新高考二輪復習真題導數(shù)講義第35講 函數(shù)與數(shù)列不等式問題（解析版）

第35講函數(shù)與數(shù)列不等式問題

1.已知函數(shù)/(x)=x∕∕ι(l+x)-α(x+l)(x>O),其中〃為實常數(shù).

(1)若函數(shù)g(x)=∕'(x)--------..O定義域內(nèi)恒成立，求。的取值范圍;

1+x

(2)證明：當α=0時，冬,,1;

X

(3):1---F...H--------</?t(l÷<1H-----1----F...H.

23H+123H

【解答】解：(1)由題意g(x)=∕"(l+x)—————a,x∈[0,?oo)

1+x

11γ

則g'(X)=----------------2=--------7..O

1+x(l+x)2(1+X)2

即g(x)在[0,+8)上單調(diào)遞增，

α,g(0)=0,

.,.a∈(-∞,0]；

(2)即證Λt(l+x),,X,x∈[0,+∞),

設(shè)A(x)=ln(l+x)-x(x>0),

1-1

?'?h?x)=--------1=------,,O

1+x1+x

.?.∕z(x)在[O,÷∞)上單調(diào)遞減，

.,./z(?),,Λ(0)=O,

.,.ln(l+x)?X?X∈[O,÷∞)；

(3)利用「一效j"(l+x)",?e[θ,-κo),

x+1

令X=L得：

n

------<bι(?+〃)—Inn<一,

π+l-----------------------n

一<Inn—ln(n—1)<------>

nn-?

?</M2-ItA<1,

2

累力口得:1----F…+------<Iin(I÷72)<14H----F...d,

23n+123n

當a=O時，",,1；

2.證明：?×—×-×...×-~~-<.l——?-<V2sinJ—?——.

2462nV2∕ι÷lV2n÷l

【解答】證明：女二1<3_

2n2〃+1

1352π-l2452〃

-×-X—×...×<—X—X—×...×

2462n3572〃+1

.?.(1×2×^×...×2〃-1)2鼠..xZ?2a...χ2n1

)=

246In2462n352n÷l2H+1

令F(X)=亞SinX-X，x∈

當當十πV2

COSX>cos—=——

42

.,.∕,(x)=V2COSX-1>0

.?./(?)=χ∕2sinX-X,在(O,上遞增，.?.∕ω>∕(θ)=o,

3.已知/(x)=e[8(工)=1+1(6為自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)求證：/'(X)..g(x)恒成立;

(2)設(shè)團是正整數(shù)，對任意正整數(shù)〃，(1+…(l+]?)<"2,求〃7的最小值.

【解答】解：(1)令〃(X)=∕*)-g(x)=e*-工一1,h,(x)=ex-1,hf(x)=O,

則X=0，當XVO,/Z(x)<0；x>θr?,g<x)>O,所以∕z(x)在(O,400)單調(diào)遞增，在(-∞,0)單調(diào)遞減,

所以〃(幻最小值=M。)=。，即力(x)..0恒成立；

所以/(%)..g(%)；

11-L

(2)由(1)令X=L,可知O<l+L<e3",由不等式性質(zhì)得

3“3”

t?

11111±l÷1...÷1?-ll-(l)-1-

(l+-)(l+?y)...(l+-)<￠3ei...ey=e33^+y=e3=e2u31<e1=4re<2.

所以加的最小值為2.

4.己知函數(shù)/(x)=e*,g(x)=-→2-x,(其中αeR,e為自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828...).

(1)令〃(X)=/(x)+g<x),若〃(x)..0對任意的x∈R恒成立，求實數(shù)。的值；

(2)在(1)的條件下，設(shè)機為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)〃，t(-Y<m,求加的最小值.

【解答】解:(1)因為g'(x)=-Or-1,

所以h(x)=ex-ax-1,

由〃(戲.O對任意的％∈R恒成立,即A(x)wirt..O,

由hf(x)=ex-a,

(i)當心0時,h,(x)=ex-a>O,〃⑴的單調(diào)遞增區(qū)間為R,

所以X∈(-∞,0)時，A(x)<Λ(0)=O，

所以不滿足題意.

zx

(H)當α>O時，由Λ(x)=e-a=Of得X=Ina,

X∈(TX)Jna)時，〃'(X)<O,x∈(Ina,+∞)時,h,(x)>O,

所以力(X)在區(qū)間(-OO,/")上單調(diào)遞減，在區(qū)間(∕%,y)上單調(diào)遞增，

所以〃(X)的最小值為h(bιd)=a-alna-1.

