（江蘇專用）高考數(shù)學大一輪復習 第十一章 圓錐曲線與方程 第61課 橢圓的幾何性質 文-人教版高三全冊數(shù)學試題

第61課橢圓的幾何性質(本課時對應學生用書第頁)自主學習回歸教材1.(選修1-2-1P30例1改編)橢圓+=1的長軸長為，離心率為，右焦點坐標為.【答案】10(4，0)2.(選修1-1P35習題4改編)若方程+=1表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍為.【答案】(-∞，-1)∪【解析】由題意有2-m>|m|-1>0，解得1<m<或m<-1.3.(選修1-1P60復習題7改編)若以橢圓.+=1(a>b>0)的左焦點F(-c，0)為圓心、c為半徑的圓與橢圓的左準線交于不同的兩點，則該橢圓的離心率的取值范圍是.【答案】【解析】由條件得橢圓的左準線方程為x=-，從而由-c-<c，得a2<2c2，所以e∈.4.(選修1-1P35習題9改編)橢圓C：+=1上與兩個焦點的連線互相垂直的點的坐標是.【答案】(-3，-4)，(-3，4)，(3，-4)，(3，4)【解析】由題知橢圓C的兩個焦點的坐標分別是(5，0)，(-5，0)，所以所求的點即為以原點為圓心，半焦距為半徑的圓與橢圓的交點，聯(lián)立方程組解得或或或1.橢圓的標準方程及簡單的幾何性質條件2a>2c，a2=b2+c2，a>0，b>0，c>0標準方程及圖形+=1(a>b>0)+=1(a>b>0)范圍|x|≤a，|y|≤b|y|≤a，|x|≤b對稱性曲線關于原點、x軸、y軸對稱頂點長軸頂點(±a，0)短軸頂點(0，±b)長軸頂點(0，±a)短軸頂點(±b，0)焦點(±c，0)(0，±c)長、短軸的長度長軸長2a，短軸長2b焦距F1F2=2c(c2=a2-b2)準線方程x=±y=±離心率e=∈(0，1)，e越大，橢圓越扁，e越小，橢圓越圓2.點P(x0，y0)和橢圓+=1(a>b>0)的關系(1)點P(x0，y0)在橢圓外+>1.(2)點P(x0，y0)在橢圓上+=1.(3)點P(x0，y0)在橢圓內(nèi)+<1.【要點導學】要點導學各個擊破求橢圓離心率的值例1在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓+=1(a>b>0)的左頂點為A，左焦點為F，上頂點為B，若∠BAO+∠BFO=90°，求橢圓的離心率.【思維引導】根據(jù)所給的幾何條件，建立關于a，b，c的方程.【解答】方法一：因為∠BAO+∠BFO=90°，所以sin∠BFO=cos∠BAO=cos∠BAF.在△ABF中，由正弦定理得===，即=，所以=，所以a2=b，即a4=(a2-c2)(2a2-c2)，化簡得e4-3e2+1=0，解得e2=，故e=(負值舍去).方法二：易知∠BAF=∠FBO，所以Rt△BFO∽Rt△ABO，則=，即=，所以ac=b2=a2-c2，所以c2+ac-a2=0，即e2+e-1=0，解得e=(負值舍去).方法三：設橢圓右頂點為C，連接BC，則∠BCO=∠BAF，所以∠BCO+∠BFC=90°，則BF2+BC2=CF2，即a2+a2+b2=(a+c)2，所以2a2-c2=2ac+c2，即c2+ac-a2=0，所以e2+e-1=0，解得e=(負值舍去).【精要點評】橢圓離心率的求解主要是將所給幾何條件進行轉化，建立關于a，b，c的齊次方程.本題對于所給條件∠BAO+∠BFO=90°采取了三種轉化，分別是正弦定理、余弦定理以及相似三角形、直角三角形(勾股定理)，但目的都是一致的.【高頻考點·題組強化】1.橢圓+=1的離心率為.【答案】2.若橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的離心率等于.【答案】【解析】因為橢圓的長軸長是短軸長的2倍，所以a=2b，則有橢圓的離心率e==.3.(2015·蘇北四市期末)已知橢圓+=1(a>b>0)，點A，B1，B2，F(xiàn)依次為其左頂點、下頂點、上頂點和右焦點，若直線AB2與直線B1F的交點恰在橢圓的右準線上，則橢圓的離心率為.【答案】(第3題)【解析】如圖，A(-a，0)，B1(0，-b)，B2(0，b)，F(xiàn)(c，0)，設點M.由=kAM，得=，所以yM=b.由=kFM，得=，所以yM=，從而b=，整理得2e2+e-1=0，解得e=或e=1(舍去).4.如圖，已知F1為橢圓的左焦點，A，B分別為橢圓的右頂點和上頂點，P為橢圓上的點.