高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（人教A版2019必修二）專題8.1基本立體圖形（重難點(diǎn)題型精講）

專題8.1基本立體圖形（重難點(diǎn)題型精講）1．空間幾何體的有關(guān)概念(1)空間幾何體的定義

對于空間中的物體，如果只考慮其形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體.

例如，一個(gè)牛奶包裝箱可以抽象出長方體.(2)定理的實(shí)質(zhì)多面體及其相關(guān)概念

①多面體：一般地，由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.

②多面體的面：圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面，如圖中面BCC'B'等.

③多面體的棱：兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱，如圖中棱AA'，棱BB'等.

④多面體的頂點(diǎn)：棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn)，如圖中頂點(diǎn)A，B，A'等.(3)旋轉(zhuǎn)體及其相關(guān)概念

①旋轉(zhuǎn)體：一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)面，封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體.

圖為一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，它可以看成由平面曲線OAA'O'繞OO'所在的直線旋轉(zhuǎn)而形成的.

②旋轉(zhuǎn)體的軸：平面曲線旋轉(zhuǎn)時(shí)所圍繞的定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸.如圖中直線OO'是該旋轉(zhuǎn)體的軸.2．棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征3．圓柱、圓錐、圓臺、球的結(jié)構(gòu)特征棱柱與圓柱統(tǒng)稱為柱體，棱錐與圓錐統(tǒng)稱為錐體，棱臺與圓臺統(tǒng)稱為臺體.4．簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征(1)簡單組合體的定義由柱體、錐體、臺體、球等簡單幾何體組合而成的幾何體叫做簡單組合體.

(2)簡單組合體的構(gòu)成形式

①由簡單幾何體拼接而成，如圖(1)所示.②由簡單幾何體截去或挖去一部分而成，如圖(2)所示.

(3)常見的幾種組合體

①多面體與多面體的組合體：圖(1)中幾何體由一個(gè)四棱柱挖去一個(gè)三棱柱得到.②多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合體：圖(2)中幾何體由一個(gè)三棱柱挖去一個(gè)圓柱得到.

③旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合體：圖(3)中幾何體由一個(gè)球和一個(gè)圓柱組合而成.5．正方體的截面形狀的探究通過嘗試、歸納，有如下結(jié)論.

(1)截面可以是三角形：等邊三角形、等腰三角形、銳角三角形.截面不可能是直角三角形、鈍角三角形.

(2)截面可以是四邊形：平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面為四邊形時(shí)，這個(gè)四邊形中至少有一組對邊平行.

(3)截面可以是五邊形，且此時(shí)五邊形必有兩組分別平行的邊，同時(shí)有兩個(gè)角相等.截面五邊形不可能是正五邊形.

(4)截面可以是六邊形，且此時(shí)六邊形必有三組分別平行的邊.截面六邊形可以是正六邊形.

對應(yīng)截面圖形如圖中各圖形所示【題型1簡單幾何體的識別】【方法點(diǎn)撥】(1)掌握簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征；(2)判斷是多面體還是旋轉(zhuǎn)體；(3)得到幾何體的名稱.【例1】（2022春·湖南株洲·高一期中）以下各幾何體中，是棱柱的是（

）A． B． C． D．【解題思路】根據(jù)給定的條件，利用棱柱的定義直接判斷作答.【解答過程】對于A，幾何體是三棱錐，不是棱柱，A不是；對于B，幾何體有兩個(gè)平面平行，其余各面都是梯形，不是棱柱，B不是；對于C，幾何體有兩個(gè)平面平行，其余各面都是梯形，不是棱柱，C不是；對于D，幾何體有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，是棱柱，D是.故選：D.【變式11】（2022春·湖南株洲·高二開學(xué)考試）下列幾何體中為臺體的是（

）A． B． C． D．【解題思路】直接判斷出各選項(xiàng)中幾何體的形狀，由此確定出臺體.【解答過程】A：圓錐，B：圓柱，C：棱臺，D：球，所以屬于臺體的只有棱臺，故選：C.【變式12】（2022秋·青海海南·高二階段練習(xí)）觀察下圖中的四個(gè)幾何體，其中判斷正確的是（