設(shè)°(a)=a-alna-1,所以夕(a)..0,①

因為“(a)=—Ina,

令"(a)=—Ina=O,得Q=1,

所以夕(a)在區(qū)間((U)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,÷∞)上單調(diào)遞減，

所以9(a)?夕(1)=0,②

由①②得φ(a)=O,則々=1.

(2)由(1)知e*-x-L.O,即1+天，一,

LL--

令X=——(neN',k=0,1,2,3,…，H—1),則0<1—,,e"，

nn

所以(1-%”"半=—-,

n

所以y(1)n=A"+(―)"+(-)"

↑7?nnnnn

,,e-'n^'y+e^*"^2)+…+e^^2+e-∣+1

所以汽dτ<2,

∕=1〃

xφ3+(∣)3+φ3>i.

所以W的最小值為2.

Lr

5.設(shè)函數(shù)/(K)=2?ιrd------kx.

X

(I)當伙|.」時,判斷函數(shù)/(X)的單調(diào)性;

(II)若對任意的正整數(shù)〃都有In1(\+1)+∕H2(1+?)+...+∕H2(1+?)<m，求機的最小值.

2n

【解答】解：(I)f(x)=2lnx+勺-kx,

X

”、2k.kx2-2x+k

?/U)=---------k=----------?------,

XX廠

令y=?√_2x+%,

,.恨..1，

.?.A=4-4∕r2=4(l-?2)<0,

.?.當左，-1時，r(x)..0恒成立，/(X)在(0,內(nèi))上單調(diào)遞增，

當k.l時，/(%),,0恒成立，/(x)在(0,yo)上單調(diào)遞減；

(II)由(I)可得，當k=2時，/(x)在口，+∞)上單調(diào)遞減，

2

:.f(x)=2lnx+——2工J(1)=0,

X

:.bf,x--(x=↑時取"=")，

X

令X=I+L

n

則Irr(1+?)<(1+?----^-)2=(?4—--)2<?,

〃〃〃

n1十_L一l+1n

n

.?J∕j2(l+l)+∕Λ^(l+-!-)+...+∕zr(J+^<4<4-÷-τ+-τ+??+-V)<4(l+-+——-——)=4{l+(-!--i)+(-!--i)+...+(———?)]=4(---!-)<6

2nI22232n22×33×4n[n-1)2334zι-ln2n

6.已知函數(shù)/(x)=R'tr+"7.

X

(1)討論F(X)的單調(diào)性;

(2)當α=l時，證明：

(Z)V(X),,x-1；

⑺證明：歿+幽+…+位

23n22〃+24

r/5依Yhn/.X“、—altvc—a+11—alnx八、

【解答】解：(1)f,(x)=------；------=—；—(zx>0),

X2X2

令g(x)=1-Cilnx,

①α二O時，g(%)=l>O,/G)在(0,叱)匕單調(diào)遞增；

??

②.>0時，x∈(O,e")時，g(x)>O,/(x)單調(diào)遞增；x∈(e",÷∞)時，g(x)vθ,/(%)單調(diào)遞減.

??

③α<0,Xe(O,好)時，g(x)<O,/(X)單調(diào)遞減；x∈(*,+∞)時，g(x)>O,f(x)單調(diào)遞增.

綜上，α=0時，/(x)在(0,田)上單調(diào)遞增；

4>0時，f(x)在(0,e；)上調(diào)遞增，在舊,+8)上單調(diào)遞減；

α<0時，/(x)在(O,eD上單調(diào)遞減，在(e,,+8)上單調(diào)遞增.

(2)(i)a=1時，f(x)=――，所以VW=hvc.

X

11—?

令〃(x)=Λιr-x+1,則Ar(x)=——1=-----(x>0)?

