2023年山西省渭南市高考數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷及答案解析

2023年山西省渭南市高考數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（5分）已知集合A={-l,1,2,4},B={X∣Λ2-2ΛW0},則ACB=（）

A.{-1,2）B.{1,2}C.（1,4}D.{-1,4}

2.（5分）設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足z?（l+2i）=∣-3+4z∣,則Z的虛部是（）

A.2B.2zC.-2D.-Ii

3.（5分）已知向量α=（l,2）,b=（m,2—in）,若a_Lb,則Ibl=（）

A.√3B.2√5C.2√3D.20

4.（5分）已知拋物線y=9,則它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.（O,?）B.（?,O）C.（1,O）D.（0,1）

5.（5分）2022年6月5日上午10時(shí)44分，我國(guó)在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心使用長(zhǎng)征二號(hào)尸運(yùn)

載火箭，將神舟十四號(hào)載人飛船和3名中國(guó)航天員送入太空這標(biāo)志著中國(guó)空間站任務(wù)轉(zhuǎn)

入建造階段后的首次載人飛行任務(wù)正式開啟.火箭在發(fā)射時(shí)會(huì)產(chǎn)生巨大的噪音，已知聲

音的聲強(qiáng)級(jí)d（x）（單位：dB）與聲強(qiáng)X（單位：WZm2）滿足d（x）=IOZg?θ?若人交

談時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)約為5048,且火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)與人交談時(shí)的聲強(qiáng)的比值約為IO9,則火

箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)約為（）

A.130dBB.140dβC.15QdBD.16OdB

6.（5分）如圖，在直三棱柱ABC-AIBiCl中，AA?^2AB=2AC,S.ABlAC,D,E分別

是棱BC,881的中點(diǎn)，則異面直線AiO與ClE所成角的余弦值是（）

7.（5分）為了激發(fā)同學(xué)們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，某學(xué)校開展利用數(shù)學(xué)知識(shí)設(shè)計(jì)log。的比賽，其

中某位同學(xué)利用函數(shù)圖象設(shè)計(jì)了如圖的log。，那么該同學(xué)所選的函數(shù)最有可能是()

M

A.f(x)=XSinΛ-cos]B.f(x)=SirLr-XCOSX

C.f(x)=Λ2+2COSXD.f(x)=2sinx+x2

8.(5分)若α∈(O,y),tan2a=_^sa,貝IJCOSa=()

√151√31

A.-----B.—C.—D.一

4422

9.(5分)已知函數(shù)f(X)=[l°92x,*'1在R上單調(diào)遞增的概率為士且隨機(jī)變量E~N

lx+f,x<l2

(〃，1).則P(0<ξ≤l)等于()

[附：若m~N(p,。2),則P(μ-。WxWμ+o)=0.6827,P(μ-2σ≤χ≤μ+2σ)-

0.9545.]

A.0.1359B.0.1587C.0.2718D.0.3413

10.(5分)在aABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為4,b,c,且“sin2B+加inA=0,

若aABC的面積S=g6,則4A8C面積的最小值為()

A.1B.12√3C.8√3D.12

X2y2

11.(5分)已知雙曲線C--r?=1(α>0,?>0)的右焦點(diǎn)為凡點(diǎn)A,B分別為雙

a2b2

曲線的左，右頂點(diǎn)，以AB為直徑的圓與雙曲線C的兩條漸近線在第一，二象限分別交

于P,Q兩點(diǎn)，若。。〃尸F(xiàn)(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，則該雙曲線的離心率為()

A.√5B.2C.√3D.√2

12.(5分)已知函數(shù)f(x),g(x),g(x)的定義域均為凡g'(X)為g(X)的導(dǎo)函數(shù).若

g(x)為偶函數(shù)，且f(x)+g,(x)=1,/(x)-g'(4-χ)=1.則以下四個(gè)命題：①

g'(2022)=0；②g(X)關(guān)于直線x=2對(duì)稱；③立腎f*)=2022；④E匿守fW=2023

中一定成立的是()

A.①④B.②③C.①②③D.①②?

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

X+y≥2

13.(5分)若X,y滿足約束條件X+2y≤4,則z=2χ-y的最大值是.

y≥0

14.（5分）杜甫的“三吏三別”深刻寫出了民間疾苦及在亂世中身世飄蕩的孤獨(dú)，揭示了

戰(zhàn)爭(zhēng)給人民帶來的巨大不幸和困苦.“三吏”是指《新安吏》《石壕吏》《潼關(guān)吏》，“三別”

是指《新婚別》《無(wú)家別》《垂老別》.語(yǔ)文老師打算從“三吏”中選二篇，從“三別”中

選一篇推薦給同學(xué)們課外閱讀，那么語(yǔ)文老師選的三篇中含《新安吏》和《無(wú)家別》的

概率是.

