第2講 函數(shù)與方程思想在解析幾何中（解答）的應(yīng)用（原卷版）

第2講函數(shù)與方程思想在解析幾何中（解答）的應(yīng)用函數(shù)的思想就是運(yùn)用運(yùn)動和變化的觀點(diǎn)，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)。運(yùn)用函數(shù)的圖像性質(zhì)去分析問題，轉(zhuǎn)化問題，測試問題，獲得解決。函數(shù)思想是對函數(shù)概念本質(zhì)認(rèn)識，用于指導(dǎo)解題就是善于利用函數(shù)知識?；蚝瘮?shù)觀點(diǎn)觀察分析解決問題。方程思想是高中數(shù)學(xué)重要的思想方法之一，方程的思想是建立方程（組）、或構(gòu)造方程來分析數(shù)學(xué)變量問的等量關(guān)系，通過解方程（組），或運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題得以解決。孰練運(yùn)用方程思想解決數(shù)學(xué)問題是高中階段重要的數(shù)學(xué)能力之一，也是歷年高考的重點(diǎn)。函數(shù)與方程思想，簡單的說，就是學(xué)會用函數(shù)和變量來思考，學(xué)會轉(zhuǎn)化已知與未知的關(guān)系。對函數(shù)和方程思想的考察，主要是考察。能不能用函數(shù)和方程思想指導(dǎo)解題？一般情況下，凡是涉及到未知數(shù)，未知數(shù)問題都可以都可能用到函數(shù)與方程的思想。函數(shù)與方程思想方法的考察一直是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一。也是圓錐曲線中體現(xiàn)最多的一種思想方法。無論是選填還是解答題都是必考查的問題【應(yīng)用一】方程思想在研究圓錐曲線中的應(yīng)用一、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2+y2y2a2+x2圖形性質(zhì)范圍-a≤x≤a;-b≤y≤b-b≤x≤b;-a≤y≤a對稱性對稱軸:坐標(biāo)軸;對稱中心:原點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)軸長軸A1A2的長為2a;

短軸B1B2的長為2b

焦距|F1F2|=2c

離心率e=ca∈a,b,c的關(guān)系a2=b2+c2

二、拋物線的定義拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)p的幾何意義:焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點(diǎn)O(0,0)