XX

x∈(O,l)時，A,(x)>O,∕z(x)單調(diào)遞增；x∈(l,+∞)時，/Z(x)<0,獻x)單調(diào)遞減.

h(x>naχ=h(I)=//11=0,

即版,X-I,即?(?),,x-l.

(")α=l時,/(X)=—,U~L=

Xnn

由(Z)知/咚X-I,即—?l-?.

XX

令X=/

得””1-4,即絲1,,1-二，所以絲,'(>J7),

nnnnn~2n~

/(2)/(3)f^ti)Jn2IriiInn1I11

23n2232n222232n2

-^{(π-l)-(-ζ-+-ζ-+...+-ζ-)]<-^[(∕j-l)-(-5―+—5—+...+)]??l(w-l)-(?-?+-^--^-+...+-^-)]=-[(Λ-1)-(--)]=-+-=—+

22232w222x33×4n×(w+l)22334nn+?22π+l22π+2422π+24

./(2)??(?)f{ri)n13

+...H--------<-H-----------

23n22H+24

7.已知二次函數(shù)/(x)滿足/(x—2)=/(—x),/(—1)=1,/(0)=2,g(x)=ex.

(1)求/(x)的解析式；

(2)求證：x..O時，2g(x)..∕(x);

1?11.>τ*x

(3)求證:------------1---------------F...+------------<一(〃∈N).

2g⑴+12g⑵+22g(〃)+〃2

【解答】解：(1)由/(x-2)=∕(-X),可設(shè)/(x)=α(%+l)2+c,

因為/(—1)=1,/(0)=2，所以c=l,α=l,

.?./(Λ)=(X+1)2+1,Bp/(x)=x2+2x÷2.

(2)設(shè)Oa)=2g(x)-/(%)=20一爐一2%-2,φ,(x)=2ex-2x-2,

令φ,(x)=h(x)>即h(x)=2ex-2x-2,則h,(x)=2ex-2,當XV0,h,(x)<0,當x>0,〃'(%)>0,

即力(尤)在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，Λ(?,w=Λ(O)=O.

.,.φ?x)..0,.?.夕(X)在R上單調(diào)遞增，.?.x..0時，儀X)?.0(0)=0,

.?2g(x)..f(x).

(3)由(2)知2g(x).J,(X)艮∣J2g(x)服2+2χ+2=2g(x)+xx2+3x+2.

易知x∈N"時，2g(x)+x>0,X2+3x÷2>0,

?------1----------------1-----------------1-------------1-------1---

2ga)+%x2+3x+2(x+l)(x÷2)x+1x+2

111111

-------<-----，---------V----------，

2^(1)+1232g(n)÷n〃+1〃+2

111Ill

.二-------H---------------------J-…H------------------<-----------------<一.

2g⑴+12g⑵+22g(〃)+〃2n÷22

8.定義：若華在伙，+8)上為增函數(shù)，則稱/(X)為“A次比增函數(shù)"，其中keN',已知/(X)=*.(其

Xk

中e=2.71238…)

(I)若∕ω是“1次比增函數(shù)。求實數(shù)。的取值范圍；

(II)當a=2時，求函數(shù)g(x)=∕<H在［"?,m+l］(6>0)上的最小值；

2X

(III)求證：?+——^=—+—］?+...+―\=—<—.

4e2(√e)23(√e)3〃(&)"2e

【解答】解：(I)由題知y=e在［1,+8)上為增函數(shù)，

X

故(￡1)'=0"(.一1)..0在］,+8)上恒成立，故5-1..0在［1,+8)上恒成立，

XX'

即在XWU，+8)上恒成立，而L,1,.?.ɑ.l.--------------------------------(4分)

XX

5e?(--l)

(II)當時，g(χ)=/=絲，gfM=—?—,--------------------------------(5分)

2XXX

當x>2時,g'(x)>O,即g(x)在［2,+8)上單調(diào)遞增；

當x<2且XXo時，g'(x)<O,即g(x)在(0,2),(9,O)上單調(diào)遞減;

又%>O,.'.m+?>↑

m

故當/7?..2時，g(x)在［m，m+1］上單調(diào)遞增，此時g(x)=g(m)=—

minm

nι+?