15.（5分）將函數(shù)/（x）=4CoSGX）的直線g（X）=X-I的所有交點(diǎn)從左到右依次記為4、

A2、…、A5.若尸點(diǎn)坐標(biāo)為（0,√3）,貝IIIPZ+P72+???+P75∣=

16.（5分）勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”、它能在：兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，

并且始終保持與兩平面都接觸、因此它能像球一樣來回滾動(dòng)（如圖甲），利用這一原理，

科技人員發(fā)明了轉(zhuǎn)子發(fā)動(dòng)機(jī).勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體

的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的相交部分圍成的幾何體，如圖乙所示，若正四面體ABC。的棱

長(zhǎng)為2,則勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為；用過A,B,C三點(diǎn)的平面

去截勒洛四面體，所得截面的面積為.

甲乙

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題，每

個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.

25

17.（12分）設(shè)數(shù)列｛αQ的前"項(xiàng)和為品，已知αι=-3,｛—2｝是公差為2的等差數(shù)列.

n

（1）求｛即｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)歷尸二一，求數(shù)列｛為｝前"項(xiàng)和7；”

anan+l

18.（12分）在多面體ABCDE中，平面ACDEl■平面ABC,四邊形ACDE為直角梯形，CD

//AE,AClAE,ABlBC,CZ）=I,AE=AC=2,尸為Z）E的中點(diǎn)，且點(diǎn)G滿足E?=4EG.

（1）證明：GF〃平面ABC；

（2）當(dāng)多面體ABCDE的體積最大時(shí)，求二面角A-BE-。的正弦值.

E

B

19.(12分)某企業(yè)研發(fā)了一種新藥，為評(píng)估藥物對(duì)目標(biāo)適應(yīng)癥患者的治療作用和安全性，

需要開展臨床用藥試驗(yàn)，檢測(cè)顯示臨床療效評(píng)價(jià)指標(biāo)A的數(shù)量＞■與連續(xù)用藥天數(shù)X具有

相關(guān)關(guān)系.隨機(jī)征集了一部分志愿者作為樣本參加臨床用藥試驗(yàn),并得到了一組數(shù)據(jù)(劉，

y,?),i=l,2,3,20,其中為表示連續(xù)用藥i天，》表示相應(yīng)的臨床療效評(píng)價(jià)指標(biāo)A

的數(shù)值.根據(jù)臨床經(jīng)驗(yàn)，剛開始用藥時(shí)，指標(biāo)A的數(shù)量y變化明顯，隨著天數(shù)增加，y

的變化趨緩.經(jīng)計(jì)算得到如下一些統(tǒng)計(jì)量的值：∑fθ1xi=60,∑fθ1%=1200,

22

∑f°ι(Xi-X)=80,∑f°1(yi-y)=9000,∑?°1(Xi-χ)(yι-y)≈800.

(1)求樣本(X,?,y)(Z=I,2,20)的相關(guān)系數(shù)(精確至Ij0.01)；

(2)新藥經(jīng)過臨床試驗(yàn)后,企業(yè)決定通過兩條不同的生產(chǎn)線每天8小時(shí)批量生產(chǎn)該商品，

其中第1條生產(chǎn)線的生產(chǎn)效率是第2條生產(chǎn)線的兩倍.若第1條生產(chǎn)線出現(xiàn)不合格藥品

的概率為0.009,第2條生產(chǎn)線出現(xiàn)不合格藥品的概率為0.006,兩條生產(chǎn)線是否出現(xiàn)不

合格藥品相互獨(dú)立.

(Z)隨機(jī)抽取一件該企業(yè)生產(chǎn)的藥品，求該藥品不合格的概率；

(")若在抽查中發(fā)現(xiàn)3件不合格藥品,求其中至少有2件藥品來自第1條生產(chǎn)線的概率.

附：相關(guān)系數(shù)r=幻(尢一.√2≈1.414.

J∑陶(XL幻(.-y)2

2?J1]y

20.(12分)“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動(dòng)，在我國(guó)源遠(yuǎn)流

長(zhǎng).某些折紙活動(dòng)蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，例如：用一張圓形紙片，按如下步驟折紙(如

步驟1：設(shè)圓心是E,在圓內(nèi)異于圓心處取一點(diǎn)，標(biāo)記為R

步驟2：把紙片折疊，使圓周正好通過點(diǎn)B

步驟3：把紙片展開，并留下一道折痕；

步驟4：不停重復(fù)步驟2和3,就能得到越來越多的折痕.

已知這些折痕所圍成的圖形是一個(gè)橢圓.若取半徑為6的圓形紙片，設(shè)定點(diǎn)F到圓心E

的距離為4,按上述方法折紙.