對稱軸直線y=0直線x=0焦點(diǎn)Fp2,0F-p2,0F0,p2F0,-p2離心率e=1準(zhǔn)線方程x=-px=py=-py=p范圍x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R焦半徑(其P(x0,y0))|PF|=x0+p|PF|=-x0+p|PF|=y0+p|PF|=-y0+p（1）雙曲線點(diǎn)集:.（2）橢圓點(diǎn)集.（3）等軸雙曲線（，）當(dāng)時(shí)稱雙曲線為等軸雙曲線①；②離心率；③兩漸近線互相垂直，分別為；④等軸雙曲線的方程，；（4）雙曲線與漸近線的關(guān)系①若雙曲線方程為漸近線方程：②若雙曲線方程為（，）漸近線方程：③若漸近線方程為，則雙曲線方程可設(shè)為，④若雙曲線與有公共漸近線，則雙曲線的方程可設(shè)為（，焦點(diǎn)在軸上，，焦點(diǎn)在軸上）【例1.1】【2022年新高考1卷】已知點(diǎn)A(2,1)在雙曲線C:x2a2-y2a2-1=1(a>1)上，直線l(1)求l的斜率；(2)若tan∠PAQ=22，求【思維提升】橢圓、雙曲線中涉及的基本量為a,b,c;拋物線中涉及到p等基本量。解析幾何中經(jīng)?？疾榍髨A錐曲線的面積、方程以及與此有關(guān)的含參問題。解決此類問題就是建立根據(jù)題目所給的條件分別建立方程或者方程組。由方程組解出參數(shù)?！咀兪?.1】（2023·云南紅河·統(tǒng)考一模）已知P為拋物線E：上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸，垂足為O，點(diǎn)在拋物線上方（如圖所示），且的最小值為9．(1)求E的方程；(2)若直線與拋物線E相交于不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，且為等邊三角形，求m的值．【變式1.2】（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考三模）已知點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，點(diǎn)在上，直線交于B，C兩點(diǎn)，直線AB與直線AC的斜率之和為0．(1)求直線的斜率；(2)若M為雙曲線E上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作雙曲線的兩條漸近線的平行線，分別與兩條漸近線交于點(diǎn)P，Q，求△MPQ的面積．【變式1.3】【2020年新課標(biāo)2卷文科】已知橢圓C1：(a>b>0)的右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合，C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合．過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點(diǎn)，交C2于C，D兩點(diǎn)，且|CD|=|AB|．（1）求C1的離心率；（2）若C1的四個(gè)頂點(diǎn)到C2的準(zhǔn)線距離之和為12，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程．【應(yīng)用二】函數(shù)與方程思想在解析幾何中定點(diǎn)的應(yīng)用解析幾何中的定點(diǎn)、定值問題一直是高考的熱點(diǎn)問題，在最近幾年高考及模擬題中是考查的熱點(diǎn)。這種題型引起重視?！纠?.1】【2020年新高考1卷（山東卷）】已知橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)．（1）求的方程：（2）點(diǎn)，在上，且，，為垂足．證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．【思維提升】求解直線過定點(diǎn)問題常用的方法：(1)“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；(2)“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；(3)求證直線過定點(diǎn)(x0，y0)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程y－y0＝k(x－x0)或截距式y(tǒng)＝kx＋b來證明．【變式2.1】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，過左焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn).當(dāng)軸時(shí)，，的面積為3.(1)求的方程；(2)證明：以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn).【變式2.2】（2022·江蘇海安·高三期末）已知雙曲線：的兩條漸近線互相垂直，且過點(diǎn)．(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)為雙曲線的左頂點(diǎn)，直線過坐標(biāo)原點(diǎn)且斜率不為，與雙曲線交于，兩點(diǎn)，直線過軸上一點(diǎn)（異于點(diǎn)），且與直線的傾斜角互補(bǔ)，與直線，分別交于（不在坐標(biāo)軸上）兩點(diǎn)，若直線，的斜率之積為定值，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【變式2.3】（2022·廣東·鐵一中學(xué)高三期末）已知橢圓過點(diǎn)，且該橢圓的一個(gè)短軸端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)，為等腰直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線不經(jīng)過點(diǎn)且與橢圓相交于，兩點(diǎn).若直線與直線的斜率之積為1，證明：直線過定點(diǎn).【應(yīng)用三】函數(shù)與方程思想在解析幾何中研究最值的應(yīng)用解析幾何中的最值問題主要涉及到三角形或者多邊形的面積、斜率、周長等最值問題，解決問題的關(guān)鍵是建立關(guān)于它們的目標(biāo)函數(shù)，然后運(yùn)用基本不等式或者函數(shù)有關(guān)的問題，運(yùn)用基本不等式或者函數(shù)求解?！纠?.1】（2023年高考真題全國甲卷·理科）已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且．(1)求；(2)設(shè)C的焦點(diǎn)為F，M，N為C上兩點(diǎn)，，求面積的最小值．【思維提升】圓錐曲線中的最值問題的解決方法：一是幾何法，用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．【變式3.1】【2021年乙卷文科】已知拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2．（1）求C的方程;（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q滿足，求直線斜率的最大值.