當0<∕,l時，6+L,2,g(x)在［帆，〃?+1］上單調(diào)遞減，此時g(χ)〃而=g(m+1)=-----

"7+1

當1<機<2時，g(x)在的，2］上單調(diào)遞減，在［2,〃?+1］單調(diào)遞增，故此時g(x)*=g(2)=］

(8分)

m+1

,~2~

綜上有：當時，g(x)min=g(m+?)=?_-

"7+1

當1<a<2時，g(x),niπ=g(2)=∣:

m

e2

當機.2時，g(x)=g(m)=一(9分)

minm

(III)由(H)知，當x>0時?，g(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,÷oo)上單調(diào)遞增,

故g(x)..g(2)=芻，BP—...?,-------------------------------(10分)

2X2

2

故當x>0時,總有?,,4成立,

e

e2

n12

取X=〃時有―---,______=________..(12分)

(&)〃*〃(&)〃/(&)〃，，fj2

故

-f=HLrH~.+…HJ=~,,-(1H--H-7+…^7)<一(—I-----1-----!-…H------)=-(—I-----)<

82(Gy3(√γ^)3"(金￥e2232n2e42×33×4(n-?)ne、42nIe

-----------------------------(14分)

9.已知數(shù)列｛x,J滿足：Xl=1,Λn=Λn+∣+∕"(l+xjt+∣)("wN"),證明：當〃WM時,

(I)0<xn+l<xn；

(II)2xn+l-xn,,^;

Ull)擊蛋匕IT?

【解答】解：(I)用數(shù)學歸納法證明：Xn>0,

當”=1時，xl=1>0,成立，

假設(shè)當〃=々時成立，則x*>0,

那么n=Z+1時，若xll+∣<0，則0<x?=x*+∣+/"(l+x*+∣)<O,矛盾?，

故—>O>

因此x,,>0,(neN*)

?'??=?÷ι+^(1+Λ,÷∣)>?÷∣，

因此0<x,,+∣<%("eN"),

(H)由X(I=X.I+ln(l+x,,+l)得xnxn+l-4xn+l+2xn=-2xn+i+(xπ+l+2)Zn(l+xn+1),

記函數(shù)/(x)=χ2-2x+(x+2)∕”(l+x),x..0

2f+γ

f,(x)=~—-+/〃(1+x)>0,

x+1

.?./(%)在[0,+8)上單調(diào)遞增，

.?.∕(x)..∕(0)=0,

因此片+1-2xw+1+(x,,+l+2)∕n(l+Xn+])..0,

故2%+「Z,，學；

(In)xn=xn+l+∕n(l+xn+l),,xπ+,+xn+1=2xn+1,

xx22

由""^'???+ι一七得'-----τ??(-一；)>0，

2加2X,,2

--?)...?2,,^'(?-?)=2n^2,

x

n2X(IT2X12

1

S”聲■，

綜上所述擊都?,

10.已知函數(shù)?(?)=sin2?sinIx.

(1)討論了(幻在區(qū)間(0,萬)的單調(diào)性；

(2)證明："(χ)∣,,攣；

O

γ

(3)設(shè)"∈N*,證明：sin2xsin22xsin24x...sin22,,‰—.

4“

【解答】解：(1)/(x)=sin2xsin2x=2sin3xcosx,

.?.f,(x)=2sin2X(3COS2x-sin2x)=2sin2x(3-4sin2x)

=2sin2Λ[3-2(l-cos2x)]=2sin2Λ(1+2cos2x),

令/'(X)=°,解得,x=?∣?,或x=T'

當xe(0,至或(區(qū)萬)時，∕,(%)>0,當X嗚，爭時，

.?"(x)在(0,馬，(―,萬)上單調(diào)遞增，在(生，生)上單調(diào)遞減.

-3333

證明：(2)/(O)=∕(zr)=O,

由⑴可知F(X)極小值F(X)極大值'

f,、3√3,z?3√3

??J^max=~~Γ~'f(x)∕≡=--

OO

/(X)為周期函數(shù)且周期為萬，

,λ∣36

??l-∑-；

O

3

(3)?(sin2xsin22xsin24x...sin22,tx)2=∣sin3xsin32xsin34x.......sin32w^,xsin32nx?,

=Isin%I?Isin2xsin,2%sin34.r.......sin32n^l%sin2,,Λ∣?∣sin22"x?,

=∣sinx∣?I/(x)∕(2x)...f(2n-'x)∣?∣sin22πx∣,

??f(x)f(2x)...f(2n-'x)?.

