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專(zhuān)題7二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用(解析版)
類(lèi)型一圖形面積問(wèn)題
1.(2022秋?上杭縣期中)如圖,在足夠大的空地上有一段長(zhǎng)為40機(jī)的舊墻某人利用舊墻和木欄圍成
一個(gè)矩形菜園ABe£>,其中AQWMM已知矩形菜園的一邊靠墻,另三邊一共用了IOom木欄.
(1)若AD<20∕n,所圍成的矩形菜園的面積為450"2,求所利用舊墻的長(zhǎng);
(2)求矩形菜園ABe。面積的最大值.
BC
思路引領(lǐng):(1)設(shè)A3=。,”,則BC=(100-2b)如由b(IOO-2?)=450求解.
(2)設(shè)AO=X"?,矩形菜園ABCQ的面積為S通過(guò)配方法求解.
解:(1)τ^(guān)AB=bm,則BC=(100-2fe)m.
根據(jù)題意得。(100-26)=450,
解得bι=5,柩=45.
當(dāng)人=5時(shí),100-2Z>=90>20,不合題意,舍去;
當(dāng)6=45時(shí),Ioo-23=10.
答:AD的長(zhǎng)為10m.
(2)解:設(shè)Ao=X,",矩形菜園ABe。的面積為S〃/,
則S=;X(100-χ)=-?(%-50)2+1250.(0<x≤40),
-≤0>
二圖像開(kāi)口向下,當(dāng)χV50時(shí),S隨X的增大而增大,
當(dāng)X=40時(shí),S有最大值,為1200〃尸
總結(jié)提升:本題考查一元二次方程的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是根據(jù)題意列出等式,掌握配方法求最值.
2.(2021秋?澧縣期末)如圖,某農(nóng)戶(hù)準(zhǔn)備建一個(gè)長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng),養(yǎng)雞場(chǎng)的一邊靠墻,若墻長(zhǎng)為18〃?,墻對(duì)
面有一個(gè)2根寬的門(mén),另三邊用竹籬笆圍成,籬笆總長(zhǎng)33根,圍成長(zhǎng)方形的養(yǎng)雞場(chǎng)除門(mén)之外四周不能有
空隙.
(1)要圍成養(yǎng)雞場(chǎng)的面積為150層,則養(yǎng)雞場(chǎng)的長(zhǎng)和寬各為多少?
(2)圍成養(yǎng)雞場(chǎng)的面積能否達(dá)到ZOO”,?請(qǐng)說(shuō)明理由.
----12mI---
思路引領(lǐng):(1)先設(shè)養(yǎng)雞場(chǎng)的寬為初3得出長(zhǎng)方形的長(zhǎng),再根據(jù)面積公式列出方程,求出X的值即可,
注意X要符合題意;
(2)先設(shè)養(yǎng)雞場(chǎng)的寬為xm,得出長(zhǎng)方形的長(zhǎng),再根據(jù)面積公式列出方程,判斷出△的值,即可得出答
案.
解:(1)設(shè)養(yǎng)雞場(chǎng)的寬為初,根據(jù)題意得:
X(33-2JC+2)=150,
解得:Xi=10,X2=7.5,
當(dāng)Xl=Iof?,33-2x+2=15<18,
當(dāng)X2=7.5時(shí)33-2x+2=20>18,(舍去),
則養(yǎng)雞場(chǎng)的寬是IOm,長(zhǎng)為15m.
(2)設(shè)養(yǎng)雞場(chǎng)的寬為xm,根據(jù)題意得:
X(33-2x+2)=200,
整理得:2√-35x+200=0,
Δ=(-35)2-4×2X200=1225-1600=-375<0,
因?yàn)榉匠虥](méi)有實(shí)數(shù)根,
所以圍成養(yǎng)雞場(chǎng)的面積不能達(dá)到20(),
總結(jié)提升:此題考查了一元二次方程的應(yīng)用,讀懂題目的意思,根據(jù)題目給出的條件,找出合適的等量
關(guān)系,列出方程是解題的關(guān)鍵,注意寬的取值范圍.
類(lèi)型二商品利潤(rùn)問(wèn)題
3.(2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)期末)某商場(chǎng)銷(xiāo)售一批名牌襯衫,每件進(jìn)價(jià)為100元,若每件售價(jià)為160元,則平
均每個(gè)月可售出100件,經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),每件襯衫每降價(jià)2元,商場(chǎng)平均每月可多售出10件,為了擴(kuò)大銷(xiāo)
售,增加盈利,盡快減少庫(kù)存,商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施,設(shè)每件襯衫降價(jià)X元.
