XX版設(shè)備故障診斷信號分析4

XX版設(shè)備故障診斷信號分析-42024/3/11XX版設(shè)備故障診斷信號分析41、短時傅里葉變換

（1）短時傅立葉變換原理短時傅立葉變換是研究非平穩(wěn)信號最廣泛使用的方法。假定我們聽一段持續(xù)時間為1h的音樂，在開始時是有小提琴，而在結(jié)束時有鼓。如果用傅立葉變換分析整個1h的音樂，傅立葉頻譜將表明對應(yīng)小提琴和鼓的頻率的峰值。頻譜會告訴我們有小提琴和鼓，但不會給我們小提琴和鼓什么時候演奏的任何表示。最簡單的做法是把1h劃分成每5min一個間隔，并用傅立葉變換分析每一個時間間隔。在分析每一個時間間隔時，就會看到小提琴和鼓出現(xiàn)在哪個5min間隔。如果要求更好的局部化，那就把這1h劃分成1min一個間隔，甚至更小的時間間隔，再用傅立葉變換分析每一個間隔。這就是短時傅立葉變換的基本思想：把信號劃分成許多小的時間間隔，用傅立葉變換分析每一個時間間隔，以確定在哪個時間間隔存在的頻率，這些頻譜的總體就表現(xiàn)了頻譜在時間上是怎樣變化的。2024/3/112XX版設(shè)備故障診斷信號分析4

為了研究信號在時刻t的特性，人們加強在那個時刻的信號而衰減在其它時刻的信號。這可以通過用中心在t的窗函數(shù)h（t）乘信號來實現(xiàn)。產(chǎn)生的信號是：

xt（）=x（）h（-t）改變的信號是兩個時間函數(shù)，即所關(guān)心的固定時間t和執(zhí)行時間。窗函數(shù)決定留下的信號圍繞著時間t大體上不變，而離開所關(guān)心時間的信號衰減了許多倍，也就是

2024/3/113XX版設(shè)備故障診斷信號分析4

因為改變的信號加強了圍繞著時刻t的信號，而衰減了遠離時刻t的信號，傅立葉變換將反映圍繞著t時刻的頻譜，即

對于每一個不同的時間，都可以得到一個不同的頻譜，這些頻譜的總體就是時頻分布Psp（t，f）。我們關(guān)心的是分析圍繞著時刻t的信號，所以選擇一個圍繞著t具有峰值的窗函數(shù)。這樣就可以在t時刻附近得到一個短持續(xù)時間信號，其傅立葉方程（上式）叫做短時傅立葉變換。下式確定的Psp（t，f）函數(shù)曲面圖叫時頻分布圖。2024/3/114XX版設(shè)備故障診斷信號分析4下圖為鯨魚發(fā)出的聲音表示。畫在主圖左邊的曲線是鯨魚聲音信號的時域波形，它清楚地告訴我們鯨魚聲強度或者響度怎樣隨時間而變化。在主圖下面的曲線是能量譜密度，即傅立葉變換的絕對值平方。它表明哪些頻率存在，以及它們的相對強度有多大。

這個聲音的頻譜告訴我們頻率范圍大約從175Hz到325Hz。這個信息是有意義而且重要的，但是根據(jù)這個頻譜告訴無法知道這些頻率什么時候存在。例如，不可能通過觀察頻譜確切知道300Hz聲音在什么時候產(chǎn)生，或者產(chǎn)生這個聲音的總持續(xù)時間，或產(chǎn)生了多少次。主圖反映了信號能量的時間頻率聯(lián)合分布密度，由此就可以確定作為時間進程的強度。這使我們能夠了解各個時刻發(fā)生的情況：2024/3/115XX版設(shè)備故障診斷信號分析4頻率大約從175Hz開始，大體上在0.5s左右的時間內(nèi)線性地增加到大約325Hz，然后停在那里約0.1s的時間，等等。作為對300Hz聲音什么時候出現(xiàn)這個問題的回答，現(xiàn)在從圖中可以知道在0.6s和1.3s出現(xiàn)兩次。2024/3/116XX版設(shè)備故障診斷信號分析4