.,.sin2xsin22xsin24x...sin22"x,,(r-^-')nY=?-?

11.已知函數(shù)/(x)=ex+e^x+(2-b)x,g(x)=ax2+b(a,beR),若y=g(x)在=1處的切線為

y=2x+↑+f(0).

(I)求實數(shù)。，〃的值；

(II)若不等式/(x)..kg(x)-2左+2對任意XeR恒成立，求Z的取值范圍；

(IIl)設(shè)θ.,θ,,...,θl,e(θΛ)，其中〃-2,neN*證明

2

l

/(sinθ`)√(cosθn)+/(sinθ2>∕(cos6,,l)+...+/(sin6?τ.,)√(cosθ2)+/(sin6>,)√(cosθλ)>6n.

【解答】解：(I)由r(x)=e*-e-*+2-6,得f'(0)=2-b,由g'(x)=2奴,得g'⑴=Ia,

2a=2

根據(jù)題意可得,解得

g(↑)=a+b=2+1+2—。b=2

(II)由不等式f(x)..儂(X)-2無+2對任意x∈∕?恒成立知，e*+/*-AX2-2..0恒成立,

令F(X)=e'+e-*—立-2,顯然F(X)為偶函數(shù)，故當x..0時，尸(x)..0恒成立,

F?x)=ex-e^x-Ikx,令h(x)=ex-e^x-2kx(x..0),貝Uh'(x)=ex+e~x-2k,

令H(X)=ex+e-χ-2k(x..0),則H'(x)=ex-e^x,顯然”,(x)為(0,”)上的增函數(shù)，

故/Γ(x)..9(0)=0,即H(X)在(O,+W)上為增函數(shù)，4(0)=2-2&,

①當"(0)=2-2Z..0,即左,,1時,H(X)..0,則〃(X)在(0,E)上單調(diào)遞增，

故〃(X).)(0)=0,則F(X)在(0,y)上為增函數(shù)，故F(X)..F(O)=O,符合題意：

②當H(O)=2-2左<0,即。>1時,由于Haft(2k))=A>0,故存在XIW(O,ln(2k)),使得H(XI)=0,

故∕z(x)在(O,XJ單調(diào)遞減，在(占，+∞)單調(diào)遞增，

當Xe(O,χ)時，∕z(x)<Λ(O)=O,故尸(X)在在(O,x∣)單調(diào)遞減，故尸(x)<尸(O)=O,不合題意.

綜上，k?1；

22222222

(III)證明：由(H)知，/(x,)∕(x2?l+2)(X2+2)?X1X2+2x,+2x2+42xl+2x2+4,當且僅當

XI=X2=O時等號同時成立，

2r1

故/(sinθl)f(cosθll)>2sinθx+IcosQn+4,

22

/(sinβ2)∕(cos?,∣)>2sinθ2+2cosθn^+4............

2

/(sinθll)f(cosθt)>2sirrθn+2cosθl+4，

以I:個式子相加得

+

/(sinJ)√(cosθn)+/(sinθ2>∕(cos仇T)+???F(Sin6*,,1>∕(∞sθ2)+/(sin?)√(cosθt)>6n.

12.已知函數(shù)F(X)=仇(1+X)-*」'x).

1+x

(1)若x..0時，/(X),,0,求;I的最小值；

(//)設(shè)數(shù)歹∣J{%}的通項a4=1+』+」+…+L證明：%〃一?！?」->加2.

23n4n

【解答】解：(/)由已知，/(0)=0,

f'{χ)=，???∕<(0)=O，

所以/l的討論分界點為2=0」，

2

情形一:4,o.此時r(x)>o,于是ya)單調(diào)遞增，

當X..0時有/(x)>∕(0)=0,不符合題意；

11_

情形二：：0<幾<一.此時在(0,-------)±∕,(x)>0,

2λ,

于是在此區(qū)間上/(幻單調(diào)遞減，進而/(x)>/(0)=0,不符合題意;

情形三：λ=-.此時當x..O時,

2

于是/(x)單調(diào)遞減，因此/(x).."))=0,符合題意.

