離散型隨機變量及其分布列（教學設(shè)計）（人教A版2019選擇性必修第三冊）

.2離散型隨機變量及其分布列教學設(shè)計課時教學內(nèi)容隨機變量、離散型隨機變量及離散型隨機變量的分布列的概念及性質(zhì)，離散型隨機變量的分布列的求法和兩點分布．課時教學目標（1）理解隨機變量的意義．（2）掌握離散型隨機變量的概念．（3）理解取有限值的離散型隨機變量的分布列及兩點分布的概念及表示．（4）掌握離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)．（5）會求某些簡單的離散型隨機變量的分布列(含兩點分布)．教學重點、難點教學重點：離散型隨機變量的分布列和離散型隨機變量的分布列的求法．教學難點：學生在理解離散型隨機變量及其分布列的概念基礎(chǔ)上，結(jié)合實際問題寫出隨機變量的取值以及隨機試驗的結(jié)果，并求某些簡單的離散型隨機變量的分布列．教學過程設(shè)計環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境，引入課題問題1（復(fù)習隨機變量與函數(shù)的概念）請同學們思考一下，隨機試驗的樣本空間與實數(shù)集之間能否建立某種對應(yīng)關(guān)系呢？求隨機事件的概率時，我們往往需要為隨機試驗建立樣本空間，并會涉及樣本點和隨機事件的表示問題．類似函數(shù)在數(shù)集與數(shù)集之間建立對應(yīng)關(guān)系，如果我們在隨機試驗的樣本空間與實數(shù)集之間建立某種對應(yīng)，將不僅可以為一些隨機事件的表示帶來方便，而且能更好地利用數(shù)學工具研究隨機試驗．探究1．有些隨機試驗的樣本空間與數(shù)值有關(guān)系,我們可以直接與實數(shù)建立關(guān)系．有些隨機試驗的樣本點與數(shù)值有關(guān)系，我們可以直接與實數(shù)建立對應(yīng)關(guān)系．例如，擲一枚骰子，用實數(shù)表示“擲出的點數(shù)為”；又如，擲兩枚骰子，樣本空間為，用表示“兩枚骰子的點數(shù)之和”，樣本點就與實數(shù)對應(yīng)．有些隨機試驗的樣本點與數(shù)值沒有直接關(guān)系，我們可以根據(jù)問題的需要為每個樣本點指定一個數(shù)值．例如，隨機抽取一件產(chǎn)品，有“抽到次品”和“抽到正品”兩種可能結(jié)果，它們與數(shù)值無關(guān)．如果“抽到次品”用1表示，“抽到正品”用0表示，即定義那么這個試驗的樣本點與實數(shù)就建立了對應(yīng)關(guān)系．類似地，擲一枚硬幣，可將試驗結(jié)果“正面朝上”用1表示，“反面朝上”用0表示；隨機調(diào)查學生的體育綜合測試成績，可將等級成績優(yōu)、良、中等、及格、不及格分別賦值5，4，3，2，1；等等．對于任何一個隨機試驗，總可以把它的每個樣本點與一個實數(shù)對應(yīng)．即通過引入一個取值依賴于樣本點的變量X，來刻畫樣本點和實數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，實現(xiàn)樣本點的數(shù)量化．因為在隨機試驗中樣本點的出現(xiàn)具有隨機性，所以變量X的取值也具有隨機性．【設(shè)計意圖】通過具體的問題情境，引發(fā)學生思考積極參與互動，說出自己見解．從而建立離散型隨機變量的概念，發(fā)展學生邏輯推理、數(shù)學運算、數(shù)學抽象和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)．環(huán)節(jié)二觀察分析，感知概念探究2：考察下列隨機試驗及其引入的變量：試驗1：從100個電子元件（至少含3個以上次品）中隨機抽取三個進行檢驗，變量X表示三個元件中的次品數(shù)；試驗2：拋擲一枚硬幣直到出現(xiàn)正面為止，變量Y表示需要的拋擲次數(shù)．這兩個隨機試驗的樣本空間各是什么？各個樣本點與變量的值是如何對應(yīng)的？變量X，Y有哪些共同的特征？【設(shè)計意圖】讓學生親身經(jīng)歷了從特殊到一般，獲得離散型隨機變量概念的過程．