第09講 5.5.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式（第2課時：二倍角的正弦、余弦、正切公式）（解析版）

第09講5.5.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式第2課時：二倍角的正弦、余弦、正切公式課程標準學習目標①掌握二倍角的正弦、余弦和正切公式的內(nèi)容。②會運用二倍角的三角函數(shù)公式解決三角函數(shù)式的化簡、求值與證明。掌握二倍角公式的恒等變形與應(yīng)用，解決與二倍角有關(guān)的三角函數(shù)式的計算與證明知識點01：二倍角的正弦、余弦正切公式①②；；③【即學即練1】（2023春·海南省直轄縣級單位·高一校考期中）.【答案】/【詳解】.故答案為：【即學即練2】（2023秋·高一課時練習）的值為．【答案】/【詳解】原式.故答案為：.【即學即練3】（2023·全國·高一隨堂練習）若，則．【答案】/【詳解】因為，所以.故答案為：知識點02：降冪公式①②【即學即練4】（2023春·山東泰安·高一?？茧A段練習）的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】.故選：D.【即學即練5】（2023春·廣東佛山·高一校考階段練習）函數(shù)的最小正周期等于.【答案】【詳解】因為函數(shù)故最小正周期等于.故答案為：題型01利用二倍角公式解決給角求值問題【典例1】（2023秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，故．故選：A．【典例2】（2023秋·寧夏銀川·高三銀川一中?？茧A段練習）已知角的頂點為原點，始邊為軸的非負半軸，若其終邊經(jīng)過點，則.【答案】【詳解】由三角函數(shù)的定義可知，，.故答案為：【變式1】（2023秋·河南新鄉(xiāng)·高三衛(wèi)輝一中校聯(lián)考階段練習）已知角的終邊過點，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為角的終邊過點，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得，則.故選：B．【變式2】（2023秋·廣東湛江·高三校考階段練習）已知角的終邊與單位圓交于點，則【答案】/【詳解】因為角的終邊與單位圓交于點，所以，所以.故答案為：題型02利用二倍角公式求角【典例1】（2023秋·福建廈門·高三廈門一中?？茧A段練習）已知為銳角，，則.【答案】【詳解】由于為銳角，所以，，所以.故答案為：【典例2】（2023秋·河南新鄉(xiāng)·高一校聯(lián)考期末）已知，其中．(1)求；(2)求．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，所以，又因為，且，所以．因為，，所以，則，又因為，所以．（2）由（1）可得，，因為，則，所以【變式1】（2023·全國·高三專題練習）已知，，且，，則（

）A． B．或 C． D．或或【答案】C【詳解】∵，且，∴，，∴，∴．∵，且，∴，∴，又，∴．答案：C.【變式2】（2023秋·陜西西安·高三西安市鐵一中學?？茧A段練習）已知，，且，則．【答案】【詳解】因為，，，所以，，因為，所以，，因此，因為，所以，故答案為：題型03利用二倍角公式解決條件求值問題【典例1】（2023·山西運城·高三?？紝W業(yè)考試）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由得，，而，故，故選：B【典例2】（2023秋·福建三明·高三三明一中校考階段練習）已知，均為銳角，，，則，.【答案】【詳解】因為，所以，又因，均為銳角，所以，則，所以，所以，，又因，所以，則，所以.故答案為：；.【變式1】（2023秋·河南新鄉(xiāng)·高一校聯(lián)考期末）若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由，得，則．故選：C【變式2】（2023·云南·校聯(lián)考模擬預測）在中，若，則．【答案】/0.96【詳解】，因為，所以.故答案為：【變式3】（2023·全國·高一課堂例題）已知，，求，，的值．【答案】，，．【詳解】因為，所以．所以．所以，，．題型04二倍角中的拼湊角問題【典例1】（2023秋·山東德州·高三德州市第一中學?？茧A段練習）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，故選：C【典例2】（2023·四川綿陽·鹽亭中學校考模擬預測）已知?，則?．【答案】/0.28【詳解】由題意，，，解得：，∴，，故答案為：.【典例3】（2023春·山東青島·高一校聯(lián)考期中）已知為銳角，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，所以（2）因為，所以，因為為銳角，所以，所以，所以，則，所以【變式1】（2023秋·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，故選：C.【變式2】（2023春·江蘇連云港·高一校考階段練習）已知是第一象限角，滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為是第一象限，則為第一象限角或第二象限角，且，所以，由題意可得：.故選：B.【變式3】（2023秋·河北邢臺·高三校聯(lián)考階段練習）已知，則．【答案】【詳解】．故答案為：.題型05二倍角公式與數(shù)學文化的結(jié)合【典例1】（2023秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習）我國古代數(shù)學家僧一行應(yīng)用“九服晷影算法”在《大衍歷》中建立了影長與太陽天頂距的對應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學史上較早的正切函數(shù)表．根據(jù)三角學知識可知，晷影長等于表高與太陽天頂距正切值的乘積，即．對同一“表高”測量兩次，第一次和第二次太陽天頂距分別為，若第一次的“晷影長”是“表高”的2倍，第二次的“晷影長”是“表高”的4倍，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由第一次的“晷影長”是“表高”的2倍，得，由第二次的“晷影長”是“表高”的4倍，得，所以，所以．故選：D【典例2】（2023秋·山東威?！じ呷？茧A段練習）黃金比又稱黃金律，是指事物各部分間一定的數(shù)學比例關(guān)系，即將整體一分為二，較小部分與較大部分之比等于較大部分與整體之比，其比值為，上述比例又被稱為黃金分割．將底和腰之比等于的等腰三角形稱為黃金三角形，若某黃金三角形的一個底角為C，則．【答案】【詳解】

