新高考二輪復習真題導數(shù)講義第41講 三角函數(shù)之分段分析法（解析版）

第41講三角函數(shù)之分段分析法

1.已知函數(shù)/(x)=SinX-心(l+x),r(x)為/(x)的導數(shù).證明：

(I)/'(X)在區(qū)間(-1￡)存在唯一極大值點；

(2)f(x)有且僅有2個零點.

【解答】證明：(1)/(x)的定義域為(-1,+∞),

,,,

∕(x)=COsx------，f(x)=-sinx+——5~~7，

1+x(l+x)

令g(x)=-Sinx+——?~7，則g'(x)=-COSX-----^■^?<0在(-1,2)恒成立，

(1÷x)(1+x)2

.?.∕"(X)在(-1e)上為減函數(shù)，

又?“"(0)=l,∕,≠)=-l+―!—<-1+1=0,由零點存在定理可知，

2<1÷I>2

函數(shù)Ir(X)在上存在唯一的零點x0,結(jié)合單調(diào)性可得，r(x)在(T,x0)上單調(diào)遞增,

在(∕,上單調(diào)遞減，可得r(x)在區(qū)間(-1段)存在唯一極大值點；

(2)由(1)知，當XW(TO)時,r(X)單調(diào)遞增,尸(X)<廣(0)=0,f(x)單調(diào)遞減;

當xe(O,x0)時，AX)單調(diào)遞增，r(x)>八0)=0,/(x)單調(diào)遞增；

由于r(x)在(％,生)上單調(diào)遞減，且ro?)>o,/吟)=—<o,

221+-

2

由零點存在定理可知，函數(shù)F(X)在(X。，、)上存在唯一零點為，結(jié)合單調(diào)性可知，

當Xea0,xl)B>LT(X)單調(diào)遞減，f'(x)>f'(x,)=0,/(x)單調(diào)遞增；

當工€區(qū),9時，/(X)單調(diào)遞減，f'(x)<f'(x,)=0.f(x)單調(diào)遞減.

當Xe(生，乃)時，cosx<0-----!—<0,于是(x)=cosx----!—<0.f(x)單調(diào)遞減，

21+x1+JC

元yr5}

其中/(-)=l-∕∏(l+-)>1-Zn(l+-)=?-ln2.6>l-lne=Q,

f(乃)=-ln(↑+萬)<-In3<0.

于是可得下表：

X(-1,0)0(0,玉),π、π(∣?,1)π

(Xq)~2

/'(X)—0+0————

/(X)單調(diào)遞0單調(diào)遞大于0單調(diào)遞大于0單調(diào)遞小于0

減增減減

結(jié)合單調(diào)性可知，函數(shù)/(X)在(-1,芻上有且只有一個零點0,

由函數(shù)零點存在性定理可知，f(χ)在仁，乃)上有且只有一個零點馬,

當％∈[],+00)時，sin‰1<∕n(l+x),則/(x)=SinX-加(l+x)Vo恒成立,

因此函數(shù)/(X)在[乃，+8)上無零點.

綜上，F(xiàn)(X)有且僅有2個零點.

2.已知函數(shù)/(x)=∕λf%+2sinx,證明：

(I)/(x)在區(qū)間(0,乃)存在唯一極大值點；

(2)/(χ)有且僅有2個零點.

【解答】證明：(1)函數(shù)f(%)=∕n%-x+2sinx,x∈(0,1),

.?.(X)=—?÷2cosX，

X

令g(x)='-l+2cosx,X￡(0,乃)，

X

:.g,(X)=-JT-2sinx<0,.?.函數(shù)g(x)在(0,左)上單調(diào)遞減，

廠

又.?當x→0時，g(x)→+oo,而g(為=2-1<0,

2π

存在唯一1e(θ,?),使得g(Λ?)=O，

ff

，當X∈(O,ΛO)時，g(x)>0,BPf(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當三∈(x0,乃)時，g(x)<0,BPf(x)<0,

函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，

.?.函數(shù)/M在區(qū)間((U)存在唯一極大值點x0；

(2)由(1)可知，函數(shù)F(X)在(0,x0)上單調(diào)遞增，在(%,乃)上單調(diào)遞減，

.?./是函數(shù)f(x)的極大值點，口∈(0,j∣)?