(1)以點(diǎn)F、E所在的直線為X軸，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求折痕圍成的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若過點(diǎn)0)且不與y軸垂直的直線/與橢圓C交于M,N兩點(diǎn)，在X軸的正

半軸上是否存在定點(diǎn)TC,0),使得直線TM,3斜率之積為定值？若存在，求出該定

點(diǎn)和定值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)-ex(?+mlnχ},其中〃i>0,f'(x)為/(x)的導(dǎo)函數(shù).

(1)當(dāng)根=1,求f(x)在點(diǎn)(1,7(D)處的切線方程；

(2)設(shè)函數(shù)依)=曹，且九(%)≥f恒成立.

①求，”的取值范圍；

②設(shè)函數(shù)/(X)的零點(diǎn)為X0，f(X)的極小值點(diǎn)為XI，求證：xo>x∣.

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

22.(10分)在平面直角坐標(biāo)Xoy中,曲線C的參數(shù)方程為■為參數(shù)，∕∈R),

以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為PCOS(O+

兀、3

3)=^2-

(1)求曲線C的普通方程;

(2)若曲線C與直線/交于A,B兩點(diǎn)，求AAOB的面積.

［選修4-5：不等式選講］

23.已知關(guān)于X的不等式∣x+l∣2Q2∣+∣f-3∣有解.

(1)求實(shí)數(shù)f的最大值M；

(2)在(1)的條件下，已知a,b,C為正數(shù)，且αbc=2√5”,求(α+6)?+02的最小

值.

2023年山西省渭南市高考數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

I.(5分)已知集合A={-l,1,2,4},B=Uk2-2x≤0},則ACB=()

A.{-?,2}B.{1,2}C.(I,4}D.{-1,4}

【解答】解：集合A={-l,1,2,4},β={xk2-2Λ≤0}={Λ∣0≤X≤2},

則ACB={1,2}.

故選：B.

2.(5分)設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足z?(l+2i)=|-3+4/1，貝IJZ的虛部是()

A.2B.2iC.-2D.-2/

【解答】解：:z?(l+2i)=|-3+4i∣,

?.o、_<B∏55(l-2i)5(l-2i)_

?.z?(l+2,)-5,即Z=TTWfm==1-2ι,

???z的虛部是-2.

故選：C.

3.(5分)已知向量］=(1,2)，b=(mf2—m),若Qj_b,則Ibl=()

A.√3B.2√5C.2√3D.20

【解答】解：由a_Lb,得"z+4-2m=0,則機(jī)=4,即匕=(4,—2),

所以Ibl=J4?+(-2)2=2√5.

故選：B.

4.(5分)已知拋物線)，=9,則它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(0,?)B.(?,0)C.(1,0)D.(0,1)

2C

【解答】解：Y拋物線y=手r可化為x2=4y,

...焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,1),

故選：D.

5.(5分)2022年6月5日上午10時(shí)44分，我國(guó)在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心使用長(zhǎng)征二號(hào)F運(yùn)

載火箭，將神舟十四號(hào)載人飛船和3名中國(guó)航天員送入太空這標(biāo)志著中國(guó)空間站任務(wù)轉(zhuǎn)

入建造階段后的首次載人飛行任務(wù)正式開啟.火箭在發(fā)射時(shí)會(huì)產(chǎn)生巨大的噪音，已知聲

2

音的聲強(qiáng)級(jí)d(x)(單位：dB)與聲強(qiáng)X(單位：WZm)滿足d(x)=IOZ5??.若人交

談時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)約為50dB,且火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)與人交談時(shí)的聲強(qiáng)的比值約為IO9,則火

箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)約為()

A.13(WBB.14OdBC.150D.16(WB

【解答】解：設(shè)人交談時(shí)的聲強(qiáng)為XI，則火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)為1()9A

則50=IOlgCn,解得：Xl=10-7,

10

2

則火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)為Iθ9χi()-7=]o2,將其代入人切=10勾信7中，得：d(10)=

IO2

10句/t?=14(Wb

故火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)約為14(WB?

故選：B.

6.（5分）如圖，在直三棱柱ABC-AIBICl中，AAi=2AB=2AC,SLABVAC,D,E分別

是棱BC,BBI的中點(diǎn)，則異面直線4。與CIE所成角的余弦值是()

√30

D.——

6

【解答】解：在直三棱柱ABC-AiBiCi中，ABlAC,：.AB,AC,44∣兩兩垂直,

以點(diǎn)A為原點(diǎn)，分別以AB,AC,AAl所在直線為X軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)

系，如圖所示：

由AAI=2AB=2AC,設(shè)AB=AC=1,AAI=2,

則A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),Al(0,0,2),B?(1,0,2),Ci(0,

1,2),

11

VD,E分別是棱BC,BBi的中點(diǎn),：.D(-,一，0),E(1,0,1),

22

Tll→

??A1D=(5，—,-2),CIE=(L-L-1),

4；D￡：E_4T+2_4_4√6_2√6

.β?CoSv4iD,(?E>=

?A[D??C[E?Ji÷i+4×√1+1+13屈18"

.?.異面直線4D與CiE所成角的余弦值是乎.

