDB.ADlBCC.Sabd

【答案】D

【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合?性質解題.

【詳解】?.?43=AC,Ao是&ABC的角平分線,

ΛBD=CD,ADlBC,

?q—??

,,°ABD_2DABC'

故選D.

4.（2022?寧夏?銀川市第九中學二模）將一把直尺和一個含45。角的一個直角三角板如圖放置，若Nl=28。,

則N2的度數(shù)是（）

A.45oB.73oC.62oD.75o

【答案】B

【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質和外角的性質得到N4的度數(shù)，再由平行線的性質/2=/4即可求解.

【詳解】解：由題可知,23=45。，

/.Z4=Z1+Z3=28°+45°=73°

?.,AB//CD,

5.如圖在SABC中，邊AB,AC的垂直平分線交于點P,連結WJ,CP,若/A=5θ",則/8PC=

A.100B.95°C.90"D.50

【答案】A

【分析】連接",根據(jù)垂直平分線的性質得到RA=P5=PC,再根據(jù)等腰三角形的性質，即可得到

NPBA=NPAB,ZPCA=NPAC,得出NP8A+NPC4=50"，再根據(jù)三角形的內角和定理得到

ZABC+ZACB=130，得到NPBC+NPCB=80°,根據(jù)三角形內角和的性質即可求出NPBC的度數(shù).

【詳解】解:如圖，連接AP

Y邊A8,AC的垂直平分線交于點P

..PA=PB=PC,

：?ZPBA=/PAB,ZPCA=ZPAC9

ZA=ZBAP+ZCAP=50°,

??.ZPBA+ZPCA=50?

在aABC中,

ZABC+ZACB=180-ZA=I30",

.?.ZPBC+ZPCB=130°-50°=80°,

在，PBC中，

ZBPC=180-（ZPBC+ZPCB）=180"-80"=IO0”.

故選：A.

在跟蹤訓練

1.（2022?山東?濟南九中模擬）下列圖形中，是軸對稱圖形且對稱軸最多的是（）

米BXC密De

【答案】C

【分析】在平面內，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形叫軸對稱圖形，這條

直線叫做時稱軸.

【詳解】A選項是軸對稱圖形，有4條對稱軸；

B選項不是軸對稱圖形；

C選項是軸對稱圖形，有6條對稱軸；

D選項是軸對稱圖形，有1條對稱軸.

故選：C

2.到,ABC三個頂點距離相等的點是.ABC的（）

A.三條角平分線的交點B.三條中線的交點

C.三條高的交點D.三條垂直平分線的交點

【答案】D

［分析］根據(jù)線段垂直平分線上的點到該線段兩端點的距離相等解答即可.

【詳解】解：設點P是ABC三條垂直平分線的交點，

根據(jù)垂直平分線的性質可知，點P到JWC的三個頂點距離相等.

故選D.

3.（2022?山東?濟南市東方雙語實驗學校模擬）下列是國際數(shù)學家大會會徽中的部分圖案，屬于軸對稱圖形

的是（）

?

C.D.

【答案】D

【分析】根據(jù)軸時稱圖形的定義解答即可.

【詳解】解：A.,不是軸對稱圖形,故不符合題意;

D.是軸對稱圖形，符合題意.

故選：D

4.如圖，在ABC中，ZACB=90°,NA=I5。，ΛB=4√2>則4C?8C的值為（）

A.7B.8行C.2√5D.8

【答案】D

【分析】作點B關于AC的對稱點。，連接42OC,過點。作。于點E,根據(jù)含30度角的直角三

角形的性質求得DE,進而等面積法即可求解.

【詳解】解：如圖，作點B關于AC的對稱點。，連接AO,DC,過點。作DE1ΛB于點E,

'?"ZACB=90o,ZCAB=?5o,Aβ=4√2

二。在2C的延長線上，NZME=2NC4B=30。，Ao=A8=4√∑,

.,.DE=LAD=2及,

2

-SΔADB=^AB×DE=^DB×AC=AC×BC,

：.ACXBC=LABXDE=L*4必2血=8,

22

故選：D.