/(?)>∕φ=^y-→2=^y+^->θ>

又二當x→0時，f(x)→-∞；f{π)=lnπ-π<0f

在區(qū)間(0,XO)內(nèi)存在一個零點，在區(qū)間(工,乃)上存在一個零點,

I1一γ

當x∈Gτ,+oo)時，設〃(X)=Λtr-x,則"(x)=——1=-----<0>

XX

∕ι(x)在(ι,+∞)上單調(diào)遞減，.,.h(x)</Z(?)=lnπ-π<0,

Q)當x∈O,2τr)時，SinXV0,「.當x∈(乃,2乃)時，/(x)<0,無零點，

②]∈(2巴+oo)時，A(x)<h(2π)=ln(2π)-2π<Ine3-2π<-2,又一2張由Sinx2,.?.當％∈(2巴+∞)時，f(x)<0，

無零點，

當x∈S,+oo)時，/(%)=)優(yōu)-x+2SinX<0,.,.函數(shù)/(九)在區(qū)間(%,+∞)內(nèi)無零點，

函數(shù)F(X)有且僅有2個零點.

3.己知函數(shù)/(x)=SinX-j2.求證：

(1)/(X)在區(qū)間(0,j∣)存在唯一極大值點；

(2)/(x)在(0,4W)上有且僅有2個零點.

【解答】證明:(1)因為f(x)=sinx-e"2,所以尸(X)=COsx-e"1,

設g(x)=f'(x),則g'(x)=-sinx-e"2,貝IJ當Xe(O,9)時，√(x)<0,所以g(x)即廣⑶在(0,9上遞減?

,Jr--2TT

12

又T(O)=I--r>0,Γ(-)=-e<0,且T(X)是連續(xù)函數(shù)，故r(x)在(0,二)上有唯一零點0.

e22

當x∈(0,2)時，f,(x)>0；當x∈(1,j^)時，ff(x)<0,

所以/(X)在(0,α)內(nèi)遞增，在(W)上遞減，

故/(x)在(0,^)上存在唯一極大值點.

(2)因為/(x)=Sinx-e*",所以八/)=COSX-e?",

設g(x)=∕"(x),則/Cr)=-SinX-e”?,則當X￡(o㈤時，g<x)vθ,所以g(x)在(0,乃)內(nèi)單調(diào)遞減.

由(1)知，f(x)在(0,α)內(nèi)遞增，在(凡事)內(nèi)遞減，

又/(0)=-e^2<0"(g>0，所以/(a)>/(∣)>0，

又/(x)的圖象連續(xù)不斷，所以存在Xle(O,α),使得/(x∣)=0;

當X嗚㈤內(nèi)時，出<。,A)在胃內(nèi)遞減

又因為/(%)=-e"2<o,∕(])>o,且∕?(χ)的圖象連續(xù)不斷，

所以存在Λ?eg,τ),使得/(Λ?)=0;

當x∈g,+∞)時,ex~2>1.Sinx,1,所以f(x)<O,從而f(x)在(τ,+∞)上沒有零點,

綜上，f(x)有且僅有兩個零點.

4.己知函數(shù)f(x)=COSX+32-1

(1)證明：/(%)?0>x∈[--,—]

22

(2)判斷y=f(x)的零點個數(shù)，并給出證明過程.

【解答】解：(1)證明：因為f(x)=COSX+∕χ2+1,X∈[-y,yj,

所以/(X)為偶函數(shù)，

不妨設g(x)=COSX++1,x∈[0,?]>

所以g,(X)=-SinX+]X,x∈[-y>?],

所以g"(χ)=-COSX+g,

當xe[O,§時，g''(x)<O,當Xe(9，9時，g,,U)<θ-

即函數(shù)<(x)在[0,§為減函數(shù)，在《，為增函數(shù)，

又g，(O)=O,√?=^-l<0,

所以g'(x?,O,

即g(x)在[0,9為減函數(shù)，

故g(x)y=g(°)=°，

即g(x),,0，

故當X€[-2,為時，/(x),,0;

