黑龍江省哈爾濱市博雅中學2023-2024學年七年級上學期期中試數學試題

黑龍江省哈爾濱市博雅中學2023-2024學年七年級上學期期

中試數學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.下列方程中是一元一次方程的是（）

A.——3=4+—B.——2=0

34x

2.下列圖中，N1與N2屬于對頂角的是

3.下列等式變形中，結果不正確的是（

A.如果〃=人，那么a+2b=3bB.如果a=3,那么a—帆=3—根

C.如果m=〃，那么32=〃/D.如果m那么機=〃

4.在下列實例中，屬于平移過程的有（

①時針運行的過程；②電梯上升的過程；③地球自轉的過程；④小汽車在平直的公路行

駛.

A.1個B.2個C.3個D.4個

5.如圖，直線若Nl=50。，貝!|N2是（）

A.150°B.155°C.130°D.140°

6.粉刷一個房間甲單獨做4天完成，乙單獨做6天完成，丙單獨做12天完成.甲先單

獨做2天后有事離開，接下來乙、丙共同完成，則乙、丙合作所需要的天數為（）

A.1B.2

C.3D.4

7.如圖，直線A3、。。相交于點O,。4平分NEOC,NEOC=70。,則NBOQ的度數

等于（）

A.20°B.30°C.35°D.40°

8.一架飛機在兩城間飛行，順風航行要5.5小時，逆風航行要6小時，風速為24千米

/時，設飛機無風時的速度為每小時無千米，則下列方程正確的是（）

x-24x+24

A.5.5（x-24）=6（x+24）B.

5.5—6

—2xx

C.5.5（x+24）=6（x-24）D.--------=-------24

5.5+65.5

9.如圖，將一條兩邊互相平行的紙帶折疊，下列正確的是（）

A.若/1=3/2,貝1]/1=40°B.若/1=/2,貝ij/l=55°

C.若N1=2N2,貝1/1=80°D.若/1=3/2,貝iJ/l=108°

10.下列命題中：（1）點到直線的距離是指這點到直線的垂線段；（2）兩直線被第三條

直線所截，同位角相等；（3）過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；（4）過一點有

且只有一條直線與己知直線平行.其中假命題的個數為（）

A.IB.2C.3D.4

二、填空題

11.己知關于x的方程5ml+2+3=0是一元一次方程，貝!|“2=

12.如圖，直線°、6相交，Nl=36度，貝1]/2=度.

13.指出命題“兩直線平行，同位角相等”的題設.

14.當天=時，整式3》-1與2x+l互為相反數；

15.七年級男生入住的一樓有x間房間，如果每間住6人，恰好空出一間；如果每間住

試卷第2頁，共6頁

5人就有4人沒有房間住，則x的值為.

16.如圖，將三角板與兩邊平行的直尺(EFHHG)貼在一起，使三角板的直角頂點C

(ZACB=90°)在直尺的一邊上，若/2=55。，則Z1的度數等于.

17.兩個角。和夕的兩邊互相平行，且一個角。比另一個角夕的;多20。，則這個角a

的度數為度.

18.如圖1,當光線在空氣進入水中時，會發(fā)生折射，滿足入射角N1與折射角N2的度

數比為4:3,如圖2,在同一平面上，兩條光線同時從空氣進入水中，兩條入射光線與

水平面夾角度數分別為尤，乃在水中兩條折射光線的夾角度數為加，貝卜九=.(用

含X,y的式子表示).

三、計算題

19.解方程：

(1)6%-7=4%-5；

8x=—2(%+4)；

46

⑷2+Zzl=2.2

3412

四、作圖題

20.如圖，ABC的三個頂點都在每格為1個單位長度的格點上，請將4ABe先向下平

移三個單位長度后再向右平移四個單位長度后得到△ABiG.

⑵在（1）的條件下，連接B耳、CB、,直接寫出三角形8c用的面積為

五、證明題

21.完成下面推理過程，在括號內的橫線上填空或填上推理依據.

如圖，己知：AB//EF,EPX.EQ,AEQC+AAPE=9Q°,求證：ABCD.

:.ZAPE=()

EPLEQ

：.NPEQ=()

即NPER+NQEF=90°,

:.ZAPE+ZQEF=90°.

NEQC+ZAPE=90°,

ZEQC=.

EF//()

ABCD.