若PF1⊥F1A，PO∥AB(O為橢圓中心)，求橢圓的離心率.(第4題)【解答】設橢圓方程為+=1(a>b>0)，F(xiàn)1(-c，0)，c2=a2-b2，則P.因為AB∥PO，所以kAB=kOP，即-=，所以b=c.又因為a==b，所以e===.求橢圓離心率的取值范圍微課13●典型示例例2若橢圓+=1(a>b>0)的右焦點為F，其右準線與x軸的交點為A，在橢圓上存在點P，使得線段AP的垂直平分線過點F，則橢圓離心率的取值范圍是.【思維導圖】【答案】【規(guī)范解答】由題意知，橢圓上存在點P，使得線段AP的垂直平分線過點F，即點F到點P與點A的距離相等.而FA=-c=，PF∈[a-c，a+c]，于是∈[a-c，a+c]，即ac-c2≤b2≤ac+c2，所以解得又因為e=，e∈(0，1)，故e∈.【精要點評】(1)一般地，求解離心率的值或取值范圍的問題，關鍵是將幾何條件轉化為a，b，c的方程或不等式，然后再解方程或不等式，要注意的是建立的方程或不等式應該是齊次式.(2)對于橢圓上或直線上的點，應該利用該點建立方程，轉化為與該點相關的變量的方程的有解問題，這里要注意橢圓等圖形本身的范圍限制.●總結歸納1.存在性問題可轉化為方程有解；2.求離心率范圍可轉化為求不等式(組)的解集或方程有解等問題；3.若點P在橢圓上，F(xiàn)為橢圓的一個焦點，則PF∈[a-c，a+c].●題組強化1.(2014·合肥三檢)橢圓+=1的離心率e的取值范圍是.【答案】【解析】由題知(a+1)2>a>0，所以e===≥，故e∈.2.在平面直角坐標系xOy中，橢圓+=1(a>b>0)的左焦點為F，右頂點為A，P是橢圓上一點，l為左準線，PQ⊥l，垂足為Q.若四邊形PQFA為平行四邊形，則橢圓的離心率e的取值范圍是.【答案】(-1，1)【解析】由題意知AF=PQ，即a+c=xP+，則xP=a+c-，所以有-a<a+c-<a，即c<<2a+c，左側不等式顯然成立，所以a2<2ac+c2，即e2+2e-1>0.又0<e<1，所以-1<e<1.3.已知點M是橢圓+=1(a>b>0)上的點，以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的焦點F，圓M與y軸相交于P，Q兩點.若△PQM是鈍角三角形，則橢圓離心率的取值范圍是.【答案】【解析】由題意可知圓M的半徑為，點M到y(tǒng)軸的距離為c，由于△PQM是等腰三角形，故只能是∠PMQ為鈍角，從而只需>c即可，即ac<b2=a2-c2，兩邊同除以a2并整理得e2+e-1<0，解得<e<.又因為0<e<1，所以e∈.4.已知橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0).若橢圓上存在點P，使得=，則該橢圓的離心率的取值范圍為.【答案】(-1，1)【解析】在△PF1F2中，由正弦定理知=，因為=，所以==，即PF1=ePF2.①又因為點P在橢圓上，所以PF1+PF2=2a，將①代入得PF2=∈(a-c，a+c)，同除以a得1-e<<1+e，解得-1<e<1.橢圓幾何性質的綜合應用例3(2015·南通、揚州、淮安、連云港二調(diào))如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓+=1(a>b>0)的左頂點為A，右焦點為F(c，0)，P(x0，y0)為橢圓上一點，且PA⊥PF.(例3)(1)若a=3，b=，求x0的值；(2)若x0=0，求橢圓的離心率；(3)求證：以F為圓心，F(xiàn)P為半徑的圓與橢圓的右準線x=相切.【解答】(1)因為a=3，b=，所以c2=a2-b2=4，即c=2.由PA⊥PF，得·=-1，即=--x0+6.又+=1，所以4+9x0-9=0，解得x0=或x0=-3(舍去).(2)當x0=0時，=b2，由PA⊥PF，得·=-1，即b2=ac，所以a2-c2=ac，所以e2+e-1=0，解得e=(負值舍去).(3)依題意，橢圓右焦點到直線x=的距離為-c，且+=1，①由PA⊥PF，得·=-1，即=-+(c-a)x0+ca，②由①②整理得(x0+a)（x0+）=0，解得x0=-或x0=-a(舍去).所以PF==a+·=-c，所以以F為圓心、FP為半徑的圓與右準線x=相切.【精要點評】關于橢圓性質的綜合應用的題目都有一定的難度，充分利用或挖掘各種條件是解決問題的關鍵.但是，基本量的求解與基本關系的處理是解決問題的必要途徑.