函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問題小題綜合 2023屆新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸題難題（江蘇）（解析版）

【突破壓軸沖刺名?！?/p>

壓軸專題03函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問題小題綜合

2023屆新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)尖子生30題難題突破(江蘇省專用)

一、單選題

1.(2022秋?江蘇南京?高三校聯(lián)考階段練習(xí))己知函數(shù)/(x),g(x)的定義域?yàn)镽,g'(x)

為g(x)的導(dǎo)函數(shù)，且F(X)+g'(x)=2,/(x)-g'(4-X)=2,若g(x)為偶函數(shù)，則下列

結(jié)論不一定成立的是()

A./(4)=2B.g,(2)=0

C./(-1)=/(-3)D./(1)+/(3)=4

【答案】C

【分析】先證明g'(χ)為奇函數(shù)，再進(jìn)行合理賦值逐個分析判斷.

【詳解】對A：：g(x)為偶函數(shù),則g(x)=g(-x)

兩邊求導(dǎo)可得g'(x)=-g'(r)

.?.g'(x)為奇函數(shù)，則/(O)=O

令x=4,則可得/(4)—g'(0)=2,則/(4)=2,A成立；

f(2)+g'(2)=2"⑵=2

對B：令心則可叱⑵，Y)=2,則［/⑵=0,B成立；

???/(x)+√(x)=2,則可得/(2+x)+g'(2+x)=2

,

/(x)-1g(4-x)=2,則可得/(2τ)-g<2+x)=2

兩式相加可得：/(2+Λ)+∕(2-X)=4,

/(x)關(guān)于點(diǎn)(2,2)成中心對稱

則/(l)+∕(3)=4,D成立

又?.?/(x)+g'(x)=2,則可得/(x—4)+g'(x-4)=/(x—4)—g'(4—x)=2

/(x)—g'("x)=2,則可得/(x)=/(x-4)

???/(x)以4為周期的周期函數(shù)

根據(jù)以上性質(zhì)只能推出/(7)+/(-3)=4,不能推出=3),C不一定成立

故選：C.

【點(diǎn)睛】對于抽象函數(shù)的問題，一般通過賦值結(jié)合定義分析運(yùn)算.

2.(2022秋?江蘇泰州.高三統(tǒng)考期中)已知函數(shù)/(幻=以3-3以2+〃，其中實(shí)數(shù)

a>O,?∈R,則下列結(jié)論錯誤的是()

A./(x)必有兩個極值點(diǎn)

B.y=F(X)有且僅有3個零點(diǎn)時，人的范圍是(0,6“)

C.當(dāng)6=24時，點(diǎn)(1,0)是曲線y=f(x)的對稱中心

D.當(dāng)5α<Z><6α?xí)r，過點(diǎn)42,幻可以作曲線y=f(x)的3條切線

【答案】B

【分析】對/(X)求導(dǎo)，得到/(X)的單調(diào)性，判斷了(X)的極值點(diǎn)個數(shù)可判斷A;要使

y=F(X)有且僅有3個零點(diǎn)，只需/(0)>0J(2)<0即可判斷；當(dāng)匕=20時?，計(jì)算

/(x)+y(2-x)=0∏T^lJ^C:設(shè)切點(diǎn)為C(XO,0√-30√+4,求出過點(diǎn)A的切線方程，

令g(x)=2渥-9/+12以+4,y=b,所以過點(diǎn)A可以作曲線y=/(x)的切線條數(shù)轉(zhuǎn)化

為y=g(χ)與y=6圖象的交點(diǎn)個數(shù)即可判斷D.

【詳解】對于A,尸(力=3加_6辦=3處(》-2),

令/'(x)=0,解得：x=0或χ=2,

因?yàn)閍>0,所以令制x)>0,得x<0或x>2,

令T(X)<0,得0<χ<2,

所以〃x)在(9,0),(2,y)上單調(diào)遞增，在(0,2)上單調(diào)遞減，

所以/(x)在x=0處取得極大值，在χ=2處取得極小值，

所以A正確；

對于B,要使y=∕(x)有且僅有3個零點(diǎn)，

[/(0)>0fz>>o

只需IrC即。IrA八，所以0<6<44,

[/(2)<0[Sa-i2a+b<0

所以人的范圍是(0,4幻，故B不正確；

對于C,當(dāng)人=24時，/(?)=ax3-3ax2+2a,

/(2-x)=^(2-x)3-3Λ(2-X)2-st-2a=-ax3+3ax2-2a,

f(x)+f(2-x)=0,所以點(diǎn)(1,0)是曲線y=∕(x)的對稱中心，所以C正確；

對于D,∕,(x)=3οr2-6ox,設(shè)切點(diǎn)為C(XO-30xJ+沖，

322

所以在C點(diǎn)處的切線方程為：y-(<?-34U0+Z?)=(3<?-6OX0)(Λ-Λ0),

2

又因?yàn)榍芯€過點(diǎn)A(2,α),所以a-(α√-3α√+?)=(30r0-6C?)(2-Λ0),

Λ2ΛT,2

解得：2axty-9(∕0+1Iax0+a=h,=2-9ax+I2ax+a,y=h,

所以過點(diǎn)A可以作曲線y=∕(χ)的切線條數(shù)轉(zhuǎn)化為y=g(χ)與y=力圖象的交點(diǎn)個數(shù).