5.（2022?貴州遵義?三模）如圖，在ABC中，BD平分NAfiC,ZC=2ZCDB,AB=?2,CD=3,則

_ABC的周長為（）

【答案】C

【分析】根據(jù)題意在AB上截取BE=BC,連接￡>E,由SAS可證aCBD絲AEBO,可得NCDB=NBDE,

ZC=ZDEB,可證NAz)E=NAED,可得A。=AE,進而即可求解.

【詳解】解：如圖，在A3上截取BE=BC,連接OE,

C

D

E

VBD平分/ABC,

：.ZABD=/CBD,

在4C5Q和ARSD中,

CB=BE

/CBD=ZDBE,

BD=BD

：?ACBD/AEBD(SAS),

ΛZCDB=ZBDEf/C=NDEB,

：.ACDE=IACDB,

YZC=2ZCDB,

???ZCDE=ZDEB=ZC,

：,ZADE=ZAEDf

，AD=AE.

：..ABC的周長=Ao+AE+BE+5C+CD=AB+AB+CO=27,

故選：C

6.如圖。是長方形紙帶，ZDEF=22。，將紙帶沿律折疊成圖〃，再沿所折疊成圖c,則圖C,中的NCFE的

度數(shù)是()

A.108°B.114oC.120oD.132°

【答案】B

【分析】根據(jù)平行線的性質可得/BPE="所=22。，則在圖〃中，NrFE=I58。，進而可得在圖。中,

∕BR7=136°,進而在圖C中即可求解.

【詳解】解：VADHBC,且NDEF=22。,

/BFE=/DEF=22。,

,在圖4中，NtTE=180。-NBFE=I58。，

在圖6中，NEFC=I58°-22°=136°,

,在圖C中，NCFE=136°-22°=H4°,

故選：B.

7.如圖，BO是長方形紙片ABCD的對角線，E、F分別是AZλBC邊上的點，連接所，將紙片沿E尸翻

折，使得A、B的對應點分別是4、B',且點方在DC的延長線上，EF與8。相交于點G,連接G*,若GB'

恰好平分"9尸，且NoE4'=20。，則∕EG8'的度數(shù)為°.

【答案】135

1o

【分析】由折疊可知，ZAEF=ZA'EF,NEFB=NEFB,?fI'lZAEF=ZA'EF=(180°-20)÷2=80°,所以

NBFE=180o-ZAEF=Io0°,在四邊形EFB'Dφ,ZDB'F=360o-Io0°-100°-90°=70°,推出NFB'G=35°,

所以NFGB'=180o-KX)0-35°=45°,進而求出ZEFB'=180o-45o=135o.

【詳解】解：由折疊可知，NAEF=NA'EF,NEFB=NEFB?

'：NDE4'=20。，

.?.ZAEF=ZAZF=(180o-20o)÷2=80°,

二ZBFE=180o-ZAEF=100°,

在四邊形瓦中，

NDFF=360o-100o-l∞o-90o=70°,

,.?GB'平分NOBT,

二ZFB1G=35°,

：.ZFGB'=180o-KX)0-35°=45°,

/.NEFBr=180o-45o=135o,

故答案為：135.

8.如圖，AABC中沿EF將四邊形EFBC翻折，使點8、點C分別落在點8'和點C'處，再將A4E尸沿A尸

翻折，使點E落在點￡處，若NA=60。，Zl=95°,則/3的度數(shù)為.

【答案】85。

【分析】由折疊的性質，先求出N32F+NEFC'=240。，然后利用NAEF+NAFE=120。，求出/2=25。，

再利用三角形的外角性質，即可求出/3的度數(shù).