變式(2015·福建卷改編)已知橢圓E：+=1(a>b>0)過點(0，)，且離心率為.(1)求橢圓E的方程；(2)設直線x=my-1(m∈R)交橢圓E于A，B兩點，判斷點G與以線段AB為直徑的圓的位置關系，并說明理由.【解答】(1)由已知得解得所以橢圓E的方程為+=1.(2)設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中點為H(x0，y0).由消去x，得(m2+2)y2-2my-3=0，所以y1+y2=，y1y2=-，從而y0=.所以GH2=+=（my0+）2+=(m2+1)+my0+.====(m2+1)(-y1y2).故GH2-=my0+(m2+1)y1y2+=-+=>0，所以GH>，故點G在以AB為直徑的圓外.1.已知橢圓+=1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上，若PF1=4，則點P到右準線的距離是.【答案】【解析】由PF1=4，知PF2=6，所以點P到右準線的距離d==.2.設F1，F(xiàn)2為兩定點，F(xiàn)1F2=8，動點P滿足PF1⊥PF2，且PF1+PF2=10，滿足條件的點P的個數(shù)為.【答案】4【解析】由PF1+PF2=10，可知點P(x，y)在曲線+=1上.又因為PF1⊥PF2，根據(jù)對稱性可知點P的個數(shù)為4.3.若過橢圓+=1(a>b>0)的焦點且垂直于x軸的直線被橢圓截得的線段長為a，則該橢圓的離心率是.【答案】(第3題)【解析】如圖，設橢圓焦點為(c，0)，a2=b2+c2，點P的坐標為(c，0)，點M的坐標為，則=×=，即=，即=，所以e==.4.已知F1，F(xiàn)2為橢圓的兩個焦點，若橢圓上總存在點M，使得·=0，則橢圓離心率的取值范圍為.【答案】【解析】因為橢圓上總存在點M，使得·=0，且動點M位于橢圓上頂點時，∠F1MF2最大，所以90°≤∠F1MF2<180°，此時MF1=MF2=a，F(xiàn)1F2=2c.在△F1MF2中，由余弦定理得cos∠F1MF2==1-2=1-2e2∈(-1，0]，故e∈.【融會貫通】融會貫通能力提升已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上一點，且∠F1PF2=60°.(1)求橢圓離心率的取值范圍；(2)求證：△PF1F2的面積與橢圓短軸長有關.【思維引導】方法一：方法二：【規(guī)范解答】方法一：設橢圓方程為+=1(a>b>0)，P(x1，y1)，F(xiàn)1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)，c>0，由第二定義易知PF1=a+ex1，PF2=a-ex1.在△PF1F2中，由余弦定理得cos60°==，解得=……4分(1)因為∈[0，a2)，所以0≤<a2，即4c2-a2≥0…………6分所以e=≥.故橢圓離心率的取值范圍是……8分(2)將=代入+=1，得=，即|y1|=…11分所以=F1F2·|y|=·2c·=b2.即△PF1F2的面積只與橢圓的短軸長有關………16分方法二：設PF1=m，PF2=n，∠PF2F1=α，∠PF1F2=β，則α+β=120°.(1)在△PF1F2中，設PF1=m，PF2=n，∠PF2F1=α，∠PF1F2=β，由正弦定理得==，所以=……2分因為m+n=2a，所以=，…4分所以e====≥.當且僅當α=β時等號成立…………6分故橢圓離心率的取值范圍是………………8分(2)在△PF1F2中，由余弦定理得(2c)2=m2+n2-2mncos60°=m2+n2-mn=(m+n)2-3mn………10分因為m+n=2a，所以4c2=4a2-3mn，即mn=(a2-c2)=b2……………12分所以=mnsin60°=b2.即△PF1F2的面積與橢圓短軸長有關……………16分【精要點評】橢圓上的一點P與兩個焦點F1，F(xiàn)2構成的三角形為橢圓的焦點三角形，涉及有關焦點三角形問題，通常運用三角形的邊角關系定理.解題時通過變形，使之出現(xiàn)PF1+PF2的結構，這樣就可以應用橢圓的定義，從而可得到有關a，c的關系式，使問題找到解決思路.趁熱打鐵，事半功倍.請老師布置同學們完成《配套檢測與評估》中的練習第121~122頁.【檢測與評估】第61課橢圓的幾何性質一、填空題1.已知橢圓+=1，那么該橢圓的準線方程為.2.