22

(2)①由(1)得：當xe[0,g時，函數(shù)f(x)有且只有1個零點為x=0,

②當xe[3,+8)時，∕v(χ)=-sinx+gx..O,

即/(x)在[3,+8)為增函數(shù)，

B∣Jf{x}..f(3)=COS3+*>0,

4

即函數(shù)y=∕(x)在[3,+8)無零點，

③當X€(工，3)時,

2

/“(X)=-CoSX+g>O,

即函數(shù)1(X)=—sinx+gx為增函數(shù)，

又r(g=?T<。，f'(3)>0.

即存在與使得r(x°)=o,

,,

即當ICX<Λ0時，∕(x)<0,當XO<x<3時，∕(x)>0,

即函數(shù)/(x)在g,Xo)為減函數(shù)，在(％,3)為增函數(shù)，

rr乃25

又/(一)=——1<0,f(3)=-÷cos3>0,

2164

即函數(shù)f(x)在弓，3)只有1個零點，

又函數(shù)y=/(x)在R為偶函數(shù)，

綜合①②③可得：

函數(shù)在［-3,一生)有I個零點，在(τo,-3)無零點，在［-工，0)無零點，

22

故函數(shù)/(x)在R上有3個零點.

5.已知函數(shù)f(x)=Inx-sinX+ax{a>0).

(1)若α=l,求證：當x∈(l,匹)時，/(x)<2x-l；

2

(2)若/(x)在(0,2萬)上有且僅有1個極值點，求。的取值范圍.

［解答］解：(1)證明：當α=l時，/(x)=∕τIX-Sin=+%,令g(x)=f(x)-(2x-1)=Inx-sin?-x+1,x∈(l,y),

則g<x)=L-Cosx-I=?^~~~-cosx<0,.??g(x)在(1,二)上單調(diào)遞減，

XX2

故g(%)vg(1)=-sinl<0,所以/(x)<2x-1；

(2)解：由題知/'(X)=L-COSX+4,Xe(0,2/)，?>0.

X

①當x∈(0,1］時，r(x)..l-COSX+l>0,此時AX)單調(diào)遞增，無極值點；

②當x∈(l,工］時，設8。)=/"(%)=$也不一，",則g<x)=cosx+4>0,此時g(x)單調(diào)遞增；又g(1)

2XX

=sinl-lvθ,g(^)=l----?—>0,?,.存在唯的AO∈(1,K),滿足gC?)=sin七一二=0,BPλ∕sinX0=—,

2/乃、22?nXC

當x∈(l,%)時，g(x)<O,此時

f,(x)單調(diào)遞減，當x∈(/,g時，g(x)>0，此時r(X)單調(diào)遞增，故

,,

f?x?nin=f(X0)=--COSXQ+6f=Jsinx0-cosx0+<7>sinX0-COSX0>0,故f(x)>O,此時/(x)單調(diào)遞增，

?

無極值點；

③當x∈g,也］時，cos‰O?f,(x)=?-cosx+tz>O,此時/(x)單調(diào)遞增，無極值點;

22X

綜合①②③知/(X)在(0,上無極值點.

又?，∕?(x)在(0,2%)上有且僅有1個極值點，.?./(X)只能在(半，2?)上有唯一極值點.

令f,M=OnL+α=cos1?

X

二.函數(shù)y=L+α(α>O)與函數(shù)y=cosx,x∈(-,2乃)的圖象只有一個交點,

X2

---?-a<cos24=1,即〃<1------，

242π

所以α的取值范圍為(0,1-」-).

2π

6.已知函數(shù)/(x)=e*-αr(αwR).

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)當α=2時，求函數(shù)g(x)=/(X)-COSX在(~^?,+8)上的零點個數(shù).

【解答】解：(I)f(x)=e'-ax,其定義域為R,f?x)=ex-a,

①當％O時，因為r(x)>0.所以F(X)在R上單調(diào)遞增；

②當4>0時，令r(x)>O得x>Ina.f'(x)<O^x<lna.