【詳解】解：根據(jù)題意，在ΔΛ3C中，NA=60。，

,NB+NC=120。，

二NBEF+AEFC=360°—120°=240°,

由折疊的性質，則

NBfEF+NfFC'=240°,

在ΔAEF中，ZAEF+ZAFE=?20o,

,/NBEF+AEFC=Zl+ZAEF+AFE+Z2=240°,

.?.95°+120°+/2=240°,

.?.N2=25°,

，/3=60°+25°=85。；

故答案為：85°

9.如圖，等腰一AfiC中，AC=BC=4,AB=4√3,NAce=I20。，AE=CF,當AF+3E的值最小時，ABF

的面積為一.

【答案】2石

【分析】過點C作CD〃AB,使8=AB,連接。尸，證明一。CF區(qū)BAE(SAS),得出。尸=既，得出A、。、

F三點共線時，AF+QF的值最小，即AF+BE的值最小，證明.OCF'與ABF',得出CF=BF=2,過點產

作尸G于G,得出尸G=；8F=1,最后利用三角形的面積公式求出結果即可.

.?./DCB=ZABC,

AC=BC,ZACB=120°,

.?.ZC4B=ZABC=30°,

.?.ZGAB=ZDCβ=30°,

CD=AB

;在OC尸和石中<NOCB=NBAC,

CF=AE

Λ.DCF^BAE(SAS),

.?.DF=BE,

.?.ΛF+BE=AF+DF,

連接Ao交BC于廣，

在aADF中，由三角形三邊關系可得A/+I>∕jA力，則A、。、尸三點共線時，AF+OF的值最小，即AF+BE

的值最小，

?：CD//AB.

.?.NCDF=NBCF,

ZCDFt=ZBCFt

在,DC尸和中，CD=BA,

NDCF'=/ABF

,,

.?,.DCF^ΛABF(ASA),

.?.CF=BFf=2,

過點尸'作尸GJ_8C于G,

NAfiC=30。，

.?.FfG=-BFr=I

2f

??.ΛAB廠的面積為(ABkG=gχ4GXI=26.

故答案為：26.

10.在平面坐標系中點A(24,3)與點P(-3∕)關于),軸對稱，則必=.

9

【答案】

【分析】根據(jù)對稱性，即可求得“和^的值，然后代入即可得解.

【詳解】解：由點A(243)與點尸(-3,6)關于y軸對稱，可知為=一(一3),6=3

.?.6t=—,/?=3,

2

.?.ab=2,

2

9

故答案為:2-

11.(2022?亍夏?固原市原州區(qū)三營中學一模)如圖，在AABC中，NBAC=7伊,ZC=40°,分別以點4和點

C為圓心，大于^AC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M,N,作直線MN交BC于點。，連接A3,則

ZBAD=.

【答案】30°

【分析】利用基本作圖得到MN垂直平分AC,則根據(jù)線段垂直平分線的性質得到ZM=DC,所以

Zβ4C=ZC=40o,然后計算NBAC-NΩ4C即可.

【詳解】解：由作法得MN垂直平分AC,

二DA=DC,

：.NZMC=NC=40°,

二NBAD=ZBAC-ZDAC=70°一40。=30°.

故答案為:30°.

12.如圖所示，AABC中，AB=AC,ZBAC=120o,AC的垂直平分線E尸交AC于點E,交BC于點F,

求證：BF=ICF.

A

E

B

F

【答案】見解析

【分析】連接四，先根據(jù)等腰三角形的性質求出/8及/C的度數(shù)，再由線段垂直平分線的性質得出

AF=CF,N∕?C=NC,由此可得出N&4尸的度數(shù)，由直角三角形的性質即可得出結論.

【詳解】證明：連接ΛF,如圖所示：

Y在ABC中，AB=AC,ZBAC=?20°,

...NB=NC=MT2。。川。,

2

TAC的垂直平分線EF交AC于點E,

二AF=CF,

：.ZMC=ZC=30°,

二ABAF=ZBAC-ZFAC=120o-30°=90°,

?/ZB=30°,

BF=IAF,

：.BF=ICF.

13.（2022.山東濟南?模擬）如圖，已知ACIBC于點C,8。，4）于點。，AC=BaAC交8。于點E.求

證：AE=BE.