另外，在現(xiàn)實生活和工程實際中許多信號是暫態(tài)信號(非穩(wěn)態(tài)信號)、其統(tǒng)計特性與時間有關(guān)．如語言信號、雷達信號、超聲波信號等，這些信號不滿足傅氏變換所要求的條件。傅立葉變換公式獲得信號頻譜信息需要無限長的時間，即不僅需要過去而且需要將來的時間信號去估計一個單一頻率的頻譜。另外，傅立葉變換式不能反映與時間變量有關(guān)的頻率信息。除此之外、非穩(wěn)態(tài)信號很可能在一個短時瞬間發(fā)生變化．即具有很強的時間局部性，并對整個頻譜產(chǎn)生影響，很難從信號的頻譜上確認這種時域內(nèi)的瞬時變化的存在及其確切的頻率信息。也就是說其傅氏變換的結(jié)果既不能有效地提供暫態(tài)信號的頻域信息．也不能揭示暫態(tài)信號的時間特性。因此．暫態(tài)信號很難用傅氏變換進行分析。2024/3/117XX版設(shè)備故障診斷信號分析4

下圖a所示為一白噪聲信號中夾雜一個脈沖信號。二者分別為典型的穩(wěn)態(tài)信號和暫態(tài)信號。該信號的頻譜如圖b所示。很難在頻譜中看出脈沖信號的存在，這是因為白噪聲信號是均勻的寬帶頻譜，而脈沖信號也具有寬帶特性．只不過是其帶寬取決于脈沖信號的作用時間。

可采用“短時傅立葉變換”來對暫態(tài)信號進行分析。窗函數(shù)w(t)在整個信號上沿時間平移并且完成了連續(xù)重疊變換時，就可以得到與時間有關(guān)的信號頻譜的描述。圖9-2所示為STFT的連續(xù)重疊加窗示意圖。該方法假定在一個有限的時窗w(t)內(nèi)信號是穩(wěn)態(tài)的．若時窗相當短，則假定應(yīng)是成立的。將這些變換結(jié)果按時間順序排列在時間軸上就得到了信號的時頻描述(分布)，這種描述稱之為信號的“頻圖”2024/3/118XX版設(shè)備故障診斷信號分析42024/3/119XX版設(shè)備故障診斷信號分析4圖2STFT滑動示意圖2024/3/1110XX版設(shè)備故障診斷信號分析4

這樣，就可以在時頻表面得到一個信號能量的三維分布。這種分布類似于功率譜是信號能量在頻率軸上的二維分布。這種信號的分析方法就稱之為信號的時頻分析。

2024/3/1111XX版設(shè)備故障診斷信號分析4（2）測不準原理

時間-帶寬乘積定理，即測不準原理，是傅立葉變換對之間互相制約的關(guān)系表述。它在聯(lián)合時頻分析的討論、抽象及其他方面起著重要的作用。在信號分析中，測不準原理就是一個眾所周知的數(shù)學事實：窄波形產(chǎn)生寬頻譜，寬波形產(chǎn)生窄頻譜，時間波形和頻率頻譜不可能同時使其任意窄。

2024/3/1112XX版設(shè)備故障診斷信號分析4

（3）短時傅立葉變換的特點一方面，為了獲取信號的短時傅立葉變換，把信號劃分成許多小的時間間隔，但這種間隔是否越細越好？回答是否定的。因為在變窄到一定程度之后，得到的頻譜就變得沒有意義，而且表明與原信號的頻譜完全不相符。原因在于把一個完全好得信號劃分成短持續(xù)時間信號。但是，短持續(xù)時間信號有固有的寬頻帶，而這樣的短持續(xù)時間信號幾乎與原信號的特性沒有關(guān)系。另一方面，為了獲取高的頻率分辯率，采用寬時窗做信號的短時傅立葉變換。但是，加大時窗寬度是與短時傅立葉變換的初衷相背的，因為它丟失非平穩(wěn)信號中小尺度短信號的時間局部信息。2024/3/1113XX版設(shè)備故障診斷信號分析4

由此可見，短時傅立葉變換由于采用固定窗，當非平穩(wěn)信號中所含信號分量尺度范圍很大時，采用多大的時窗寬度都無法正確揭示信號的時頻譜，這是由于測不準原理對采用固定窗的短時傅立葉變換方法的制約。

盡管有上述困難，但短時傅立葉變換方法在許多方面是理想的。它的意義是明確的，基本合理的物理原理，而且對于許多信號和情況，它給出了與我們的直觀感知相符的極好的時頻構(gòu)造。