g'(x)=6加-180r+124=6α(χ2_3x+2)=6α(x-l)(x-2),

令/(x)=0,解得:x=l或x=2,

因?yàn)閍>0,所以令g'(x)>0,得x<l或x>2,

令g<x)<O,得l<χ<2,

則g(x)在(，』),(2,”)上單調(diào)遞增，在(1,2)上單調(diào)遞減，

當(dāng)5α<b<60時，y=g(x)與y=b圖象有3個交點(diǎn)，即過點(diǎn)A可以作曲線y=∕(x)的3

條切線，故正確，

故選：B

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：

1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值

范圍；

2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

3.(2022秋?江蘇揚(yáng)州?高三校考階段練習(xí))函數(shù)/(x)是定義在區(qū)間(0,+8)上的可導(dǎo)函

數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為了‘(X),且滿足r(χ)+j∕(χ)>o,則不等式

(x+2023)"x+2023)<包包的解集為()

3X+2023

A.{x∣x>-2020}B.{x∣x<-2020}C.{x∣-2O23<x<θ}

D.{x∣-2023<x<-2020)

【答案】D

【分析】設(shè)g(x)=x2∕(x),x>0,已知r(x)+j∕(x)>O,得出g'(x)>O,則可求出函

數(shù)g(X)在區(qū)間(0,+∞)上為增函數(shù)，不等式(X+2023)∕(X+2023)<3/(3)可轉(zhuǎn)化為

3X+2023

g(x+2023)<g⑶，再根據(jù)函數(shù)g(x)的單調(diào)性即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)g(x)=x2∕(x),x>0,則導(dǎo)函數(shù)g'(x)=x2∕'(x)+2V(X),

函數(shù)“X)在區(qū)間(0,+8)上，滿足r(χ)+1∕(χ)>0,則有χ2∕,(χ)+24(χ)>o,

所以g'(x)>O,即函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,+e)上為增函數(shù),

(x+2023)y+2023)<溫ng2023)2小+2。23)<3力3),

所以g(x+2023)<g⑶，

則有0<x+2023<3,

解得-2023<x<-2020,

即此不等式的解集為{x∣-2023<x<-2020},

故選：D.

4.(2022秋.江蘇.高三校聯(lián)考階段練習(xí))設(shè)函數(shù)f(x)=J∣n(-χ)χ<0〃XJ="動，

|苔-司的最小值為g(α),則g(α)-q2-α的最大值為()

A.—1B.OC.1D.e—1

【答案】C

【分析】對α分類討論求出g(a)=F'',"/再分類討論求出g(α)-∕-α的最大值.

ld+l,6z>0

設(shè)/(%)=∕O?)=f,(f≤α),不妨設(shè)J<??,

所以ln(-jη)=f,-X2+”=入?'?X］=-e?x2=-t+a,

所以IXI-XJ=W-%=e'-f+α=∕zQ),(f4α),

所以ZfQ)=MT,

當(dāng)α≤0時，⑺=e'-l≤0,函數(shù)/2。)在(-8,0上單調(diào)遞減，

所以W)mM=g(α)=h(a)=eα.

當(dāng)a>0時，函數(shù)人(力在(-∞,0］上單調(diào)遞減，在［0,0單調(diào)遞增，

所以〃⑺min=g(a)=A(O)=a+l.

LL-/?fe",a≤Q

所以g(a)=<....

a+l,a>0

當(dāng)a≤0時，g(a)-a2-a=ea-a2-a-m(a),

所以m'(a)=ea-2a-l=n(a),

所以n'(a)=eu-2<0,所以n(a)在(-∞,0］單調(diào)遞減/.n(a)≥n(0)=0,

所以N(q)≥0,所以m3)在(Y0,所單調(diào)遞增,所以m(a)max=-(0)=1.

所以g(a)-"-a的最大值為L

當(dāng)a>0時?，g(a)-a2-a=a+l-a2-a=-a2+l,在(0,+∞)單調(diào)遞減，沒有最大值,

g(a)-/-a=-a2+1<1

所以g(a)一〃-a的最大值為I.

故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵有兩個，其一是分類討論求出g(?)(;Qo

其二是分類討論求出g(α)-α2-α的最大值.

5.(2022秋?江蘇南京?高三江蘇省江浦高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))已知X=Xl和X=N分

1?

別是函數(shù)/(x)=e'-5a√的兩個極值點(diǎn)，且占=2%,則實(shí)數(shù)。的值為()

A.?B.逅C.?D.2

√e2ln22

【答案】C

【分析】求導(dǎo)，將極值點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為∕?'(x)=e*-αr要有兩個零點(diǎn)，且在零點(diǎn)兩側(cè)，單

調(diào)性相反，參變分離后得到構(gòu)造g(x)=三，求導(dǎo)后得到單調(diào)性，極值最值情

aee

況，得到αw(e,+∞),由%=2不得到3=第求出XI=In2,求出。=1=二.

,,

eex1In2

【詳解】/(X)=e'—:小定義域?yàn)镽,r(x)=e*-0x,

要想函數(shù)/(x)=e=[or?有兩個極值點(diǎn)，

則r(x)=e*-αx要有兩個零點(diǎn)，且在零點(diǎn)兩側(cè)，單調(diào)性相反，

1Y

令e'-0r=0,得一二彳，

ae

令g(χ)=定義域?yàn)镽，

則g'(x)=?^,當(dāng)XCI時,g'(x)>O,當(dāng)x>l,g'(x)<O,

故g(力=j在X<1上單調(diào)遞增，在χ>1上單調(diào)遞減，

故g(x)=E在X=I取得極大值，也是最大值，g(x)max=g⑴=L

ee

且當(dāng)尤>0時，g(x)>O恒成立,當(dāng)x<0時,g(x)<O恒成立,

畫出圖象如下:

