第03講 5.3.1函數(shù)的單調(diào)性（原卷版）

第03講5.3.1函數(shù)的單調(diào)性課程標準學習目標①理解導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系。②掌握利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法。③能利用導數(shù)求不超過三次多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。④會利用導數(shù)證明一些簡單的不等式問題。⑤掌握利用導數(shù)研究含參數(shù)的單調(diào)性的基本方法。通過本節(jié)課要求能利用函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，會求簡單函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，能證明簡單的不等式，會利用導數(shù)解決單調(diào)性與含參數(shù)相關(guān)的問題.知識點01：函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系（導函數(shù)看正負，原函數(shù)看增減）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導，(1)若，則在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；(2)若，則在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)；(3)若恒有，則在區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù)．注意：討論函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的實質(zhì)是解不等式，求解時，要堅持“定義域優(yōu)先”原則條件恒有結(jié)論函數(shù)在區(qū)間上可導在內(nèi)單調(diào)遞增在內(nèi)單調(diào)遞減在內(nèi)是常數(shù)函數(shù)【即學即練1】（2023下·新疆巴音郭楞·高二?？计谀┤鐖D所示是函數(shù)的導函數(shù)的圖象，則下列判斷中正確的是（

）

A．函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)B．函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)C．函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)D．函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)【答案】A【詳解】對于選項A：當時，，則在上單調(diào)遞減，故A正確；對于選項B：當時，；當時，；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故B錯誤；對于選項C：當時，，則在上單調(diào)遞增，故C錯誤；對于選項D：當時，，則在上單調(diào)遞減，故D錯誤；故選：A.知識點02：求已知函數(shù)（不含參）的單調(diào)區(qū)間①求的定義域②求③令，解不等式，求單調(diào)增區(qū)間④令，解不等式，求單調(diào)減區(qū)間注：求單調(diào)區(qū)間時，令（或）不跟等號.【即學即練2】（2023下·四川資陽·高二統(tǒng)考期末）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．，【答案】A【詳解】因為，所以函數(shù)的定義域為，所以，由有：，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故B，C，D錯誤.故選：A.知識點03：由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法1、已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)①已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，恒成立.②已知在區(qū)間上單調(diào)遞減，恒成立.注：已知單調(diào)性，等價條件中的不等式含等號.2、已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間①已知在區(qū)間上存在單調(diào)增區(qū)間使得有解②已知在區(qū)間上存在單調(diào)減區(qū)間使得有解3、已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，使得有變號零點【即學即練3】（2023上·新疆·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為.【答案】【詳解】因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當時，恒成立，即在恒成立，又，所以.故答案為：.【即學即練4】（2023上·貴州貴陽·高三清華中學?？茧A段練習）已知函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【詳解】函數(shù)的定義域為，求導得，依題意，不等式在上有解，等價于在上有解，而，當且僅當時取等號，則，所以實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：．知識點04：含參問題討論單調(diào)性第一步：求的定義域第二步：求（導函數(shù)中有分母通分）第三步：確定導函數(shù)有效部分，記為對于進行求導得到，對初步處理（如通分），提出的恒正部分，將該部分省略，留下的部分則為的有效部分（如：，則記為的有效部分）.接下來就只需考慮導函數(shù)有效部分，只有該部分決定的正負.第四步：確定導函數(shù)有效部分的類型：①為一次型（或可化為一次型）②為二次型（或可化為二次型）第五步：通過分析導函數(shù)有效部分，討論的單調(diào)性題型01求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【典例1】（2022下·湖北·高二統(tǒng)考期末）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023下·河北滄州·高二?？茧A段練習）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【變式1】（多選）（2023下·吉林長春·高二長春外國語學校?？计谥校┖瘮?shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．題型02函數(shù)與導函數(shù)圖象間的關(guān)系【典例1】（2023·高二課時練習）已知函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增【典例2】（2022下·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）設(shè)是函數(shù)的導函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是（

）A． B．C． D．【變式1】（2023下·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）已知函數(shù)的導函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)（

）A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞減【變式2】（2022·湖南·校聯(lián)考二模）設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導，的圖象如圖所示，則其導函數(shù)的圖象可能是（

