2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第9講：空間向量與立體幾何（附答案解析）

2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第9講：空間向量與立體幾何

選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）

1.（5分）（2022春?虹口區(qū)期末）如圖，在斜四棱柱/8CA-小81C1O1中，底面/8C。是

平行四邊形，M為小。與81。的交點.若不^J=W'A^^D7=b）不=展則而=

1-TDl_*1：—

JrIb+-clj?—a-^τ^b÷c

2222

2.（5分）（2022春?市中區(qū)校級月考）已知空間的一組基底G,E,c）-若m=a-b+c?

W=XZ+yE+^^共線，則冗+7的值為（）

A.2B.-2C.1D.0

3.（5分）（2022春?永昌縣校級月考）若向量Z=（ι,-2,3），b=（-2,3,則

Ia+2bI=（）

A.2√7B.5C.√26D,4√2

4.（5分）（2022春?南京月考）如圖：在平行六面體48CZ）-∕ι8ιCιDι中，"為小。，8ιG

,

的交點?若A/；=TA1Dj=bA1A=C則向量BM=（）

?--?ab+cb?-?a-+?b-cc?-?a-?b+cd??ab+c

5.（5分）（2022春?龍巖期中）在平行六面體NBCD-NiBiCbDi中，點E是線段Si的中

.?lI-'?-?，.—?.6

點，AC=3AF.設(shè)AB=a，AD=b.AAI=c，貝IJEF=（）

第1頁（共60頁）

A5-2r1-B-τ1-a^2b;τ1-c

c.?1-D.

6a2c

6.（5分）（2022?浙江學(xué)業(yè)考試）如圖，正方體ABC。-4出CMl中，N是棱。。的中點,

則直線CN與平面O88∣D∣所成角的正弦值等于（）

B?9D.曜

?-2C-f

7.（5分）（2022春?南通期中）如圖所示，空間四邊形0/8C中，0A=a，OB=b，0C=c>

點M在。/上，且M為。/中點，N為8C中點，則而等于（）

B-程亭亭

l-?Ir1-

nh7?-a~^rb÷τrc

222

8.（5分）（2022?浙江）如圖，已知正三棱柱∕8C-4ι8ιCι,AC^AA?,E,F分別是棱8C,

出。上的點.記E尸與441所成的角為α,Q■與平面/8C所成的角為β,二面角尸-BC

-A的平面角為丫，則（）

A.α≤β≤γB.β≤a≤γC.β≤γ≤aD.a≤γ≤β

第2頁（共60頁）

9.（5分）（2022?甲卷）在長方體ABCD-A?B?C?D?中，已知B?D與平面ABCD和平面AA?B?B

所成的角均為30°,則（）

A.AB=2AD

B./8與平面ZBCi。所成的角為30°

C.AC^CB↑

D.囪。與平面881。C所成的角為45°

10.（5分）（2022春?成都期中）已知M,A,B,C為空間中四點，任意三點不共線，且誣

=-2OA^xOB+-yOC）若加，A,B,C四點共面，則x+y的值為（）

A.0B.1C.2D.3

二.多選題（共5小題，滿分25分，每小題5分）

（多選）11.（5分）（2022?濟(jì)南二模）在棱長為1的正方體N8C7）-NIBICQI中，E,F,

G分別為線段CG,CD,C8上的動點（￡,F,G均不與點C重合），則下列說法正確的

是（）

A.存在點E,F,G,使得ZiEL平面EFG

B.存在點E,F,G,使得NFEG+NEFC+/EGC=n

C.當(dāng)小UL平面EEG時，三棱錐出-E尸G與C-EPG體積之和的最大值為工

2

D.記CE,CF,CG與平面ErG所成的角分別為α,β,γ,則siiAt+si/p+si/Y=1

（多選）12.（5分）（2022?開福區(qū)校級一模）在棱長為1的正方體∕8CO-ZiBiCi。中,

點P滿足而=λDD；+3X;入qo,1],μ∈[0>1]，則以下說法正確的是（）

A.當(dāng)人=μ時，5"〃平面CB?D?