故:e(°S)'即αe(e,?+<?),

其中土自4'因?yàn)?2占，所以A殺，

故e*=2,解得：Xl=In2,

eX|2

故。=J=>e,滿足要求.

xlIn2

故選：C

6.(2023秋?江蘇揚(yáng)州?高三揚(yáng)州中學(xué)校考階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)及其導(dǎo)函數(shù)∕?'(x)的

定義域均為R，且“5x+2)是偶函數(shù),記g(x)=∕(x),g(x+l)也是偶函數(shù),則廣(2022)

的值為()

A.-2B.-1C.0D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)/(5x+2)是偶函數(shù)，可得"-5x+2)=∕(5x+2),求導(dǎo)推得

g(x)=-g(-x+4),從而求得g(2)=0,再根據(jù)g(x+1)為偶函數(shù)，可推得g(x+4)=g(x),

即4是函數(shù)g(x)的一個周期，由此可求得答案.

【詳解】因?yàn)?(5x+2)是偶函數(shù)，所以f(-5x+2)=f(5x+2),

兩邊求導(dǎo)得-5∕'(-5X+2)=5∕'(5X+2),即一f'(-5x+2)=/'(5x+2),

所以g(5x+2)=-g(-5x+2),即g(x)=-g(-x+4),

令x=2可得g(2)=-g(2),即g(2)=0,

因?yàn)間(x+l)為偶函數(shù)，

所以g(χ+i)=g(-χ+D,即g(χ)=g(-χ+2),

所以-g(-x+4)=g(-Jv+2),即g(x)=-g(x+2),

??.g(x+4)=-g(x+2)=g(x),所以4是函數(shù)g(x)的一個周期，

所以/'(2022)=g(2022)=g(505x4+2)=g⑵=0,

故選：C.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：此類有關(guān)抽象函數(shù)的求值問題，一般方法是要根據(jù)題意推導(dǎo)出函數(shù)

具有的性質(zhì)，比如函數(shù)的奇偶性單調(diào)性以及周期性，然后利用周期性求值.

7.(2022秋?江蘇?高三江蘇省新海高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))若直線/與曲線

y=sinr,xe(0,3Λ?)和曲線y=e，都相切，則直線/的條數(shù)有()

A.1B.2C.3D.無數(shù)條

【答案】B

【分析】根據(jù)兩函數(shù)解析式，在同一坐標(biāo)系下畫出函數(shù)圖象，對兩曲線進(jìn)行求導(dǎo)，利用

導(dǎo)函數(shù)的幾何意義求出斜率的表達(dá)式，再根據(jù)三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的值域，即可求出公

切線與兩曲線的切點(diǎn)位置，進(jìn)而確定公切線的條數(shù).

txι

設(shè)直線/與曲線V=sinx,x∈(0,3萬)的切點(diǎn)為A(XI,sin%),與曲線y=e的切點(diǎn)為B(x2,e),

宜線/的斜率氏;

所以,y'=(sinx)'=cosx,即在點(diǎn)A(XI,sinXI)處的斜率為、=cos%,

y=(e*y=e*,即在點(diǎn)5(%,e*2)處的斜率為無=e*,

t2

得出=cosx↑=e；

又因?yàn)镃oSxIe[θ,?],e?-∈(0,+∞),所以斜率A=CoSxl=e傳∈(0,l]

由COSXl∈(0,l]得，或Xle2π,y'j；

由e&∈(0,l]得，Λ2∈(-∞,0);

因此，存在A(Xl,sin%),Xle(O句和8(x2,ejr2),毛e(→x),0)使得Z=CoSX∣=e”,

即此時直線AB即為兩條曲線的公切線；

^5π?

同時，存在C(j?,sinx3),??∈2π,?yJ和￡)(匕戶)，%e(γo,0)使得∕=COSJ?=e",且

e&≠e*;

所以，直線CD即為異于直線A8的第二條曲線的公切線；

綜上可知，直線/的條數(shù)有2條.

故選：B.

InY

8.(2023秋?江蘇南通?高三統(tǒng)考期末)兩條曲線y=α?2*-ln2與y=——存在兩個公共

X

點(diǎn)，則實(shí)數(shù)”的取值范圍為()

?-I，焉)B-(°5?)c?(g)0.1W)

【答案】C

【分析】由題可得“?x?2'=Xln2+lnx有兩個不等正根，令f=x?2">0,即α=手有兩

個不等正根，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)利用數(shù)形結(jié)合即得.

【詳解】由題可知"?2"Tn2=平有兩個不等正根，

即“.x?2"=xln2+lnX有兩個不等正根，

令Z=X2>0，則Inr=InX+xln2,

又/'=2'+x?2Fn2>0,r=x?2］在(0,+e)上單調(diào)遞增，

所以α=乎有兩個不等正根，

設(shè)Mf)=乎,f>0,則"S=I^,

由可得fe(0,e),∕7(r)單調(diào)遞增，由"(f)<0可得fe(e,÷x),∕z(r)單調(diào)遞減，

且Me)=L

e

即“e(θ,口時，兩條曲線y=α2-ln2與y=(存在兩個公共點(diǎn).

故選：C.

【點(diǎn)睛】利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法

(1)利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解；

(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解；

(3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的問題.

9.(2023秋?江蘇蘇州?高三蘇州中學(xué)?？茧A段練習(xí))若關(guān)于X的不等式

(4k-l-lnx)x<lnx-x+3對于任意Xw(l,+∞)恒成立，則整數(shù)/的最大值為()

A.-2B.-1C.OD.1

【答案】C

【分析】參變分離將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值可得.

