title10: 導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)練習(xí)題(有答案)

title10:導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)練習(xí)題(有答案)1.求函數(shù)$f(x)=x^2+3x-5$在點(diǎn)$x=2$處的導(dǎo)數(shù)值。解答:我們可以使用導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)計(jì)算這個(gè)導(dǎo)數(shù)值。導(dǎo)數(shù)定義：$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$將函數(shù)$f(x)$帶入導(dǎo)數(shù)定義計(jì)算：$f'(2)=\lim_{h\to0}\frac{(2+h)^2+3(2+h)-5-(2^2+3(2)-5)}{h}$簡(jiǎn)化表達(dá)式：$f'(2)=\lim_{h\to0}\frac{(4+4h+h^2)+(6+3h)-5-(4+6-5)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{h^2+7h}{h}$化簡(jiǎn)表達(dá)式并約簡(jiǎn)：$f'(2)=\lim_{h\to0}\frac{h(h+7)}{h}=\lim_{h\to0}(h+7)=7$所以函數(shù)$f(x)=x^2+3x-5$在點(diǎn)$x=2$處的導(dǎo)數(shù)值為$7$。2.求函數(shù)$g(x)=\sqrt{3x}-2x$在點(diǎn)$x=4$處的導(dǎo)數(shù)值。解答:我們可以使用導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)計(jì)算這個(gè)導(dǎo)數(shù)值。導(dǎo)數(shù)定義：$g'(x)=\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}$將函數(shù)$g(x)$帶入導(dǎo)數(shù)定義計(jì)算：$g'(4)=\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{3(4+h)}-2(4+h)-(\sqrt{3(4)}-2(4))}{h}$簡(jiǎn)化表達(dá)式：$g'(4)=\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{12+3h}-8-2h-2\sqrt{3}+8}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{12+3h}-2h-2\sqrt{3}}{h}$為了簡(jiǎn)化計(jì)算，我們將分子有關(guān)$h$的部分進(jìn)行有理化：$g'(4)=\lim_{h\to0}\frac{(\sqrt{12+3h}-2\sqrt{3})(\sqrt{12+3h}+2\sqrt{3})-2h}{h(\sqrt{12+3h}+2\sqrt{3})}$繼續(xù)化簡(jiǎn)表達(dá)式：$g'(4)=\lim_{h\to0}\frac{(12+3h)-12-(2h)(2\sqrt{3})}{h(\sqrt{12+3h}+2\sqrt{3})}$約簡(jiǎn)表達(dá)式：$g'(4)=\lim_{h\to0}\frac{h(3-2\sqrt{3})}{h(\sqrt{12+3h}+2\sqrt{3})}$相同的因式約去：$g'(4)=\lim_{h\to0}\frac{3-2\sqrt{3}}{\sqrt{12+3h}+2\sqrt{3}}$現(xiàn)在，我們可以將$h$趨于$0$來(lái)計(jì)算上式的極限：$g'(4)=\frac{3-2\sqrt{3}}{\sqrt{12}+2\sqrt{3}}=\frac{3-2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}+2\sqrt{3}}=\frac{3-2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}$化簡(jiǎn)并約簡(jiǎn)：$g'(4)=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\sqrt{3}$所以函數(shù)$g(x)=\sqrt{3x}-2x$在點(diǎn)