B.當(dāng)口」寸，存在唯一點尸使得JoP與直線CBi的夾角為工

a23

C.當(dāng)人+μ=l時，DP+PB的最小值為√2啦

D.當(dāng)點尸落在以Si為球心，血為半徑的球面上時，入+μ的最小值為2-√^

（多選）13.（5分）（2022?德州模擬）如圖，邊長為2的正方形N88中，E,尸分別是

第3頁（共60頁）

AB,8C的中點，將△/￡）￡,ACDF,ABEF分別沿DE,DF,EF折起，使力，B,C重

合于點R則下列結(jié)論正確的是（）

B.三棱錐P-DEF的外接球的體積為2√^π

C.點P到平面。E尸的距離為2

3

D.二面角P-E尸的余弦值為工

4

（多選）14.（5分）（2022?汕頭二模）如圖，在正方體力BCD-ZIBICIDI中，點尸在線段

8C上運動，則（）

A.直線8。平面小

B.三棱錐尸-小的體積為定值

C.異面直線NP與小。所成角的取值范圍是「工，—1

l42j

D.直線CIp與平面小。。所成角的正弦值的最大值為逅

4

（多選）15.（5分）（2022?廣州二模）如圖，圓柱的軸截面N8CZ）是正方形，E在底面圓

周上，AE=BE,AFVDE,尸是垂足，G在80上，DG=IBG,則下列結(jié)論中正確的是

（）

第4頁（共60頁）

A.AFLBD

B.直線OE與直線ZG所成角的余弦值為工

2_

C.直線OE與平面NBCD所成角的余弦值為近

6

D.若平面4尸Grl平面NBE=/,則/〃/G

Ξ.填空題（共5小題，滿分25分，每小題5分）

16.（5分）（2022春?淮安區(qū)期中）已知平面Z8C,Aβ=（1,2,3）,M=（4,5,6）,

寫出平面/8C的一個法向量n=.

17.（5分）（2022?黃浦區(qū)二模）在長方體向ClOI中，設(shè)標(biāo)=2，AD=b荷=：

若用向量a、b、C表示向量AC,則AC；=-

18.（5分）（2022春?東麗區(qū)期末）如圖，正方體Z8CO-Nι8∣CιOι的棱長為1,E、尸分別

為棱8C的中點，則平面Ci。IE/與底面/8CO所成的二面角的余弦值為.

19.（5分）（2022春?浦東新區(qū)校級期末）已知點N（1,-2,0）,向量g=（-i,2,2）且

AB=2^＞則點8的坐標(biāo)為.

20.（5分）（2022?齊齊哈爾二模）矩形/8C。中，ABS,BC=I,現(xiàn)將aZCO沿對角線

NC折起，得到四面體。-48C,若異面直線8C與ZO所成角為生，則田Z）I=；

3

第5頁（共60頁）

若二面角D-AC-B的大小為三，則IjSz）I=.

3

四.解答題（共5小題，滿分50分，每小題10分）

21.（10分）（2022?浙江）如圖，已知/8CD和CDEE都是直角梯形，AB∕∕DC,DC//EF,

AB=5,OC=3,EF=I,NBAD=NCDE=60°,二面角尸-OC-8的平面角為60°.設(shè)

M,N分別為∕E,8C的中點.

（I）證明：FNVAD-,

（II）求直線5A/與平面/OE所成角的正弦值.

22.（10分）（2022?新高考I）如圖，直三棱柱ZBC-小明。的體積為4,△小8C的面積

為ML

（1）求“到平面A?BC的距離；

（2）設(shè)。為小C的中點，AA?=AB,平面小BC，平面/881小，求二面角Z-8。-C

的正弦值.

23.(10分)(2022?甲卷)在四棱錐P-/8C0中，PO_L底面/8CO,CD//AB,AD=DC

=CB=l,AB=2,Z)P=√3?

(1)證明：BD±PA↑

(2)求PD與平面B18所成的角的正弦值.

第6頁（共60頁）

24.（10分）（2022?乙卷）如圖，四面體NBC。中，ADVCD,AD=CD,N4DB=NBDC,

E為ZC的中點.

（1）證明：平面BEZ）JL平面/CC；

（2）設(shè)48=8。=2,NACB=60°,點尸在8。上，當(dāng)尸C的面積最小時，求CF與

平面48。所成的角的正弦值.