2024/3/1114XX版設(shè)備故障診斷信號分析4（4）存在問題

“短時博氏變換”方法雖然很早就被提出，但由于具有若干局限性，限制了這種方法在工程中的廣泛應(yīng)用。以下從三個方面對其局限性進行分析。

2024/3/1115XX版設(shè)備故障診斷信號分析4

窗函數(shù)選擇的限制對一個待定的信號來說，一個特定的窗可能比所有其他的窗都更為合適、即具有較好的分析精度。但若一個信號是由兩個信號構(gòu)成，就有可能每一個信號都要求有自己的窗才能有最好的分析精度。很顯然，僅有一個窗用于這兩個信號是很難獲得最佳分析精度的。如圖9-5a所示為一合成信號．是兩個頻率分別為64Hz相194Hz的兩個正弦信號的合成。圖9-5b是一個頻率為128Hz的正弦信號，但有一個64個采樣點的間隙。2024/3/1116XX版設(shè)備故障診斷信號分析42024/3/1117XX版設(shè)備故障診斷信號分析42024/3/1118XX版設(shè)備故障診斷信號分析4

圖9-6、圖9-7均為上述兩個信號的STFT分析結(jié)果，其中圖a為窗函數(shù)具有128個采樣點寬度的分析結(jié)果，圖b為窗函數(shù)具有32個采樣點寬度的分析結(jié)果。由分析結(jié)果可見．當窗函數(shù)的寬度較大．為128個采樣點時，對圖9-5a所示的兩個正弦信號的合成信號具有較好的頻域分辨率，即頻域分析精度較高，但時域分辨率較差。2024/3/1119XX版設(shè)備故障診斷信號分析4

當窗函數(shù)的寬度較小，為32個采樣點時，對圖9-5b所示的具有間隙的單一頻率正弦信號來說，其分析結(jié)果具有較好的時域分辨率，即具有較好的時域分析精度，但頻域精度較差。由此可見，STFT方法的窗函數(shù)寬度對分析結(jié)果至關(guān)重要．而且時域與頻域的精度不可能都為最佳。

2024/3/1120XX版設(shè)備故障診斷信號分析4

STFT方法的精度分析由以上分析可知，窗函數(shù)寬度的選擇將會直接影響時域或頻域的精度。為改進時域精度可以選擇一個較短的窗，但是短窗將會導致傅氏變換計算時采樣點數(shù)目的減少，因此，頻域中離散頻率數(shù)也將減少，從而引起頻域精度的降低。

2024/3/1121XX版設(shè)備故障診斷信號分析4

可以證明時域精度的提高將以損失頻域精度為代價，而提高頻域精度將以損失時域精度為代價，二者不可兼得。對STFT來說．重要的是窗函數(shù)一經(jīng)選定，則時頻精度在整個時頻表面都是固定的，因為同一個窗函數(shù)將被用于信號中所有頻率。所以STFT的窗函數(shù)對時頻分析是剛性的。2024/3/1122XX版設(shè)備故障診斷信號分析4

如果一個信號是由一些小的脈沖與較長的偽穩(wěn)態(tài)成份所組成，則每一個信號組成部分可以有較好的時域或頻域分析精度，但并不是二者兼有。對STFT分析來說．一般認為Gaussian窗函數(shù)是最佳選擇。當合成信號較為簡單且變換參數(shù)選取合理，STFT也可有較好的分析結(jié)果。下圖為其分析結(jié)果。2024/3/1123XX版設(shè)備故障診斷信號分析42024/3/1124XX版設(shè)備故障診斷信號分析42024/3/1125XX版設(shè)備故障診斷信號分析42、小波分析（1）從傅里葉變換到短時傅里葉變換如前所述，傅里葉變換可以將時域信號變換到頻域中的譜。就振動分析來說，各頻段的譜分量可以告訴我們信號的各個組成部分，表征著信號的不同來源和不同特征。FFT算法和現(xiàn)代譜理論的發(fā)展使得信號譜估計可以在很短的時間內(nèi)完成，從而實現(xiàn)對觀測信號的實時分析。頻譜估計現(xiàn)已成為信號分析與處理領(lǐng)域中十分重要的特征分析工具。傅里葉變換的不足之處在于它只適用于穩(wěn)態(tài)信號分析，而非穩(wěn)態(tài)信號在工程領(lǐng)域中是廣泛存在的，另外，非穩(wěn)態(tài)信號很可能在一個短時瞬間發(fā)生變化．即具有很強的時間局部性，并對整個頻譜產(chǎn)生影響，很難從信號的頻譜上確認這種時域內(nèi)的瞬時變化的存在及其確切的頻率信息。2024/3/1126XX版設(shè)備故障診斷信號分析4也就是說其傅氏變換的結(jié)果既不能有效地提供暫態(tài)信號的頻域信息．也不能揭示暫態(tài)信號的時間特性。因此．暫態(tài)信號很難用傅氏變換進行分析。