(1)用含X的代數(shù)式表示每月可售出的襯衫件數(shù)為;
(2)若商場(chǎng)每月要盈利7875元,請(qǐng)你幫助商場(chǎng)算一算,每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元?
思路引領(lǐng):(1)根據(jù)題意可以用含X的代數(shù)式表示每天可售出的襯衫;
(2)以利潤(rùn)為等量關(guān)系列出方程解答即可;
解:(1)每件襯衫每降價(jià)2元,商場(chǎng)平均每月可多售出10件,
,每件襯衫降價(jià)X元,每月可售出襯衫件數(shù)為(100+5x)件.
故答案為:(100+5x)件;
(2)每件襯衫降價(jià)X元,由題意得,
(160-%-100)(100+5x)=7875
解得XI=25,Λ2=15
:要盡快減少庫(kù)存
.?.x=25
答:每件襯衫應(yīng)降價(jià)25元
總結(jié)提升:本題考查了一元二次方程的應(yīng)用,找準(zhǔn)等量關(guān)系,正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.
4.(2020?宿遷)某超市經(jīng)銷(xiāo)一種商品,每千克成本為50元,經(jīng)試銷(xiāo)發(fā)現(xiàn),該種商品的每天銷(xiāo)售量y(千克)
與銷(xiāo)售單價(jià)X(元/千克)滿(mǎn)足一次函數(shù)關(guān)系,其每天銷(xiāo)售單價(jià),銷(xiāo)售量的四組對(duì)應(yīng)值如下表所示:
銷(xiāo)售單價(jià)X(元/千55606570
克)
銷(xiāo)售量y(千克)70605040
(1)求y(千克)與X(元/千克)之間的函數(shù)表達(dá)式;
(2)為保證某天獲得600元的銷(xiāo)售利潤(rùn),則該天的銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為多少?
(3)當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為多少時(shí),才能使當(dāng)天的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?
思路引領(lǐng):(1)利用待定系數(shù)法來(lái)求一次函數(shù)的解析式即可;
(2)依題意可列出關(guān)于銷(xiāo)售單價(jià)X的方程,然后解一元二次方程組即可;
(3)利用每件的利潤(rùn)乘以銷(xiāo)售量可得總利潤(rùn),然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算即可.
解:(1)設(shè)y與X之間的函數(shù)表達(dá)式為y=Λx+b(?≠0),將表中數(shù)據(jù)(55,70)、(60,60)代入得:
(55k+b=70
160/c+b=60'
解得:憶備
Λy與K之間的函數(shù)表達(dá)式為y=-2x+180.
(2)由題意得:(X-50)(-2Λ+180)=600,
整理得:JV2-140.r+4800=0,
解得Xl=60,Λ2=80.
答:為保證某天獲得600元的銷(xiāo)售利潤(rùn),則該天的銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為60元/千克或80元/千克.
(3)設(shè)當(dāng)天的銷(xiāo)售利潤(rùn)為W元,則:
W=(χ-50)(-2x+180)
=-2(χ-70)2+800,
;-2<0,
.?.當(dāng)尸70時(shí),w品大值=800.
答:當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為70元/千克時(shí),才能使當(dāng)天的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是800元.
總結(jié)提升:本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、一元二次方程和二次函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用,
理清題中的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
類(lèi)型三二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用
5.(2021秋?炎陵縣期末)攀枝花得天獨(dú)厚,氣候宜人,農(nóng)產(chǎn)品資源極為豐富,其中晚熟芒果遠(yuǎn)銷(xiāo)北上廣等
大城市.某水果店購(gòu)進(jìn)一批優(yōu)質(zhì)晚熟芒果,進(jìn)價(jià)為10元/千克,售價(jià)不低于15元/千克,且不超過(guò)40元/
千克,根據(jù)銷(xiāo)售情況,發(fā)現(xiàn)該芒果在一天內(nèi)的銷(xiāo)售量>>(千克)與該天的售價(jià)X(元/千克)之間的數(shù)量
滿(mǎn)足如下表所示的一次函數(shù)關(guān)系.
售價(jià)X(元/千克)???27.52524.522…
銷(xiāo)售量y(千克)???32.53535.538…
(1)某天這種芒果售價(jià)為28元/千克.求當(dāng)天該芒果銷(xiāo)售量
(2)設(shè)某天銷(xiāo)售這種芒果獲利桃元,寫(xiě)出加與售價(jià)X之間的函數(shù)關(guān)系式.如果水果店該天獲利400元,
那么這天芒果的售價(jià)為多少元?