A

25.（10分）（2022?新高考∏）如圖，PO是三棱錐P-N8C的高，PA=PB,ABLAC,E

為PB的中點.

（1）證明：OE〃平面C；

（2）若NABo=NCBO=30：Po=3,PA=5,求二面角C-/￡-8的正弦值.

第7頁（共60頁）

2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第9講：空間向量與立體幾何

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）

1.（5分）（2022春?虹口區(qū)期末）如圖，在斜四棱柱/8C￡>-DI中，底面48C。是

平行四邊形，M為小。與BiZ）I的交點.若碰?=:，A^EΓJ=b>不=展則就=

cIfl7一ClTl’一

-

J22+c-2a^^2τb+c

【考點】空間向量及其線性運算；空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；邏輯推理.

【分析】利用向量三角形法則、平行四邊形法則即可得出.

【解答】解：因為斜四棱柱/8C。-mBiCiOi的底面是平行四邊形，

又M為AlCI,BlZ）I的交點,

所以耐（AIBj硒P=/ɑ-b）.

所以BH=-（MB）—^（兒B；+BE=-[?^?（a-b）+c]--?a+-^-b^c>

故選:B.

【點評】本題考查向量的運算，解題關(guān)鍵是熟悉向量的三角形法則，平行四邊形法則,

屬于基礎(chǔ)題.

2.（5分）（2022春?市中區(qū)校級月考）已知空間的一組基底G,E,c},若\=7-E+W與

E=XZ+yb+^J共線，則AV的值為（）

A.2B.-2C.1D.0

【考點】共線向量與共面向量.

【專題】計算題：轉(zhuǎn)化思想；向量法：平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

第8頁（共60頁）

【分析】根據(jù)，與常線可得出E=k?再根據(jù)G,E,3｝為基底，從而根據(jù)空間向量

基本定理可得出χ+y的值.

【解答】解：因為［與凝線，空間的一組基底G,E,W卜

所以xa+yb+c=k（a-b+c）,

所以x+y=O.

故選：D.

【點評】本題考查了共線向量基本定理和空間向量基本定理，考查了計算能力，屬于基

礎(chǔ)題.

3.（5分）（2022春?永昌縣校級月考）若向量Z=（1,一2,3），b=（-2,3,-1）＞則

Ia+2bI=（）

A.2√7B.5C.√26D.4√2

【考點】空間向量的夾角與距離求解公式；空間向量及其線性運算.

【專題】計算題；對應(yīng)思想；定義法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【分析】利用空間向量的坐標(biāo)運算求解即可.

【解答】解：?Y=（1,-2,3）＞b=（-2,3,-1）＞

?*?a+2b=（-3,4,1）,

.?.∣I+2b=√9+16+l=√26-

故選：C.

【點評】本題考查空間向量的坐標(biāo)運算，屬于基礎(chǔ)題.

4.（5分）（2022春?南京月考）如圖：在平行六面體∕8C∏-∕ι8ιClDl中，M為小Ci，BlDI

則向量BM=（）

第9頁（共60頁）

【考點】空間向量及其線性運算.

【專題】計算題；對應(yīng)思想；定義法；空間向量及應(yīng)用：數(shù)學(xué)運算.

【分析】根據(jù)空間向量基本定理結(jié)合平行六面體的性質(zhì)求解.

【解答】解：由題意得：

BM=西+彳

=-AIA卷（AIDl-AIBl）

Z=4^M]-?AIDI'M

=J?d;二

2a^^^bC

故選:B.

【點評】本題考查向量的線性運算，是基礎(chǔ)題.

5.（5分）（2022春?龍巖期中）在平行六面體Cr）-//IeI。中，點E是線段C￡>1的中

點，AC=3AF.設(shè)標(biāo)=Z，AD=bk=Z則而=（）

A5-27I-R1-271-

n?-a+τrb-,τrco?-τra-src

632632

c1-2：1-D5-2：1-

632632

【考點】空間向量及其線性運算.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算.

【分析】直接利用向量的加法和減法運算的應(yīng)用求出結(jié)果.

【解答】解：在平行六面體/8C。-IClDl中，

如圖所示：

第10頁（共60頁）

點E是線段Cz）I的中點，AC=3AF1設(shè)標(biāo)=Z，AD=b-k=Z

所以：AC=a+bAF=^^AC=ya+yb,

【點評】本題考查的知識要點：向量的線性運算，向量的加法和減法運算，主要考查學(xué)

生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題.