故選：A.

7.(5分)為了激發(fā)同學(xué)們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，某學(xué)校開展利用數(shù)學(xué)知識(shí)設(shè)計(jì)log。的比賽，其

中某位同學(xué)利用函數(shù)圖象設(shè)計(jì)了如圖的log。，那么該同學(xué)所選的函數(shù)最有可能是()

M

A.f(x)=xsinx-CosxB.f(x)=SirLr-XCOSX

C.f(x)=X2+2COSXD.f(X)=2siar+x2

【解答】解：將圖形置于直角坐標(biāo)系中，如圖所示:

由圖易知該函數(shù)為偶函數(shù)，

對(duì)于選項(xiàng)8,滿足/(x)=-siιu+xcosx=-/(x),即/(元)為奇函數(shù)，故可排除;

對(duì)于選項(xiàng)Q,滿足f(-x)=-2SinX+/,即/(x)為非奇非偶函數(shù)，故可排除；

對(duì)于選項(xiàng)C,/(K)=2χ-2si∏Λ,

令g(x)=f(x)=2x-2sirιv,所以g(X)=2-2COSX20在(0,÷o0)恒成立，

所以7(x)=2χ-2SinX在(0,+∞)單調(diào)遞增，

所以/(X)>f(0)=0在(0,+8)恒成立，

即/(x)=X2+2CoSX在(0,+∞)單調(diào)遞增，故排除；

故選：A.

8.(5分)若α∈(0，5),tan2a=.—,貝IJCOSa=)

1

√151CY-

B."D.2

42

siτι2α_2si?IaCOSa_CoSa

【解答】解:tan2α=

cos2a-l-2sin2a-2-sina'

?.?α∈(0,分

Λ2sinα(2-sinα)=?-2sin2a,

9.(5分)已知函數(shù)/(x)=在R上單調(diào)遞增的概率為M且隨機(jī)變量f~N

(u,I).則P(O<ξ≤I)等于()

［附：若t~N(μ,。2),則尸(μ-。≤χ≤μ+σ)=0.6827,P(μ-2?！躼≤μ+2σ)=

0.9545.J

A.0.1359B.0.1587C.0.2718D.0.3413

【解答】解：使/（X）在R上單調(diào)遞增的充要條件是計(jì)IWIOg21=0,即WW-I,故PW≤

由于隨機(jī)變量，則〃=-1,即μ=-l,0=1.

故P(-2WEWO)=P(μ-。≤ξ≤μ+σ)=0.6827,P(-3≤ξ≤l)=P(H-2。

≤μ+2σ)=0.9545,

所以P(0≤ξ≤l)=P(-l<ξ≤l)-P(-l≤ξ≤0)=?×[P(-3≤ξ≤l)-P(-2≤

f≤0)]=?×(0.9545-0.6827)=0.1359.

故選：A.

10.(5分)在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為α,b,c,且〃sin23+加inA=0,

若aABC的面積S=√5b,則aABC面積的最小值為()

A.1B.12√3C.8√3D.12

【解答】解：Vasin2B+?sinA=0,EP2asinBcosB+?sinA=0,

17TT

由正弦定理得2abcosB+ab=0,：?COSB=-,B=-?.

ΛS=TzacsinB=-τ-ac=V36,ac=4h.

Z4

由余弦定理得CosB==-1

-七Zac、2

∕?tz2+c2-b2=~ac,即a2+c2=b2-ac—?4—ac,

16

又〃2+。222〃。(當(dāng)且僅當(dāng)。=C時(shí)取等號(hào)).

a2c2

:?-------ac^2acf解得αc248,

ΛS=^αc≥12√3（當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào)）.

故選:B.

%V

11.（5分）已知雙曲線C：--r-=l（>0,b>0）的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A,B分別為雙

α2bza

曲線的左，右頂點(diǎn)，以AB為直徑的圓與雙曲線C的兩條漸近線在第一，二象限分別交

于P,Q兩點(diǎn)，若OQ〃PF（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則該雙曲線的離心率為（）

A.√5C.√3D.√2

【解答】解：如圖所示，因?yàn)镺Q〃PF,所以NAOQ=∕OFP,

又因?yàn)殡p曲線的漸近線關(guān)于y軸對(duì)稱，

所以N尸OP=NAoQ,則NOFP=N尸。P,

所以AOPF為等腰三角形，

作PMLOF,垂足為M,過8作8CX軸，交漸近線第一象限部分于點(diǎn)

