平面向量的數量積運算-高考數學練習（蘇教版2019必修第二冊）（解析版）

專題9.3平面向量的數量積運算

【考點1：求向量的數量積1........................................................................................................1

【考點2：利用向量的數量積求模1...............................................................................................5

【考點3：利用向量的數量積求夾角1...........................................................................................9

【考點4：向量垂直與向量的數量積關系】.......................................................13

【考點5：投影向量】..........................................................................18

【考點1：求向量的數量積】

【知識點：求向量的數量積】

1.平面向置的數量積

(1)定義：已知兩個非零向量。與b,它們的夾角為〃，則數量IaIIblCoS〃叫做α與b的數量積(或內積),

記作α?b,即α?b=∣α∣∣b∣cosO,規(guī)定零向量與任一向量的數量積為0,即0?α=0.

(2)幾何意義：數量積α?b等于。的長度IαI與b在。的方向上的投影|b∣cosθ的乘積.

2.平面向量數量積的運算律

(1)a??)=b?a(交換律).

(2)2a?b=2(α?b)=a?(7b)(結合律).

(3)(a+b)?c=α?c+b?c(分配律).

［易錯提醒］

(1)解決涉及幾何圖形的向量數量積運算問題時，一定要注意向量的夾角與已知平面角的關系是相等還

是互補.

(2)兩向量α,b的數量積α?b與代數中α,b的乘積寫法不同，不能省略掉其中的“.

1.(2023?江蘇南通?統(tǒng)考一模)已知向量d,B滿足向=I,同=2,值,3)=*則a?(a+B)=()

A.-2B.-1C.0D.2

【答案】C

【分析】平面向量數量積的運算.

【詳解】α(α+fc)=α2+α?fa=l+l×2×^-j^=0,

故選：C.

2.（貴州省貴陽市2023屆高三下學期適應性考試（一）數學（文）試題）如圖，在AABCψ,AB=6,AC=

3/BAC=1,而=2比，則而?而=（）

【答案】D

【分析】山麗=2沅可得標=［四+：前t,則四.而=希?Q四+|前）=（南2+|四.前，代入化

簡即可得出答案.

【詳解】由前=2配可得：DC=-^BC,

所以前一而=［近=］（前一四），所以而=：荏+|彳？，

AB-AD=AB-（渾+河）=海2+海,木,

因為48=6,AC=3,?BAC=?,

所以近?而=三荏2+2亞?前=三X36=12.

333

故選：D.

3.（2023?云南曲靖?統(tǒng)考一模）在扇形CODφzCOD=^-,OC=OD=2.設向量沆=20C+0D,n=OC+

2OD,則沆?n=（）

A.-4B.4C.-6D.6

【答案】D

【分析】運用向量的數量積運算公式求解即可.

【詳解】EloC=OD=2,乙COD=y,

WC2=?0C?2=4,OD2=IODI2=4,

OCOD=?0C?×10D∣×cosy=2×2×（-?）=-2,

0m?n=（20C+0D）-（0C+20D）=2OC2+SOC-OD+2OD2=8+5×（-2）+8=6.

故選：D.

4.（2023秋?湖南長沙,高二雅禮中學統(tǒng)考期末）如圖，在同一平面內以平行四邊形ABCD兩邊4B,4D為斜

邊向外作等腰直角△ABE,LADF,若AB=2,4。=1,NBAO=3則尼?麗=()

4

FDC

3√2C3√2

D.

2---------------------------------------------2

【答案】B

【分析】通過題意可得到m-EF=(AB+AD)(AF-AE),然后通過數量積的運算律即UJ求解.

【詳解】根據題意可知函1都,而1荏,所以前AF=0,ADAE=0,

由等腰直角4ZBE,ZMDF可得SF=DF=當，AE=BE=√2,

yΓ*2^?p2,?

AD-AF=?AD?-I而∣cos45°=1×?ι×?=?,AB?=?AB?-∣4E∣cos45o=2×√2×?=2

，，，?.......，,>J,>.....,,?,,>>,，，>......>.一?a

ACEF=(AB+AD)?(AF-AE}=AB-AF+AD-AF-AB?AE-AD?AE=AD-AF-AB-AE=--l

故選：B

5.(2023?陜西榆林?統(tǒng)考一模)在平行四邊形ABC。中，AB=2AD=4,NBAD=60o,CE=2ED,^BC=2BF,

則荏?麗=()

A.4B.—C.—D.3

99

【答案】B

【分析】根據題意，以向量屈,而為基底分別表示出向量荏,品，再利用向量數量積公式即可求得結果.

【詳解】如下圖所示：

在平行四邊形ZBCD中，

因為方=2ED,BC=2BF,

^IAE=AD+DE=IAB+AD,EF=EC+CF=lAB-^AD,

因此荏?EF=ɑ?e+AD)■(∣ΛB-∣Aθ)=∣AB2-∣AD2+^AB-AD.

又4B=2AD=4,?BAD=60°,

所以而2=16,而2=先前?而=2X4Xcos60o=4,

故荏-^EF=-.

9

故選：B

6.（2023春?浙江紹興?高三統(tǒng)考開學考試）已知AABC是邊長為1的等邊三角形，點。,E分別是邊AB,BC的

中點，連接OE并延長到點尸，使得DE=EF,則存?近的值為（）

A.--B.-C.-D.1

442

【答案】B

【分析】通過轉化法得不?近=T前前-存）=（前2-；尼?希，代入數據即可.

【詳解】△4BC是邊長為1的等邊三角形,設E分別是邊48,8C的中點，

連接DE并延長到點F,使得。E=EF,如圖，

貝∣L4E1BC,AEBC=O,

則衣BC=(AE+IF)BC=AEBC+IFBC=DEBC=^AC(AC-AB)

1Tr1，—*1I——?t21■■■,■*II?ITU

=-AC12--AC-AB=-?AC?--?AC??AB?COS-

乙乙NlN)?