六、問答題

22.某車間22名工人生產螺釘和螺母，每人每天可生產螺釘1200個或螺母2000個，

一個螺釘要配兩個螺母.為使每天生產的螺釘和螺母剛好配套，應該分配多少名工人生

試卷第4頁，共6頁

產螺釘，多少名工人生產螺母？

23.小麗同學解方程2?=1,去分母時，方程右邊的-1忘記乘以6,因此求得

方程解為x=2.試求。的值，并求出方程正確的解.

24.如圖，直線A3與8相交于點。，0E是/AOC的角平分線，OFLCD,OGLOE,

ABOD=56°.

⑴求NAO尸的度數；

⑵NEO9與ZBOG是否相等，請說明理由；

(3)直接寫出圖中NAOE的所有余角.

25.平價商場經銷甲、乙兩種商品，甲種商品每件售價60元，利潤率為50%；乙種商

品每件進價50元，售價80元.

(1)甲種商品每件進價為______元，每件乙種商品利潤率為；

(2)若該商場同時購進甲、乙兩種商品共50件，恰好總進價為2100元，求購進甲種

商品多少件？

(3)在“元旦”期間，該商場只對甲乙兩種商品進行如下的優(yōu)惠促銷活動：

打折前一次性購物總金額優(yōu)惠措施

不超過380元不優(yōu)惠

超過380元，但不超過500元售價打九折

超過500元售價打八折

按上述優(yōu)惠條件，若小聰第一天只購買乙種商品，實際付款360元，第二天只購買甲種

商品實際付款432元，求小聰這兩天在該商場購買甲、乙兩種商品一共多少件？

七、證明題

26.已知：直線與直線8內部有一個點P,連接

(1汝口圖1,當點E在直線8上，連接PE,若NB+NPEC=NP,求證：ABCD.

(2)如圖2,當點E在直線與直線CD的內部，點在直線8上，連接EH,若

ZABP+ZPEH=ZP+ZEHD,求證：ABCD-

(3)如圖3,在(2)的條件下，BG、EF分別是NABP、NPEH的角平分線，3G和E尸

相交于點G,斯和直線A3相交于點F，當時，若NBFG=NEHD+10°,

ABGE=36°,求NEHD的度數.

試卷第6頁，共6頁

參考答案：

1.A

【分析】本題考查了一元一次方程的概念，根據一元一次方程的定義逐項判斷即可，解題的

關鍵是熟記一元一次方程的定義：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數為1的整式方

程，叫做一元一次方程.

【詳解】A、]-3=4+?是一元一次方程，符合題意；

B、L-2=0中左邊分母中含有分母，不是一元一次方程，不符合題意；

C、尤2-3元+3=0未知數的最高次數為2,不是一元一次方程，不符合題意；

D、x+2y=3含有兩個未知數，不是一元一次方程，不符合題意；

故選：A.

2.B

【分析】根據對頂角的定義逐一判斷即可求解.

【詳解】解：A.N1與N2不屬于對頂角，故A選項不符合題意；

B.N1與/2屬于對頂角，故B選項符合題意；

C.N1與N2不屬于對頂角，故C選項不符合題意；

D.N1與N2不屬于對頂角，故D選項不符合題意，

故選B.

【點睛】本題考查了對頂角的定義，熟練掌握其定義是解題的關鍵.

3.D

【分析】根據等式的性質逐項判斷即得答案.

【詳解】解：A、如果。=8,那么。+26=36,故本選項變形正確，不符合題意；

B、如果。=3,那么a-7w=3-〃2,故本選項變形正確，不符合題意；

C、如果〃[=",那么相故本選項變形正確，不符合題意；

D、如果當。=0時，不能得出切=〃，故本選項變形錯誤，符合題意；

故選：D.

【點睛】此題主要考查了等式的性質：等式的兩邊都加上或減去同一個數或式，所得結果仍

是等式；等式的兩邊都乘以或除以同一個數（除數不能為0）,所得結果仍是等式.

4.B

【分析】本題考查了平移，運用平移的定義即可判斷即可，解題的關鍵是熟記平移是指在平

答案第1頁，共14頁

面內，將一個圖形上的所有點都按照某個直線方向做相同距離的移動，這樣的圖形運動叫做

圖形的平移運動.

【詳解】①時針運轉過程，屬于旋轉；

②電梯上升過程，屬于平移；

③地球自轉過程，屬于旋轉；

④火車直線行駛的過程，屬于平移；

則平移過程的有2個，

故選：B.

5.C

【分析】此題主要考查了平行線的性質的運用，利用平行線的性質得出Nl=/3=50。，再利

用鄰補角的定義得出即可，熟練利用平行線的性質是解題關鍵.

