北京第五中學(xué)2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期開(kāi)學(xué)檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（學(xué)生版）

2023—2024學(xué)年度第二學(xué)期開(kāi)學(xué)檢測(cè)試卷高三數(shù)學(xué)班級(jí)__________姓名__________學(xué)號(hào)__________成績(jī)一?選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確答案填涂在答題紙上的相應(yīng)位置．）1.集合，則（）A. B.C. D.2.如果復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位，為實(shí)數(shù)）為純虛數(shù)，那么（）A.1 B.2 C.4 D.3.已知，則（）A. B.2 C.4 D.124.有三對(duì)師徒共6個(gè)人，站成一排照相，每對(duì)師徒相鄰的站法共有（）A.72種 B.48種 C.54種 D.8種5.已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)C在圓上，則的最大值為（）A. B. C. D.36.若函數(shù)的最大值為2，則下列結(jié)論不一定成立的是（）A. B.C. D.7.函數(shù)的圖象是圓心在原點(diǎn)的單位圓的兩段?。ㄈ鐖D），則不等式的解集為（）A.或B.或C.或D.8.從某個(gè)角度觀察籃球可以得到一個(gè)對(duì)稱的平面圖形如圖所示，籃球的外輪廓為圓，將籃球表面的粘合線視為坐標(biāo)軸和雙曲線，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓的交點(diǎn)將圓的周長(zhǎng)8等分，且，則該雙曲線的離心率為（）A.1 B. C. D.29.已知公比不為1的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，記：為等差數(shù)列；：對(duì)任意自然數(shù)為等差數(shù)列，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件10.某同學(xué)所在的課外興趣小組計(jì)劃用紙板制作一個(gè)簡(jiǎn)易潛望鏡模型（圖甲），該模型由兩個(gè)相同的部件拼接粘連制成，每個(gè)部件由長(zhǎng)方形紙板（圖乙）沿虛線裁剪后卷一周形成，其中長(zhǎng)方形卷后為圓柱的側(cè)面．現(xiàn)建立如圖所示的以為坐標(biāo)原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系．設(shè)為裁剪曲線上的點(diǎn)，作軸，垂足為．圖乙中線段卷后形成的圓?。▓D甲），通過(guò)同學(xué)們的計(jì)算發(fā)現(xiàn)與之間滿足關(guān)系式，求該裁剪曲線圍成的橢圓的離心率為（）A. B. C. D.二?填空題（本大題共5小題，每小題5分，共18分，請(qǐng)把結(jié)果填在答題紙上的相應(yīng)位置．）11.已知拋物線焦點(diǎn)為，過(guò)的動(dòng)直線與拋物線交于兩點(diǎn)，滿足的直線有且僅有一條，則拋物線的準(zhǔn)線方程為_(kāi)_________．12.已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則__________．13.等差數(shù)列滿足，則a5=______；若，則n=______時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和取得最大值．14.已知函數(shù)（1）若，則的零點(diǎn)是_______.（2）若無(wú)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.15.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則有以下四個(gè)結(jié)論：①若，則②若，且，則且③若，且在前16項(xiàng)中，偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和之比為3:1，則公差為2④若，且，則和均是的最大值其中正確命題的序號(hào)為_(kāi)__________.三?解答題（本大題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．請(qǐng)把結(jié)果填在答題紙上的相應(yīng)位置．）16.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足，．（1）求的大??；（2）已知是的中線，求的最大值．17.甲、乙兩名同學(xué)積極參與體育鍛煉，對(duì)同一體育項(xiàng)目，在一段時(shí)間內(nèi)甲進(jìn)行了6次測(cè)試，乙進(jìn)行了7次測(cè)試.每次測(cè)試滿分均為100分，達(dá)到85分及以上為優(yōu)秀.兩位同學(xué)的測(cè)試成績(jī)?nèi)缦卤恚捍螖?shù)同學(xué)第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次甲807882869593—乙76818085899694（1）從甲、乙兩名同學(xué)共進(jìn)行的13次測(cè)試中隨機(jī)選取一次，求該次測(cè)試成績(jī)超過(guò)90分的概率；（2）從甲同學(xué)進(jìn)行的6次測(cè)試中隨機(jī)選取4次，設(shè)X表示這4次測(cè)試成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的次數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX；（3）從乙同學(xué)進(jìn)行7次測(cè)試中隨機(jī)選取3次，設(shè)Y表示這3次測(cè)試成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的次數(shù)，試判斷數(shù)學(xué)期望EY與（2）中EX的大小.（結(jié)論不要求證明）18.如圖，在長(zhǎng)方體中，，和交于點(diǎn)E，F(xiàn)為AB的中點(diǎn).（1）求證：∥平面；（2）再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求（i）平面CEF與平面BCE的夾角的余弦值；（ii）點(diǎn)A到平面CEF的距離.條件①：；條件②：直線與平面所成的角為.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.19.已知函數(shù)．（1）求單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)恒成立，求a的取值范圍；（3）證明：若在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，則．20.已知橢圓離心率為，且其左頂點(diǎn)到橢圓外的直線的距離為.（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，直線分別交直線于（異于），求線段的中點(diǎn)坐標(biāo).21.已知數(shù)列A：的各項(xiàng)均為正整數(shù)，設(shè)集合，記T的元素個(gè)