【詳解】(4Z-1-Inx)x<InX—X+3對于任意Xe(1,+∞)恒成立

等價于4k<小+Inx+』對于任意X∈(1,+∞)恒成立

XX

?、Inx3El”，、I-Inx13x-?nx-2

令/(X)=—+I1nx+-,則J'(x)=――+-----T=-------?—

XXXXXx~

1Y-I

令g(x)=x—InX-2,貝IJgTX)=I一一=-——>0

XX

所以g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，又g(3)=l-ln3<0,g(4)=2-ln4>0

所以g(x)在(3,4)有且僅有一個根毛,滿足Xo-InXO-2=0,即InXO=XO-2

當(dāng)xe(l,x0)時,g(x)<O,即/'(x)<0,函數(shù)/S)單調(diào)遞減,

Xe(Xo,+8)時，g(x)>O,即KX)>0,函數(shù)/(χ)單調(diào)遞增，

X-23I

所以/(?)min=/(?)=--+?-2+-=?+—一1

???

111713

由對勾函數(shù)可知3+鼻_1</+—-1<4+--1,即</(%)<

JXo434

因?yàn)楸?lt;∕(x°),即k<仝Q,kwZ

412416

所以攵≤0?

故選：C

10.(2022?江蘇蘇州?校考模擬預(yù)測)設(shè)函數(shù)/(χ)=±A+sinx,不等式

/(α-xe')+f(lnx+x+l)≤O對χ>0恒成立，則實(shí)數(shù)〃的最大值為()

A.e-?B.1C.e-2D.0

【答案】D

【分析】先由定義證F(X)為奇函數(shù)，結(jié)合均值不等式可證/'(x)≥l+cosx≥0,得/(X)在

R上單調(diào)遞增，故結(jié)合奇偶性與單調(diào)性，恒成立轉(zhuǎn)化為α≤xe'-InX-x-1對x>0恒成

立.

令g(x)=?re*-lnx-x-1,用導(dǎo)數(shù)法求g(x)最小值，即有α≤g(x)mjn.

【詳解】因?yàn)?(—X)=匚m―sinx,所以一/(X)=∕(-X),所以/3為R上的奇函數(shù).

因?yàn)槭?X)=e~^e—+cosx≥2?e—FCOSX=I+cosx≥0，所以/*)在R上單調(diào)遞增.

不等式/(α-xe*)+f(InX+x+l)≤O可轉(zhuǎn)化為/(lnx+x+l)≤∕(xe*-α),

所以InX+x+l≤xe"-α,即α≤xe*-InX-X-I對x>0恒成立一

令g(x)=xe,-Inx-x-I,貝!∣g(x)=e'n"e*-Inx-x-1=ehυ""-(lnx+x)-l,

令〃(X)=e*-x-l,貝(x)=e*-1.

當(dāng)x>0時，Y(X)>0,應(yīng)x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)x<0時，A,(x)<O,〃(x)在(-∞,0)

上單調(diào)遞減.

所以〃(x)mmi(°)=e°-0-1=0,G∏Λ(x)≥O,

所以g(x)≥O,且當(dāng)InX+x=0時，g(x)取最小值0,

故α≤0,即實(shí)數(shù)”的最大值為0.

故選：D.

【點(diǎn)睛】1.通常函數(shù)不等式恒成立問題涉及奇偶性與單調(diào)性可先進(jìn)行轉(zhuǎn)化；

2.含參不等式恒成立問題，一般通過構(gòu)造函數(shù)解決.

一般將參數(shù)分離出來，構(gòu)造函數(shù)用導(dǎo)數(shù)法討論不含參數(shù)部分的最值；或者包含參數(shù)一起

構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)法對參數(shù)分類討論.

當(dāng)參數(shù)不能分離出來時，也可嘗試將不等式左右變形成一致形式，即可將該形式構(gòu)造成

函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)法分析單調(diào)性，將問題等價成對應(yīng)自變量的不等式.

11.(2022秋?江蘇蘇州?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知。>0,若對任意的Xe(J,+8),不

等式(e"-電0D≥O恒成立，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是()

2a

'2}「1\口、「11

A.-,+∞IB.J+ooJC.[l,+∞)D.—,+∞I

【答案】A

【分析】對己知不等式進(jìn)行變形，通過構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)椤?gt;0,不等式[ettλ-必絲≥0恒成立，即?e"≥螞絲成立，即

2a2a

aea,≥21n(2x),進(jìn)而轉(zhuǎn)化為axeax≥2xln(2x)=e∣ngln(2x)恒成立.

令g(x)=xe",貝ijg，(X)=(X+l)e",當(dāng)x>0時,g'(x)>O,所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞

增，則不等式Lelu-也上≥0恒成立等價于g(ax)≥g(ln(2x))恒成立.

2a

因?yàn)閍>0,xe[g,+°o)所以奴>0,∣n(2x)>0,所以O(shè)rNIn2x對任意的xe(g,+∞)

恒成立，所以建萼D恒成立.

設(shè)h(t)=乎>1),可得/(f)=W?.當(dāng)IVfVe時，h'(t)>O,Kt)單調(diào)遞增；當(dāng)f>e時,

A(∕)<0,力⑺單調(diào)遞減.所以當(dāng)f=e時，函數(shù)〃⑺取得最大值，最大值為∕z(e)=L此時

e

2x=e,所以W≥1,解得α≥2,即實(shí)數(shù)。的取值范圍是∣^2,+s].