【詳解】如圖，

?.?直線a〃心

Z1=Z3=5O°,

/2+/3=180。，

AZ2=130°,

故選：C.

6.B

【分析】設乙、丙合作所需要的天數為x天，根據“甲的工作量+乙、丙的工作量=1”列方程

求解即可.

【詳解】解：設乙、丙合作所需要的天數為x天，

111

甲的工作效率為I，乙的工作效率為z，丙的工作效率為歷，

根據題意得：2xl+(j+Ax=l,

4612

解得x=2,

即乙、丙合作所需要的天數為2天，

答案第2頁，共14頁

故選B.

【點睛】題目主要考查一元一次方程的應用，理解題意是解題關鍵.

7.C

【分析】根據角平分線定義求出/AOC=g/EOC=35。，根據對頂角的定義即可求出

的度數.

【詳解】解：平分NE。。，/EOC=70。,

：.ZAOC=^ZEOC=35°,

：.ZBOD=ZAOC=35°.

故選：C.

【點睛】本題考查了對頂角、角平分線定義的應用，關鍵是求出/AOC的度數.

8.C

【分析】設飛機在無風時的飛行速度為x千米/時，則飛機順風飛行的速度為(x+24)千米/

時，逆風飛行的速度為(x-24)千米/時，列出方程5.5?(x+24)=6(x-24)即可

【詳解】解：設飛機在無風時的飛行速度為x千米/時，則飛機順風飛行的速度為(x+24)

千米/時，逆風飛行的速度為(x-24)千米/時，

根據題意得5.5?(x+24)=6(x-24).

故選C.

【點睛】本題考查一元一次方程的簡單應用，本題關鍵在于能夠弄清楚順風速度、逆風速度、

飛行速度三者的關系

9.D

【分析】本題主要考查了平行線的性質和折疊的性質，先根據已知條件畫出圖形，再根據平

行線的性質證出NABC=N1,再由折疊性質證出2/2+4=180。，最后按照證出的N1和N2的

關系式，根據各個選項的中的已知條件，求出N1的度數，進行判斷即可.解題關鍵是正確識

別圖形，找出角與角的關系.

【詳解】如圖，

答案第3頁，共14頁

由平行線的性質可得：ZABC=Z1,

由折疊性質可得：ZCBD+ZABZ）=180o,即N2+N2+ZABC=180。，

???2Z2+Zz4BC=180°,

2Z2+Z1=18O°

A、若/l=122,貝|4N1+N1=18O。，4=36。，此選項錯誤，不符合題意；

B、若Nl=/2,則2N1+/1=18O。，/1=60。，此選項錯誤，不符合題意；

C、若N1=2N2,貝i]Nl+Nl=90。，Zl=90°,此選項錯誤，不符合題意；

2

D、若4=3/2,貝q/l+/l=180。，Nl=108。，此選項正確，符合題意；

故選：D.

10.D

【分析】本題考查判斷命題的真假，根據點到直線的距離，平行線的性質，垂直的概念，平

行公理，逐一進行判斷即可，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵.

【詳解】（1）點到直線的距離是指這點到直線的垂線段的長度，故（1）是假命題；

（2）兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等；故（2）是假命題；

（3）同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，故（3）是假命題；

（4）過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故（4）是假命題；

綜上假命題有4個，

故選：D.

11.-1

【詳解】由題意得："計2=1,

解得：“7=-1,

故答案為-L

12.144

【分析】根據鄰補角的定義即可解答.

答案第4頁，共14頁

【詳解】解：:直線。、6相交,

.".Zl+Z2=180°,

"1=36。,

Z2=180°-36°=144°.

故答案為144.

13.兩直線平行

【分析】根據命題的題設和結論的定義進行解答即可.

【詳解】解：根據題意可得：

命題“兩直線平行，同位角相等”的題設為：兩直線平行，

故答案為：兩直線平行.

【點睛】本題考查了命題的題設和結論的定義，命題的題設是已知事項，結論是由已知事項

推出的事項，熟練掌握命題的題設和結論的定義，是解題的關鍵.

14.0

【分析】利用互為相反數兩數之和為0列出方程，求出方程的解即可得到無的值.

【詳解】解：???代數式3x-l與2x+l互為相反數，

3x-l+2x+1=0,

解得x=0.

故答案為：0.

【點睛】此題考查了解一元一次方程，以及相反數，熟練掌握解一元一次方程的解法是解題

的關鍵.