綜上，見的最小值為』.

2

(〃)令；l=g,由(/)知，當x>0時?，/(Λ)<0,即M2+x)

>∕n(l+?)

2÷2x

取H-7X=1一,IH則iI-2-2--+--1->//?(-k-+--?)

k2*(Λ÷1)k

11111

于是a2n-anH-----=---------1---------÷...H------1-------

4n/1+1n+22n4n

11111

—+q+------------+------+-...+—+—+—

2(〃+1)2(77+1)2(〃+2)2(77+2)2(〃+1)4τ?4〃4〃

—+,+-^+-^+-^+…++―^+―

In2(∕?÷1)2(∕t+l)2(〃+2)2(?+2)2(/?+3)2(2H-1)2(2/7-1)4/t

2π-l1L1l

=Σ士(-2k+—2(k+-l)

得2k+l汜，，4+1、，C,,c

=>----------->>ιn(------)=ln2n—Inn=m2

±2k(k+l)占k

所以a2n~an+~~>/〃2

4n

13.已知函數(shù)?(?)=X2-Ixlnx,函數(shù)g(x)=x+q-(/nr)2,其中α∈尺,與是g(x)的一個極值點，且gC?)=2.

X

(1)討論了(好的單調(diào)性;

(2)求實數(shù)4和。的值;

〃11

(3)證明>一廠一>—InQn+1)(〃WN").

^√4?2-l2

【解答】解：(1)函數(shù)Fa)的定義域(0,+∞),f?x)=2x-2lnx-2,

令A(yù)(x)=2x-2l∕υc-2,則h,(x)=—,

X

由"(X)=O可得X=1,

當％∈(0,l)時，∕z,(x)<O,∕ι(x)單調(diào)遞減，當x∈(l,+∞)時，/(X)>0,■%）單調(diào)遞增,

故當x=l時，函數(shù)取得極小值也是最小值"(I)=0,

所以〃(X)..0即∕z(x)..0,

所以/(X)在(O,+oo)上單調(diào)遞增；

(2)g(x)的定義域(0,+∞),<(x)=l->?-3竺，

XX

由題意可得，/(/)=。即-2/3)-。二0①，

2

由g(%)=2可得A?2-X0(ZMT0)-2Λ0+α=0②，

2

聯(lián)立①②消去々可得，2x0-(∕nx0)-2lnx0-2=0,

4-t{x')=2x-(∕nx)2-Hnx-2,K∣Jf(x)=2----=2^x-nx-^-,

XXX

由(1)知)一加x—1..0,故「(%)..0,

故/(外在(0,yo)上單調(diào)遞增，又t(1)=0,

故方程③有唯一的解AO=I,代入①可得α=l,

所以尤0=1,a=1?

(3)證明：由(1)∕*)=χ2-2Hnr在(0,+oo)上單調(diào)遞增，

√?j-、,(、、“、X2-2xlnx-?/(x)-1八

故4r二z∣x>l時，/(%)>/(1)=1，g(x)=---------；-------=-----；—>0

XX

所以g(x)在(1,+8)匕單調(diào)遞增，

因此當x>l時，g(x)>g(1)=2,BPx+--(lnx)2>2,

X

故--^=)~>(ZMX)2,

?fx—廣>Inx,

√x

ττ-2%+1.*―?z12k+1∣2,k—1......八

U又7X=-------,kwNκτ,RΓr?`?*θJ-----------?I-------->ln(^2,k+1)-/九(2&-1)?

2k-lV2?-l丫2&+1

故(Textranslationfailed),

n11

所以>—∕π(2n+l)(7?∈N").

?√4?2-l2

14.已知函數(shù)F(X)=加x,g(χ)=---,(α為常數(shù))

2X

(1)若方程e2"?υ=g(x)在區(qū)間耳，1]上有解，求實數(shù)”的取值范圍；

(2)當α=l時，證明不等式g(x)v∕(x)<x-2在[4,+oo)上恒成立；

(3)證明：(Textranslationfailed),(〃∈N")(參考數(shù)據(jù)：打2≈0.693)

【解答】解：(1)?fM=lnx,()=---,

gx2X

??.方程網(wǎng)")=放外可化為

、3a

x~=-------.