2eeLe)

故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用構(gòu)造函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.(2022秋?江蘇南京?高三?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=x-J-21nx,當(dāng)x>l時，

f(χ2)>8∕t∕(x)恒成立，則實(shí)數(shù)4的取值范圍為()

A.(Yθ,-2]B.(-∞,2]C.(-∞,-l]D.(-∞,1]

【答案】D

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=∕(χ2)-84∕(x),x∈(l,+8),求導(dǎo)后可得

g<x)=2七1廠[二2二4/.)Y1],再構(gòu)造奴X)=X2+(2-4∕l)x+l,根據(jù)對稱軸與I

`JX3

的關(guān)系分情況討論，結(jié)合g(l)=O分析即可

【詳解】?g(Λ)=∕(x2)-8λ∕(x)=√--^-21ar2-8λfx-i-21nxP∈(l,+∞),貝I]

√(Λ-)=2x÷A-l-8√l÷?-^=≤?i-82?

、'xiX?X2XJrJr

2(x-1)~[廠+(2-4?Λ)x+1]

二P

令9(X)=X2+(2-4∕l)x+l,其圖象為開口向上、對稱軸為直線x=22T的拋物線.

①當(dāng)2"L,1,即人1時，O(X)在(1,?H≈)上單調(diào)遞增,且研x)>夕⑴=4—4九.0,

所以F(X)>0在(1,一)上恒成立，于是g(x)>g⑴=O恒成立；

②當(dāng)24-l>l,即4>1時，因?yàn)锳=(2-4∕l)2-4=164(2-1)>0且夕⑴=4-44<0,所

以存在J?w(l,+∞),使得XW(I,%)時,S(X)<0,

所以g'(x)<O在(1,與)上恒成立，即g(x)在(1,毛)上單調(diào)遞減，所以g(x)<g⑴=0,

不滿足題意.綜上，實(shí)數(shù)4的取值范圍是(-8,1].

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了構(gòu)造函數(shù)分情況分析函數(shù)的單調(diào)性，從而分析函數(shù)的正負(fù)的問

題，需要根據(jù)題意求導(dǎo)，化簡后構(gòu)造分析導(dǎo)函數(shù)中需要討論正負(fù)的函數(shù)，再結(jié)合原函數(shù)

的零點(diǎn)分析單調(diào)性求解，屬于難題

13.(2023春?江蘇南京?高三南京師大附中?？奸_學(xué)考試)已知函數(shù)

f(X)=e'-gχ2一方(ZR)有兩個極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍()

A.(9,I)B.(0,1)

C.[0,1]D.(l,4w)

【答案】D

【分析】利用多次求導(dǎo)的方法，列不等式來求得。的取值范圍.

【詳解】/(x)的定義域是R,f?x)=e-x-a,

令∕z(x)=e*-x-α,"(X)=e*-1,

所以MX)在區(qū)間(Y,0),“(x)<0,〃(力遞減；在區(qū)間(0,+∞),"(x)>OM(X)遞增.

要使“X)有兩個極值點(diǎn)，則/'(o)=〃(O)=I-α<0,α>l,

止匕時f'(-a)=el,-(-a)-a=ea>0,

1γ—1

構(gòu)造函數(shù)g(x)=x-ln2x(x>l),^,(x)=l

所以g(x)在(l,+∞)上遞增，所以g(x)>l-ln2>0,

所以/'(in2a)=e?"'-In2?_a=a-ln2?>0,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍(l,y).

故選：D

【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)，當(dāng)一次求導(dǎo)無法求得函數(shù)的單調(diào)性時，可利用二

次求導(dǎo)的方法來進(jìn)行求解.在求解的過程中，要注意原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)間的對應(yīng)關(guān)系.

14.(2022秋?江蘇揚(yáng)州?高三統(tǒng)考階段練習(xí))當(dāng)x>0時，不等式x?*≤mr+21nx+l有解，

則實(shí)數(shù)w的范圍為()

A.[l,+∞)B.-%+00)C.j+8)D.[2,+∞)

【答案】A

【分析】先令機(jī)=1，構(gòu)造導(dǎo)數(shù)證得在(0,1)上存在與使得x；eM=Xo+21nx°+l,即機(jī)=1

滿足題意，故排除D；再利用一次函數(shù)的單調(diào)性證得當(dāng)m<l時，χ2e*>e+2inx+l在

(0,+紇)上恒成立，即可排除BC,實(shí)則至此已經(jīng)可以選擇A選項(xiàng)，然而我們可以進(jìn)一步

證得當(dāng)皿>1時，題設(shè)不等式也成立，由此選項(xiàng)A正確.

【詳解】當(dāng)m=l時，題設(shè)不等式可化為fe*-x-2InX-140有解,

令/(x)=Ve'-x—2InX-I(X>0),則問題轉(zhuǎn)化為f(x)≤0有解,

Γ(x)=(√+2x)e?-l-∣=(x+4,eT),

令g(x)=x2et-l(x>0),則g'(x)=(x?+2x)e*>O,所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又g(0)=T<0,g(l)=e-l>O,故g(x)在(0,1)上存在唯一零點(diǎn)%,且ke*=l,兩

邊取自然對數(shù)得2In/+/=(),

所以當(dāng)O<x<x。時，g(x)<O,即廣(力<0,故〃x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>x°時，g(x)>O,

即制x)>0,故f(x)單調(diào)遞增；

所以/(EL.=∕(?)=?2ejij-?-21n?-1=?2ejij-,-(?+21n?)=0>即在(0」)上存

在看使得?√e"=%+2InXo+1,即/(x)≤0有解％,

即機(jī)=1滿足題意，故排除D.

