第二章坐標(biāo)變換

空間定位：六個數(shù)據(jù)能完全確定剛體的位置和姿態(tài)。

第二章空間描述與坐標(biāo)變換

§2.1位置和姿態(tài)的描述對于直角坐標(biāo)系{A}，空間任一點的位置可用3×1階的列矢量來表示(也稱位置矢量)：

其中是點P在坐標(biāo)系{A}中的三個坐標(biāo)分量。上標(biāo)A代表P的位置在坐標(biāo)系{A}中描述。第二章空間描述與坐標(biāo)變換

§2.1位置和姿態(tài)的描述—位置的描述

第二章空間描述與坐標(biāo)變換

§2.1位置和姿態(tài)的描述—位置的描述除了直角坐標(biāo)系外，也可采用圓柱坐標(biāo)系或球坐標(biāo)系來描述點的位置。圓柱坐標(biāo)(cylindrical)

:兩個線性平移運動和一個旋轉(zhuǎn)運動球坐標(biāo)(spherical)

:一個線性平移運動和兩個旋轉(zhuǎn)運動

為了規(guī)定空間某剛體B的方位，另設(shè)一直角坐標(biāo)系{B}與此剛體固接。用坐標(biāo)系{B}的三個單位主矢量相對于坐標(biāo)系{A}的方向余弦組成的3×3階矩陣來表示剛體B相對于{A}的方位。

：旋轉(zhuǎn)矩陣，上標(biāo)A代表參考系{A}，下標(biāo)B代表被描述的坐標(biāo)系{B}。

第二章空間描述與坐標(biāo)變換

§2.1位置和姿態(tài)的描述—姿態(tài)的描述

基本旋轉(zhuǎn)矩陣

第二章空間描述與坐標(biāo)變換

§2.1位置和姿態(tài)的描述—姿態(tài)的描述例：利用幾何方法求解旋轉(zhuǎn)變換坐標(biāo)系{B}是坐標(biāo)系{A}繞其Z軸旋轉(zhuǎn)了角得到的，空間點P在兩個坐標(biāo)系下坐標(biāo)分別為和。第二章空間描述與坐標(biāo)變換

§2.1位置和姿態(tài)的描述—姿態(tài)的描述

根據(jù)幾何關(guān)系，可求出：將上式寫成矩陣的形式如下：將上式寫成旋轉(zhuǎn)變換的形式：第二章空間描述與坐標(biāo)變換

§2.1位置和姿態(tài)的描述—姿態(tài)的描述

旋轉(zhuǎn)矩陣性質(zhì)

旋轉(zhuǎn)矩陣有9個元素，其中只有3個是獨立的。因為三個列矢量都是單位主矢量，且兩兩相互垂直，所以它的9個元素滿足6個約束條件（正交條件）：因此旋轉(zhuǎn)矩陣是正交的，并且滿足條件：旋轉(zhuǎn)矩陣中只有3個元素是相互獨立的，描述姿態(tài)不直觀。

問題：能否用三個參數(shù)描述姿態(tài)？第二章空間描述與坐標(biāo)變換

§2.1位置和姿態(tài)的描述—姿態(tài)描述的其他方法

1、繞固定坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)的姿態(tài)描述兩坐標(biāo)系{A}和{B}相互重合，現(xiàn)坐標(biāo)系{A}固定不動，坐標(biāo)系{B}相對于{A}的三個軸分別旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)次序為：繞{A}的軸旋轉(zhuǎn)角度，然后繞{A}的軸旋轉(zhuǎn)角度，最后繞{A}的軸旋轉(zhuǎn)角度。

第二章空間描述與坐標(biāo)變換

§2.1位置和姿態(tài)的描述—姿態(tài)描述的其他方法因為所有的旋轉(zhuǎn)都是繞固定坐標(biāo)系各軸的，因此可直接推導(dǎo)等價旋轉(zhuǎn)矩陣：

式中分別是

的簡寫.

因為矩陣相乘不滿足交換率，注意式中三個基本旋轉(zhuǎn)矩陣的相乘次序與旋轉(zhuǎn)次序相關(guān)，即按照坐標(biāo)系{B}繞固定坐標(biāo)系{A}的三個軸的旋轉(zhuǎn)次序依次左乘基本旋轉(zhuǎn)矩陣。第二章空間描述與坐標(biāo)變換

§2.1位置和姿態(tài)的描述—姿態(tài)描述的其他方法

2、繞動坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)的姿態(tài)描述兩坐標(biāo)系{A}和{B}相互重合，現(xiàn)坐標(biāo)系{A}固定不動，坐標(biāo)系{B}相對于動坐標(biāo)系{B}的三個軸分別旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)次序為：繞{B}的軸旋轉(zhuǎn)角度，然后繞{B}的軸旋轉(zhuǎn)角度，最后繞{B}的軸旋轉(zhuǎn)角度。

這樣三個一組的旋轉(zhuǎn)稱為歐拉角（Eulerangles），注意每次旋轉(zhuǎn)所繞的軸的方向取決于上次的旋轉(zhuǎn)，圖中的次序可稱為Z-Y-X歐拉角。第二章空間描述與坐標(biāo)變換