）

A． B．C． D．題型03已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，求參數(shù)【典例1】（2023上·廣西·高三南寧三中校聯(lián)考階段練習）若函數(shù)是上的減函數(shù)，則實數(shù)的最大值為．【典例2】（2023·海南·校聯(lián)考模擬預測）設(shè)且，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是．【典例3】（2023上·遼寧大連·高三大連市金州高級中學?？计谥校┤艉瘮?shù)在具有單調(diào)性，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式1】（2023上·江蘇蘇州·高三常熟中學?？茧A段練習）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是．【變式2】（2023·海南省直轄縣級單位·?？寄M預測）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為．題型04已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)【典例1】（2023上·浙江寧波·高二鎮(zhèn)海中學校考期中）若函數(shù)在區(qū)間上有單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是．【典例2】（2023下·江西撫州·高二江西省臨川第二中學?？茧A段練習）函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則的取值范圍是.【變式1】（2023下·廣西·高二校聯(lián)考期中）若函數(shù)在存在單調(diào)遞減區(qū)間，則a的取值范圍為．題型05已知函數(shù)在的單調(diào)區(qū)間為（是），求參數(shù)【典例1】（2023下·高二課時練習）已知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，則.題型06已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求參數(shù)【典例1】（2023下·湖北·高二校聯(lián)考階段練習）若函數(shù)在其定義域的一個子區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例2】（2022上·河南·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式1】（2022·全國·高二專題練習）已知函數(shù)．若在內(nèi)不單調(diào)，則實數(shù)a的取值范圍是．【變式2】（2022下·福建漳州·高二福建省漳州第一中學?？茧A段練習）若函數(shù)在區(qū)間(1，4)上不單調(diào)，則實數(shù)a的取值范圍是.題型07含參問題討論單調(diào)性(導函數(shù)有效部分是一次型)【典例1】（2023上·陜西咸陽·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的極值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【變式1】（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性．【變式2】（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．討論函數(shù)的單調(diào)性．題型08含參問題討論單調(diào)性(導函數(shù)有效部分是二次型且可因式分解)【典例1】（2023上·江蘇揚州·高三儀征市第二中學?？计谥校┮阎瘮?shù)，其中．(1)若是函數(shù)的極值點，求a的值；(2)若，討論函數(shù)的單調(diào)性．【典例2】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，其中.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【典例3】（2023上·甘肅慶陽·高三?？茧A段練習）已知函數(shù)(1)若，求曲線在點處的切線方程；(2)當時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【變式1】（2023上·河南南陽·高三?？茧A段練習）已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；【變式2】（2023上·北京順義·高三楊鎮(zhèn)第一中學?？茧A段練習）已知函數(shù).(1)當時，求函數(shù)的最小值；(2)當時，討論的單調(diào)性.【變式2】（2023·全國·高三專題練習）已知，求的單調(diào)遞減區(qū)間.題型09含參問題討論單調(diào)性(導函數(shù)有效部分是二次型且不可因式分解)【典例1】（2023·全國·高三專題練習）設(shè)函數(shù)，其中為常數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性．【典例2】（2023·全國·高二專題練習）已知函數(shù).討論的單調(diào)性．【變式1】（2022·甘肅臨夏·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；【變式2】（2023·全國·高二專題練習）已知函數(shù)．討論當時，單調(diào)性．A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2023上·高二課時練習）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A．, B．, C．, D．,2．（2023上·黑龍江雙鴨山·高二雙鴨山一中校考期末）函數(shù)?的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A．B．?和?C．?D．?3．（2021上·陜西漢中·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，那么函數(shù)（

）A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞減4．（2022上·河南安陽·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)若在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．（2022上·四川成都·高三統(tǒng)考階段練習）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2022下·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）已知函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．（2023下·重慶江北·高二重慶十八中校考期中）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．（2023下·河北唐山·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2021上·廣東梅州·高二統(tǒng)考期末）設(shè)，都是單調(diào)函數(shù)，其導函數(shù)分別為，，，下列命題中，正確的是（

）A．若，，則單調(diào)遞增；B．若，，則單調(diào)遞增；C．，，則單調(diào)遞減；D．若，，則單調(diào)遞減；三、填空題10．（2023·遼寧鞍山·鞍山一中?？级＃┤艉瘮?shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是．11．（2023上·江蘇淮安·高三江蘇省清浦中學校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是.12．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實數(shù)a的取值范圍是.四、解答題13．（2022下·重慶璧山·高二重慶市璧山來鳳中學校?？茧A段練習）已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；14．（2023上·湖北·高三隨州市曾都區(qū)第一中學校聯(lián)考期中）已知函數(shù).(1)若曲線在點處的切線與直線平行，求出這條切線的方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.B能力提升1．（2022上·山東日照·高三山東省日照實驗高級中學?？茧A段練習）若對任意的，且當時，都有，則的取值范圍是.2．（2023上·河北保定·高三河北易縣中學?？茧A段練習）已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性．3．（2023上·北京·高三北師大實驗中學?？茧A段練習）已知函數(shù)其中．(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)當時，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．C綜合素養(yǎng)1．（2023上·山東德州·高三統(tǒng)考期中