由上述證明可得χ2ejr-x-21nx-l≥0,BPx2ec>x+21nx+li?(θ,+00)I二恒成立，

令∕7(w)=Λτn+21nx+l,則/(加)=x>0,故∕z(nι)在R上單調(diào)遞增；

所以當(dāng)∕n<l時,/ι(l)>ft(∕π),即x+2InX+l>m+21nx+l,?fcx2ex>∕nx+21nx+l>

即當(dāng)機(jī)<1時，Ve、>〃ir+21nx+l在(0,+8)上恒成立，顯然題設(shè)不等式無解，矛盾，故

排除BC；

當(dāng)卬>1時,/?(/”)>〃⑴，BP∕nr+21nx+l>x+21nx+l,故

ZnXo+2Inx0+1>x0+2Inx0÷I,

又?√e*=χ0+21nx0+l,故CmXO+2InXo+1,即fe”Znr+21nx+l至少有--解為；

綜上：，”≥∕,即選項(xiàng)A正確.

故選：A.

【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性,

?；癁椴坏仁胶愠闪栴}.注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不

等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理.

15.(2022秋?江蘇蘇州?高三統(tǒng)考階段練習(xí))若直線y=%(x+l)-1與曲線y=e'相切，直

線y=心(x+l)T與曲線V=Inx相切，貝雅凡的值為()

1

A.?B.1C.eD.e

【答案】B

【分析】設(shè)出切點(diǎn)，求出K=e',k2=-,根據(jù)斜率列出方程，得到x,e^=l,Λ2lnx2=l,

"2

構(gòu)造/(x)=xlnx,利用函數(shù)單調(diào)性和圖象特征，求出x2=9,從而求出答案.

t

【詳解】設(shè)直線/={(x+l)-1與曲線y=e'相切于點(diǎn)(xl,e'),

直線y="(χ+ι)τ與曲線y=ι∏χ相切于點(diǎn)(々,g)，

e?i+1

則—且心而所以X聲=1,

,1,InX7+1

右F且所以WlnX2=1,

令/(x)=XInX,∕,(x)=l+lnx,

當(dāng)Xe(θ,j時，∕,(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)Xeg,+∞)時，f^x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

且"1)=0,吧/(x)=0,所以當(dāng)XW((M)時,/(x)<0,

j

因?yàn)?(??)=?Inx2=I,/?)=*[=1,即/(,”/⑹)=[>0,

所以x2∈(L+<z>),e*∈(l,+∞),

所以X2=e",故秘2=e"?-^=l

故選：B

【點(diǎn)睛】對于不知道切點(diǎn)的切線方程問題，要設(shè)出切點(diǎn)，再根據(jù)斜率列出方程，進(jìn)行求

解.

二、多選題

16.(2023春?江蘇南通高三?？奸_學(xué)考試)若函數(shù)/(X)=Or-In?x(αWR)有兩個極值點(diǎn)

4天，且χ<W,則下列結(jié)論正確的是()

2

A.0<?<—B.0<x<1<x

e12

C./(X1)<1D.Inx1+Inx2>2

【答案】ACD

【分析】對于選項(xiàng)A、B,/(χ)有兩個極值點(diǎn)，則/'(X)=O在(0,+∞)上有2個不同的根,

分離參數(shù)畫圖可得〃的范圍及毛、巧的范圍?

對于選項(xiàng)C,將"=如五代入F(XJ可得關(guān)于In王的：次函數(shù)，求其范圍即可.

對于選項(xiàng)D,運(yùn)用比值代換法構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)研究其范圍.

【詳解】由題意知,/'(x)=0在(0,+∞)上有2個不同的根,

…,.、2In%0r-21nx

又,fzMz=a---------=--------------,

XX

?2八o∏2Inx

..0x-21nx=0,即：a=-------,

X

y=a

???21nι在(0,+∞)上有2個不同的交點(diǎn)，

y=-------

IX

令〃(X)=2，(x>0)

X

:./(x)=2(InX),

X

(X)>OnO<xve,h,(x)<O=>x>e,

???〃(幻在Qe)上單增，在(e,+∞)上單減,

2

又?.?∕ι(e)=-,A(I)=O,當(dāng)x→0時，A(χ)→→χ>,當(dāng)χ→+s時，∕ι(x)→O,

e

???力(尤)的圖象如圖所示，

二當(dāng)。<4時，…與〃(X)=警在Q÷∞)上有2個不同的交點(diǎn)，—.

故選項(xiàng)A項(xiàng)正確，選項(xiàng)B項(xiàng)錯誤;

對于C項(xiàng)，由題意知，〃=/?(%)=則工

x?

,2

../(x∣)=axλ-(lnXl)2=2Inxl-(InXl),

又：1<%<e,/.0<In%l<1,

令f=lnX],則O<f<l,則y=2t-產(chǎn)在(0,1)上單調(diào)遞增,

Λy<l,即：f(%)<l.故選項(xiàng)C項(xiàng)正確:

對于D項(xiàng)，設(shè)r='>l,(l<%l<e<x2)

x]

_2Inx_2InX2_2Intx,解得」F詈

.*.a—l==i

玉X?rxι

t?nt

I1nx=-----,

2t—1

...(r+l)l∏r

..Inx1+Inx2=——~j——,r>1,

?+1)Inf

令g(f)-----------，t>?

t-?