§2.1位置和姿態(tài)的描述—姿態(tài)描述的其他方法圖中每次旋轉(zhuǎn)后得到中間坐標(biāo)系{}、{}，即坐標(biāo)系的變換過程為：{A}到{}、再到{}、最后得到{B}，如果把這些旋轉(zhuǎn)看成是坐標(biāo)系的描述，可直接得出最終坐標(biāo)系{B}相對于{A}的姿態(tài)描述：

注意式中三個基本旋轉(zhuǎn)矩陣的相乘次序與旋轉(zhuǎn)次序相關(guān)，即按照坐標(biāo)系{B}繞動坐標(biāo)系{B}的三個軸的旋轉(zhuǎn)次序依次右乘基本旋轉(zhuǎn)矩陣。第二章空間描述與坐標(biāo)變換

§2.1位置和姿態(tài)的描述—姿態(tài)描述的其他方法

3、繞一般軸旋轉(zhuǎn)的姿態(tài)描述兩個坐標(biāo)系{A}、{B}相互重合，將{B}繞矢量按右手定則旋轉(zhuǎn)角。第二章空間描述與坐標(biāo)變換

§2.1位置和姿態(tài)的描述—姿態(tài)描述的其他方法

稱為有限旋轉(zhuǎn)的等效軸，因為矢量的長度為1，因此確定該矢量只需兩個參數(shù)，角度確定了第三個參數(shù)。此時，{B}相對于{A}的姿態(tài)可用或表示，可以證明，其等效旋轉(zhuǎn)矩陣為：式中：第二章空間描述與坐標(biāo)變換

§2.1位置和姿態(tài)的描述—姿態(tài)描述的其他方法

Example:AFrame{B}isdescribedasinitiallycoincidentwith{A},thenberotatedaboutthevector(passingthroughtheorigin)bydegrees.Givetheframedescriptionof{B}.Theframedescriptionof{B}is:

第二章空間描述與坐標(biāo)變換

§2.1位置和姿態(tài)的描述—姿態(tài)描述的其他方法完整描述機械臂末端位姿所需的信息為位置和姿態(tài)，在機器人學(xué)中，位置和姿態(tài)經(jīng)常成對出現(xiàn)，將此組合稱為坐標(biāo)系，四個矢量為一組，一個矢量表示末端位置，另外三個矢量表示姿態(tài)。一個坐標(biāo)系可以等價地用一個位置矢量和一個旋轉(zhuǎn)矩陣來描述，例如，用和來描述坐標(biāo)系{B}:

坐標(biāo)系的圖形表示:即坐標(biāo)系用三個標(biāo)有箭頭的單位矢量定義的坐標(biāo)系的主軸來描述，從原點到另一點的箭頭表示了一個矢量，該矢量表示了箭頭處的原點相對于箭尾所在坐標(biāo)系的位置。第二章空間描述與坐標(biāo)變換

§2.1位置和姿態(tài)的描述—坐標(biāo)系的描述

設(shè)坐標(biāo)系{B}與{A}具有相同的方位，但是{B}的坐標(biāo)原點與{A}不重合，用位置矢量描述它相對于{A}的位置，稱為{B}相對于{A}的平移矢量。如果點P在坐標(biāo)系{B}中的位置為，則它相對于坐標(biāo)系{A}的位置矢量可由矢量相加得出：向量表征了兩個坐標(biāo)系的平移變換關(guān)系，可以把一個坐標(biāo)系中點向量的描述映射為另一個坐標(biāo)系的描述。稱為平移向量。第二章空間描述與坐標(biāo)變換

§2.2坐標(biāo)變換—平移變換設(shè)坐標(biāo)系{B}和{A}有共同的原點，但是兩者的方位不同。同一點P在兩個坐標(biāo)系{A}和{B}中的描述和具有以下變換關(guān)系，稱為坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)方程。用旋轉(zhuǎn)矩陣表示坐標(biāo)系{B}相對于{A}的方位。同樣，用描述坐標(biāo)系{A}相對于

{B}的方位。二者都是正交矩陣，兩者互逆。第二章空間描述與坐標(biāo)變換

§2.2坐標(biāo)變換—旋轉(zhuǎn)變換

Example:

Frame{B}isrotatedrelativetoframe{A}aboutZby30degrees.HereZispointingoutofthepage.

Writingtherotationmatrix,weobtain:

GivenWecalculate

TheoriginalvectorPisnotchangedinspace,wecomputeanewdescriptionofthevectorrelativetoanotherframe.第二章空間描述與坐標(biāo)變換

§2.2坐標(biāo)變換—旋轉(zhuǎn)變換連續(xù)相對轉(zhuǎn)動，可把基本矩陣連乘起來，由于選轉(zhuǎn)矩陣不可交換，故完成轉(zhuǎn)動的次序是重要的。如果{B}坐標(biāo)系相對于{A}坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動，則對旋轉(zhuǎn)矩陣左乘相應(yīng)的基本旋轉(zhuǎn)矩陣。如果{B}坐標(biāo)系相對于{B}坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動，則對旋轉(zhuǎn)矩陣右乘相應(yīng)的基本旋轉(zhuǎn)矩陣。