貝IJRtZ?0MPSRt^O8O,

11

?OB?=a,?BD?=b,?0M?=^?OF?=?e,

?OP?=a,IPM=√∣0P∣2-∣0O∣2=Ja2

由三角形相似的性質(zhì)可得黑=解,

整理可得C?4=4a4,

12.(5分)已知函數(shù)f(x),g(x),g'(x)的定義域均為R,g'(x)為g(X)的導(dǎo)函數(shù).若

g(X)為偶函數(shù)，且f(%)+g'(x)=1,/(x)-g'(4-x)=L則以下四個(gè)命題：①

(2022)=0；②g(x)關(guān)于直線x=2對(duì)稱；③萬(wàn)腎f(k)=2022；④&腎/(幻=2023

中一定成立的是()

A.①④B.②③C.①②③D.①②?

【解答】解：對(duì)②:由朦?+噌=：/可得戈(解=-g'(4-χ),則g(x)+Ci

l∕(x)-g(4-x)=1

=g(4-χ)+C2(。與C2為常數(shù))，

令x=2,貝IJg(2)+Cι=g(2)+C2,所以C1=C2,則g(x)=g(4-χ),

故g(x)關(guān)于直線x=2對(duì)稱，②正確；

對(duì)①：?.?g(X)為偶函數(shù)，則g(Λ)=g(-X),

.,.g'(x)=-g'C-x),則g(x)為奇函數(shù)，

故g'(x)=-g'(4-x)=g'(x-4),即g'(x+4)=g'(x),則g'(x)是以4為周期的

周期函數(shù)，

由g'(x)=-g'(4-x),令X=2,則gl(2)=-g'(2),可得g'(2)=0,

故g'(2022)=g'(2)=0,①正確；

由g'(x)=-g'(4-χ),令x=l,則J(1)=-g'(3),即g'(1)+g'(3)=0,

令X=0,則g'(0)--g'(4)=0,即g'(4)=0,

故g,⑴+〉(2)+g'(3)+g'(4)=0,則g'(4&+1)+g'(以+2)+g'(4t+3)+g'⑷+4)

=0(?∈N),

2

對(duì)③：由/(x)+gYx)=1,即/(x)=1-g(x),則￡浮/(∕C)=?≡2[l-√(fc)]=

2022-萬(wàn)腎g,(Q=2022—0(1)+或2)]=2022-√(1),

由于無(wú)法得出g'(1)的值，③錯(cuò)誤；

3

對(duì)④：Σ匿/(fc)=∑≡3[l-√(k)]=2023-∑^g'(k)=2023-[g<l)+

g'(2)+g'(3)]=2023,④正確：

故選：D.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

儼+y≥2

13.(5分)若X,y滿足約束條件％+2y≤4,則z=2x-v的最大值是8.

(y≥0

由圖可知，當(dāng)G,y)取點(diǎn)C(4,0)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=2χ-y取得最大值，且最大值為

8.

故答案為：8.

14.(5分)杜甫的“三吏三別”深刻寫出了民間疾苦及在亂世中身世飄蕩的孤獨(dú)，揭示了

戰(zhàn)爭(zhēng)給人民帶來的巨大不幸和困苦.“三吏”是指《新安吏》《石壕吏》《潼關(guān)吏》，“三別”

是指《新婚別》《無(wú)家別》《垂老別》.語(yǔ)文老師打算從“三吏”中選二篇，從“三別”中

選一篇推薦給同學(xué)們課外閱讀，那么語(yǔ)文老師選的三篇中含《新安吏》和《無(wú)家別》的

概率是-.

-9-

【解答】解：將《新安吏》《石壕吏》《潼關(guān)吏》分別記為。、b、c,《新婚別》《無(wú)家別》

《垂老別》分別記為d、e、f,

從"三吏"中選兩篇，從"三別"中選一篇的樣本空間為Q={MΛabe,abf,cιcd,ace,

acf,bed,bee,bcf],共9個(gè)樣本點(diǎn)，

記事件A為''語(yǔ)文老師選的三篇中含《新安吏》和《無(wú)家別》”，

貝∣]A={α加,ace},共2個(gè)樣本點(diǎn),故P(A)=1

故答案為：--

9

15.(5分)將函數(shù)∕Q)=4cos(Jx)的直線g(x)=X-I的所有交點(diǎn)從左到右依次記為4、

A2、…、A5，若尸點(diǎn)坐標(biāo)為(0,√3),則應(yīng)、+P京+…+PZ∣=10

【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=4CoScX)關(guān)于點(diǎn)(1'0)對(duì)稱，

又直線g(x)—X-1的對(duì)稱點(diǎn)也為(1,0),

則函數(shù)f(X)=4cosgx)的直線g(x)=χ-I的所有交點(diǎn)從左到右依次記為Ai、42、…、

&，

即A3為(110),4與As,A2與4都關(guān)于點(diǎn)擊對(duì)稱，

又P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,√3),

所以屬+PA2+PA3+PAi+PA5=5PA3=(5,-5√3),

所以∣P%+P^2+…+PZI=Js2+(-5√3)2=10,

故答案為：10.

