2021新高考數(shù)學新課程一輪復習課時作業(yè)第七章第2講空間幾何體的表面積與體積

第2講空間幾何體的表面積與體積組基礎關1．如圖，△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，F(xiàn)C＝4，AE＝5，則此幾何體的體積為()A．90B．92C．96D．88答案C解析解法一：如圖1，取CM＝AN＝BD，連接DM，MN，DN，用“分割法”把原幾何體分割成一個直三棱柱和一個四棱錐，所以所求幾何體的體積V＝V三棱柱＋V四棱錐．由題知三棱柱ABC－NDM的體積為V1＝eq\f(1,2)×8×6×3＝72，四棱錐D－MNEF的體積為V2＝eq\f(1,3)S梯形MNEF·DN＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(1＋2)×6×8＝24，則幾何體的體積為V＝V1＋V2＝72＋24＝96.解法二：把原幾何體補成一個直三棱柱，如圖2，使AA′＝BB′＝CC′＝8，故所求幾何體的體積V＝eq\f(1,2)V三棱柱＝eq\f(1,2)·S△ABC·AA′＝eq\f(1,2)×24×8＝96.2．一個圓錐的表面積為π，它的側(cè)面展開圖是圓心角為120°的扇形，則該圓錐的高為()A.eq\f(1,2)B.eq\r(2)C.eq\f(3,2)D．2答案B解析設圓錐的底面半徑為r，∵它的側(cè)面展開圖是圓心角為120°的扇形，∴圓錐的母線長為3r，又圓錐的表面積為π，∴πr(r＋3r)＝π，解得r＝eq\f(1,2)，母線長l＝eq\f(3,2)，故圓錐的高h＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(2).3．(2019·安徽皖中入學摸底考試)將半徑為3，圓心角為eq\f(2π,3)的扇形圍成一個圓錐(接縫處忽略不計)，則該圓錐的內(nèi)切球的體積為()A.eq\f(\r(2)π,3)B.eq\f(\r(3)π,3)C.eq\f(4π,3)D．2π答案A解析設圓錐的底面半徑為r，高為h，則2πr＝eq\f(2π,3)×3，∴r＝1，h＝eq\r(32－1)＝2eq\r(2)，設內(nèi)切球的半徑為R，則eq\f(R,2\r(2)－R)＝eq\f(1,3)，∴R＝eq\f(\r(2),2)，V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))3＝eq\f(\r(2)π,3)，故選A.4．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1，E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點，則三棱錐D1－A．由E點的位置而定B．由F點的位置而定C．由E，F(xiàn)點共同確定D．為定值答案D解析三棱錐D1－EDF的體積即為三棱錐F－DD1E的體積．因為E，F(xiàn)分別為AA1，B1C上的點，所以在正方體ABCD－A1B1C1D1中，△EDD1的面積為定值，F(xiàn)到平面AA1D1D的距離為定值5．(2019·河南信陽期中聯(lián)考)我國古代數(shù)學名著《九章算術》對立體幾何有深入的研究，從其中的一些數(shù)學用語可見，譬如“塹堵”意指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，“陽馬”指底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐．現(xiàn)有一如圖所示的“塹堵”，即三棱柱ABC－A1B1C1，其中AC⊥BC，若AA1＝AB＝1，當“陽馬”(四棱錐B－A1ACC1)體積最大時，“塹堵”(三棱柱ABC－A1B1CA.eq\r(2)＋1B.eq\r(3)＋1C.eq\f(2\r(2)＋3,2)D.eq\f(\r(3)＋3,2)答案C解析設AC＝x(x>0)，根據(jù)題意，BC＝eq\r(1－x2)，則四棱錐B－A1ACC1的體積V＝eq\f(1,3)xeq\r(1－x2)，令t＝x2(1－x2)，t′＝2x－4x3＝0，x＝eq\f(\r(2),2)，故x＝eq\f(\r(2),2)時，四棱錐B－A1ACC1體積最大，故此時三棱柱ABC－A1B1C1的表面積S＝x＋eq\r(1－x2)＋1＋2×eq\f(1,2)×xeq\r(1－x2)＝eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(2),2)＋1＋eq\f(1,2)＝eq\f(2\r(2)＋3,2).故選C.6．已知A，B是球O的球面上兩點，∠AOB＝90°，C為該球面上的動點．若三棱錐O－ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為________．答案144π解析設球的半徑為R，∵∠AOB＝90°，∴S△AOB＝eq\f(1,2)R2.