由此采用了“短時傅立葉變換”來對非穩(wěn)態(tài)和暫態(tài)信號進行分析。窗函數(shù)w(t)在整個信號上沿時間平移并且完成了連續(xù)重疊變換時，就可以得到與時間有關(guān)的信號頻譜的描述。在時頻面上構(gòu)建了三維譜圖。（2）從短時傅里葉變換到小波變換但短時傅立葉變換的主要缺陷是：對所有的頻率都用同一個窗，使得分析的分辨率在時間-頻率平面的所有局部都相同，如下圖所示。如果在信號內(nèi)有短時（相對于時窗）、高頻成分、那么短時2024/3/1127XX版設(shè)備故障診斷信號分析4傅立葉變化就不是非常有效了。縮小時窗（選取更集中的窗函數(shù)）、縮小采樣步長固然可以獲得更多的信息，但是受到測不準原理的約束，在時間和頻率上均有任意高分辨率是不可能的。2024/3/1128XX版設(shè)備故障診斷信號分析4

在信號分析中，為能精確地得到高頻信息。采樣間隔應(yīng)相對的小些；而為了完整地得到低頻信息。采樣間隔應(yīng)相對地大些。換言之，重要的是需要一個“柔性”時頻窗、其在較高的頻率處時域窗可以自動地變窄，而在較低的頻率處時域窗又可以自動地變寬。見下圖所示。而某些所謂“基本小波”的積分變換(IntegralWaveletTransform)便正具有這種所需的細化功能。因此，小波分析是目前信號分析中一種十分有用的時頻局部化分析方法。2024/3/1129XX版設(shè)備故障診斷信號分析4

小波分析其基本思想是采用時窗寬度可調(diào)的小波函數(shù)替代短時傅立葉變換中的窗函數(shù)。也就是說小波變換在時頻平面不同位置具有不同的分辨率，是一種多分辨（率）分析方法。其目的是“既要看到森林（信號的概貌），又要看到樹木（信號的細節(jié)）”，因此，它又稱為數(shù)學顯微鏡。它是將信號交織在一起的多種尺度成分分開，并能對大小不同的尺度成分采用粗細的時域或空域采樣步長，從而能夠不斷地聚焦到對象的任意細節(jié)。這就是小波優(yōu)于短時傅立葉變換的地方。（3）小波分析發(fā)展簡介2024/3/1130XX版設(shè)備故障診斷信號分析4

小波分析作為一門新的學科分支目前正在眾多研究領(lǐng)域掀起研究熱潮。在數(shù)學領(lǐng)域、它被認為是調(diào)和分析近半個世紀的工作結(jié)晶．能夠壓縮奇異積分算子，求解偏微分方程．構(gòu)造近似慣性流形并被廣泛用于逼近論；在量子力學中，一個量子場的基于正交小波基的相細胞簇的展開具有一系列良好的性質(zhì)，為研究量子場結(jié)構(gòu)提供了新方法，在流體力學中，它被用來模擬湍流的流動．得到湍流流動的某些分解；在數(shù)字信號處理領(lǐng)域，小波與多分辯率濾波、正交景象濾波以及分波段編碼等緊密聯(lián)系，在數(shù)據(jù)壓縮編碼、持征提取等方面取得了重要進展；小波分析也為計算機視覺處理提供了新的模型．在圖象的壓縮、邊緣檢測和紋理識別等方面發(fā)揮著重要的作用、對自相似過程和分形信號的研究，小波方法也提供了強有力的工具。小波分析可以認為是Fourier分析發(fā)展史上里程碑式的進展。2024/3/1131XX版設(shè)備故障診斷信號分析4

小波分析的歷史可以追朔到本世紀中葉。在純數(shù)學領(lǐng)域，Calderon于1964年在調(diào)和分析中的恒等算子分解理論。物理學中Aslaken和Calland于1968年在量子力學對仿射群所構(gòu)造的凝聚態(tài)，以及在工程界Esterban和Calland于1977年提出的QMF濾子都涉及到小波分析。1983年法國地質(zhì)學家J．Morlet在處理地質(zhì)資料時偶然中又重新發(fā)現(xiàn)了數(shù)學家的工作。隨后，理論物理學家A.Grossmann：和數(shù)學家Y.Meyer等在理論上對小波分析做了一系列深入研究，將Morlet的想法作了出色的數(shù)學描述，大大豐富了調(diào)和分析的內(nèi)容。2024/3/1132XX版設(shè)備故障診斷信號分析4