16.(5分)勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”、它能在：兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，

并且始終保持與兩平面都接觸、因此它能像球一樣來回滾動(dòng)(如圖甲)，利用這一原理,

科技人員發(fā)明了轉(zhuǎn)子發(fā)動(dòng)機(jī).勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體

的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的相交部分圍成的幾何體，如圖乙所示，若正四面體ABC。的棱

長(zhǎng)為2,則勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為」-竽_；用過A,B,C三點(diǎn)的平

面去截勒洛四面體，所得截面的面積為2π-2√3.

甲乙

【解答】解：根據(jù)題意，勒洛四面體能夠容納的最大球與勒洛四面體的弧面相切，

如圖1,其中點(diǎn)E為該球與勒洛四面體的一個(gè)切點(diǎn)，。為該球球心，

所以，由四面體的性質(zhì)可知該球球心。為正四面體A8CZ）的中心，半徑為OE,

連接BE,則B,E,。三點(diǎn)共線，此時(shí)BE=2,BO為正四面體的外接球的半徑，

由于正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2,其可以在棱長(zhǎng)為立的正方體中截出，

所以正四面體ABCO的外接球的半徑為棱長(zhǎng)√Σ的正方體的外接球半徑，即正方體體對(duì)角

線的一半，

所以BO=苧，則勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑0E=2-冬

根據(jù)勒洛四面體的構(gòu)成可知，過A,B,C三點(diǎn)的截面面積為3個(gè)半徑為2,

圓心角為60°的扇形的面積減去兩個(gè)邊長(zhǎng)為2的正三角形的面積，

所以所得截面的面積為2π-2√3,

故答案為：2-孚;2π-2√3.

圖1圖2

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題，每

個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.

17.(12分)設(shè)數(shù)列｛4,,｝的前"項(xiàng)和為S,已知0=-3,｛泡｝是公差為2的等差數(shù)列.

n

(1)求｛〃〃｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)bn=—，求數(shù)列｛與｝前n項(xiàng)和Tn.

α∏αn+l

【解答】解：(I)???｛華｝是公差為2的等差數(shù)列，且牛=等=一6,

:?--=—6+2(〃-1)=2〃-8,

n

2

.?Sn=n-4〃，

z2

當(dāng)時(shí)，an=Sn-Sn-↑=n-4n-Gi-1)+4(^-1)=2∏-5,

當(dāng)〃=1時(shí)，Ql=-3也滿足-5,

??Cln~~2〃-5?

(2)?'an=2π-5,.?an+[=2(n+l)-5=2〃-3,

.11IIl

?即/ι+ι—(2n-5)(2n-3)-2(2n-5^2n-3^

ill111I1111I

：?Tn=?[(---)+(--)x+.........+(-------------------)]=?-?-5-?]=

2l-3-1-11132n-52n-32l32n-3j

n

9?:6Π-

18.(12分)在多面體48Cz)E中，平面ACoE_L平面ABC,四邊形ACDE為直角梯形，CD

//AE,ACLAE,AB±BC,CO=I,AE=AC=2,尸為OE的中點(diǎn)，且點(diǎn)G滿足F?=4EG.

(1)證明：GF〃平面A8C；

(2)當(dāng)多面體ABeOE的體積最大時(shí)，求二面角A-BE-。的正弦值.

B

【解答】（1）證明：取AB,EB中點(diǎn)M,N,連接CM,MN,ND,

1

在梯形ACDE中，C?！ˋE且DC=尹A,

而M,N分別為54,BE中點(diǎn),

C.MN∕∕EA,MN=W1EA,

：.MN//CD,MN=CD,即四邊形CfWM是平行四邊形，：.CM〃DN,

TIT

又EG"EB,N為EB中點(diǎn)、,

4-

.?.G為EN中點(diǎn)，又尸為EC中點(diǎn)，

J.GF//DN,故GF〃CM,

XCMc5FffiABC,GFC平面ABC,二GF〃平面ABC.