2X

B∣Ja=-x^+—X.

3

令∕Z(X)=-Λ3+??.

3

貝lj∕z'(χ)=—3幺+/.

由h,(x)=—3X-+—=0W?

X=—,或X=-立(舍去).

2

a

當x∈時，Λ,(X)=-3X2+∣>0.∕Z(X)單調(diào)遞增.

當xe(正,1]時，h'(x)=-3x2+-<0.∕z(x)單調(diào)遞減.

22

ft

λ?=∣'h⑴=：'吟)=4?

?≡[?>1]時，Λ(x)∈[-,??].

方程e2fM=g(x)在區(qū)間弓,1]匕有解等價于

l√2.

ae[r-,—].

22

(2)α=l時，不等式g(x)<∕(x)可化為

31,

-------<Inx，

2X

13

即Inx+—>—.

令r(x)=Inx+—.

x

貝IJ/(X)=L-J7.

XX"

當％∈[4,+8)時，r(x)單調(diào)遞增.

13

?,?r(A≡=r(4)=ln4+->-.

，當X￡[4,+00)時，g(x)</(x)恒成立.

/'(X)V工一2可化為

Inx<x—2，

即lnx-x<-2.

令Z(X)=Inx-X.

k?x)=——1.

X

當x∈[4,+8)時，Z(X)單調(diào)遞減.

Da=k(4)≡∕n4-4<-2.

;.當x∈[4,+oo)時，/(x)vx—2恒成立.

，當α=l時，證明不等式g(x)v∕(X)VX-2在[4,+oo)上恒成立.

(3)f(x)=Inx，

:.2f(2k+1)-f(k+1)-f(k)=2ln(2k+1)-Zw(?+1)-Ink

/〃經(jīng)包

k(k+1)

?(----------+4),

?(?+l)

31

由(2)可知,----<f(x)<X—2>

2X

3111

...-------------------</(----------+4)<----------+4-2

21IZIk(k+l)k(k+l)

k(k+1)

BH3Z(%+l)<f(——+4)<?-——+2,

'2^W+1)+1k(k+l)k?+l

---1------------------<f(-----------F4)<-------------F2

416?(?+l)+4?(?+l)kΛ÷l

.?.(Textranslationfailed),

〃￡N*,

.?.(Textranslationfailed).

15.已知函數(shù)/(x)=∕nr,g(χ)=3一0(。為實常數(shù))

2X

(1)當α=l時，求函數(shù)G(X)=/(x)-g(x)在x∈［4,+8)上的最小值；

(2)若方程e2"">=g(x)(其中e=2.71828…)在區(qū)間［1，1］上有解，求實數(shù)”的取值范圍；

2

51"

(3)證明:-n+-<Y［2∕(2?+1)-f(k)-f(,k+l)］<2n+l,neN*■(參考數(shù)據(jù):/?2?0.6931)

460言

1R

【解答】解：(1)當。=1時，φ(x)=∕(χ)-g(χ)=Inx+——二，

X2

則“(X)=L,

XXX

?.?在區(qū)間(0,1］±,√(x),,0,在區(qū)間［1,+8),√(x)..0,

???O(X)在區(qū)間(0,1］上單調(diào)遞減，在區(qū)間［1，+∞)上單調(diào)遞增.

在％∈［4,+∞)上，當x=4時，e(x)的最小值為e(4)=ln4--.(4分)

4

(2)方程e">=g(x)在區(qū)間［；,1］上有解

即e2*=3,在區(qū)間［L1］上有解

2X2

即α=∣x-χ3在區(qū)間1］上有解

31

令力(X)=/X-x3,x∈［-,1］?

3?

.?.A,(X)=--3X2,

IS6

,在區(qū)間［萬，?-l?.h'(x)..O,在區(qū)間［m，1］上，〃(X),,0,

.?∕(x)在區(qū)間［g，?］上單調(diào)遞增，在區(qū)間［孝，1］上單調(diào)遞減，

又〃⑴</z(?).