已知橢圓的中心在原點，焦點在y軸上，若其離心率為，焦距為8，則該橢圓的方程是.3.若橢圓+=1的離心率為，則實數(shù)m的值為.4.已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：+=1(a>b>0)的左、右焦點，P為直線x=上一點，△F2PF1是底角為30°的等腰三角形，則橢圓E的離心率為.5.在平面直角坐標系中，橢圓+=1(a>b>0)的焦距為2c，以原點O為圓心，a為半徑作圓O，過點作圓O的兩條切線互相垂直，則離心率e=.6.已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C的左、右焦點，點P在橢圓上，且滿足PF1=2PF2，∠PF1F2=30°，則橢圓的離心率為.7.若點O和點F分別為橢圓+=1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則·的最大值為.8.已知橢圓+=1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P(x0，y0)為橢圓上的動點，當∠F1PF2為鈍角時，點P的橫坐標x0的取值范圍為.二、解答題9.(2015·揚州期末)如圖，A，B，C是橢圓M：+=1(a>b>0)上的三點，其中點A是橢圓的右頂點，BC過橢圓M的中心，且滿足AC⊥BC，BC=2AC.(1)求橢圓M的離心率；(2)若y軸被△ABC的外接圓所截得的弦長為9，求橢圓M的方程.(第9題)10.已知橢圓的右焦點F(m，0)，左、右準線分別為l1：x=-m-1，l2：x=m+1，且l1，l2分別與直線y=x相交于A，B兩點.(1)若離心率為，求橢圓的方程；(2)當·<7時，求橢圓離心率的取值范圍.11.(2014·江蘇卷)如圖，在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點，頂點B的坐標為(0，b)，連接BF2并延長交橢圓于點A，過點A作x軸的垂線交橢圓于另一點C，連接F1C.(1)若點C的坐標為，且BF2=，求橢圓的方程；(2)若F1C⊥AB，求橢圓的離心率e.(第11題)三、選做題(不要求解題過程，直接給出最終結果)12.在△ABC中，∠ACB=60°，sinA∶sinB=8∶5，則以A，B為焦點且過點C的橢圓的離心率為.13.設F1，F(xiàn)2分別是橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點，若在直線x=上存在點P，使線段PF1的中垂線過點F2，則橢圓的離心率的取值范圍是.【檢測與評估答案】第61課橢圓的幾何性質1.y=±4【解析】因為c2=a2-b2=8-4=4，所以準線方程為y=±=±4.2.+=1【解析】因為2c=8，所以c=4，所以e===，故a=8.又因為b2=a2-c2=48，所以橢圓的方程為+=1.3.1或16【解析】若焦點在x軸上，則m<4，即a2=4，b2=mc2=a2-b2=4-m，得到=m=1；若焦點在y軸上，則m>4，即a2=m，b2=4c2=a2-b2=m-4，得到=m=16.4.【解析】由題意可得PF2=F1F2，所以2=2c，所以3a=4c，所以e=.5.【解析】如圖，四邊形OAPB為正方形，所以OP=OA，所以=a，解得=，即離心率e=.(第5題)6.【解析】在△PF1F2中，由正弦定理得sin∠PF2F1=1，即∠PF2F1=90°.設PF2=1，則PF1=2，F(xiàn)2F1=，所以離心率e==.7.6【解析】由橢圓方程得F(-1，0)，設P(x0，y0)，則·=(x0，y0)·(x0+1，y0)=+x0+.因為P為圓上一點，所以+=1.所以·=+x0+3=+x0+3=(x0+2)2+2.因為-2≤x0≤2，所以·的最大值在x0=2時取得，且最大值等于6.8.【解析】由題意知F1(-，0)，F(xiàn)2(，0)，由P(x0，y0)，知=(--x0，-y0)，=(-x0，-y0)，所以·=-5+<0①.又因為+=1②，由①②得<，所以-<x0<.則點P的橫坐標x0的取值范圍為.9.(1)因為BC過橢圓M的中心，所以BC=2OC=2OB.又AC⊥BC，BC=2AC，所以△OAC是以角C為直角的等腰直角三角形，則A(a，0)，C，B，AB=a，所以+=1，則a2=3b2，所以c2=2b2，e=.所以橢圓M的離心率為.(2)△ABC的外接圓圓心為AB的中點P，半徑為a，則△ABC的外接