6.（5分）（2022?浙江學(xué)業(yè)考試）如圖，正方體/3CD-4團(tuán)。。1中，N是棱。Dl的中點,

則直線CN與平面OBBbDi所成角的正弦值等于（）

A.1B.&C.逗D.2√∑

2555

【考點】直線與平面所成的角.

【專題】計算題；方程思想；綜合法；空間角；數(shù)學(xué)運算.

【分析】通過連接/C,8C交于。的輔助線，確定CN與平面。58∣JDl所成的角，再設(shè)

正方體棱長為2,根據(jù)CN與CO長度的關(guān)系，即可得出所求角的正弦值.

【解答】解：連接/C,BD交于O,由正方形的性質(zhì)可得C0J_8￡）,

又?.?88ι,平面∕2CZ）,CoU平面/38,BB↑LCO,

又BB?CBD=B,J.C0L3F^DBB?D?,

ZCNO是CN與平面DBBiDi所成的角，

設(shè)正方體的棱長為2,則CW=√m,Co=√5,,SinNCNO=St="=1Σ.

CN√55

.?.直線CN與平面DBB?D?所成角的正弦值為H?

5

故選：B.

【點評】本題考查線面角的求法，屬基礎(chǔ)題.

7.（5分）（2022春?南通期中）如圖所示，空間四邊形。IBC中，QA=1，QB=bQC=c>

點M在。!上，且“為。/中點，N為BC中點、,則誦等于（）

D1-lr1-*

lj,-a÷τrc

222

【考點】空間向量及其線性運算.

【專題】計算題；對應(yīng)思想；定義法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【分析】利用空間向量的線性運算，空間向量基本定理求解即可.

【解答】解：-Al為。/中點，N為BC中點,

.?OT=I0A=^XON=?（0B+0C）=Ab+^c.

22222

???M=ON--攵，

222

故選：A.

【點評】本題考查空間向量的線性運算，空間向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題.

8.（5分）（2022?浙江）如圖，已知正三棱柱∕8C-N∣8ιCι,AC^AA?,E,尸分別是棱8C,

小Cl上的點.記E廠與/小所成的角為α,E尸與平面Z8C所成的角為β,二面角廠-BC

-4的平面角為丫，則（）

第12頁（共60頁）

AlCl

B

A.α≤β≤γB.β≤a≤γC.BWYWaD.a≤γ≤β

【考點】二面角的平面角及求法.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間角；立體幾何；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算.

【分析】根據(jù)線線角的定義，線面角的定義，面面角的定義，轉(zhuǎn)化即可求解.

【解答】解：：正三棱柱ZBC-481。中,AC=AAi,

正三棱柱的所有棱長相等，設(shè)棱長為1,

如圖，過F作EGLNC,垂足點為G,連接G￡,^?A?A∕∕FG,

：.EF與AAI所成的角為∕EFG=a,且tana=S^?=GE?

FG

又Gf6[0,1].tana∈[O,1],

E尸與平面/8C所成的角為NFEG=β,且tanβ=空h?e[l,+∞),

GEGE

tanβ>tana,…①，

再過G點作GbJ_8C,垂足點為，，連接，尸，

又易知FG，底面∕8C,SCcJKffiABC,

.'.BCLFG,又FGCGH=G,；.8C_L平面GZZF,

二面角∕7-8C-Z的平面角為NG”尸=γ,且tanγ=空h?,又G∕∕∈[0,1],

GHGH

Λtanγ∈[l,+o0),.?.tanγ2tanα,…②，

又GE,GH,.?.tanβ≤tanγ,…③，

由①②③得tanα<tan0Wtanγ,又α,β,γ∈[0,.ZE_),y=tanx在[0,-2L)單調(diào)遞增,

22

Λα≤β≤γ,

故選：A,

第13頁(共60頁)

B

【點評】本題考查線線角的定義，線面角的定義，面面角的定義，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬

中檔題.