(2)解：在平面ABC內(nèi)，過B作LAC交AC于從

平面ACOE_L平面ABC,平面ACQErl平面ABC=AC,84U平面ABcBHlAC,

：.BHl.平面ACDE,則為四棱錐B-ACDE的高，

又底面ACnE面積確定，要使多面體ABCnE體積最大，即最大，

此時(shí)AB=BC=√Σ,BH=I,，為AC的中點(diǎn)，

連結(jié)”尸，易得HF〃AE,易知"B,HC,兩兩垂直，

以H為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系H-xyz,

ΛΛ(0.-1,0),B(1,0,0),E(0,-1,2),D(0,1,1),

則??=(1,1,0),BE=(-1,-1,2),DE=(0,-2,1),

設(shè)∏ι=(%ι,y1,Zl)為平面4BE的一個(gè)法向量,

則ETf=。，印以：？為：2zi=(r取血=(1，。)，

（n1?BE—O

設(shè)?22=（%2，丫2，2?）為平面O3E的一個(gè)法向量,

則他?"=o,

：；取電=（，）

即-%_2+22=0,3,12,

,n2?BE=O

二面角A-BE-D的正弦值為Jl-CoS2(叫，電)=Jl-?=4^.

19.(12分)某企業(yè)研發(fā)了一種新藥，為評(píng)估藥物對(duì)目標(biāo)適應(yīng)癥患者的治療作用和安全性,

需要開展臨床用藥試驗(yàn)，檢測(cè)顯示臨床療效評(píng)價(jià)指標(biāo)A的數(shù)量y與連續(xù)用藥天數(shù)X具有

相關(guān)關(guān)系.隨機(jī)征集了一部分志愿者作為樣本參加臨床用藥試驗(yàn),并得到了一組數(shù)據(jù)(為，

?),i=?,2,3,20,其中即表示連續(xù)用藥，天，y表示相應(yīng)的臨床療效評(píng)價(jià)指標(biāo)A

的數(shù)值.根據(jù)臨床經(jīng)驗(yàn)，剛開始用藥時(shí)，指標(biāo)A的數(shù)量＞?變化明顯，隨著天數(shù)增加，y

的變化趨緩.經(jīng)計(jì)算得到如下一些統(tǒng)計(jì)量的值：∑fθι看=60,∑fθ1%=1200,

22

Σ幽(χi-χ)=80,￡幽(yi-y)=9000,∑?°1(Xi—χ)(yi-y)=800.

(I)求樣本(x,?,γ,)(z=l,2,20)的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；

(2)新藥經(jīng)過臨床試驗(yàn)后,企業(yè)決定通過兩條不同的生產(chǎn)線每天8小時(shí)批量生產(chǎn)該商品，

其中第1條生產(chǎn)線的生產(chǎn)效率是第2條生產(chǎn)線的兩倍.若第1條生產(chǎn)線出現(xiàn)不合格藥品

的概率為0.009,第2條生產(chǎn)線出現(xiàn)不合格藥品的概率為0.006,兩條生產(chǎn)線是否出現(xiàn)不

合格藥品相互獨(dú)立.

(i)隨機(jī)抽取一件該企業(yè)生產(chǎn)的藥品，求該藥品不合格的概率；

(ii)若在抽查中發(fā)現(xiàn)3件不合格藥品,求其中至少有2件藥品來自第1條生產(chǎn)線的概率.

附：相關(guān)系數(shù)r=-LEg-(N等)(％T),，√2≈1.414.

J∑%(々一)E2(y1-y)

【解答】解：(1)由題意得L=繆≈o.94,

√80×90003

故樣本(劉，ν)(i=l,2,20)的相關(guān)系數(shù)為0.94；

(2)(Z)記事件A=｛隨機(jī)抽取一件該企業(yè)生產(chǎn)的藥品為不合格｝,事件B=｛隨機(jī)取一件

藥品為第1條生產(chǎn)線生產(chǎn)｝,事件C=｛隨機(jī)取一件藥品為第2條生產(chǎn)線生產(chǎn)｝,Y第1條

生產(chǎn)線的生產(chǎn)效率是第2條生產(chǎn)線的兩倍，

7ι

則P(B)=會(huì)尸(C)=最

又第1條生產(chǎn)線出現(xiàn)不合格藥品的概率為0.009,第2條生產(chǎn)線出現(xiàn)不合格藥品的概率為

0.006,兩條生產(chǎn)線是否出現(xiàn)不合格藥品相互獨(dú)立，

：.P(A∣B)=0.009,P(AlC)=0.006,

：.P(A)=P(Λ∩(BUC))=P(ABUAC)=P(AB)+P(AC)=P(B)P(A∣β)

21

+P(C)P(AIe)=×0.009+^×0.006=0.008,

故隨機(jī)抽取一件該企業(yè)生產(chǎn)的藥品，求該藥品不合格的概率俄日0.008；

(M)由⑴得P(8)=∣,P(C)=1,P(A∣β)=0.009,P(AIC)=0.006,P(A)

=0.008,

???在抽查中發(fā)現(xiàn)的任一件不合格藥品來自第一條生產(chǎn)線的概率為P(BIA)=4黑=

P(B)PG4田)_∣x0.009_3

-P(A)-=0.008=4,

在抽查中發(fā)現(xiàn)3件不合格藥品,其中至少有2件藥品來自第1條生產(chǎn)線的概率為P=Ci-

301C3227

..+C?”?=32-

20.(12分)“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動(dòng)，在我國(guó)源遠(yuǎn)流

長(zhǎng).某些折紙活動(dòng)蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，例如：用一張圓形紙片，按如下步驟折紙(如

步驟1：設(shè)圓心是E,在圓內(nèi)異于圓心處取一點(diǎn)，標(biāo)記為R

步驟2：把紙片折疊，使圓周正好通過點(diǎn)R

步驟3：把紙片展開，并留下一道折痕；

步驟4：不停重復(fù)步驟2和3,就能得到越來越多的折痕.