所以f(x)在(7,Ina)上單調(diào)遞減，(JnaN)上單調(diào)遞增，

綜上所述，當α,0時，f(x)在R匕單調(diào)遞增，當α>0時，/(x)在(ro,癡)上單調(diào)遞減，(歷。,長0)

上單調(diào)遞增.

JT

(2)當a=2時，g(x)=ex-2x-cosx,x∈(-—,÷∞),g,(x)=ex+sin?-2,

①當x∈(-生,0)時,因為<(x)=(/-1)+(sinX-1)<0,

2

所以g(x)在(-],())單調(diào)遞減.

所以g(x)>g(O)=O,

斤以g(x)在(-1,0)上無零點；

②當x∈［O,g時，因為g'(x)單調(diào)遞增，且g，(0)=—l<0,g?Cl)=G2—1>O.

所以存在/e(θ,?),使g'(??)=0，

JT

,,

當XW(O,A0)時,g(x)<O,當X∈(X0,5)時，g(x)>0,

所以g(x)在［0,Λo)上單調(diào)遞減，在(X0申上單調(diào)遞增，且g(0)=0,所以g(x0)<0,

j

又因為gg)="-乃>0，所以g(X(1)?g(∣)<O,

所以g(x)在(XO,?∣0上存在一個零點，

所以g(x)在［0,自上有兩個零點.

π

③當xe(g+∞)時,g,(x)=ex+sinx-2>e2-3>0,

所以g(x)在弓,+00)上單調(diào)遞增，

因為g(∕)>0,所以g(x)在弓,+8)上無零點.

綜上所述，g(x)在(-1,+∞)上的零點個數(shù)為2.

7.(1)證明函數(shù)y=e*-2sinx-2xcosx在區(qū)間(-乃,-為上單調(diào)遞增；

2

(2)證明函數(shù)/(X)=《-2SinX在(-%,0)上有且僅有一個極大值點％,JΞLO<∕(XO)<2.

X

【解答】解：(1)求導，y,=ex-2cosx-2(cosx-xsinx)=ex+2xsinx-4cosx,x∈(ττ,-

因為e”>0,2xsinx>0,-4cosx>0,故y'>0,

函數(shù)y在定義區(qū)間遞增；

(2)由八X)-'(B-"C°sx,

X

令g(x)=e'(x-l)-2Ycosx，g,(x)=x(ex+2xsinx-4cos%)

當x∈(-乃,一爭，由(1)得g'(x)vθ,g(x)遞減，

τr---τr

由g(-])=e2(-萬一1)<0，g(-%)=8-eF(l+ι)>°,

根據(jù)零點存在性定理，存在唯一零點x°e(-τ,-2)，g(x<,)=O,

當X∈(-乃,X0)時，g(x)>0,?(?)遞增；

當X∈(Λ?,-J∣?)時，g(x)vθ,/(x)遞減，

當x∈(-工，0)時，/(幻=''?D-2cosx<0,所以F(X)遞減,

2r

故/(x)在(Λ0,0)為減函數(shù)，

所以/(x)有唯一的極大值點%,

由/(X)在(%,-￡)遞減，得/(%)>/(—1)=t1+2=——1+2>0,

22萬〃■不

-----——?el

22

e/7Γgx"

-

乂f(Xo)=------2sinX0>當飛￡(—肛)時>~€(—1,0)>0<—2Sin/<2,

X.2X0

故/(%)<2,

綜上，命題成立.

JT

8.已知函數(shù)/(x)=tanx-Sin%,g(x)=x-sinx,x∈(θ,?).

(1)證明：關(guān)于X的方程/'(x)-g(x)=%在(O,1)上有且僅有一個實數(shù)根；

(2)當犬∈(0,')時，F(xiàn)(X)..αg(x),求實數(shù)。的最大值.