9.（5分）（2022?甲卷）在長方體ABCD-A?B?C?D?中，已知B?D與平面ABCD和平面AA?B?B

所成的角均為30°,則（）

A.AB=IAD

B./8與平面/81。。所成的角為30°

C.NC=C

D.81。與平面831。C所成的角為45°

【考點】直線與平面所成的角.

【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；空間位置關(guān)系與距離：空間角；直觀想象.

【分析】不妨令“m=1,可根據(jù)直線與平面所成角的定義，確定長方體的各棱長，即可

求解.

【解答】解：如圖所示，連接∕8ι,BD,不妨令43=1,

D1________________Ci

AB

在長方體∕8CA-//Ci。1中，/Z)_L面44ι8ι5,面4BCD,

所以N囪。8和NO8M分別為BlD與平面ABCD和平面AAιB↑B所成的角,

即N51Z)8=NO8ι4=30°,

第14頁（共60頁）

所以在Rta8O8ι中，88ι=44ι=l,BD=V§,B∣D=2

在RtZ?4O8ι中，DBl=2,??=1,AB]=百，

,1

所以/8=&，CB1=V2AC=V3

故選項4C錯誤，

由圖易知，/8在平面/BiClZ）上的射影在N81上，

所以NBMB為AB與平面AB?C?D所成的角，

..BB1I?/o

a-,

在RtZMBBi中，SinNB1AB=τz=^7T^="V

?AB?√33

故選項8錯誤，

則陰。在平面88∣ClC上的射影為8∣C,

所以NOBiC為8Q與平面88∣Cle所成的角，

在RtADBiC中，BlC=我=Da所以NO8C=45°,

所以選項。正確，

故選：D.

【點評】本題考查了直線與平面所成角，屬于中檔題.

10.（5分）（2022春?成都期中）已知M,A,B,C為空間中四點，任意三點不共線，且M

=-2OC）若M,A,B,C四點共面，貝!lx+y的值為（）

A.0B.1C.2D.3

【考點】共線向量與共面向量；平面向量的基本定理.

【專題】方程思想；定義法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【分析】由共面向量定理能求出x+y.

第15頁（共60頁）

【解答】解：M,A,B,C為空間中四點，任意三點不共線,

且而=-2亍京x^55己M,A,B,C四點共面，

則由共面向量定理得：-2+xty=l.解得x+y=3.

故選：D.

【點評】本題考查兩數(shù)和的求法，考查共面向量定理等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，

是基礎(chǔ)題.

二.多選題（共5小題，滿分25分，每小題5分）

（多選）11.（5分）（2022?濟(jì)南二模）在棱長為1的正方體/8CD-小81ClDl中，E,F,

G分別為線段CG,CD,CB上的動點（E,F,G均不與點C重合），則下列說法正確的

B.存在點￡,F,G,使得/尸EG+NE尸C+/EGC=Tr

C.當(dāng)小。，平面EFG時，三棱錐小-EFG與C-EFG體積之和的最大值為工

2

D.記CE,CF,CG與平面E尸G所成的角分別為ɑ,β,γ,貝IJSin2a+si∏2β+sin2γ=1

【考點】直線與平面所成的角；命題的真假判斷與應(yīng)用；棱柱的結(jié)構(gòu)特征；棱柱、棱錐、

棱臺的體積.

【專題】計算題；對應(yīng)思想；分析法；空間角；數(shù)學(xué)運算.

【分析】以點。為原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)b=a,CG=b,CE=c,（a,b,c?∈（0,

1］）,對于/,當(dāng)FG時，易證得FG_L/i￡,則要使小E，平面￡FG,只需AlELEF

即可，利用向量法即可得出結(jié)論；對于8,要使

NFEG+NEFC+NEGC=n,只需要/bEG=/PEC+/GEC即可，判斷/FEG和/尸EC+

NGEC是否相等，即可；對于C,根據(jù)/C_L平面EFG,可得a,h,C的關(guān)系，由

vACS

A-EFG+Vc-EFG4-?EFG×，只要求出S叢口的最大值即可；對于。，利用等體

?o

積法求出C到平面EFG的距離d,分別求出Sina,sinβ,sinγ,即可判斷.