發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．對于試驗1，如果用0表示“元件為合格品”，1表示“元件為次品”，用0和1構(gòu)成的長度為3的字符串表示樣本點，則樣本空間．各樣本點與變量的值的對應(yīng)關(guān)系如圖7.2-1所示．對于試驗2，如果用表示“正面朝上”，表示“反面朝上”，例如用表示第3次才出現(xiàn)“正面朝上”，則樣本空間，包含無窮多個樣本點．各樣本點與變量的值的對應(yīng)關(guān)系如圖7.2-2所示．追問兩個試驗中變量X,Y有哪些共同的特征?【設(shè)計意圖】通過與函數(shù)概念的比較，讓學生深化對隨機變量的理解．發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．環(huán)節(jié)三抽象概括，形成概念在上面兩個隨機試驗中，每個樣本點都有唯一的一個實數(shù)與之對應(yīng)．變量X，Y有如下共同點：（1）取值依賴于樣本點；（2）所有可能取值是明確的．一般地，對于隨機試驗樣本空間中的每個樣本點，都有唯一的實數(shù)與之對應(yīng)，我們稱為隨機變量（randomvariable）．試驗1中隨機變量的可能取值為0，1，2，3，共有4個值；試驗2中隨機變量的可能取值為1，2，3，…，有無限個取值，但可以一一列舉出來．像這樣，可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機變量，我們稱為離散型隨機變量（discreterandomvariable）．通常用大寫英文字母表示隨機變量，例如；用小寫英文字母表示隨機變量的取值，例如．隨機變量的概念是俄國數(shù)學家切比雪夫（也翻譯為契貝曉夫）（Chebyshev，1821-1894）在19世紀中葉建立和提倡使用的．不難發(fā)現(xiàn)，隨機變量的定義與函數(shù)的定義類似，這里的樣本點相當于函數(shù)定義中的自變量，而樣本空間相當于函數(shù)的定義域，不同之處在于不一定是數(shù)集．隨機變量的取值隨著試驗結(jié)果的變化而變化，這使我們可以比較方便地表示一些隨機事件．現(xiàn)實生活中，離散型隨機變量的例子有很多．例如，某射擊運動員射擊一次可能命中的環(huán)數(shù)X，它的可能取值為0，1，2，…，10；某網(wǎng)頁在24h內(nèi)被瀏覽的次數(shù)Y，它的可能取值為0，1，2，……；等等現(xiàn)實生活中還有大量不是離散型隨機變量的例子．例如，種子含水量的測量誤差X1；某品牌電視機的使用壽命X2；測量某一個零件的長度產(chǎn)生的測量誤差X3．這些都是可能取值充滿了某個區(qū)間、不能一一列舉的隨機變量．本節(jié)我們只研究取有限個值的離散型隨機變量．你能再舉出一些離散型隨機變量和不是離散型的隨機變量的例子嗎？問題5請大家進一步思考，在實際問題中對于每一個隨機變量的值，對應(yīng)的概率是多少嗎？探究3.拋擲一枚骰子,所得的點數(shù)X有哪些值？取每個值的概率是多少？根據(jù)問題引入合適的隨機變量，有利于我們簡潔地表示所關(guān)心的隨機事件，并利用數(shù)學工具研究隨機試驗中的概率問題．例如，擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，表示擲出的點數(shù)，則事件“擲出點”可以表示為，事件“擲出的點數(shù)不大于2”可以表示為，事件“擲出偶數(shù)點”可以表示為，等等．由擲出各種點數(shù)的等可能性，可得．這一規(guī)律可以用表7.2-1表示．表7.2-1123456【設(shè)計意圖】通過例題引出離散型隨機變量的分布列的概念及性質(zhì)?！編熒顒印刻骄侩x散型隨機變量的表示方法和性質(zhì)。環(huán)節(jié)四辨析理解深化概念一般地，設(shè)離散型隨機變量的可能取值為，我們稱取每一個值的概率為的概率分布列（listofprobabllitydistribution），簡稱分布列．與函數(shù)的表示法類似，離散型隨機變量的分布列也可以用表格表示（表7.2-2），還可以用圖形表示．例如，圖7.2-3直觀地表示了擲骰子試驗中擲出的點數(shù)X的分布列，稱為X的概率分布圖．