90年代初期，在信號處理界I.Daubechies和S.mallat最先注意到小波分析在信號分析領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用前景，并作出開創(chuàng)性的貢獻，發(fā)展了快速算法．使小波分析的研究者在不同學科間搭起橋梁。在他們的推動下小波分析在信號處理、圖象處理等很多方面獲得應(yīng)用。1987年在法國召開了第一屆小波分析的國際會議，之后有關(guān)小波分析的會議和論文如雨后春筍此起彼伏．人們稱之為“小波熱潮”，我國也于1992年在武漢大學召開了“中法首屆小波分析研討會”。2024/3/1133XX版設(shè)備故障診斷信號分析4①連續(xù)小波變換

根據(jù)小波的計算和表達式形式，其可分為各種形式。而連續(xù)小波（ContinuousWaveletTransform-CWT）則定義為：如果基本小波

滿足“相容性”條件（1）2024/3/1134XX版設(shè)備故障診斷信號分析4

式中a、b

R，a0，（）是（t）的傅氏變換（母小波），參數(shù)a稱為尺度因子（尺度與頻率是相關(guān)聯(lián)的，可以認為尺度的倒數(shù)1/a與頻率具有正比關(guān)系），b為時移因子、而（W

f)(b，a)則稱為小波變換系數(shù)。信號的連續(xù)小波變換所提供的信息是高度冗余的，適合于諸如濾波這些對頻率分解要求比較高的場合。連續(xù)小波變換的物理意義可簡述為通過變換，將二維的時間信號變換到由尺度因子、時間因子和小波變換系數(shù)所決定的立體空間（如下圖）。以獲得更多、更清晰的信號的信息量。由伸縮與頻移構(gòu)成L2（R）的規(guī)范正交基。2024/3/1135XX版設(shè)備故障診斷信號分析4

小波變換式中基本小波函數(shù)的選取很重要。常常決定于實際應(yīng)用函數(shù)是因為在幾何形態(tài)上小波函數(shù)一般都具有以下兩個特征：必須是振蕩函數(shù)；必須是迅速收斂的函數(shù)。下圖a所示正弦函數(shù)振蕩但不收斂。因此不是小波函數(shù)。下圖b所示函數(shù)迅速收斂但不振蕩，因此也2024/3/1136XX版設(shè)備故障診斷信號分析4不是小波函數(shù)。下一頁圖所示為幾種常見的小波函數(shù)。圖兩種函數(shù)（a）正弦函數(shù)，（b）迅速收斂的函數(shù)2024/3/1137XX版設(shè)備故障診斷信號分析4

圖幾種常見的小波函數(shù)

a)Lemarie小波，b)具有20個系數(shù)的Danbechies小波，c)具有4個系數(shù)的Danbechies小波，d)Morlet小波

小波變換式中的小波集

b、a(f)可由一個基本小波經(jīng)尺度平移和時間平移而得到尺度因子a和時移因子b的不同會給小波函數(shù)的幾何形態(tài)帶來很大的變化。下圖為因子a、b取不同數(shù)值時的Morlet小波函數(shù)。2024/3/1138XX版設(shè)備故障診斷信號分析4尺度因子和時移因子取不同數(shù)值時的Morlet小波函數(shù)2024/3/1139XX版設(shè)備故障診斷信號分析4小波變換利用小波在不同的

時移和尺度下對信號進行觀察

2024/3/1140XX版設(shè)備故障診斷信號分析4②連續(xù)小波變換的時頻窗的精度

基本小波可以看作是一個窗函數(shù)。連續(xù)小波變換可由如下的時間窗得到信號f（t）時域局部信息[at*+b-a

w，at*+b+a

w]

其窗函數(shù)中心為at*+b，其半徑為a

w。這個時域窗相對于較小的a值變窄，而相對于較大的a值變寬。類似的在頻域中，小波函數(shù)的中心和半徑分別由*和

來定義。應(yīng)用帕斯維爾定理來定義連續(xù)小波變換的頻域窗為：[

*/a-

/a，*/a+

/a]2024/3/1141XX版設(shè)備故障診斷信號分析4若假定中心是正值，則中心頻率與帶寬之比是

現(xiàn)在若at*被看作是時間變量，而

*／a被看作是頻率變量，則在時頻表面我們已經(jīng)具有矩形的時頻窗[at*+b-a

w，at*+b+a

w][

*/a-

/a，*/a+

/a]顯然，該比值與尺度因子a無關(guān)。因此，連續(xù)小波變換可被視為由上式給定通帶的自適應(yīng)帶通濾波器，其頻率變量可由與1／a的常數(shù)的乘積得到。值得注意的是該濾波器具有其中心頻率與帶寬之比與中心頻率的位置無關(guān)的特性。2024/3/1142XX版設(shè)備故障診斷信號分析4