【解答】解：(1)證明：令∕ι(x)=∕(x)—g(x)-x,貝U/Z(X)=IanX—2%,

me7“、1C1-2COS2X(1+0COSx)(I-亞cos工)

m以〃(X)=----；-----2=--------------=-----------------?---------------

Co鏟XCOSXCOSX

因此當x∈(0,?)時，CoSX>,，∕√(x)<0,當xe(H)時，h?x)>0,

曲U(X)=tanx-2x在x∈(0,-)上單調(diào)遞減,在XW(X,，單調(diào)遞增，

442

又因為〃(C)<0,〃(2)=tan(2)-^=2+G-^>2+L7-2.5>0

4121266

所以〃(X)=tanx-2x在Xe(O,?)無零點，在X嗎自只有一個零點,

因此方程有且僅有一個根

(2)方法一：令夕(X)=/(x)-αg(X)=tanx-sinx-α(X-SinX),

Illll，/\1/1?(?-COSX)/[\

貝IJφ(x)=Z----COSx-a(l-cosx)=-------?---------Q(I-cosx),

cosxcos'x

①若4,0,則當x∈(O,g時，φf(x)>0?

所以火x)在(O,5)上單調(diào)遞增，乂0(0)=0,所以W(X)>0恒成立；

2sin?2

②當IVG,3,則9"(X)=-----+sinX-￠7sinX=sinx(?-÷1-α),

cosxcosx

冗,2

因為x∈(0,-),所以COSX∈(0,1),從而———+l∈(3,-+∞)

2cosX

因此當IVW,3時，√(x)>0,

所以函數(shù)φ(x)在Xe(O,9單調(diào)遞增，乂√(0)=0,

因此"(x)>0,所以函數(shù)9(X)在x∈(0,馬單調(diào)遞增，又夕(O)=0,3(x)>0在x∈(O,X)恒成立

22

s

③當α>3時令φn(x)=sin?(-~——I)C°^，)=0,

cos'X

因為COSX=J二一∈(0,1)必有一解，記為

VQ-I

所以當κ∈(0,x0)時，，(X)V0,當x∈(如今時,￠7(x)>0

因此當XW(O,%)時，d(x)單調(diào)遞減，當x∈(Xo,g時，d(x)單調(diào)遞增，

又吠(O)=0,所以“(x)VO在Xw(0,%)恒成立，

所以O(X)在XW(O,乙))上單調(diào)遞減，乂O(O)=0,所以。(不)VO與題意矛盾，

綜上“,3,所以。的最大值為3.

方法二：令φ(x)=f(x)-Qg(X)=tanX-SinX-a(x-sinX),

,∣、1,、(l-cosx)

Wιπ1Jφ?x)=——----cosx-a(l1-cosx)=---------------Λ(1-COSX),

COS^XCOS-X

1+COSX÷COJ2X

令φ,(x)>0，則〃<

COS2X

1÷COSX÷C(752X

設g(χ)=2X∈(θ,?)，

cos~x

令COSX=f,r∈(O,l)^

.∣l+∕+f~11.1123

則mg。z)x=?—=1÷-+-=(-÷τ)*^+->0'

Vtrt24

對稱軸L」，g(r)>3,

t2

當凡,3時，φ?x)>O,

9(x)在(O,C)上單調(diào)遞增，又夕(O)=0,

2

.?.e(x)>o恒成立，

故。的最大值為3.

9.已知函數(shù)/(x)=∕nx+ov+sinx,其中x∈(0,π].

(1)當α=0時，求曲線y=∕(x)在點弓，/(]))處的切線方程；

(2)判斷函數(shù)/(x)是否存在極值，若存在，請判斷是極大值還是極小值；若不存在，說明理由;

(3)討論函數(shù)/(x)在e，》］上零點的個數(shù).

【解答】解：(1)α=0時，/(x)=∕n%+sinX,x∈(0,π?,

f'(x)=-+cosx,/(f)=l+∕"g'r(g)=2'

X2227r

故切線方程是：y=2χ+打工；

π2

(2)f,(x)=?÷α+cosX,

X

設g(x)='+α+cosx，g‰v)=--y-sinx<O，

XX

故∕,(x)遞減，f?x)=f?π}=-+a-l,

minπ

又X→O時，f,(x)→+∞,

①若/'(i)<O，即。<1一!時，3x0∈(0,τ)使/'(ΛO)=0，

π

當X∈(0,Λυ)時，Λx)>0,/(X)遞增，

當X￡(XO,1)時，f,(x)<O,/(X)遞減，

.?./(X)在/處取極大值，不存在極小值，

②若「⑸..0,即α?.l-L,Λ(x)>O,

π

.?"(x)在(0,加遞增,此時/(“)無極值,

(3)由(2)可知:

(i)若α..l-,時，由上問可知：

π

/(x)m?=/(y)??^y+-y(1--)+1=?y+^>0'

222π222

即久.1-工時函數(shù)沒有零點，

π

(而)若αvl時，x∈(0,/］時，/(%)遞增，

π

X∈(x0?π］時，F(xiàn)(X)遞減，

由/'(%))=°得一+G+COSAo=O,從而a=-------COsx0,

??

,

再設A(x)=---cos%,則h(x)=?+sinX>O從而a關(guān)于X0遞增,

XX

,&〃「∕￡(()，一］,此H'JCl∈(—8,］,

2π

若/(—)?(^r)>O得〃<(1+In-)或〃>一如^,

2π2π

/(—)j?π)Vo得一2(1+In—)<a<,

2π2π

.?.--(l+∕π?)<?,-2時有1個零點，

π2π

當〃=-2(i+∕/C)時，f(-)=o,/(Λ-)≠O,有1個零點，

Ti22

因此“<—2(1+加鳥時無零點，—2(1+歷馬釉一2時有1個零點;

π2π2π

②XQ∈(—,4］’此時Cl∈(----，1------J?

2ππ

∕,(y)=∕n^+^a+l>0,f{π)=lnπ÷πa,

*

..f(x)wu.=/(x0)=IWCQ+ax^+sinX=Znr0+sinAo—%cosx0—1,

設機(X)=∕nr+SinX—XCOSX-1,則加'(x)=L+xsinx>O,

X

故/(x),s>"吟)=/吟>0'

若/(乃)>0即a>-皿，即—啊<q<l-L時無零點，

TC7tTt

若F(G,0即4,—也，即一2<4,_啊時有1個零點，

TlTt71

綜上，α∈(-oo,--(1+//?—)U(-—?+00)時無零點，

π2π

a≡[--(?+ln-),一㈣]時有1個零點.

π2π

10.已知函數(shù)/(x)=(x-l)-(x+2)sinx.

(1)當xe[2,何時，求y=f(x)零點的個數(shù);

(2)當xe[0,2淚時,求y=∕(x)極值點的個數(shù).

■rr

【解答】解：(1)由題意/(x)=(X-I)-(X+2)SinX,x≡[-,π],

f,(x)=1-sinX-(?+2)cosx,

由于一款kπ、CoSK,0,又sin?;,1,

2

.-.f,(x)..O,f(x)在[生,加上單調(diào)遞增，

/(?)-3<0,f(π)=π-l>0,

.?.函數(shù)/(x)在弓，m上有唯一零點：

(2)由題意/(x)=(x-I)-(X+2)SinX,x∈[0,2π],

則?(?)=1-sinx-(x+2)cosx,

令〃(X)=I-SinX-(X+2)cosx,h,(x)=-2cosx+(x+2)sinx,

①當旗∣k&時，cosX..,l-2cosx<l-2×^^=l-?∕2<0,

422

.,.∕z(x)=l-sinX-(x+2)cosx=(l-2cosx)-sin?-XCOSX<0,

.?.函數(shù)Fa)在[0，工]上無極值點,

4

②當(<X<]時，Λ(y)=O,

冗

當一<X<4時，cosx<0，.,.h,(x)=-2cosx+(x÷2)sinx>0,

2

.??3)在自'加上遞增'也)>嗚)=。,BPrω>o,

當工VXv工時,sinx>cosx，

42

.?.h,(x)=-2cosX+(x+2)SinX=2(sinx-cosx)+XSinx>0?

.?.〃(x)在(?，$遞增，Λ(x)<Λ(^)=0BP∕,(x)<0,

.?.是人幻在弓，刀)上的極小值點，

③當;ΓVΛ;,才時?sinx<O,cos‰0,則/'(x)>0,/(x)無極值點，

___3冗

④當——<乂，24時，COSX>0,SinXVO,

2