第二章空間描述與坐標(biāo)變換

§2.2坐標(biāo)變換—旋轉(zhuǎn)變換

Example:

Considertworotations,oneaboutZby30degreesandoneaboutXby30degrees:

Thefactthattheorderofrotationsisimportantshouldnotbesurprising;furthermore,itiscapturedinthefactthatweusematricestorepresentrotations,becausemultiplicationofmatricesisnotcommutativeingeneral.第二章空間描述與坐標(biāo)變換

§2.2坐標(biāo)變換—旋轉(zhuǎn)變換

空間任意兩個坐標(biāo)系{A}和{B}之間的關(guān)系都可以看作是平移變換和旋轉(zhuǎn)變換的合成結(jié)果，坐標(biāo)系{B}的原點與{A}的既不重合，方位也不相同。復(fù)合變換是由坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)和坐標(biāo)平移共同作用的。對于空間任意一點P，已知，可以用向量的加法求得，由于只有姿態(tài)相同的坐標(biāo)系中的向量才能相加，因此有：

實際上，規(guī)定一個過渡坐標(biāo)系{C}，使{C}的坐標(biāo)原點與

{B}的原點重合，而{C}的姿態(tài)與{A}的相同。第二章空間描述與坐標(biāo)變換

§2.2坐標(biāo)變換—復(fù)合變換

例：已知坐標(biāo)系{B}的初始姿態(tài)與{A}重合，首先{B}相對于{A}的z軸轉(zhuǎn)30度，在沿{A}的x軸移動12個單位，并沿{A}的y軸移動6個單位。求位置矢量和旋轉(zhuǎn)矩陣。假設(shè)點P在坐標(biāo)系{B}中的描述為，求它在坐標(biāo)系{A}中的描述。

第二章空間描述與坐標(biāo)變換

§2.2坐標(biāo)變換—復(fù)合變換

再有坐標(biāo)系{C}的原點與{B}的既不重合，方位也不相同，有：則有：第二章空間描述與坐標(biāo)變換

§2.2坐標(biāo)變換—復(fù)合變換

1、齊次變換定義

復(fù)合變換式對于點而言是非齊次的，但是可以將其表示成等價的齊次變換形式：其中，4×1的列向量表示三維空間的點，稱為點的齊次坐標(biāo)，仍然記為或。上式可以寫成矩陣形式：齊次變換矩陣也代表坐標(biāo)平移與坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)的復(fù)合,可將其分解成兩個矩陣相乘的形式：第二章空間描述與坐標(biāo)變換

§2.2坐標(biāo)變換—齊次變換平移的齊次變換可以定義為：繞單個軸旋轉(zhuǎn)的齊次變換可以定義為：第二章空間描述與坐標(biāo)變換

§2.2坐標(biāo)變換—齊次變換

2、齊次變換的計算

1）相乘：對于給定的坐標(biāo)系{A}、{B}和{C}：第二章空間描述與坐標(biāo)變換

§2.2坐標(biāo)變換—齊次變換

例：固連在坐標(biāo)系{B}上的點經(jīng)歷如下變換，求變換后該點相對于參考坐標(biāo)系{A}的坐標(biāo)。

1）繞z軸旋轉(zhuǎn)90度；2）然后繞y軸轉(zhuǎn)90度；3）最后再平移[4，-3，7]。第二章空間描述與坐標(biāo)變換

§2.2坐標(biāo)變換—齊次變換表示該變換的矩陣方程為：則：第二章空間描述與坐標(biāo)變換

§2.2坐標(biāo)變換—齊次變換

例：固連在坐標(biāo)系{B}上的點經(jīng)歷如下變換，求變換后該點相對于參考坐標(biāo)系{A}的坐標(biāo)。

1）繞z軸旋轉(zhuǎn)90度；2）再平移[4，-3，7]；3）然后繞y軸轉(zhuǎn)90度。第二章空間描述與坐標(biāo)變換

§2.2坐標(biāo)變換—齊次變換

表示該變換的矩陣方程為：則：第二章空間描述與坐標(biāo)變換

§2.2坐標(biāo)變換—齊次變換

2）求逆：如果知道坐標(biāo)系{B}相對{A}的描述，希望得到{A}相對{B}的描述，一種求解方法是直接對4×4的齊次變換矩陣求逆，另一種是利用齊次變換矩陣的特點，簡化矩陣求逆運算。利用旋轉(zhuǎn)矩陣的正交性，可以得到：

再利用復(fù)合變換公式，求出原點在坐標(biāo)系{B}中的描述：合并上式，得：第二章空間描述與坐標(biāo)變換

§2.2坐標(biāo)變換—齊次變換

例：如果坐標(biāo)系{B}繞坐標(biāo)系{A}的軸旋轉(zhuǎn)30度，沿軸平移4個單位，沿軸平移3個單位，于是得到：

應(yīng)用求逆公式，得到：第二章空間描述與坐標(biāo)變換

§2.2坐標(biāo)變換—齊次變換圖中表示坐標(biāo)系{D}可以用兩