該窗的寬度為2a，高度為2

/a(圖10-5)。所以，在時域中對于高頻信號(即較小a值)，這種窗可自動變窄以達到較好的檢測效果，而對于低頻現(xiàn)象(即較大的a值)則可自動變寬，仍具有較好的檢測效果。而在頻域，窗寬度的變化正好相反，因而同樣具有較好的檢測效果，即對高頻現(xiàn)象，窗是自動變寬的，而對低頻現(xiàn)象，窗是自動變窄的。正是因為小波變換具有這種“柔性”窗，才使其在時域和頻域同時良好的局部化特性，因而對信號具有良好的檢測能力。2024/3/1143XX版設(shè)備故障診斷信號分析42024/3/1144XX版設(shè)備故障診斷信號分析4圖10-6從另一角度說明了上述小波變換的時頻窗的柔性性質(zhì)。圖b所示STFT的時域窗相對于其時移參數(shù)t0的窗寬度t是等寬的。而連續(xù)小波變換(CWT)的時域窗(圖a)相對于其時移參數(shù)t0的窗寬度卻是三角形的，隨著尺度參數(shù)a的增大而變寬。a值的增大意味著頻率f的減小，即CWT的時域窗對于頻率變化緩慢的時間信號具有放大窗寬度的性能，因此可以更好地檢測緩變信號。

2024/3/1145XX版設(shè)備故障診斷信號分析4在頻域，如圖d所示，STFT的頻域窗的寬度f相對于各中心頻率是等寬的，而CWT的窗寬度(圖c)卻是隨中心頻率按對數(shù)形式變化，即相對于低頻信號，窗寬度較窄、而相對于高頻信號，窗寬度變寬。這恰好符合低頻信號需要較窄的頻域窗而高頻信號需要較寬的頻域窗以提高頻域分辨率的要求。2024/3/1146XX版設(shè)備故障診斷信號分析4若將STFT和小波變換（WT）視為帶通濾波器，則它們的帶寬如下圖所示：2024/3/1147XX版設(shè)備故障診斷信號分析4③信號f（t）的重構(gòu)

若信號f（t）是連續(xù)的，且滿足一定條件，我們可以利用小波變換系數(shù)來重構(gòu)任何能量有限的信號f（t）（2）式與（1）式就構(gòu)成了一個連續(xù)小波變換對。類似于STFT的分析結(jié)果，小波變換的結(jié)果也在三維空間進行描述。這是因為連續(xù)小波變換在變換中沒有能量泄露，保存了信號的能量（2）2024/3/1148XX版設(shè)備故障診斷信號分析4式中Ex為信號能量。這就導致我們可以用小波變換系數(shù)的模的平方來進行小波變換結(jié)果的三維描述，它是信號在時頻表面的三維分布。與STFT所不同的是，此處信號的能量是以多重分析精度的形式在時頻表面進行分布的。

如同傅里葉變換結(jié)果可以表示為幅頻特性和相頻特性一樣，小波變換的結(jié)果——小波變換系數(shù)（W

f）（b，a）也可以用幅值和相位加以表示。下圖即為一個矩形信號的小波變換結(jié)果的幅值、相位和實部表示。2024/3/1149XX版設(shè)備故障診斷信號分析42024/3/1150XX版設(shè)備故障診斷信號分析4④小波分析與其他時頻分析的比較

這里給出兩個應(yīng)用實例．以作為小波分析方法和時頻分析方法結(jié)果的比較。合成信號的分析如前圖所示的合成信號，由于STFT方法對同一寬度的窗來說不可能同時具有較好的時域和頻域分析精度，因而就不可能同時具有較好的分時和分頻特性，這也是STFT方法的主要缺陷。下圖為同一合成信號的小波變換結(jié)果。由圖可見、無論是小波變換系數(shù)的幅值還是相位都同時具有良好的分時和分頻特性。即同時具有良好的時域和頻域分析精度。2024/3/1151XX版設(shè)備故障診斷信號分析4合成信號的小波變換結(jié)果的幅值及相位(a)兩正弦信號的合成信號的幅值和相位，(b)具有間隙的信號的幅值和相位2024/3/1152XX版設(shè)備故障診斷信號分析4心電圖信號的分析

晚期心肌梗塞病人的室性心動過速經(jīng)常導致病人的突然死亡。檢查是否有室性心動過速癥狀的主要手段目前仍然是心電圖。在心電圖上是否有這種癥狀主要是表現(xiàn)在QRS組波的尾部(圖一)，但即使是使用高分辨率的心電圖，也很難對其進行確認。在本例中對高分辨率的心電圖信號進行了Wignar變換和小波變換，以探索在心電圖信號中識別室性心動過速的方法。