【答案】見解析

【分析】利用HL證明Rt△ABC"RtZ?8AO,可得N3AC=NABO,即可求證.

【詳解】證明：YACIBC,BDA.AD,

：.NC=NO=90。，即.ABC-AB。均為直角三角形，

VAB=BA-AC=BD,

：.Rt?ABC^Rt?BΛD,

.?.ABAC=ZABD,

:.AE=BE.

14.(2022?吉林長春?一模)如圖，線段A8上兩點C,D,AC=BD,ZA=ZB,AE=BF,連接DE并延

長至點連接CF并延長至點MDE、CF交于點P,MN//AB.求證：PMN是等腰三角形.

【答案】見解析

【分析】先根據(jù)“SAS”證明VAr)E?43CF,再根據(jù)全等三角形的性質得NAr)E=NBC尸，然后根據(jù)平行

線的性質得4/厲=NJ/,4BCF=乙N,即可得出NM=NN,最后根據(jù)“等角對等邊”得出答案.

【詳解】證明：：AC=BD,

.,.AC+CD=BD+CD,

即AD=BC.

在VAZ)E和a3CF中,

AD=BC

■NA=NB,

AE=BF

：.YADE冬ABCF,

.??ZADE=NBCF.

'：MN//AB,

：.AADE=N",ABCF=ZΛr,

/.ZM=ZN,

PM=PN,

.?.」PMN是等腰三角形.

15.如圖，在一ABC中，NACB=90。，在邊A8上截取BD=BC,連接C。，過點。作DElAB交AC于

點、E.

E.

ADB

(1)求證：DE=CE-,

(2)若/4=30。，在不添加字母和線段的前提下，直接寫出圖中所有的等腰三角形(不用證明).

【答案】(1)見解析

Q)MED、乙BCD、∕?ADC

【分析】(D由等邊對等角可得NBCD=NBOC,且/BCD+NACD=90。，ZEDC+NBDC=90°,即可得

到NEa>=NEf>C,再山等角對等邊即可得出結論；

(2)①由(1)可得△(?￡?是等腰三角形；

②BD=BC,即可得出結論；

③45CD是等邊三角形，則NCE>8=60。，則根據(jù)三角形的外角定理∕4CD=NA,即可得出結論.

【詳解】(1)證明：BD=BC,

.?.NBCD=NBDC,

ZACB=90°,

:.ΛBCD+AACD=90°,

'.DEA.AB

：.NEDC+NBDC=90。,

：.ZECD=ZEDC,

..CE=DE；

(2)①山(1)可得aCEO是等腰三角形；

②BD=BC,可得ABCD是等腰三角形；

③NA=30。，BD=BC,ABCD是等邊三角形，則NCr)B=60。，NACZ)=60。-30。=30。=NA,AADC是

等腰三角形.

所以等腰三角形是ACEETABCD、∕?ADC.

16.如圖，在平面直角坐標系中，每個小正方形的邊長均為1,ABC的頂點都在格點上，已知點A的坐標

為(-3,2).請按要求分別完成下列各小題：

⑴畫出,ΛBC關于y軸對稱的4A8∣G并直接寫出點A的對應點A的坐標；

(2)若點D為)，軸上一點，且aAOD的面積為4.5,求點。的坐標.

【答案】(1)見解析，(3,2)

⑵(0,3)或(0,-3)

【分析】(1)根據(jù)軸對稱的性質分別作出A,8,C關于y軸的對稱點4,用，G，寫出點A的坐標即可;

(2)根據(jù)三角形面積求出0。的長，則結果可得.

【詳解】(I)解：如圖，AANG即為所求.點兒的坐標為(3,2)；

(2)解：?.?點A的坐標為(-3,2),

.?.點A到y(tǒng)軸的距離為3,

?；AAOD的面積為4.5,

：?OD=3,

二點。的坐標為(0,3)或(0,-3).

17.如圖，由邊長為1的小正方形構成的網格中，每個小正方形的頂點叫做格點，AABC的頂點在格點上.