【解答】解：如圖，以點。為原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CF=a,CG=b,CE=c,

第16頁（共60頁）

h,c∈(O,1]),

對于/,因為44ι，平面/88,ABCD,

所以A4J8O,

又因/C_L8￡>,AC∩AA?=A,

所以8O_L平面44ιCιC,

又出EU平面44ιCC,所以ADL41E,

當(dāng)8?！ㄊ珿時，F(xiàn)GLA?E,此時C尸=CG,

要使NiEL平面EFG,只需小EF即可，

Ai(1,0,1),F(0,1-a,0),E(0,1,c),

則A]E=(-1,1,c-1),EF=(0,-a,-CA

則內(nèi)T靛=-a-c(c-l)=G即α=c-d,

當(dāng)』寸，?,

4c2

故存在點E,F,G,使得ZIEJL平面EFG,故/正確；

對于8,ZEFC=?-ZFEC,ZEGC?y-ZGEC-

則NFEG+NEFC+NEGC=Tτ+"EG-NFEC-NGEC,

要使NFEG+NEFC+NEGC=π,

只需要ZFEG=ZFEC+ZGEC即可，

EF=√a2+c2,EG=√b2+c2,FG=√a2+b2j

/?2+(：?62甘2二(@2吵2)c2

2√a2+c2?Vb2+c2Va2+c2?√b2+c2

cosZFEC?-r?"-->COSZGEC=→===".

√a+cVb+c

則SinNFEC=。1一；—;、sinz^GEC",J5>

Ma+c"√b+c

故cos(ZFEC+ZGEC)?工"尸

Va+cWb+c

因為必>0,所以COS(NFEC+NGEC)≠cos/FEG,

所以NFEGWZFEC+ZGEC,

第17頁(共60頁)

所以不存在點E,F,G,使得NFEG+NMC+/EGC=n,故8錯誤;

對于C,因為ZICJ?平面E/G,

所以+v,

VAl-EFGC-EFGWAC%EFG=-^-SΔEFG

AI(1,0,1),F(0,1-a,0),E(0,1,c),GQb,1,0),C(0,1,0),

則而=(b,a,0),EG=(b,0,-c),A?C=(-1,1,-I);

f??

AiC,FG=-b+a=0

則,_____k.所以α=b=c,

A1C?EG=b-c=O

要使S&EFG最大，則a=h=c=?,此時S^EFG??-'

所以體積之和的最大值為工，故C正確；

J2,2,/2,,2\2

Yab+(a+b)c

對于。，由8,SinNFEG=

7a2+c2?√b2+c2

則SZiEFG卷，EF?EG?sinZFEG=y√a2b2+a2c2+c2b2,

因為VE-FCGqabe，

sinβ=,

CF?∕2Γ2722~2Γ2

Vab+ac+cb

CG-√a2b2÷a2c2÷c2b2

222222

所以si∏2α+sin2B+si∏2γ=at>+ac+cb故。正確.

故選：ACD.

第18頁（共60頁）

【點評】本題考查空間向量的應(yīng)用，考查學(xué)生的綜合能力，屬于難題.

（多選）12.（5分）（2022?開福區(qū)校級一模）在棱長為1的正方體/8C。-由81CIol中，

點尸滿足而=入西+∣1X,λ∈[0,1],μ∈[0,1],則以下說法正確的是（）

A.當(dāng)人=μ時，80〃平面CBlDI

B.當(dāng)口」寸，存在唯一點尸使得。尸與直線CBI的夾角為

μ23

C.當(dāng)入+μ=l時，DP+PB的最小值為√2屈

D.當(dāng)點尸落在以81為球心，√5為半徑的球面上時，入+μ的最小值為2-&

【考點】空間向量的夾角與距離求解公式.

【專題】轉(zhuǎn)化思想：綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算.

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量關(guān)系，分別對答案進(jìn)行空間關(guān)系的判斷和求值，能求

出結(jié)果.