2024/3/1153XX版設(shè)備故障診斷信號分析4首先對高分辨率的心電圖信號以1000Hz的采樣頻率進行采樣，采樣時間是800ms，然后僅對QRS組波(150個采樣點)進行Wignar變換和小波變換。2024/3/1154XX版設(shè)備故障診斷信號分析4

前者又分為兩種，一種是通常的Wignar變換，一種是為了盡可能消除分析中的干涉項而加了漢寧窗的Wignar變換(窗寬度為61個采樣點)。具有室性心動過速和不具有這種癥狀的晚期心肌梗塞病人的兩種心電圖信號的兩種Wignar變換的結(jié)果分別見下圖（a、b），其中右側(cè)圖形為具有室性心動過速癥狀的分析結(jié)果。由圖可見．無論是否具有這種癥狀，兩種Wignar變換的結(jié)果都表現(xiàn)出在時頻表面上的低頻部分(圖中v表示頻率)積聚著較大的能量，且?guī)缀涡螒B(tài)相差不大，只是在較高頻部分能量積聚的形態(tài)有一些差別。因此，是否有室性心動過速只能根據(jù)較高頻部分的能量積聚形態(tài)加以判斷。采用Morlet小波的小波變換的結(jié)果見下圖c，可以看出變換結(jié)果相差很大。所以，在對于室性心動過速的心電圖信號的識別問題來說，小波變換相對于Wignar變換具有更大的優(yōu)越性。2024/3/1155XX版設(shè)備故障診斷信號分析4有室性心動過速(右側(cè)圖形)和不具有室性心動過速的心電因分析結(jié)果2024/3/1156XX版設(shè)備故障診斷信號分析42024/3/1157XX版設(shè)備故障診斷信號分析4

頻域/時域緊支集信號（帶限/時限信號）是實際應(yīng)用中經(jīng)常遇到的一類信號。緊支集正交小波性質(zhì)：（1）局部性（2）正交性（3）振蕩性定義：記f（t1，t2，---tm）

F（

1，

2，---

m）為一對付氏變化，若F（

1，

2，---

m）=0，（

1，

2，---

m）V

則稱f（t1，t2，---tm）為頻域緊支集信號，稱V

為支撐集2024/3/1158XX版設(shè)備故障診斷信號分析43、離散小波變換及其應(yīng)用

小波變換在使用中是由離散小波變換(DiscreteWaveletTransform—DWT)來完成的。（1）小波分解為清楚理解離散小波變換的實現(xiàn)過程、首先研究一個簡單的信號是怎樣實現(xiàn)小波分解的。下圖1給出了一個信號是如何分解成為其小波成分的。該信號為一方波信號，具有兩個周期。在方波圖形下面，是通過小波分解而得到的方波信號的八個“次信號”。由于后面將要解釋的原因，每一個小波成分在被稱之為“水平”的參數(shù)上加以描述，且水平數(shù)是從-1開始增大的。在本例中，-1水平和0水平中的數(shù)值都為零，但并不是每一種情況下都是如此。2024/3/1159XX版設(shè)備故障診斷信號分析4圖1將小波f（r）（r=1~128）分解為D4小波分量2024/3/1160XX版設(shè)備故障診斷信號分析4

當每一個分解的小波水平都被加起來時，就重新獲得了原始信號(圖2)。左上角所示為僅有-1水平的情景，然后是每一水平順序相加的情景，最后是重新獲得了原始信號的情景。此處關(guān)心的是離散小波變換(DWT)，且假定信號的采樣間隔是等寬的。在圖1中方波f（r）的取值范圍是r＝1~128。在DWT中N決定了水平數(shù)的多少?？梢钥闯觯擭＝2n時，共有n+1個水平，故當N＝128＝27時，在圖1中共有8個水平。被分解信號的小波成分的形狀取決于基本小波的形狀。如前所述，有不少基本小波可供選擇，但只有很少一部分能滿足精確分解且每一個分解都是彼此正交的條件。2024/3/1161XX版設(shè)備故障診斷信號分析4圖2從D4小波分量重構(gòu)方波信號2024/3/1162XX版設(shè)備故障診斷信號分析4