15.10

【分析】利用學生數不變這一等量關系列出一元一次方程求解即可.

【詳解】解：設共有x間，依題意得：

6（x-l）=5x+4.

解得x=10

所以尤的值是10,

故答案為：10

【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，解題的關鍵是弄清兩種不同的住法的總人數不變.

16.35

答案第5頁，共14頁

【分析】根據平行線的性質和直角三角形兩銳角互余即可求得

【詳解】EFIIHG/2=55。

:.Z2=ZFCD=55°

Z1+ZFCD=ZACB=90°

.-.Zl=90°-55°=35°

故答案為：35°.

【點睛】本題考查了平行線的性質和直角三角形兩銳角互余，熟練以上知識是解題的關鍵.

17.30或60

【分析】由題意得￡=：/?+20。，分兩種情況：①兩個角相等；②兩個角互補.

【詳解】解：由題意得：?=1/7+20°,

①當。=/時，得尸=；6+20。，

解得:尸=30。，則a=30°；

②當a+尸=180。時，得;￡+20。+夕=180。，

解得：尸=120。，則夕=60。；

故答案為:30或60.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質，解答的關鍵是明確題意，分兩種情況討論.

3

18.135°--（x+j）

【分析】本題主要考查了平行線的性質，解題關鍵是熟練掌握平行線的性質，能夠正確的識

別圖形，找出角與角之間的關系.先過點8,。，廠分別作水平線的垂線，證明PC〃OE〃QG,

根據平行線的性質證明N3D尸=N3r?E+NEDE=/r?C+/OFG,由N1:N2=4:3,貝U

3333

ZDBC=-ZABP=-（90°-x）,ZDFG=-ZHFQ=-（90°-y）,進而求解.

【詳解】如圖所示：過點8,D,尸分別作水平線的垂線，

答案第6頁，共14頁

PC//DE//QG,

???ZBDF=/BDE+/FDE=/DBC+NDFG,

VZ1:Z2=4:3,

3333

???ZDBC=-ZABP=-(90°-x),ZDFG=-ZHFQ=-(90°-y),

333

NBDF=-(90°-.x)+-(90o-^)=135°--(x+y),

故答案為：135°--(x+y).

19.(l)x=l；

4

(2)x=--；

(3)y=-1；

4

(4)J=y.

【分析】(1)方程移項合并，把龍系數化為1,即可求出解；

(2)方程去括號，移項合并，把工系數化為1,即可求出解；

(3)方程去分母，去括號，移項合并，把,系數化為1,即可求出解；

(4)方程去分母，去括號，移項合并，把y系數化為1,即可求出解；

本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的方法與步驟是解題的關鍵.

【詳解】(1)解：6x-4x=-5+7,

2x=2,

x=l；

(2)解：8x=-2x-8,

8x+2x=—8,

10x=—8,

4

%="5；

(3)解：3(3y-l)-12=2(5y-7),

9y-3-12=10y-14,

9y—10y=—14+3+12,

-y=i,

答案第7頁，共14頁

y=-i；

（4）解：4（5y+4）+3（y—1）=24—（5y—5）,

20y+16+3y—3=24—5y+5,

20y+3y+5y=24+5+3—16,

28y=16,

4

r

20.⑴作圖見解析；

（2）ABC瓦的面積為］.

【分析】（1）根據平移的性質作圖即可；

（2）利用三角形面積公式計算即可；

此題考查了作圖——平移，三角形的面積，熟練掌握平移的性質是解題的關鍵.

1o

△BC用的面積為弓x3x3=].

21.ZPEF,兩直線平行，內錯角相等；90°,垂直的定義，NQEF,CD,內錯角相等,

答案第8頁，共14頁

兩直線平行

【分析】根據平行線的判定和性質，進行作答即可.

【詳解】證明：AB//EF,

:.ZAPE=ZPEF（兩直線平行，內錯角相等），

EPVEQ,

:.ZPEQ=90°（垂直的定義），

即NPEF+NQEF=9Q°,

:.ZAPE+ZQEF=90°.

ZEQC+ZAPE^90°,

:.ZEQC=ZQEF.

-EFCD（內錯角相等，兩直線平行），

ABCD.

故答案為：ZPEF,兩直線平行，內錯角相等；90。，垂直的定義，NQEF,CD,內錯角

相等，兩直線平行

【點睛】本題考查平行線的判定和性質，熟練掌握平行線的判定定理和性質定理是解題的關

鍵.

22,分配10名工人生產螺釘，12名工人生產螺母.