五

:.h(1)效MX)Λ(-)

2

即料⑴乎

4k+4k+l

(3)設(shè)a*=2f(2k+1)-f(k)-f(k+1)=2Zn(2?+V)-lnk-ln(k+1)=ln'

k(k+1)

由(1)知，8(x)的最小值為e(4)=∕n4-->0,

4

.?.∕nr>^-l(x.4)

2X

4表2+42+1

又>4,

AOt+1)

3?(Jt+l)5115115111、

>--------；-----------=—I—?----------->—I—?--------------------二—I—,(z-------------------)

24?2+4?+l44(2?+l)244(2?+l)(2?+3)482k+12k+3

5Jlll)=2"?d--".(」)5

?'?Zlak>]〃+(---------1-----------1-…+=-n-?-----

k=}4835572/1+12〃+34832〃+34835460

構(gòu)造函數(shù)F(X)=加X-x+2(x..4),則F?x)=-~~-

X

.?.當X..4時，F(xiàn)(Λ)<0.

二F(X)在［4,”)上單調(diào)遞減,

即F(X),,尸(4)=∕n4-2=2(∕n2-l)<0.

當x>4時，lwc<x-2.

,4r+4左+1

a=In-<--4---+--1-------!—-2

卜?(?k÷1)k&+1

1

?Pak<2+J—

I÷7

n

二.〉：/<2〃+1--------<2n+l.

A=I〃+1

故(Textranslationfailed).(14分)

16.已知/'(x)=x-3(α>0),g(x)=2lnx.

x

(1)若對［1,+8)內(nèi)的一切實數(shù)x,不等式/(x)..g(x)恒成立，求實數(shù)。的取值范圍;

(2)當。=1時，求最大的正整數(shù)M使得對［e,3］(e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))內(nèi)的任意2個實數(shù)大，

X2,…,.都有/(%)+/(1)+..?+/(々_1),,168(/)成立；

〃4/

(3)求證：Y—；——>ln(2n÷1),("∈N*).

?4z2-l

【解答】(1)解：由/(x)..g(x),得@“x-2/nx,

X

,x.l，「.要使不等式f(x)..g(x)恒成立,只需4,一一2%∕nχ恒成立.

設(shè)h［x}=x2-Ixlnx,則h'(x)=2x-2(InX+x?-)=2x-2lnx-2,

X

?

〃〃(X)=2-*,.?.當x..l時，h?x)..hn(1)=0,則/(X)是增函數(shù)，

X

.?hf(x)..hf(1)=0,則A(X)是增函數(shù)，［〃(1)］*=〃(1)=1,

.,.a,1.

因此，實數(shù)〃的取值范圍是0<a1；

(2)解：當α=l時，f(x)=x--,:.∕,(x)=l+-?>O,

XX

Q

.?.∕(x)在［e,3］上是增函數(shù)，/(x)在［e,3］上的最大值為/(3)=-.

要對［e,3］內(nèi)的任意％個實數(shù)x1,x2,...,X*都有/(Λ?)+∕(Λ2)+…+F(x*-∣),,16g(x*)成立,

必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值，

當X=&=…=ZT=3時，不等式左邊取得最大值，W=e時不等式右邊取得最小值，

Q

.?.(?-l)×-,,16×2,解得鼠13.

3

因此，正整數(shù)攵的最大值為13.

(3)證明:當α=l時，根據(jù)(I)的推導有，x∈(l,÷∞)0t,f(x)>g(x),

即加(X)Vj(X-3?

2X

令、=”里，得/U皿???),

2k-l2k-l22k-l2Z+1

4k

化簡得InQk+l)-ln(2k-1)<

k2-l

(Textranslationfailed)，

"A；

即∑^2—^>/〃(2〃+1),(〃∈N*).

17.函數(shù)F(X)=/〃(x+l)---(α>l).

x+a

(I)討論/(x)的單調(diào)性；

23

(II)設(shè)4=1,a=ln{a÷1),證明：----<?,,----("∈N)?

ll+ln〃+2n÷2

【解答】解：(I)函數(shù)f(x)的定義域為(―l,+oo),r(x)=地二Q心圖，令g(x)=χ2+(2"∕)χ,則

(x+l)(x+a)

g(T)=3-1)2>0,

對稱軸X=/凸>-1,因此按a與2的大小關(guān)系進行討論.

2

①當lvαV2時,^xe(-l,a2-2a),則［(