第（1）圖第（2）圖

請用無刻度尺按要求作圖：

⑴作AABC的高AH；

（2）①找一格點D使ADLAC且AD=ACi

②連接C。，在Cz）上畫出一點F,連AR使AF將四邊形ABCQ的面積平分.

【答案】⑴見解析

（2）見解析

【分析】（1）根據(jù)三角形的高的定義畫出圖形即可，注意高線是實線；

（2）①根據(jù)要求作出圖形即可；

②取格點T連接87,AT,CT,則8T∕λC,推出△ACB與△ATC的面積相等，作出AADT的中線A尸即

可（取P,Q,連接PQ交于點F）.

【詳解】（1）解：如圖（1）所示，線段A”即為所求，

第（1）圖

（2）①如圖所示，線段AZ）即為所求;

②如圖所示，線段AF即為所求；

第(2)圖

18.如圖，已知AABC的頂點都在圖中方格的格點上.

(1)畫出△ABC關于X軸對稱的A4B'C,并直接寫出4、B?C三點的坐標.

(2)ΔAEc的面積是；

⑶在y軸上找一點P使得∕?+P8最小，畫出點P所在的位置(保留作圖痕跡，不寫畫法)

【答案】⑴A(-2T)，9(TT),C'(l,2),圖見解析

(2)10.5

(3)見解析

【分析】(1)確定點A,B,C關于X軸的對稱點A,B',C,再連接即可得出對稱圖形，然后確定點的坐

標即可;

(2)根據(jù)三角形的面積=矩形的面積-3個直角三角形的面積計算即可;

(3)點A關于y軸的對稱點為A，可知AP=AP,要求AP+8P最小，即求4f+BP最小，根據(jù)兩點之間

線段最短可知連接AB與y軸的交點符合題意.

【詳解】⑴如圖所示,AEC即為所求.A'(-2T),Bz(~4,T),C(1,2).

^NA,B'C,=5×6-----×2×3------×3×6------×3×5=10.5

(2)222故答案為：105

(3)如圖，點尸即為所求.

19.在平面直角坐標系中，已知4-〃?，0),

(1)如圖1,AC=AB,CVJ.46于點MN〃y軸交Ao于點M(-3,0),則AO=

(2)如圖2,若(“La)?=。，/AC6的平分線CO交AB于點O,過AC上一點E作所〃8,交AB于點尸,

AG是斯的高，探究AG與E尸的數(shù)量關系;

(3)如圖3,在(1)的條件下，AC上點〃滿足==直線交丁軸于點。，求點。的坐標.

CHMC

【答案】(1)6

(2)EF=2AG,證明見解析

⑶點。。-6)

【分析】(1)證明一ABC是等邊三角形，從而得到是含30。的直角三角形，進而得到A"=2AN,列

式計算即可得解；

(2)根據(jù)(m-")2=0,得到√1BC是等腰直角三角形，作功〃H7,交AB于N,交AG的延長線于證

明人AGE&HGE,得到AG=GH,進而得到：2AG=A∕/,再證明4√VWREN/，得到EF=AW,即可得解;

(3)過點H作“ELAM于E,"FLMC于F,連接M。，根據(jù)已知條件，證明M。平分/4MC,得到

NCMQ=45。，利用直角三角形斜邊上的中線，得到，OM=OC,得到

Mo=OC=6,NQMC=30°,進而得到NoMQ=I5。，通過三角形內角和定理，以及對頂角相等，得到

NoHQ=15。,利用互余關系得到NOQM=I5。，進而得到OQ=OM,即可得解.

【詳解】(1)解：A(T”,0),C(ZH,O).

.'.OA=OC=m?J3.BO-LAC?