∵VO－ABC＝VC－AOB，而△AOB面積為定值，∴當點C到平面AOB的距離最大時，VO－ABC最大，∴當C為與球的大圓面AOB垂直的直徑的端點時，VO－ABC最大，為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)R2·R＝36，∴R＝6，∴球O的表面積為4πR2＝4π·62＝144π.7．如圖是一個以A1B1C1為底面的直三棱柱被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，該幾何體的體積為________，答案6eq\r(6)解析過C作平行于A1B1C1的截面A2B2C，交AA1，BB1分別于點A2，B由直三棱柱性質(zhì)及∠A1B1C1＝90°則V＝VA1B1C1－A2B2C＋VC－ABB2A2＝eq\f(1,2)×2×2×2＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(1＋2)×2×2＝6.在△ABC中，AB＝eq\r(5)，BC＝eq\r(5)，AC＝2eq\r(3)，則S△ABC＝eq\r(6).8．(2020·駐馬店摸底)如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1中，O為BD1的中點，三棱錐O－ABD的體積為V1，四棱錐O－ADD1A1的體積為V2，則eq\f(V1,V2)的值為________．答案eq\f(1,2)解析因為O為BD1的中點，所以VO－ABD＝VA－OBD＝VA－ODD1，又因為四邊形ADD1A1是平行四邊形所以VA－ODD1＝VO－ADD1＝eq\f(1,2)VO－ADD1A1，所以VO－ABD＝eq\f(1,2)VO－ADD1A1，即V1＝eq\f(1,2)V2，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(1,2).9．我國古代數(shù)學經(jīng)典名著《九章算術》中將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑(biēnào)．若三棱錐P－ABC為鱉臑，且PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，且該鱉臑的外接球的表面積為24π，則該鱉臑的體積為________．答案eq\f(8,3)解析根據(jù)題意，三棱錐P－ABC為鱉臑，且PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，如圖所示，可得∠PAB＝∠PAC＝∠ABC＝∠PBC＝90°.易知PC為外接球的直徑，設外接球的半徑為R.又該鱉臑的外接球的表面積為24π，則R2＝eq\f(24π,4π)＝6，則BC＝eq\r(2\r(6)2－2\r(2)2)＝4，則該鱉臑的體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×4×2＝eq\f(8,3).10．(2020·河南八市重點高中聯(lián)盟測評)已知一個高為1的三棱錐，各側(cè)棱長都相等，底面是邊長為2的等邊三角形，則三棱錐的表面積為________，若三棱錐內(nèi)有一個體積為V的球，則V的最大值為________．答案3eq\r(3)eq\f(4π,81)解析該三棱錐側(cè)面的斜高為eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)×\r(3)))2＋12)＝eq\f(2\r(3),3)，則S側(cè)＝3×eq\f(1,2)×2×eq\f(2\r(3),3)＝2eq\r(3)，S底＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×2＝eq\r(3)，所以三棱錐的表面積S表＝2eq\r(3)＋eq\r(3)＝3eq\r(3).由題意知，當球與三棱錐的四個面都相切時，其體積最大．設三棱錐的內(nèi)切球的半徑為r，則三棱錐的體積V錐＝eq\f(1,3)S表·r＝eq\f(1,3)S底·1，所以3eq\r(3)r＝eq\r(3)，所以r＝eq\f(1,3)，所以三棱錐的內(nèi)切球的體積最大為Vmax＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4π,81).組能力關1．(2019·全國卷Ⅰ)已知三棱錐P－ABC的四個頂點在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，∠CEF＝90°，則球O的體積為()A．8eq\r(6)πB．4eq\r(6)πC．2eq\r(6)πD.eq\r(6)π答案D解析設PA＝PB＝PC＝2a，EF＝a，F(xiàn)C＝eq\r(3)，∴EC2＝3－a2.在△PEC中，cos∠PEC＝eq\f(a2＋3－a2－2a2,2a\r(3－a2)).在△AEC中，cos∠AEC＝eq\f(a2＋3－a2－4,2a\r(3－a2)).∵∠PEC與∠AEC互補，∴3－4a2＝1，∴a＝eq\f(\r(2),2)，故PA＝PB＝PC＝eq\r(2).