表7.2-2…………根據(jù)概率的性質(zhì)，離散型隨機變量分布列具有下述兩個性質(zhì)：（1）；（2）．利用分布列和概率的性質(zhì)，可以計算由離散型隨機變量表示的事件的概率．例如，在擲骰子試驗中，由概率的加法公式，得事件“擲出的點數(shù)不大于2”的概率為．類似地，事件“擲出偶數(shù)點”的概率為．【設(shè)計意圖】通過例題引出離散型隨機變量的分布列的概念及性質(zhì)?！編熒顒印刻骄侩x散型隨機變量的表示方法和性質(zhì)。環(huán)節(jié)五概念應(yīng)用，鞏固內(nèi)化例1一批產(chǎn)品中次品率為5%,隨機抽取1件,定義X=1,抽到次品&0,追問本題中離散型隨機變量的分布列有什么特殊性？【設(shè)計意圖】通過例題引出對兩點分布的概念的理解。解：根據(jù)的定義，“抽到次品”，“抽到正品”，的分布列為，．對于只有兩個可能結(jié)果的隨機試驗，用表示“成功”，表示“失敗”，定義如果，則，那么的分布列如表7.2-3所示．表7.2-301我們稱X服從兩點分布（two-pointdistribution）或0-1分布．實際上，X為在一次試驗中成功（事件A發(fā)生）的次數(shù)（0或1）．像購買的彩券是否中獎，新生嬰兒的性別，投籃是否命中等，都可以用兩點分布來描述．例2某學校高二年級有200名學生，他們的體育綜合測試成績分5個等級，每個等級對應(yīng)的分數(shù)和人數(shù)如表7.2-4所示．表7.2-4等級不及格及格中等良優(yōu)分數(shù)12345人數(shù)2050604030從這200名學生中任意選取1人，求所選同學分數(shù)的分布列，以及．解：由題意知，是一個離散型隨機變量，其可能取值為1，2，3，4，5，且“不及格”，“及格”，“中等”，“良”，“優(yōu)”．根據(jù)古典概型的知識，可得的分布列，如表7.2-5所示．表7.2-512345．例3一批筆記本電腦共有10臺，其中A品牌3臺，B品牌7臺．如果從中隨機挑選2臺，求這2臺電腦中A品牌臺數(shù)的分布列．解：設(shè)挑選的2臺電腦中品牌的臺數(shù)為X，則X的可能取值為0，1，2．根據(jù)古典概型的知識，可得X的分布列為，，．用表格表示X的分布列，如表7.2-6所示．表7.2-6012環(huán)節(jié)六歸納總結(jié),反思提升通過類比函數(shù)的定義引入隨機變量的定義，對你有什么啟發(fā)？為什么要研究離散型隨機變量的分布列？離散型隨機變量的分布列有什么作用？根據(jù)本節(jié)課所列舉的例題，歸納求離散型隨機變量分布列的一般步驟.離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)在求隨機事件概率的過程中起到什么作用？【設(shè)計意圖】通過問題設(shè)計，讓學生梳理本節(jié)課所學的內(nèi)容及主要數(shù)學思想方法，引發(fā)學生深度思考.環(huán)節(jié)七 目標檢測，作業(yè)布置完成：1.教材第60頁練習第3,4題.2.教材第61頁習題7.2第4,5,6題.練習（第60頁）1．舉出兩個離散型隨機變量的例子．【解析】（1）拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，正面向上的次數(shù)；（2）某公共汽車站1分鐘內(nèi)等車的人數(shù)．2．下列隨機試驗的結(jié)果能否用離散型隨機變量表示？若能，請寫出各隨機變量可能的取值，并說明這些值所表示的隨機試驗的結(jié)果．（1）拋擲2枚骰子，所得點數(shù)之和；（2）某足球隊在5次點球中射進的球數(shù)；（3）任意抽取一瓶標有1500mL的飲料，其實際含量與規(guī)定含量之差．2．【解析】（1）拋擲兩枚骰子所得點數(shù)之和，能用離散型隨機變量表示，各隨機變量可能的取值分別為2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12．