/.AB=BC,

,AC=AB=2m,

二一ABC是等邊三角形，

CMA.AB,

:.AM=BM=in,

.MN〃y軸，

.?.ZzUVM=90。，

ZBAC=60o,

：.ZAMN=30°,

.?AM=2ANf

M-3,0),

.??ON=3,

:.rn=2(〃Z-3),

解得“=6,

.,.AO=6,

故答案為：6；

(2)EF=2AGf證明如下：

A(m,O),C(m,O),

OA=OC=m,且BO-LAC,

/.AB=BC,

(Zn-ZI)2=O,

*.m=n,

.?.AO=BO=CO=tn,

??.ABC是直角三角形，且AS=BC,

.?.ZACB=ZftAC=45°,

CO平分/AC3,

.?.NACD=22.5。，

GE//CD,

:.ZAEG=ZACD=22.5°,

如圖2,作-EH〃BC,交AB千N,交AG的延長線于”,

圖2

.?.ZATVE=ZABC=90。,ZACB=ZAEH=45°,

.?.ΛBAC=ZAEH=45o,ZAEG=AHEG=22.5°,

AN=NEf

o

NAEG=NHEG=22.5。，GE=GE,ZAGE=ZEGH=901

AGE^HGE(ASA),

??.AG=GH,

.?.AH=2AG1

.ZAHE+NHEG=驕，ZAHE+ZHAN=90°,

:.ZHAN=/HEG,

AN=NE,ZAM/=ZEM7=90。，

.?.ANH區(qū)ENF(ASA),

:.EF=AH

.?EF=2AG;

(3)解：如圖3,過點〃作“￡_LAW于E,HF上MC于F,連接MO,

由(1)可知，A(-6,0),C(6,0),M(-3,3√3),ZAMC=90。,

.?MO=-AC=6,

2

—×AM×EHAA/rrr

ScAMH=2AMEH

Scm..?AArruMC?FH'

2

日Sy二AH

H-?>AJw，

?CMHLr7

AHAMEH

..一=-------,

CHCM?FH

AHMA

~CH~~MC'

??.EH=FH9

HE.LAM,HhMC,

.?.M"平分/AMC,

.?.ZAMH=ZHMF=45°,

MO=OC=6,

:.ZACM=30o=NOMC,

.?Z.OMQ=AHMF-NoMC=15°,

.?.ZOHQ=NoMQ+ZAOM=15o+60o=75o,

."OQM=90o-ZOHQ=15°,

.?.NOMQ=NoQM=I5。，

：.MO=OQ=6、

，點Q(0,-6).

20.已知點A,C,E在同一直線上，ABC..CDE均為等邊三角形(43>8).

(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,若點8、O在直線AC的同側時，求證：BCE-ACD；

(2)拓展探究：如圖2,若點B、。在直線AC的異側時，連接BE并延長交Af)于點P,連接PC,求N8PC；

(3)解決問題：如圖3,點8、。在直線AC的異側，點E在線段AC上運動時，過點C作CF_LP3,垂足為

點F,且與點E不重合，若PB-Λ4=m,$=〃，則Pz)的長為(直接用含"?、"的式子寫出結論).

【答案】(1)證明見解析

(2)NBPC=60。

1…1

(3)-m+n^-ιn-n

【分析】(1)根據(jù)VBGA和一COE都是等邊三角形得出C4=C3,CD=CE,NACB=NE8=60°利用SAS

可證明VAC3也VBCE：

(2)在PB上截取RA=PG,連接AG,如圖2,證出AΛPG為等邊三角形，由等邊三角形的性質得出AP=AG,

ZΛ4G=60o,i∣l?.∏)j-βAG?CAP(SAS),由全等三角形的性質得出N4CP=N4BG,由三角形內角和定理可得出

答案；

(3)分兩種情況，當尸在線段收的延長線上時或當點尸在線段PE上時，由全等三角形的性質及直角三角

形的性質可得出答案.

【詳解】(1)證明：YVB。和一CDE都是等邊三角形，

.,.CA=CB,CD=CE,ZACB=ZECD=60。,

：.ZACB+NBCD=ZECD+NBCD,

即ZACr)=NBCE.