雖然已有很多數(shù)值算法用于小波變換，但一般的算法都是基于正交小波的，因而此處僅考慮正交小波。決定了使用那種小波，則這種小波就成為信號分解的基本小波，從而也就決定了重構(gòu)信號的小波成分的形狀。在以上兩圖中使用了D4小波(即具有4個系數(shù)的Daubechies小波)，圖3的最上端圖形即為D4小波?？疾煸趫D1中位于3水平尺度中的D4小波，注意到該水平所示尺度的小波僅占據(jù)被分解信號的一部分。為覆蓋整個信號就必須增添更多的小波。在3水平，共有23=8個小波沿水平軸等間距分布。每一個小波占據(jù)128／8=16個間距。圖3的第二個圖形為三個相互疊加的D4小波，在第三個圖形中是其疊加后的結(jié)果。最后一個圖形所示為該尺度的8個迭加后的D4小波。2024/3/1163XX版設(shè)備故障診斷信號分析4圖3

在3水平

所示尺度中的D4小波2024/3/1164XX版設(shè)備故障診斷信號分析4

在更高的尺度（對應(yīng)于圖1中的4水平）共有16個相距為8個間距的小波，在5水平共有32個相距為4個間距的小波，在最高的6水平共有64個相距為2個間距的小波。而在尺度減小的方向。在2水平共有4個相距為32個間距的小波。在1水平共有2個相距為64個間距的小波。0水平僅有一個小波．-1水平?jīng)]有小波僅是一個常數(shù)水平。每一個沿著水平軸分布與擴展的小波都取決于小波變換的結(jié)構(gòu)，僅是每一個小波的縱向尺寸可以被改變，這一點可以被數(shù)列a（r）（r=1-128）的對應(yīng)項所決定。小波變換的目標是選擇一個原始數(shù)據(jù)序列f（r）（r=1-128）以代表規(guī)定長度的輸入信號，并將這個序列轉(zhuǎn)換為一個新的實數(shù)序列a（r）（r=1-128）。2024/3/1165XX版設(shè)備故障診斷信號分析4

這個序列定義了在某個水平尺度和位置的小波的垂直尺寸，而且若將所有小波相加起來能夠一點不差的重構(gòu)原始信號。原始序列（必須等于2的冪次方)越長，在轉(zhuǎn)換中就需要越多的水平。

對于給定的時間長度、增加采樣點的數(shù)量就意味著增大了描述細節(jié)的能力。轉(zhuǎn)換中最高的水平就刻畫了這種細節(jié)。方波中陡降的邊緣對應(yīng)于分解中較小尺度的小波。使用小波變換中的局部最大化以探測邊緣也是一個逐漸增長的應(yīng)用領(lǐng)域。2024/3/1166XX版設(shè)備故障診斷信號分析4

就目前的研究水平而言，最成功的算法是馬拉特（Mallat）算法，該算法利用小波的正交性導出各系數(shù)矩陣的正交關(guān)系，從高級到低級逐級濾去信號中的各級小波。2024/3/1167XX版設(shè)備故障診斷信號分析4

我們采用下圖并結(jié)合上面的小波分解式來介紹馬拉特算法主要思想。2024/3/1168XX版設(shè)備故障診斷信號分析4（a）Mallat算法分解過程（b）Mallat算法的頻帶劃分

圖Mallat算法過程示意圖Mallat算法的過程是：先將原信號分解成其逼近信號1和細節(jié)信號（即小波分量）1，再將逼近信號互分解成其逼近信號2和細節(jié)信號2，再將逼近信號2分解……如此下去，即可得到原信號的所有小波分量，如下圖a所示。其中逼近信號和細節(jié)信號分別對應(yīng)被分解信號的低頻成分和高頻成分，低頻和高頻的劃分采用等分形式，如下圖b所示。以上過程是用迭代方法實現(xiàn)的。

2024/3/1169XX版設(shè)備故障診斷信號分析4

馬拉特算法不直接計算積分表達式，而是利用小波函數(shù)族的正交性，從高級到低級濾出信號中的各級小波。馬拉特算法概念清楚、計算簡便，其在小波分析中的地位，相當于傅里葉分析中FFT算法。2024/3/1170XX版設(shè)備故障診斷信號分析4

4、小波包分解前圖中的陰影部分表示在對信號實施小波分解后，用于分析的各級小波的頻段。可以看到低頻時頻窗窄，頻率分辨率高；高頻時頻窗寬，頻率分辨率低，這符合普通的原則。但對某些特定的信號，人們感興趣的可能只是某一個或幾個特殊的頻段，并要求對這些特殊頻段的分析足夠精細，這些頻段的頻率可能是相對高的。對這類問題，小波分解就顯得有所欠缺了。2024/3/1171XX版設(shè)備故障診斷信號分析4

小波包分解是比小波分解更精細的一種分解，其不同之處是對濾出的高頻部分也同樣施