思路引領(lǐng):(1)根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù),可以計(jì)算出該芒果在一天內(nèi)的銷(xiāo)售量y(千克)與該天的售
價(jià)X(元/千克)之間的函數(shù)關(guān)系式,然后將x=28代入求出相應(yīng)的y的值即可;
(2)根據(jù)題意和(1)中的函數(shù)解析式,可以寫(xiě)出獲利m與售價(jià)X之間的函數(shù)關(guān)系式,然后將〃?=400
代入求出相應(yīng)的X的值即可,注意X的取值范圍.
解:(1)設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=A?r+%,
(25k+b=35
(22k+b=38)
解得憶意
即一次函數(shù)的解析式為y=-χ+60(15≤x≤40),
當(dāng)x=28時(shí),>'=-28+60=32,
答:芒果售價(jià)為28元/千克時(shí),當(dāng)天該芒果的銷(xiāo)售量為32千克;
(2)由題意可得:wι=y(X-IO)=(-Λ+60)(X-Io)=-Λ2+70Λ?-600,
當(dāng)加=400時(shí),-Λ2+70X-600=400,
解得Xi=20,Λ2=50,
VI5≤x≤40,
?'?x=20,
答:獲利機(jī)與售價(jià)X之間的函數(shù)關(guān)系式是m=-/+70x-600,如果水果店該天獲利400元,那么這天芒
果的售價(jià)為20元.
總結(jié)提升:本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵是明確題意,寫(xiě)出相應(yīng)的
函數(shù)解析式,列出相應(yīng)的方程.
6.(2022?賽罕區(qū)校級(jí)一模)某公司的商品進(jìn)價(jià)每件60元,售價(jià)每件130元,為了支持“抗新冠肺炎”,每
銷(xiāo)售一件捐款4元.且未來(lái)30天,該商品將開(kāi)展每天降價(jià)1元”的促銷(xiāo)活動(dòng),即從第一天起每天的單價(jià)
均比前一天降1元,市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),設(shè)第X天(IWXW30且X為整數(shù))的銷(xiāo)量為y件,y與X滿(mǎn)足一次
函數(shù)關(guān)系,其對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如表:
X(天)...1357.....
y(件)...35455565.....
(1)直接寫(xiě)出y與X的函數(shù)關(guān)系式;
(2)在這30天內(nèi),哪一天去掉捐款后的利潤(rùn)是6235元?
(3)設(shè)第X天去掉捐款后的利潤(rùn)為W元,試求出W與X之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出哪一天的利潤(rùn)最大,
最大利潤(rùn)是多少元?
思路引領(lǐng):(1)設(shè)y與X滿(mǎn)足的一次函數(shù)數(shù)關(guān)系式為y=fcc+匕(?≠0),用待定系數(shù)法求解即可;
(2)根據(jù)題意得關(guān)于X的一元二次方程:(130-X-60-4)(5x+30)=6235,求得方程的解并根據(jù)問(wèn)題
的實(shí)際意義作出取舍即可;
(3)由題意得W關(guān)于X的二次函數(shù),將其寫(xiě)成頂點(diǎn)式,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案.
解:(1)設(shè)y與X滿(mǎn)足的一次函數(shù)數(shù)關(guān)系式為y=依+。(々WO),
將(1.35),(3,45)分別代入得:償=5+?,
(45=3fc+fo
解得:匕:加
與X的函數(shù)關(guān)系式為y=5x+30;
(2)根據(jù)題意得:(130-X-60-4)(5x+30)=6235,
整理得:X2-6Or+851=0,
解得:x=23或x=37(舍),
在這30天內(nèi),第23天去掉捐款后的利潤(rùn)是6235元;
(3)由題意得:
W=(130-X-60-4)(5x+30
=-5∕+300x+1980
=-5(χ-30)2+6480,
?:a=-5<0,
...當(dāng)》=30時(shí),卬有最大值,最大值為6480元.
.?.W與X之間的函數(shù)關(guān)系式是W=-5(χ-30)2+6480,第30天的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是6480元.