2表示拋擲兩枚骰子得到的結(jié)果為11；3表示拋擲兩枚骰子得到的結(jié)果為12；21；4表示拋擲兩枚骰子得到的結(jié)果為13；22；31；5表示拋擲兩枚骰子得到的結(jié)果為14；23；32；41；6表示拋擲兩枚骰子得到的結(jié)果為15；51；24；42；33；7表示拋擲兩枚骰子得到的結(jié)果為16；61；25；52；34；43；8表示拋擲兩枚骰子得到的結(jié)果為26；62；35；53；44；9表示拋擲兩枚骰子得到的結(jié)果為36；63；45；54；10表示拋擲兩枚骰子得到的結(jié)果為46；64；55；11表示拋擲兩枚骰子得到的結(jié)果為56；65；12表示拋擲兩枚骰子得到的結(jié)果為66．（2）某足球隊在5次點球中射進的球數(shù)能用離散型隨機變量表示，各隨機變量可能的取值分別為0，1，2，3，4，50表示5次點球中射進0球；1表示5次點球中射進1球；2表示5次點球中射進2球；3表示5次點球中射進3球；4表示5次點球中射進4球；5表示5次點球中射進5球．（3）任意抽取一瓶某種標有1500mL的飲料，其實際量與規(guī)定量之差，不能用離散型隨機變量表示．3．籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，不中得0分．已知某運動員罰球命中的概率為0.7，求他罰球1次的得分的分布列．3．【解析】設(shè)此運動員罰球1次的得分為ξ，則ξ的分布列為ξ01P0.30.7(注：ξ服從兩點分布)4．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣2次，寫出正面向上次數(shù)X的分布列．【解析】由已知，拋擲一次一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面向上的概率為，記正面向上的次數(shù)為，則可取0，1，2，，，，所以正面向上的次數(shù)的分布列為：012習題7.2（第60頁）1．張同學從學?；丶乙?jīng)過4個紅綠燈路口，每個路口可能遇到紅燈或綠燈．（1）寫出隨機試驗的樣本空間；（2）設(shè)他可能遇到紅燈的次數(shù)為X，寫出X的可能取值，并說明這些值所表示的隨機事件．【解析】（1）設(shè)在一個路口遇到紅燈記為1，遇到綠燈記為0，用表示他經(jīng)過四個路口所遇到紅綠燈情況，其中表示第個路口的情況，則隨機試驗的樣本空間（2）設(shè)他可能遇到紅燈的次數(shù)為X，則X的可能取值為0、1、2、3、4；表示，表示，表示，表示，表示．2．某位同學求得一個離散型隨機變量的分布列為：X0123P0.20.30.150.45試說明該同學的計算結(jié)果是否正確．2．【解析】根據(jù)分布列的性質(zhì)可知：分布列中所有概率之和等于1，而題目中，所以該同學的計算結(jié)果不正確．3．在某項體能測試中，跑1km時間不超過4min為優(yōu)秀．某位同學跑1km所花費的時間X是離散型隨機變量嗎？如果只關(guān)心該同學是否能夠取得優(yōu)秀成績，應(yīng)該如何定義隨機變量？3．【解析】若隨機變量X只取有限多個或可列無限多個值，則稱X為離散型隨機變量，在某項體能檢測中，跑1km時間不超過4min為優(yōu)秀，某同學跑1km所花的時間X是連續(xù)的，所以某同學跑1km所花費的時間不是離散型隨機變量，而是連續(xù)型隨機變量；如果只關(guān)心是否優(yōu)秀，只需要定義一個兩點隨機變量就可以了，如下：，此時是離散型隨機變量，它僅有兩個取值0，1，其中1表示優(yōu)秀，0表示不優(yōu)秀．4．某位射箭運動員命中目標的環(huán)數(shù)X的分布列為：X678910P0.050.150.250.350.20如果命中9環(huán)或10環(huán)為優(yōu)秀，那么他一次射擊成績?yōu)閮?yōu)秀的概率是多少？4．【解析】若射手射擊一次為優(yōu)秀，則他射中的環(huán)數(shù)為9、10環(huán)，其概率為，故他射擊一次為優(yōu)秀的概率是0.55．5．老師要從10篇課文中隨機抽3篇讓學生背誦，規(guī)定至少要背出其中2篇才能及格，某同學只能背誦其中的6篇，試求：（1）抽到他能背誦的課文的數(shù)量的分布列；（2）他能及格的概率．5．【解析】（1）設(shè)隨機抽出的3篇課文中該同學能背誦的篇數(shù)為X，則X是一個隨機變量，它可能的取值為0、1、2、