在，BCE和一Aa)中，

BC=AC

<ZBCE=ZACDf

CE=CD

???二ACZ)會BCE(SAS)；

(2)解：在心上截取Q4=PG,連接4G,如圖2,

山(1)得：NACD^BCE,

???ZCAD=ZCBEf

又???ZCEB=ZAEP,

o

???ZAPB=ZACB=60i

???二APG為等邊三角形，

o

ΛAP=AG9ZΛ4G=60,

在等邊√WC中，AC=AB,NaAC=60°,

JZEAC-NCAG=NEAG-NCAG,

即ZPAC=ZBAG,

：..BAG^CAP(SAS)f

：.ZACP=ZABG1

XV/PEC=ZAEB,

：.N3PC=NHAC=60。；

(3)解：如圖2,當尸在線段尸E的延長線上時,

由(2)∏Γ?∣ABAG^AC4P,

：?BG=PC,

：.BG=PB-PG=PB-PA=PCnn,

VCFlBP1NB尸C=60。，

/./PCF=30。,

：.PF=-PC=-m

221

o

VZDCE=ωfNOPE=I20。，

同理可得PE+PD=PC,

/.-m-n+PD=m,

2

.*.PD=-m-?-n-

2

[Hj3.u?EF+PD=PF=^PC,

n+PD=-m,

2

.?PD=-m-n,

2

綜上所述，PO的長為["7+〃或1加-〃.

22

故答案為：gm+〃或:〃?一〃.

22

在真題過關

1.（2022?江蘇南通?中考真題）下面由北京冬奧會比賽項目圖標組成的四個圖形中，可看作軸對稱圖形的是

司書??！國行?國KIl的陣

【答案】D

【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，

這條直線叫做對稱軸進行分析即可.

【詳解】解：A.不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；

B.不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；

C.不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；

D.是軸對稱圖形，故本選項符合題意.

故選：D.

2.（2022?江蘇常州?中考真題）在平面直角坐標系Xoy中，點A與點A關于X軸對稱，點A與點為關于y軸

對稱.已知點A（1,2）,則點&的坐標是（）

A.（—2,1）B.（—2,—1）C.（—1,2）D.（-L-2）

【答案】D

【分析】直接利用關于X,y軸對稱點的性質分別得出A,A2點坐標，即可得出答案.

【詳解】解：點A的坐標為（1,2）,點A與點A關于X軸對?稱，

.?.點A的坐標為（1,-2）,

；點A與點4關于N軸對稱，

???點4的坐標是（-1,-2）.

故選：D.

3.（2022?江蘇宿遷?中考真題）若等腰三角形的兩邊長分別是3cm和5cm,則這個等腰三角形的周長是（）

A.ScmB.?3cmC.8cτn或13cτnD.Ilcm或13cm

【答案】D

【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為3和5,而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要

應用三角形的三邊關系驗證能否組成三角形.

【詳解】解：當3是腰時，

T3+3>5,

.?.3,3,5能組成三角形，

此時等腰三角形的周長為3+3+5=11（cm）,

當5是腰時，

V3+5>5,

5,5,3能夠組成三角形，

此時等腰三角形的周長為5+5+3=13（cm）,

則三角形的周長為IIa”或13cm.

故選：D

4.（2021?江蘇淮安?中考真題）如圖，在AABC中，AB的垂直平分線分別交A&BC于點。、E,連接AE,

若4E=4,EC=2,則BC的長是（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質得到E8=EA=4,結合圖形計算，得到答案.

【詳解】解：是AB的垂直平分線，AE=4,

.".EB=EA^4,

.?.8C=E8+EC=4+2=6,

故選：C.

5.（2022?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）如圖，有一張平行四邊形紙片ABC￡>,AB=5,AD=7,將這張紙片折疊,

使得點B落在邊AO上，點B的對應點為點夕，折痕為￡尸，若點E在邊AB上，則。9長的最小值等于

【答案】2

【分析】根據(jù)題意，EB=EBr,當E點與A點重合時，符合題意，據(jù)此即可求解.

【詳解】