【詳解】試題分析：根據“一個螺釘要配兩個螺母”，生產螺母的數量應是螺釘的2倍，所以

本題中的等量關系是：每人每天平均生產螺釘的個數x生產螺釘的人數義2=每人每天平均生

產螺母的個數x生產螺母的人數.據此等量關系式可列方程解答.

試題解析：解：設應分配x名工人生產螺釘，則生產螺母的工人應是（22-x）名，根據題

意得：1200xx2=2000x（22-x）,解得：x=10,22-x=22-10=12（名）.

答：應該分配10名工人生產螺釘，12名工人生產螺母.

點睛：本題的關鍵是根據“一個螺釘要配兩個螺母”，生產螺母的數量應是螺釘的2倍，找出

題目中的等量關系，再列方程解答.

23.a=—,x=—3

3

【分析】把x=2代入方程2（2元-1）=3（尤+。）一1,解方程求得a的值，然后把。的值代入方程，

解方程求得x的值.

【詳解】解：按小麗同學的操作去分母得：2（2x-l）=3（x+a）-l,

答案第9頁，共14頁

把％=2代入方程2(2x—1)=3(%+a)-1：2x(4-l)=3x(2+〃)-l,

解得：

把。二代入方程得：2X-1_X+3],

3一1

32

去分母得：2(2.x-l)=3(x+1)-6,

去括號得：4x-2=3尤+1-6,

移項得：4x-3x=l-6+2,

解得：x=-3.

【點睛】本題考查解一元一次方程，方程的解，解一元一次方程的一般步驟是：去分母、去

括號、移項、合并同類項、化系數為L注意移項要變號.

24.(1)34°；

(2)相等，理由見解析；

(3)NEOF,ZCOG,ZBOG.

【分析】(1)直接利用垂直的定義結合對頂角的定義得出/A8的度數；

(2)分別求出/EO尸與ZBOG的度數進而得出答案.

(3)依據0E是,AOC的平分線，OFLCD,OGLOE,即可得到圖中/AOE的所有余

角；

此題考查了垂線的定義以及角平分線的定義和對頂角定義，正確把握相關定義是解題關鍵.

【詳解】(1)OF1CD,

：.ZC(9F=90°,

又ZAOC與/BOD是對頂角，

ZAOC^ZBOD^56°,

：.ZAOF=ZCOF-ZAOC=90°-56°=34°；

(2)相等,理由：

?/ZAOC與NBOD是對頂角，

ZAOC=ZBOD=5G,

0E是/AOC的平分線，

答案第10頁，共14頁

ZAOE=-ZAOC=28°,

2

又：OGLOE,

：.NEOG=90。,

ZBOG=180°—ZAOE-ZEOG=62°,

而NEOF=ZAOF+ZAOE=34°+28°=62°,

/EOF=/BOG；

(3)是/AOC的平分線，

/AOE=NCOE=28。，

又：OFLCD,

：.ZEOF+/COE=90°,即ZEOF+ZAOE=90°,

又：OFLCD,OGLOE,

NCOG=NEOF,

：.ZCOG+ZAOE=90°,

,/ZBOG+ZAOE=90°,ZCOG+ZCOE=90°,ZAOE=ACOE,

：.NBOG=NCOG,

：.ZBOG+ZAOE=90°,

圖中NAOE的所有余角為/EO尸，ZCOG,ZBOG.

25.(1)40,60%；(2)40件；(3)13或14件

【分析】(1)根據等量關系：利潤率=利潤+成本，即可求得結果；

(2)設能購進甲種商品x件，根據甲、乙兩種商品共50件，恰好總進價為2100元即可列

方程求解；

(3)先求得第一天只購乙種商品的數量，再設第二天只購甲種商品x件，根據第二天只購

買甲種商品實際付款432元即可列方程求解.

【詳解】(1)甲種商品每件進價為607.5=40元，每件乙種商品利潤率為(80-50)+50=60%；

(2)設能購進甲種商品x件

依題意得40x+50(50-x)=2100,解得x=40

答：能購進甲種商品40件；

(3)第一天只購乙種商品，貝|：360-80=4.5件(不合題意，舍去)或360+(80x0.9)=5

件

答案第11頁，共14頁

設第二天只購甲種商品X件

依題意有：0.9x60x=432或0.8x60x=432

解得x=8或x=9

答：小聰這兩天在該商場購買甲、乙兩種商品一共13或14件.

【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意，找到等量關系，正確列

出方