-2Hnf+*一1

則g'(f)=

仆1)2'

令機(jī)⑺=-2"n∕+--I,則加⑺=-21nf+2r-2,〃i"Q)=2(1-1),

.m"(t)>0

.加(。在(1,+?))上單調(diào)遞增,

.〃?'(1)>加(I)=O,

.，”⑺在(l,+∞)上單調(diào)遞增,

.m(t)>m(↑)=0,

.g'Q)>o,

.g。)在(1,田)上單調(diào)遞增,

.g(f)>g(l)

t+?

1t+

../、「(z+l)lnr1.~Γ?

l?mg(t)=Iim-----------=Iim-------------=2

t->1t-■>1,—?r->1I

.g(f)>2,B∣J;lnx∣+lnx2>2,故選項(xiàng)D正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】極值點(diǎn)偏移問題的解法

(1)(對稱化構(gòu)造法)構(gòu)造輔助函數(shù)：對結(jié)論為+z>(<)2%型，構(gòu)造函數(shù)

F(Λ)=∕(X)-∕(2X0-X);對結(jié)論中2>(<)x；型，構(gòu)造函數(shù)尸(%)=/*)-/(至)，通過

X

研究F(X)的單調(diào)性獲得不等式.

(2)(比值代換法)通過代數(shù)變形將所證的雙變量不等式通過代換f=五化為單變量的函數(shù)

不等式，利用函數(shù)單調(diào)性證明.

17.(2022秋?江蘇南京?高三?？计谀?已知函數(shù)“X)及其導(dǎo)函數(shù)尸(x)的定義域均為

R.記g(x)=∕'(x),若川—x),g(x+2)均為偶函數(shù)，下列結(jié)論正確的是()

A.函數(shù)./U)的圖像關(guān)于直線x=l對稱

B.g(2023)=2

C.g'(2)=0

D.若函數(shù)g(x)在［1,2］上單調(diào)遞減，則g(x)在區(qū)間［0,2024J上有1012個零點(diǎn)

【答案】ACD

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的對稱性的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性逐一判斷即可.

【詳解】因?yàn)閥u-χ)是偶函數(shù)，

所以“l(fā)-x)=∕(l+x),所以函數(shù)函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=l對稱，因此選項(xiàng)A正

確；

因?yàn)間(x+2)為偶函數(shù)，所以有g(shù)(x+2)=g(-x+2),

因此函數(shù)g(x)關(guān)于直線X=2對稱，

由/(ι-χ)"(ι+χ)=-∕'(ι-χ)=?Γ(ι+χ)=-g(ι-χ)=g(ι+χ)，

因此函數(shù)g(χ)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱,由

g(l+x)=-g(l-x)=g(2+x)=-g(r)=g(2-x)=-g(r)=g(2+x)=-g(x)

g(4+x)=-g(2+x)=g(x),所以函數(shù)g(x)的周期為4,

在g(x+2)=g(r+2)中，令x=l,得g(3)=g⑴，

在一g(l-x)=g(l+x)中，令X=0,得g(l)=0,

所以g(2023)=g(505X4+3)=g(3)=g(1)=0,故選項(xiàng)B不正確；

由g(x+2)=g(-x+2)=g'(x+2)=-g'(τ+2),令X=0,得g'(2)=0,因此選項(xiàng)C

正確;

因?yàn)楹瘮?shù)g(x)關(guān)于點(diǎn)(LO)對稱，且在［1,2］上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)g(x)在［0,D也單調(diào)遞減，而函數(shù)g(x)關(guān)于直線x=2對稱，

所以函數(shù)g(x)在(2,4］上單調(diào)遞增,且g(3)=0,

所以當(dāng)XwO,4］時,函數(shù)g(x)有兩個零點(diǎn)，

當(dāng)xe［0,2024］時，由函數(shù)g(x)的周期為4,

2024

可知函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù)為一^x2=1012,所以選項(xiàng)D說法正確，

4

故選：ACD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)的對稱性判斷函數(shù)的周期是解題的關(guān)鍵.

18.(2023秋?江蘇揚(yáng)州―高三校聯(lián)考期末)已知函數(shù),“刈=6'-3雙2有兩個極值點(diǎn)不當(dāng),

且不<當(dāng)，則下列結(jié)論正確的是().

A.?>eB.x2>e

C?/(xj>?∣D.仆2)<|

【答案】AD

【分析】對于AB選項(xiàng)，函數(shù)f(x)=e*-g0r2有兩個極值點(diǎn)，相當(dāng)于函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)

y=e，有兩個變號零點(diǎn)，即函數(shù)y=h圖像與直線丫=。有兩個交點(diǎn)，由此可判斷

X

AB選項(xiàng)正誤；

對于CD選項(xiàng)，由題有.=叼，j=3.則/(xj=0η-g端，/(Λ2)=(1-半卜.

結(jié)合為，尤2范圍可判斷CD選項(xiàng)正誤.

【詳解】函數(shù)/(X)=e，-；ar2有兩個極值點(diǎn)，相當(dāng)于函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)>=e?-砒有兩個

變號零點(diǎn)，即方程e、-Or=O有兩個根，因XHO,則方程有根相當(dāng)于g(x)=?圖像與

直線y=。有兩個交點(diǎn).因g'(χ)=今』，則8⑺在(-co'°)'(0'i)上單調(diào)遞減，在

(l,4∞)上單調(diào)遞增.結(jié)合x<0時,g(x)<O,g(l)=e,

可做g(x)大致圖像如下：

則由圖可得，a>e時，/(x)有兩個極值點(diǎn)，故A正確；

又圖可得，0<再<1,x2>1,則B錯誤;

因e'>=ox∣,則f(x1)=0r∣?-gαr∣2=-?∣(x∣-l)2+],又因O<xl<l,

函數(shù)V=方―if+羨在(。,1)上單調(diào)遞增，W∣J∕(-η)<p故C錯誤；

因e-=/，則/(w)=]-5?卜，令MX)=1一提卜'

則〃卜)=g(l-x)e，，因七>1,則MX)在(1,4W)上單調(diào)遞減，則MX)<Λ(1)=I,

BP∕(?)<∣,故D正確.