設(shè)這個黃金三角形的另一個底角為B，頂角為A，因為，所以，則．故答案為：.【變式1】（2023春·廣東揭陽·高二校聯(lián)考期中）五角星是非常美麗的，我們的國旗上就有五顆，還有不少國家的國旗也用五角星，因為在五角星中可以找到許多線段之間的長度關(guān)系是符合黃金分割比的，也就是說正五邊形對角線連滿后出現(xiàn)的所有三角形，都是黃金分割三角形.如圖所示的五角星中、、等都是黃金分割比，已知五角星的頂角是36°，則利用上面信息可求得（

）

A． B． C． D．【答案】C【詳解】由圖形可知，則，所以，所以，故選：C【變式2】（2023春·福建漳州·高一漳州三中?？计谥校S金分割蘊藏著豐富的數(shù)學知識和美學價值，被廣泛運用于藝術(shù)創(chuàng)作、工藝設(shè)計等領(lǐng)域，黃金分割的比值為無理數(shù)該值恰好等于，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意，，，故選：C．A夯實基礎(chǔ)B能力提升A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2023秋·北京·高三統(tǒng)考開學考試）已知函數(shù)，則的值為（

）A． B． C． D．1【答案】B【詳解】.故選：B2．（2023春·甘肅隴南·高一統(tǒng)考期末）（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】.故選：D3．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高一揚中市第二高級中學?？计谥校┖瘮?shù)的最小正周期是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，所以所求最小正周期為.故選：C.4．（2023秋·湖南衡陽·高三衡陽市八中?？奸_學考試）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，有，得，可得，所以.故A，C，D錯誤.故選：B.5．（2023秋·河北張家口·高三統(tǒng)考開學考試）已知，則的值為（

）．A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意得，，解得，所以．故選：C6．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預測）若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】∵，∴∴.故選：C.7．（2023·福建廈門·廈門一中?？寄M預測）已知角的終邊落在直線上，則的值為（

）A． B．1 C． D．【答案】B【詳解】因為角的終邊落在直線上，所以.則.故選：B8．（2023秋·山東威海·高三?？茧A段練習）已知和是關(guān)于的方程的兩根，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為和是關(guān)于的方程的兩根，所以，，所以，因為，所以，所以，，故選：B二、多選題9．（2023春·四川宜賓·高一?？计谥校┫铝懈魇街?，值為的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【詳解】對于A，，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D正確；故選：ACD10．（2023春·四川綿陽·高一?？茧A段練習）下列各式中，值為的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【詳解】對于A，，A正確；對于B，，B錯誤；對于C，，C錯誤；對于D，，D正確．故選：AD三、填空題11．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學校考階段練習）已知，，則.【答案】【詳解】由題意，，所以，，又因為，所以，解得.故答案為：.12．（2023春·甘肅天水·高一天水市第一中學校考期中）已知，則的值域為.【答案】【詳解】根據(jù)題意，令，則，因為，所以，因此，因為，所以，故函數(shù)值域為.故答案為：.四、解答題13．（2023·全國·高一隨堂練習）求下列各式的值：(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）（2）（3）.14．（2023秋·福建龍巖·高三上杭一中?？茧A段練習）如圖，在平面直角坐標系中，銳角和鈍角的終邊分別與單位圓交于A，B兩點，且兩點的橫坐標分別為.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）因為銳角和鈍角的終邊分別與單位圓交于點A，B，且點A，B的橫坐標分別為，，顯然點A在第一象限，點B在第二象限，則點A，B的縱坐標分別為，，由已知及三角函數(shù)定義得，，而，，所以.（2）由（1）知，，所以.B能力提升1．（2023秋·江蘇揚州·高三揚州中學?？茧A段練習）已知為銳角，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】為銳角，，，，且．故，，，故選：D．2．（2023春·陜西榆林·高二?？茧A段練習）等于（

）A． B． C． D．2【答案】A【詳解】．故選：A．3．（2023秋·四川瀘州·高三瀘州老窖天府中學?？茧A段練習）已知，且，則的值為．【答案】./0.