）A．（1）是棱臺 B．（2）是圓臺C．（3）是棱錐 D．（4）不是棱柱【解題思路】利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分析判斷，能夠求出結(jié)果.【解答過程】圖（1）不是由棱錐截來的，所以（1）不是棱臺；圖（2）上、下兩個(gè)面不平行，所以（2）不是圓臺；圖（3）是棱錐．圖（4）前、后兩個(gè)面平行，其他面是平行四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊平行，所以（4）是棱柱．故選：C．【變式13】（2022春·內(nèi)蒙古阿拉善盟·高一期末）下列幾何體中是棱錐的有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【解題思路】由棱錐的定義逐個(gè)判斷即可得解.【解答過程】由棱錐的定義可得，只有幾何體⑤、⑥為棱錐.故選：C.【題型2棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征】【方法點(diǎn)撥】結(jié)合具體條件，根據(jù)棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)行分析求解.【例2】（2022秋·上海黃浦·高三階段練習(xí)）下列命題是真命題的是（

）A．有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B．有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱C．有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐D．有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共項(xiàng)點(diǎn)的三角形的幾何體叫棱錐【解題思路】根據(jù)棱柱的幾何特征，可判斷A、B的真假；根據(jù)棱錐的幾何特征可判斷CD的真假.【解答過程】解：因?yàn)橛袃蓚€(gè)面平行，其余各面是相鄰的公共邊都相互平行的平行四邊形的幾何體叫棱柱，所以A、B錯(cuò)誤；因?yàn)橛幸粋€(gè)面是多邊形，其余各面都是有公共頂點(diǎn)的三角形的幾何體叫棱錐，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確.故選：D.【變式21】（2022·吉林·高一期中）下列命題中，正確的是（

）A．底面是正方形的四棱柱是正方體B．棱錐的高線可能在幾何體之外C．有兩個(gè)面互相平行，其余各面是平行四邊形的幾何體是棱柱D．有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐【解題思路】舉反例否定選項(xiàng)A；舉例驗(yàn)證判斷選項(xiàng)B；依據(jù)棱柱定義判斷選項(xiàng)C；依據(jù)棱錐定義判斷選項(xiàng)D【解答過程】底面是正方形的四棱柱可能是斜棱柱，不一定是正方體，故A錯(cuò)誤；斜棱錐的高線有可能在幾何體之外，故B正確；根據(jù)棱柱的定義可得，有兩個(gè)面互相平行，有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行的幾何體是棱柱.而滿足選項(xiàng)C條件的幾何體可能是組合體.故C錯(cuò)誤；有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有公共頂點(diǎn)的三角形的幾何體是棱錐，故D錯(cuò)誤．故選：B．【變式22】（2022秋·陜西漢中·高一期末）下列說法正確的是（

）A．兩個(gè)平面平行，其余各面是梯形的多面體是棱臺B．棱柱的側(cè)面可以是三角形C．直棱柱的底面是正多邊形D．正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形【解題思路】根據(jù)各類簡單幾何體結(jié)構(gòu)特征作出判斷即可.【解答過程】A.兩個(gè)平面平行，其余各面是梯形的多面體，當(dāng)側(cè)棱延長后不交于同一點(diǎn)時(shí)，就不是棱臺，A錯(cuò)誤；B.棱柱的側(cè)面是平行四邊形，B錯(cuò)誤；C.側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱，所以底面不一定是正多邊形，比如直四棱柱底面可以是長方形，C錯(cuò)誤；D.正棱錐定義：正棱錐是指底面是正多邊形，且從頂點(diǎn)到底面的垂線足是這個(gè)正多邊形的中心的棱錐，因此正棱錐側(cè)棱都相等，D正確.故選：D.【變式23】（2022秋·湖南懷化·高二期中）以下四個(gè)命題中，真命題為（

）A．側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐B．底面是矩形的四棱柱是長方體C．正三棱錐是正四面體D．棱臺的側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn)【解題思路】根據(jù)柱體、錐體、臺體的定義和結(jié)構(gòu)特征即可判斷正誤.【解答過程】對于A，等腰三角形的腰不一定是側(cè)棱，A是假命題；對于B，側(cè)棱與底面矩形不一定垂直，B是假命題；對于C，正三棱錐的棱長與底面邊長不一定相等，故不一定是正四面體；對于D，由棱臺的定義知D是真命題.故選：D.【題型3旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征】【方法點(diǎn)撥】通過旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)行分析，即可得解.【例3】（2022秋·安徽合肥·高二階段練習(xí)）下列說法正確的是A．通過圓臺側(cè)面上一點(diǎn)可以做出無數(shù)條母線B．直角三角形繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是圓錐C．圓柱的上底面下底面互相平行D．五棱錐只有五條棱【解題思路】根據(jù)圓柱、圓錐和圓臺的幾何結(jié)構(gòu)特征，逐項(xiàng)判定，即可求解.【解答過程】A中，根據(jù)圓臺的結(jié)構(gòu)特征，通過圓臺側(cè)面上一點(diǎn)有且只有一條母線，所以不正確；B中，根據(jù)圓錐的定義，直角三角形繞其一直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是圓錐，所以不正確；C中，根據(jù)圓柱的結(jié)構(gòu)特征，可知圓柱的上底面下底面互相平行，所以是正確的；D中，根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征，可得五棱錐只有五條側(cè)棱，所以不正確.故選：C.【變式31】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）有下列命題，其中錯(cuò)誤命題個(gè)數(shù)是（