總結(jié)提升:本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式及二次函數(shù)與一
元二次方程的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn),理清題中的數(shù)量關(guān)系并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
7.(2022秋?珠海期中)某公司研發(fā)了一款成本為50元的新型玩具,投放市場(chǎng)進(jìn)行試銷(xiāo)售.按照物價(jià)部門(mén)
規(guī)定,銷(xiāo)售單價(jià)不低于成本且不高于85元,調(diào)研發(fā)現(xiàn)在一段時(shí)間內(nèi),每天的銷(xiāo)售量y(個(gè))與銷(xiāo)售單價(jià)
X(元)滿(mǎn)足一次函數(shù)關(guān)系如圖:
(1)求y與X之間的函數(shù)關(guān)系式;
思路引領(lǐng):(1)由待定系數(shù)法可得函數(shù)的解析式;
(2)設(shè)每天獲得的利潤(rùn)為W元,由題意得二次函數(shù),寫(xiě)成頂點(diǎn)式,可求得答案.
解:(1)設(shè)y=fcr+b(?≠0),
將點(diǎn)(50,160),(80,100)代入得:[照=有獸,
IIOO=80k+b
解得:憶氤,
與X的函數(shù)關(guān)系式為:y--2x+260;
(2)設(shè)每天獲得的利潤(rùn)為卬元,由題意得W=(X-50)(-2r+260)=-2,+360X-13000=-2(x-
90)2+3200,
:按照物價(jià)部門(mén)規(guī)定,銷(xiāo)售單價(jià)不低于成本且不高于85元,
50WxW85,
??a=-2<0,拋物線(xiàn)開(kāi)口向下,
當(dāng)50WxW85時(shí),卬隨著X的增大而增大,
有最大值,當(dāng)x=85時(shí),卬處必(=3150,
???銷(xiāo)售單價(jià)為85元時(shí),每天獲得的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是3150元.
總結(jié)提升:本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的
性質(zhì).
8.(2020?葫蘆島三模)2020年春節(jié)期間,新型冠狀病毒肆虐,突如其來(lái)的疫情讓大多數(shù)人不能外出,網(wǎng)絡(luò)
銷(xiāo)售成為這個(gè)時(shí)期最重要的一種銷(xiāo)售方式.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)貿(mào)易公司因此開(kāi)設(shè)了一家網(wǎng)店,銷(xiāo)售當(dāng)?shù)啬撤N農(nóng)產(chǎn)
品.已知該農(nóng)產(chǎn)品成本為每千克10元.調(diào)查發(fā)現(xiàn),每天銷(xiāo)售量y(檢)與銷(xiāo)售單價(jià)X(元)滿(mǎn)足如圖所
示的函數(shù)關(guān)系(其中10<x≤30).
(1)寫(xiě)出y與X之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍.
(2)當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)X為多少元時(shí),每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少元?
思路引領(lǐng):(1)由圖象知,當(dāng)10VxW14時(shí),y=640;當(dāng)14Vx近30時(shí),設(shè)y=fcc+b,將(14,640),(30,
320)解方程組即可得到結(jié)論;
(2)求得函數(shù)解析式為W=(χ-10)(-20x+920)=-20(χ-28)2+6480,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可
得到結(jié)論.
解:(1)由圖象知,當(dāng)IOVXWI4時(shí),y=640;
當(dāng)14?30時(shí),設(shè)y=fcc+b,將(14,640),(30,320)代入得[臂*=嚼,
(3Ok+o=320
解得憶部
與X之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-20Λ+920;
綜“上,所U…述,y=f]640(10<x<14);
'(-20x+920(14<x≤30)
(2)當(dāng)I0<x<14時(shí)卬=64OX(X-IO)=640x-6400,
V?=640>0,
W隨著X的增大而增大,
當(dāng)X=I4時(shí),VV=4X640=2560元;
當(dāng)14<xW30時(shí),W=(%-10)(-20Λ+920)=-20(X-28)2+6480,
■:-20<0,14≤x≤30,
V2560<6480,
當(dāng)x=28時(shí),每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是6480元.
總結(jié)提升:本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用,得到每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)的關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵;利用配方法或
公式法求得二次函數(shù)的最值問(wèn)題是常用的解題方法
類(lèi)型四橋梁隧道問(wèn)題
9.(2021秋?九臺(tái)區(qū)期末)如圖,隧道的截面由拋物線(xiàn)和矩形構(gòu)成,矩形的長(zhǎng)為12加,寬為4皿,按照如圖
所示建立平面直角坐標(biāo)系,拋物線(xiàn)可以表示為)=-∕χ2+c.
(1)求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式,并計(jì)算出拱頂E到地面BC的距離;
(2)一輛貨運(yùn)汽車(chē)載一長(zhǎng)方體集裝箱后,高6〃?,寬為4,〃,如果隧道內(nèi)設(shè)雙向車(chē)道,那么這輛貨車(chē)能否
安全通過(guò)?