【解答】解：當(dāng)入=μ時，如圖（1）,P的軌跡線段。小，由正方體的結(jié)構(gòu)特征，可知平

面C8iOi〃平面小8。，

BPU平面小肛

.?.8尸〃平面CBiDi,故4正確；

當(dāng)Il年時，如圖（1）,點尸的軌跡為線段EE,直線CBi〃直線D4ι,

當(dāng)尸與E重合時,。尸與直線。/1所成角最大，即。尸與直線CBl所成角最大,最大為工,

4

故8錯誤;

第19頁（共60頁）

當(dāng)人+μ=l∏寸，如圖（2）,P點軌跡為線段Z）ι∕,將AODM旋轉(zhuǎn)到平面。1/8。內(nèi),

可知DP+PB?DB=個2x[i,故C正確；

當(dāng)點P落在以S為球心，√5為半徑的球面上時，

點P的軌跡為以A1為圓心，1為半徑的四分之一圓弧市,

取圓弧中點時，（入+μ）,”加=2-J5，故。正確.

故選：ACD.

【點評】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)

知識，考查推理論證能力，是中檔題.

（多選）13.（5分）（2022?德州模擬）如圖，邊長為2的正方形48C。中，E,尸分別是

AB,8C的中點，將△/￡)￡,/XCDF,ABEF分別沿DE,DF,EF折起，使4B,C重

合于點P,則下列結(jié)論正確的是（）

B.三棱錐尸-OEF的外接球的體積為2√^π

第20頁（共60頁）

C.點P到平面DEF的距離為2

3

D.二面角P-M-。的余弦值為工

4

【考點】二面角的平面角及求法；點、線、面間的距離計算.

【專題】計算題：整體思想：綜合法：立體幾何：數(shù)學(xué)運算.

【分析】取跖中點H,連接P”,DH,由線面垂直的判定定理可得EFL平面POH,再

由線面垂直的性質(zhì)定理可判定出構(gòu)造長方體，長方體的外接球就是三棱錐P-OE廠的

外接球，長方體的體對角線就是外接球的直徑，計算可得外接球的半徑和體積，即可判

斷8:因為P￡,PF,尸。三線兩兩垂直，由等體積法可判斷C；由題意為二面角

P-EF-D的一個平面角，禾I］用COSNPHDq?可判斷d?

DH

【解答】解：對于Z選項，作出圖形，

取EF中點H,連接P”，DH,

由原圖知48EF和4OEF均為等腰三角形，故PHLEF,DHLEF,

又因為PHCDH=H,

所以￡7JL平面P?！?，

又U平面PDH,所以PDLEF,A正確；

由尸E,PF,三線兩兩垂直，如下圖構(gòu)造長方體，長方體的外接球就是三棱錐P-OEE

的外接球,

長方體的體對角線就是外接球的直徑，設(shè)為2R,

則(2R)2=i2+l2+22=6,則

所以所求外接球的體積為呈KR3=√6π?B錯誤;

O

根據(jù)題意，可知PE,PF,三線兩兩垂直，且PE=PF=1,PD=I,

、23√2

在APHD中,

'2

由等體積法可得上XLXIX1×2

×y×√2ΓL×?解得C正確;

32×?

由題意如上圖，PE=PF,DE=DF,

則PHLEF,DHLEF,

第21頁（共60頁）

所以NP”￡）為二面角尸-EF-。的一個平面角，

因為P￡>_LZ）F,PDVDE,且Z）F∩Z?E=Z）,

所以PCl.平面PEF,則PO_LPH,即/0/77=90°,

在Rt△尸"D中，CoSNPHD=^^。不正確?

DH3

故選：AC.

【點評】本題考查了立體幾何的綜合問題，屬于中檔題.

（多選）14.（5分）（2022?汕頭二模）如圖，在正方體NBCO-出81ClZ）I中，點尸在線段

8iC上運動，則（）

A.直線跳54平面小

B.三棱錐尸-小。。的體積為定值

C.異面直線NP與小O所成角的取值范圍是W-,?

第22頁（共60頁）

D.直線CIP與平面4G。所成角的正弦值的最大值為1

4

【考點】直線與平面所成的角；棱柱、棱錐、棱臺的體積；異面直線及其所成的角；直

線與平面垂直.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；數(shù)學(xué)運算.

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示公式、空間向量夾角公式、

三棱錐的體積性質(zhì)逐一判斷即可求出結(jié)果.