【變式3.2】．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓E：的焦距為，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)過橢圓E的左焦點(diǎn)作直線l與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在x軸上方），過點(diǎn)A，B分別作橢圓的切線，兩切線交于點(diǎn)M，求的最大值．【變式3.3】（2023·遼寧大連·統(tǒng)考三模）已知圓，定點(diǎn)是圓上的一動點(diǎn)，線段的垂直平分線交半徑于點(diǎn).(1)求的軌跡的方程；(2)若過的直線分別交軌跡與和，且直線的斜率之積為，求四邊形面積的取值范圍.【應(yīng)用四】函數(shù)與方程思想在解析幾何中研究探索性問題的應(yīng)用解析幾何中的探索性問題是圓錐曲線中常見題型，是近幾年高考與模擬的熱點(diǎn)問題，要注意這種題型的解法與技巧。圓錐曲線中的探索性問題在高考中多以解答題的形式呈現(xiàn),常用假設(shè)存在法求解,其解題要點(diǎn)如下:【例4.1】（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中統(tǒng)考三模）已知橢圓.(1)若為橢圓上一定點(diǎn)，證明：直線與橢圓相切；(2)若為橢圓外一點(diǎn)，過作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，直線分別交直線于兩點(diǎn)，且的面積為8.問：在軸是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使得為定值.若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【思維提升】（1）存在性問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化．解題時(shí)可先假設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))不存在；（2）由于解析幾何問題的解答中一般要涉及到大量的計(jì)算，因此在解題時(shí)要注意運(yùn)算的合理性和正確性．【變式4.1】（2023·江蘇泰州·泰州中學(xué)校考一模）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，離心率是，P為橢圓上的動點(diǎn).當(dāng)取最大值時(shí)，的面積是（1）求橢圓的方程：（2）若動直線l與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，且恒有，是否存在一個(gè)以原點(diǎn)O為圓心的定圓C，使得動直線l始終與定圓C相切？若存在，求圓C的方程，若不存在，請說明理由【變式4.2】（2023·安徽黃山·統(tǒng)考三模）如圖，動雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，另一個(gè)焦點(diǎn)為，若該動雙曲線的兩支分別經(jīng)過點(diǎn).(1)求動點(diǎn)的軌跡方程；(2)斜率存在且不為零的直線過點(diǎn)，交（1）中點(diǎn)的軌跡于兩點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，是直線上異于的一點(diǎn)，且滿足.試探究是否存在確定的值，使得直線恒過線段的中點(diǎn)，若存在，求出值，若不存在，請說明理由.【變式4.3】（2023·山西運(yùn)城·統(tǒng)考三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，分別為上兩個(gè)不同的動點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)拋物線在第一象限的部分是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)滿足，且點(diǎn)到直線的距離為2？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的方程；若不存在，請說明理由.鞏固練習(xí)1、【2020年新課標(biāo)2卷理科】已知橢圓C1：(a>b>0)的右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合，C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合.過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點(diǎn)，交C2于C，D兩點(diǎn)，且|CD|=|AB|.（1）求C1的離心率；（2）設(shè)M是C1與C2的公共點(diǎn)，若|MF|=5，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程.2、【2020年新課標(biāo)3卷理科】已知橢圓的離心率為，，分別為的左、右頂點(diǎn)．（1）求的方程；（2）若點(diǎn)在上，點(diǎn)在直線上，且，，求的面積．3、（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學(xué)校考一模）已知雙曲線的實(shí)軸長為4，左?右頂點(diǎn)分別為，經(jīng)過點(diǎn)的直線與的右支分別交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在軸上方.當(dāng)軸時(shí)，(1)設(shè)直線的斜率分別為，求的值；(2)若，求的面積.4、（2023·吉林·統(tǒng)考三模）已知點(diǎn)，動點(diǎn)M在直線上，過點(diǎn)M且垂直于x軸的直線與線段的垂直平分線交于點(diǎn)P，記點(diǎn)P的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)已知圓的一條直徑為，延長分別交曲線C于兩點(diǎn)，求四邊形面積的最小值．5、（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）已知，是雙曲線的左?右頂點(diǎn)，為雙曲線上與，不重合的點(diǎn).(1)設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：是定值；(2)設(shè)直線與直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)滿足，直線與雙曲線交于點(diǎn)（與，，不重合）.判斷直線是否過定點(diǎn)，若直線過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若直線不過定點(diǎn)，請說明理由.6、（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為，左頂點(diǎn)為，是面積為的正三角形．(1)求橢圓的方程；(2)過橢圓外一點(diǎn)的直線交橢圓