(3)在拋物線(xiàn)型拱壁上需要安裝兩排燈,使它們離地面的高度相等,如果燈離地面的高度不超過(guò)8如
那么兩排燈的水平距離最小是多少米?
思路引領(lǐng):(1)根據(jù)題意確定點(diǎn)A坐標(biāo),再把點(diǎn)A坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求出C即可;
(2)令y=6,解方程求出X的值與4比較即可;
(3)由于拋物線(xiàn)開(kāi)口向下,可知函數(shù)值越大,對(duì)稱(chēng)點(diǎn)之間的距離越小,于是計(jì)算函數(shù)值為8時(shí)所對(duì)應(yīng)的
自變量的值,即可得到兩排燈的水平距離最小值.
解:(1)根據(jù)題意得A(-6,4),B(-4,O),C(4,0),
把點(diǎn)A坐標(biāo)代入V=-∣xz+c得,4=-?×36+c?,
解得C=10,
二拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為y=-∣x2+10;
Vc=IO,
:.E(0,10),
.'.OE=?Om,
.?.拱頂E到地面BC的距離為10〃?;
(2)當(dāng)y=6時(shí),-^X2+10=6,
解得x=±2√δ,
V2√6>4,
.?.這輛貨車(chē)能安全通過(guò);
(3)令y=8,則-9+10=8,
解得XI=-2√3jβ=2√3,
于是有XI-X2=4√3
即兩排燈的水平距離最小是4√3w.
總結(jié)提升:本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用,解決本題的關(guān)鍵是得出函數(shù)的表達(dá)式.
10.(2022秋?大興區(qū)期末)拋物線(xiàn)形拱橋具有取材方便,造型美觀(guān)的特點(diǎn),被廣泛應(yīng)用到橋梁建筑中,如
圖是某公園拋物線(xiàn)形拱橋的截面圖.以水面AB所在直線(xiàn)為X軸,A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的平面直
角坐標(biāo)系.點(diǎn)E到點(diǎn)A的距離AE=X(單位:機(jī)),點(diǎn)E到橋拱頂面的豎直距離EF=y(單位:m?x,y
近似滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系y=∕+fer(α<0)?通過(guò)取點(diǎn),測(cè)量,得到X與),的兒組對(duì)應(yīng)值,如下表:
X(機(jī))01234
y(機(jī))01.2522.252
(1)橋拱頂面離水面AB的最大局度為租;
(2)根據(jù)上述數(shù)據(jù),求出滿(mǎn)足的函數(shù)關(guān)系y=0x2+bx和水面寬度AB的長(zhǎng).
yjk
思路引領(lǐng):(1)根據(jù)表格數(shù)據(jù)可以橋拱頂面離水面A5的最大高度;
(2)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可,再令),=0,解方程求出4,8坐標(biāo)即可求出AB.
解:(1)由表格數(shù)據(jù)可知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為(3,2.25),
橋拱頂面離水面AB的最大高度為2.25m,
故答案為:2.25;
(2)把(2,2),(3,2.25)代入y=α∕+fcv得:
r4α+2&=2
(9Q+3b=2.25'
解得{二;產(chǎn),
,拋物線(xiàn)解析式為>■=-0.25√+1.5x;
令y=0,貝IJ-0.25∕+1.5x=0,
解得X=O或x=6,
ΛA(0,0),B(6,0),
:.AB=6.
總結(jié)提升:本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用,關(guān)鍵是用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.
類(lèi)型五球類(lèi)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題
11.(2023?蜀山區(qū)校級(jí)一模)在籃球比賽中,東東投出的球在點(diǎn)A處反彈,反彈后球運(yùn)動(dòng)的路線(xiàn)為拋物線(xiàn)
的一部分(如圖所示建立直角坐標(biāo)系),拋物線(xiàn)頂點(diǎn)為點(diǎn)8.
(1)求該拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式:
(2)當(dāng)球運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)被東東搶到,Cr)J_x軸于點(diǎn)O,CD^2.6m.求0。的長(zhǎng).
∣><m)
的吟B(0.4,3.32)
AE
4∣8
odFx(m)
思路引領(lǐng):(1)設(shè)y=α(X-0.4)2+3.32(a≠0),將A(0,3)代入求解即可得出答案;
(2)把y=2.6代入y=-2(X-0.4)2+3.32,解方程求出x,即可得出OO=1%
解:⑴設(shè)
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