又AB＝BC＝AC＝2，∴PA⊥PB⊥PC，∴外接球的直徑2R＝eq\r(\r(2)2＋\r(2)2＋\r(2)2)＝eq\r(6)，∴R＝eq\f(\r(6),2)，∴V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))3＝eq\r(6)π.故選D.2．(2019·河北省五校聯(lián)考)如圖，一個密閉容器水平放置，圓柱底面直徑為2，高為10，圓錐母線長為2，里面有一個半徑為1的小球來回滾動，則小球無法碰觸到的空間部分的體積為()A.eq\f(2π,3) B.eq\f(\r(3)－1π,3)C.eq\f(5－2\r(3)π,3) D.eq\f(5－\r(3)π,3)答案C解析小球滾動形成的幾何體為圓柱和兩個半球．小球運動到左側(cè)與圓錐相切時，其軸截面如圖所示．由題意，知∠OAB＝30°，OB＝1，則OA＝2.∴AC＝1.∵AD＝2，∴AN＝AD·cos30°＝eq\r(3).∴CN＝AN－AC＝eq\r(3)－1.∴小球滾動形成的圓柱的高h＝10＋eq\r(3)－1－2＝7＋eq\r(3).∴小球滾動形成的幾何體的體積V＝π×12×(7＋eq\r(3))＋eq\f(4,3)π×13＝eq\f(25＋3\r(3)π,3)，∵V容器＝π×12×10＋eq\f(1,3)×π×12×eq\r(3)＝eq\f(30＋\r(3)π,3)，∴V空＝V容器－V＝eq\f(5－2\r(3)π,3).故選C.3．我國南北朝時期的數(shù)學家祖暅提出了計算體積的祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異．”意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等．已知曲線C：y＝x2，直線l為曲線C在點(1,1)處的切線．如圖所示，陰影部分為曲線C、直線l以及x軸所圍成的平面圖形，記該平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體為T.給出以下四個幾何體：圖①是底面直徑和高均為1的圓錐；圖②是將底面直徑和高均為1的圓柱挖掉一個與圓柱同底等高的倒置圓錐得到的幾何體；圖③是底面邊長和高均為1的正四棱錐；圖④是將上底面直徑為2，下底面直徑為1，高為1的圓臺挖掉一個底面直徑為2，高為1的倒置圓錐得到的幾何體．根據(jù)祖暅原理，以上四個幾何體中與T的體積相等的是()A．①B．②C．③D．④答案A解析∵幾何體T是由陰影旋轉(zhuǎn)得到的，所以橫截面為環(huán)形，且等高的時候，拋物線對應的點的橫坐標為x1，切線對應的橫坐標為x2.f(x)＝x2，f′(x)＝2x，∴k＝f′(1)＝2，切線為y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，∴xeq\o\al(2,1)＝y(tǒng)，x2＝eq\f(y＋1,2).橫截面面積S＝πxeq\o\al(2,2)－πxeq\o\al(2,1)＝πeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(y＋12,4)－y))＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y－1,2)))2.圖①中的圓錐高為1，底面半徑為eq\f(1,2)，可以看成由直線y＝2x＋1繞y軸旋轉(zhuǎn)得到的，橫截面的面積為S＝πx2＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y－1,2)))2.所以幾何體T和①中的圓錐在所有等高處的水平截面的面積相等，所以二者體積相等，故選A.4．已知一個三棱柱，其底面是正三角形，且側(cè)棱與底面垂直，一個體積為eq\f(4π,3)的球體與棱柱的所有面均相切，則正三棱柱的底面邊長為________，這個三棱柱的表面積為________.答案2eq\r(3)18eq\r(3)解析由已知得eq\f(4πR3,3)＝eq\f(4π,3)，所以R＝1，所以三棱柱的高h＝2R＝2.設正三棱柱的底面邊長為a，則其內(nèi)切圓的半徑r＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)a＝1，解得a＝2eq\r(3)，所以該三棱柱的表面積為3a·2R＋2×eq\f(\r(3),4)a2＝18eq\r(3).5．(2018·全國卷Ⅱ)已知圓錐的頂點為S，母線SA，SB所成角的余弦值為eq\f(7,8)，SA與圓錐底面所成角為45°，若△SAB的面積為5eq\r(15)，則該圓錐的側(cè)面積為________．答案40eq\r(2)π解析因為母線SA，SB所成角的余弦值為eq\f(7,8)，所以母線SA，SB所成角的正弦值為eq\f(\r(15),8)，因為△SAB的面積為5eq\r(15)，設母線長為l，所以eq\f(1,2)×l2×eq\f(\r(15),8)＝5eq\r(15)，所以l2＝80，因為SA與圓錐底面所成角為45°，所以底面圓的半徑為lcoseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)l，因此，圓錐的側(cè)面積為πrl＝eq\f(\r(2),2)πl(wèi)2＝40eq\r(2)π.6．如圖所示