）①圓柱是將矩形旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體；②過圓錐頂點(diǎn)的截面是等腰三角形；③以直角三角形一邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；④平行于母線的平面截圓錐，截面是等腰三角形.A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解題思路】由圓柱、圓錐的結(jié)構(gòu)特征逐一分析四個(gè)命題得結(jié)論．【解答過程】解：①圓柱是將矩形以一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體，故①錯(cuò)誤；②過圓錐頂點(diǎn)的截面是等腰三角形，故②正確；③以直角三角形一直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐，故③錯(cuò)誤；④平行于母線的平面截圓錐，截面不是等腰三角形，是拋物線，故④錯(cuò)誤．∴其中錯(cuò)誤命題個(gè)數(shù)為3．故選：C．【變式32】（2022秋·上海奉賢·高二期中）下列說法正確的是（

）A．圓柱上下底面各取一點(diǎn)，它們的連線即為圓柱的母線B．過球上任意兩點(diǎn)，有且僅有一個(gè)大圓C．圓錐的軸截面是等腰三角形D．用一個(gè)平面去截球，所得的圓即為大圓【解題思路】根據(jù)圓柱的定義、球的性質(zhì)以及圓錐的性質(zhì)，逐一判定，即可求解，得到答案【解答過程】解：對于A，若上下頂面兩點(diǎn)連線不垂直于底面，則兩點(diǎn)連線長度不是母線的長度，故A錯(cuò)誤；對于B，當(dāng)這兩點(diǎn)是直徑的兩個(gè)端點(diǎn)時(shí)，可作無數(shù)個(gè)大圓，故B錯(cuò)誤；對于C，根據(jù)圓錐的定義可知圓錐所有的軸截面是全等的等腰三角形，故C正確；對于D，用一個(gè)平面去截球，該平面需過球心的時(shí)候，所得的圓才是大圓，故D錯(cuò)誤；故選：C.【變式33】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）有下列命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的直線距離是圓柱的母線長；②圓錐頂點(diǎn)與底面所圓周上任意一點(diǎn)的連線是圓錐的母線長；③圓柱的任意兩條母線所在直線是互相平行的.其中正確的命題是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【解題思路】根據(jù)圓柱，圓錐幾何體的特征依次判斷即可得答案.【解答過程】解：對于①，在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)所得直線與旋轉(zhuǎn)軸不一定平行，故錯(cuò)誤；對于②，圓錐頂點(diǎn)與底面所圓周上任意一點(diǎn)的連線是圓錐的母線長，故正確；對于③，圓柱的母線均與旋轉(zhuǎn)軸平行，故圓柱的任意兩條母線所在直線是互相平行，正確.所以，正確的命題是②③故選：B.【題型4簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征】【方法點(diǎn)撥】掌握常見的幾種簡單組合體，結(jié)合具體問題，進(jìn)行求解即可.【例4】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示的螺母可以看成一個(gè)組合體，對其結(jié)構(gòu)特征最接近的表述是（