【解答】解：以。為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)/8=1,如圖，

?▲

DICl

—

B(1,1,O),Dl(0,0,1),A?(1,0,1),Ci(0,I,1),

D(0,0,0),BI(1,1,1),C(0,1,0),A(0,1,1),

設(shè)尸(x,y,Z),設(shè)B[g=χB1Q=(X-1,?-1,Z-D=入(-1,0,-1),λ∈[0,

1]，

"x=l-λ

解得.y=ι,：.p(I-λ,1,1-λ),

z=l-λ

對于Z,BD；=(-1，-1,1),???=(?.0.1),DC；=(0,1,1),

；BD「DA「-lx1+1Xi=。，BDjDC[=-IX1+1X1=°，

'可1西'BD?1DC7,^^D?^DA?,BD?LDC?,

,JDA?C?DC?=D,.?.直線BDl_L平面由Cjo,故N正確；

對于8,側(cè)面BCCiBi的對角線交于點O,...CB」。。，OCHIl-J=亨,

平面BCClBI,OcIU平面BCGB1，J.A?B?LOC?,

；4BICeBI=BI,.?.OCι-L平面ZiBiCD,

第23頁（共60頁）

VVSC*3×sABCDX^=

P-A1C1D=C1-PA1D≡??PA1D?10?×?11

1B1CD

為定值，故8正確；

對于C，AP=(-λ,L1-λ),(1，0,1),

設(shè)異面直線/P與4。所成角為。(θ∈(0,?])-

則COSe=.」AP?AlD1_=________∣-λ+l"I__!12"

2

IAPlTAIDl7(-χ)2+12+(1,λ)2.γι2+122√λ-λ+l

當(dāng)入』寸，cosθ=0,解得Θ=2L,

22

當(dāng)人盧1?時，cosθ=I===「O

2，4.2-4.+4/]+-----?-------

22

V4λ-4λ+lV(2λ-l)

Vλ∈[0,?)U(?U，.?.(2λ-1)2∈(0,1],

22

-----?21,；?>O,Λl+?------24,

(2λ-ι)2----------(2λ-ι)2--------------(2λ-ι)2

H------?------22,Λ0<

(2λ-l)2

(2λ-l)2

?'?θ<Ccosθ≤4^,?-?θel-^,

綜上，θ∈[2L,?],故C錯誤；

32

對于。，設(shè)平面NICl。的法向量為Ir=(Xo,”，zo),3(1-λ,0,2-λ),

+zx

m?DA1=0x∩oθ-

，解得Ir=(-1,7,1),

+z

m?DC1=07oo=0

線ClP與平面4。。所成角的正弦值為:

Im-CiPlI入-]+2一入I

V(l-λ)2+(2-λ)2?7(-l)2+(-l)2+l2

∣m∣?∣C1P∣

]

√3?小2λ2-6λ+5

?.?χ∈[0,1],.?.入=1時，,2(λ^)2，有最小值為點考

第24頁(共60頁)

??.直線CIP與平面小CbD所成角的正弦值的最大值為——」==近，故。錯誤.

3

M嗎

故選：AB.

【點評】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)

知識，考查運算求解能力，是中檔題.

（多選）15.（5分）（2022?廣州二模）如圖，圓柱的軸截面N5CZ）是正方形，E在底面圓

周上，AE=BE,AFlDE,尸是垂足，G在80上，DG=IBG,則下列結(jié)論中正確的是

A.AFlBD

B.直線OE與直線ZG所成角的余弦值為工

2_

C.直線DE與平面ABCD所成角的余弦值為近

6

D.若平面∕FG∩平面/8E=/,貝U/〃尸G

【考點】直線與平面所成的角；異面直線及其所成的角.

【專題】計算題：方程思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；空間角；邏輯推理；直觀

想象；數(shù)學(xué)運算.

【分析】選項上由線面垂直的判定定理，以及線面垂直的性質(zhì)定理得出；選項&平移

法找出異面直線所成角，構(gòu)造三角形，求解三角形可得；選項C：找出線面垂直，作出

線面角，再求解三角形可得；選項。：運用線面平行的判定定理，以及線面平行的性質(zhì)

定理可得.

【解答】解：對于/：由圓柱的性質(zhì)得：DAL^AEB,Vfβ?fflAEB,.'.DALEB,

又AB是下底面圓的直徑.?.4E"LE8,

又?.?Λ0∏NE=4Dτ4?SDAE,DAE,

Λf51≡DAE,DAE：.EB