已知這些折痕所圍成的圖形是一個(gè)橢圓.若取半徑為6的圓形紙片，設(shè)定點(diǎn)F到圓心E

的距離為4,按上述方法折紙.

(1)以點(diǎn)AE所在的直線為X軸，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求折痕圍成的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若過點(diǎn)Q(1,0)且不與)，軸垂直的直線/與橢圓C交于M,N兩點(diǎn)，在X軸的正

半軸上是否存在定點(diǎn)T(30),使得直線襁，TTV斜率之積為定值？若存在，求出該定

點(diǎn)和定值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【解答】解：(1)如圖，以尸E所在的直線為X軸，F(xiàn)E的中點(diǎn)。為原點(diǎn)建立平面直角坐

標(biāo)系，

設(shè)M(JGy)為橢圓上一點(diǎn)，由題意可知，IMfl+1MEl=IAE=6>∣ER=4,

所以M點(diǎn)軌跡是以F,E為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2α=6的橢圓，

因?yàn)?c=4,2(2=6,所以c=2,α=3,

%2y2

則h2=a1-￠2=5,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為B+γ=1；

(2)由已知：直線/過。(1,0),設(shè)/的方程為x=my+l,由題意，"必定是存在的,

χ2y2

聯(lián)立兩個(gè)方程得百+虧=1,消去X得(5m2+9)y2+10my-40=0,

X=my+1

Δ=IOOm2+160(5∕W2+9)>0得m∈R,

設(shè)M(xi，yι),N(%2，>2)，

r∏∣∣,—10m—40/火、Ij'1及

則%+丁2=五百萬(wàn),%丫2=百西ξ(*),kTM-kTN=---=

__________________=____________yι∑2___________

2-+-t2

(my1+l-t)(my2+l-1)my1y2+^(l0(7i+y2)ɑ)

將(*)代入上式，可得上式可得MW?標(biāo)V=I__T---------2>

5(t2-9)m2+9(l-t)

要使k7"∕τw為定值，則有9-r2=0,l2=9,

1n

又?.?f>0,.i=3,此時(shí)krM?k7w=-詈，

.??存在點(diǎn)7(3,0),使得直線TTW與TN斜率之積為定值-岑；

X2V2

綜上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為w+、=1,存在點(diǎn)T(3,0),使得直線TM與TTV斜率之積

為定值-當(dāng).

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=，{?+mlnχ},其中∕n>0,/(x)為/(x)的導(dǎo)函數(shù).

(1)當(dāng)機(jī)=1,求f(x)在點(diǎn)(1,/(D)處的切線方程;

(2)設(shè)函數(shù)∕ι(x)=警,且∕ι(x)＞施成立.

①求m的取值范圍：

②設(shè)函數(shù)/(X)的零點(diǎn)為XO,f(X)的極小值點(diǎn)為XI，求證：xo>x∣?

1

【解答】解：(1)in=1時(shí)，/(x)=ex(l+Inx),∕z(x)=ex(l+Inx+-),∕,(1)=

2e,/(1)=e,

所以函數(shù)在x=l處的切線方程y-e=2e(X-1),即y=2ex-e.

(2)①由題設(shè)知，∕z(x)=βx(l+γ÷m∕nx)(x>0),

.、f,(x).,m,..,,?m(x-l),、八、

ft(zx)=R=1+?÷minx,h(%)=—~^(X>0),

由(%)>0,得x>l,所以函數(shù)。(x)在區(qū)間(1,+8)上是增函數(shù)；

由(?)>0,得OVXV1,所以函數(shù)〃(外在區(qū)間(0,1)上是減函數(shù).

故〃G)在x=l處取得最小值，且〃(1)=1+∕∏.

??Q

由于h(%)≥2恒成立，所以l+τn≥2,得?n≥,,

所以〃Z的取值范圍為層，+∞);

證明：②設(shè)g(%)=尸(X)=ex(l+，+minx),則g'(x)=βx(l+矍一￡+minx).

設(shè)H(%)—1H——------+τπ7?IX(%>0),

則H，Q)=_gl+答+?=阿+產(chǎn)+2)>0,

故函數(shù)”(x)