19.(2023秋?江蘇南通?高三統(tǒng)考期末)設(shè)定義在R上的函數(shù)/(x)與g(x)的導(dǎo)數(shù)分別為

尸(x)與/(x),已知"x)=g(3-力-1,/(x+l)=√(x),且/'(X)關(guān)于直線x=l對

稱，則下列結(jié)論一定成立的是()

A./(Λ)+∕(2-X)=0B.∕,(2)=0

C.g(l-x)=g(l+x)D.g'(x)+g'(2-X)=O

【答案】BCD

【分析】根據(jù)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系式，變形賦值，逐項(xiàng)驗(yàn)證即可.

【詳解】因?yàn)?(x)=g(3-x)-1,

所以r(x)=-∕(3-X)

所以/'(x+l)=-g'(2-x)=g<x),

所以一g'(2r)-g'(x)=0ng'(2-x)+g'(x)=0,

故D正確，

令x=l時，g,(2-l)+g,(l)=2g,(l)=0,

所以g'(l)=0,

由AΓ(X+1)=H(2-X)=∕(X),

所以r(i+i)=—g<2-ι)=g，⑴=r(2)=g，⑴=0,

所以B選項(xiàng)正確，

因?yàn)間'(2-x)+g'(x)=0,

所以g'(ι-χ)=-g'(ι+χ),

所以函數(shù)g'(x)圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，

則函數(shù)g'(x+l)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對稱，即g'(x+l)為奇函數(shù)，

所以函數(shù)g(x+l)+C(C為常數(shù))為偶函數(shù)，圖象關(guān)于直線X=O對稱，

所以函數(shù)g(x)+C的圖象關(guān)于直線X=I對稱，

所以g(l-x)+C=g(l+x)+Cog(l-x)=g(l+x),

故C選項(xiàng)正確，

函數(shù)“M=(X-I)Zl，則函數(shù)f'(x)=3(x-l)2圖象關(guān)于直線x=l對稱，符合題意，

所以〃x)+∕(2-x)=(x-iy+l+(l-x)3+l=2,

故選項(xiàng)A不正確，

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)y=/(X)的定義域?yàn)?。，VxeD,

(1)存在常數(shù)α,6使得f(x)+f(2a-x)=2bof(a+x)+/(α-x)=?,則函數(shù)y=/(?)圖

象關(guān)于點(diǎn)(。涉)對稱.

(2)存在常數(shù)a使得/(x)=f(2a-x)of{a+x)=f(a-x),則函數(shù)y=/(x)圖象關(guān)于直

線X=α對稱.

20.(2023秋?江蘇南通?高三統(tǒng)考期末)若函數(shù)F(X)是定義在(0,+8)上不恒為零的可導(dǎo)

函數(shù)，對任意的X,yeR*均滿足：/(χy)=V(j)+j∕(χ),/(2)=2,記g(x)=f'(x),

則()

A./(1)=0B.g(l)=0

C.g(4x)-g住］=4D.∑∕(2*)=2+(n-l)2n÷'

14Jk=ι

【答案】ACD

【分析】對于A選項(xiàng)，賦值即可判斷；對于B選項(xiàng)，可根據(jù)題設(shè)條件，構(gòu)造函數(shù)

牛?u/:ln*任Wo),求出解析式，即可判斷：對于C選項(xiàng)，通過對f(2x)=2∕(x)+2x

求導(dǎo)可得g(2x)-g(x)=l,即可判斷；對于D選項(xiàng)，通過構(gòu)造數(shù)列，結(jié)合裂項(xiàng)相消法

以及等比數(shù)列求和公式即可求解.

【詳解】令X=y=ι,得/(1)=/(1)+/(1),即/(1)=0,故A正確；

因?yàn)?(盯)=4(，)+時(力，則‘腎=與^+^^,

又因?yàn)?⑴=o,f(x)是定義在(0,+8)上不恒為零的可導(dǎo)函數(shù)，所以可設(shè)

J(X)=kinx(k≠0),

因?yàn)?(2)=2,所以犯=Aln2,即/=」，則〃x)=」XlnX,

2In2In2

所以g(x)=r(X)=JXI+lnx),則g⑴=J?≠0,故B錯誤；

In2In2

令y=2,所以/(2x)=0?(2)+2∕(x),所以/(2x)=2∕(x)+2x,

所以2∕'(2x)-2∕'(X)=2,所以r(2x)-r(x)=l,則g(2x)-g(x)=l,

所以g圖-g(T=l,g(x)-g(9=l,g(2x)-g(X)=1,g(4x)-g(2x)=l,

累加得：g(4x)-g(T=4,所以選項(xiàng)C正確；

因?yàn)?2x)=2∕(x)+2x,

所以/(2x2°)=2∕(2°)+2x2°,

/(2×2l)=2∕(21)+2×2',

/(2×22)=2∕(22)+2×22,

L

/(2×2"-')=2/(2"T)+2×2"τ,

累加得：

/(2×20)+∕(2×2l)+?+/(2×2,,^l)=2∕(20)+2×20+2∕(2l)+2×2l+-+2∕(2,,^')+2×2,,^l

，即3)