）A．一個(gè)六棱柱中挖去一個(gè)棱柱 B．一個(gè)六棱柱中挖去一個(gè)棱錐C．一個(gè)六棱柱中挖去一個(gè)圓柱 D．一個(gè)六棱柱中挖去一個(gè)圓臺【解題思路】根據(jù)組合體外部輪廓圖的結(jié)構(gòu)特征和挖掉的幾何體的結(jié)構(gòu)特征即可得解.【解答過程】螺母這個(gè)組合體的外部輪廓圖是六棱柱，由于螺母是旋擰在螺桿上的，則挖去的部分是圓柱，選項(xiàng)C表述準(zhǔn)確.故選：C.【變式41】（2022秋·河北滄州·高三階段練習(xí)）太陽能發(fā)電是我國大力提倡的一種新能源發(fā)電形式.如圖所示，某型號的矩形太陽能電池板用四根垂直于地面的立柱支撐，點(diǎn)A1，B1，C1，D1均在同一水平面內(nèi)，且其中三根立柱AA1，BBA．100cm B．150cm C．200cm D．250cm【解題思路】根據(jù)題意知四邊形ABCD是平行四邊形，故A、B、C、D在同一平面內(nèi)，則CC1和BB1的差額與【解答過程】由題意知四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB//CD，則CC1和BB1的差額與設(shè)立柱DD1的長度是故選：C．【變式42】（2022春·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．如圖是一個(gè)棱數(shù)為24的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的棱上，且此正方體的棱長為1．則該半正多面體：①有12個(gè)頂點(diǎn)；②有14個(gè)面；③表面積為3；④體積為56A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④【解題思路】該半正多面體的所有頂點(diǎn)恰為正方體各棱的中點(diǎn),即為正方體截去8個(gè)三棱錐所剩部分，結(jié)合正方體的性質(zhì)即可求得.【解答過程】該半正多面體的所有頂點(diǎn)恰為正方體各棱的中點(diǎn)，其棱長為22S=6?222∴①②④正確，故選C．【變式43】（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示是一位學(xué)生設(shè)計(jì)的獎(jiǎng)杯模型，獎(jiǎng)杯底托為空心的正四面體，且挖去的空心部分是恰好與四面體四個(gè)面都相切的球O1；頂部為球O2，其直徑與正四面體的棱長a相等，若這樣設(shè)計(jì)獎(jiǎng)杯，則球O1與球O2的半徑之比A．1:6 B．1:6 C．1:3 D．【解題思路】設(shè)內(nèi)切球O1的半徑r1，正四面體的高為?，利用等體積得，可得4r1=?【解答過程】設(shè)內(nèi)切球O1的半徑r1，正四面體的高為?，利用等體積得，所以4r1=?則r1=612a，球O故選：B.【題型5幾何體的截面問題】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)對幾何體的截面形狀的研究，結(jié)合具體問題，進(jìn)行求解即可.【例5】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）圓柱內(nèi)有一內(nèi)接正三棱錐，過棱錐的一條側(cè)棱和高作截面，正確的截面圖是（

）A． B．C． D．【解題思路】根據(jù)截面在圓柱底面所形成的截痕直接判斷即可.【解答過程】圓柱底面為正三棱錐底面三角形的外接圓，如下圖所示，則過棱錐的一條側(cè)棱和高作截面，棱錐頂點(diǎn)為圓柱上底面的中心，可得截面圖如下圖，故選：D.【變式51】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）圖中的幾何體是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐而得，現(xiàn)用一個(gè)豎直的平面去截這個(gè)幾何體，則截面圖形可能是（

）A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤【解題思路】分截面經(jīng)過圓柱上下底面的圓心和截面不經(jīng)過圓柱上下底面的圓心兩種情況，分別討論，進(jìn)而可得出答案.【解答過程】當(dāng)截面經(jīng)過圓柱上下底面的圓心時(shí)，圓錐的截面為三角形除去一條邊，所以①正確；當(dāng)截面不經(jīng)過圓柱上下底面的圓心時(shí)，圓錐的截面為一條曲線，所以⑤正確；故選:D.【變式52】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【解題思路】利用平行畫出截面，進(jìn)而判斷出正確答案.【解答過程】分別取D1C1、D1D、AD的中點(diǎn)H、M、N，連接GH∵在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，∴HG//EN，HM//∴六邊形EFGHMN是過E，F(xiàn)，G這三點(diǎn)的截面圖，∴過這三點(diǎn)的截面圖的形狀是六邊形．故選：D.【變式53】（2022秋·安徽合肥·高三期末）已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，M、N分別為A1A．22 B．25 C．310【解題思路】畫出圖形，可得最大面積的截面四邊形為等腰梯形MNCA，根據(jù)梯形的面積公式求解即可.【解答過程】如圖所示，最大面積的截面四邊形為等腰梯形MNCA，其中MN=2,AC=22故面積為12故選:D．【題型6平面圖形旋轉(zhuǎn)形成的幾何體】【方法點(diǎn)撥】對于平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)問題，首先要對原平面圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆指睿话惴指畛删匦?、三角形、梯形或圓(半圓或四分之一圓周)等基本圖形，然后結(jié)合圓柱、圓錐、圓臺、球的形成過程進(jìn)行分析.【例6】（2022春·廣東珠?！じ咭浑A段練習(xí)）銅錢又稱方孔錢，是古代錢幣最常見的一種．如圖所示為清朝時(shí)的一枚“嘉慶通寶”，由一個(gè)圓和一個(gè)正方形組成，若繞旋轉(zhuǎn)軸（虛線）旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體是（

）A．一個(gè)球B．一個(gè)球挖去一個(gè)圓柱C．一個(gè)圓柱D．一個(gè)球挖去一個(gè)正方體【解題思路】