、

=-1-----1XlYxlX1,—1=—1,

2224

故選：B.

7.(2023秋?廣東潮州?高三統(tǒng)考期末)設4B是圓C上的同點.且4B=2√5則荏?AC=.

【答案】6

【分析】設。點為48的中點，則CDlAB,再根據數量積的定義計算即可.

【詳解】如圖，設。點為48的中點，則CD14B,

2

則而.正=?AB??AC?cos?BAC=∣A8∣∣AD∣=∣∣?β∣=6.

A

8.(2023春?湖北?高三統(tǒng)考階段練習)在邊長為3的等邊三角形4BC中，而=2而，則族?BC=.

【答案】-3

【分析】根據平面向量的數量積運算即可得到結果.

【詳解】因為衣=2而，貝IJP為48靠近B的三等分點，

所以I?BC=2×3×cosl20o=-3.

故答案為：-3

9.(2023?四川南充?四川省南充高級中學?？寄M預測)已知M∣=√Σ,己=(1一Q,+看，若五不=0,

a?c=l,則；I=

【答案】I

【分析】根據題干條件，計算出∕?d=2(1-4)=1,求出；I的值.

【詳解】：悶=3,c=(1—λ)a+λb,且di=0,d■c=1,

0??.c-α=[(1-λ)α+λb]?α=(1-λ)α2+Λbα=(1-Λ)∣α∣2=2(1-λ)=1,

故4=T

故答案為：：

【考點2：利用向量的數量積求?！?/p>

【知識點：利用向量的數量積求?！?/p>

幾何表示

模?aI=\Ja-a

1?(2023?陜西咸陽?武功縣普集高級中學統(tǒng)考一模)已知向量益，5都是單位向量，且口-同=1,則H+b?=

)

A.1B.√2C.2D.√3

【答案】D

【分析】根據給定條件，利用平面向量數量積的運算律計算作答.

【詳解】向量出B都是單位向量，且Id-3=I,則伍-&）2=α2+e2-2α?fa=2-2d?e=1,解得2N?b=

1,

所以|@+同=J（d+[）2=d2+b2+2d-b=v?.

故選：D

2.（2023?廣東深圳?統(tǒng)考一模）已知乙3為單位向量，且|3江一5司=7,則2與己一加勺夾角為（）

A.=B.啊C.=D.包

3366

【答案】C

【分析】設2與夾角為。，利用囪-5司=7求出Si,在利用夾角公式計算即可.

【詳解】因為優(yōu)坂為單位向量，

由|3己—5司=7,

2

所以（3/一5司=49<=>9d2-30d?b+25b2=49,

即9—30a?h+25=49=≠>d?h=—

設,與N-B夾角為。，

a?(l-E)_潦-莉_—(-J_√3

則CoSo而Z曠最扃廠卜心+=

又Je[0,n],所以0=j

故選：C.

3.（2023秋?廣東揭陽?高三統(tǒng)考期末）已知優(yōu)反為單位向量，向量^滿足2?+3玄若N與B的夾角為60。,

則同=（）

A.√6B.√7C.2√2D.3

【答案】B

【分析】由數量積運算公式及?2=產代入求解即可.

【詳解】由2方+1=3五,=3d—2b,

所以產=9彥一12&j+4/=9-12X1X1X：+4=7,所以|引=√7.

故選：B.

4.（2023?江西上饒?高三校聯(lián)考階段練習）已知向量五、己滿足|回=1,五與B的夾角為今若存在實數X,

隰+2山≤M+同有解，則同的取值范圍是（）

A.[θ,?]B.[-l,?]C.[0,1]D.[-j,l]

【答案】C

【分析】對|逅+2百≤∣d+同兩邊同時平方，根據向量數量積的運算律，整理為關于X的一元二次不等式有

解，利用判別式即可求解.

【詳解】對不等式M+2b?≤?a+司兩邊同時平方，

得（Xd+2&）2≤（a+h）2,EPx2α2+4xa-b+4b2≤a2+2d?b+b2,

因為d?b=?d??∣h∣cos<a?b>=^?b?,

所以/+2x?b?+4∣fe∣2≤1+∣h∣+?b?2,

2

整理得廣+2同X+3同-Bl-IWO有解，

所以A=4∣h∣2-4（3∣h∣2-?b?-1）≥0得2同？-∣b∣-ι≤0,

解得W≤B∣≤1,又因為B∣≥0,所以0≤B∣≤l,

故選：c.

5.（2022秋廣東梅州?高三五華縣水寨中學?？茧A段練習）已知同=4,∣h∣=3,（2d-3b）-（2a+b）=61,

求口+h∣=.

【答案】√13

【分析】根據（23-3b）（2a+b）=61展開求Ilmb,然后

∣α+h∣=J（d+?2=J溟+23?石+而代入求解即可.

——?2

【詳解】因為（2萬—3b）?（2α+&）=4d2—4d`b—3b2=4∣d∣2—4a?b—3?b?=61

又因為悶=4,冏=3,即4x42-42不一3X32=61

所以五?b=—6

又因為Id+司=[伍+3）=Va2+2α?h+h2=??lɑl2+2×（—6）÷?b?=√16-12÷9=√13

故答案為：V13

6.（2022秋?河北唐山?高三開灤第一中學校考期中）已知向量日石滿足Idl=L同=2,且M+山=|五一百,

貝∣J122+同=.

【答案】2√Σ

【分析】根據向量的模長公式可得S?L丸進而根據模長公式即可求解.

【詳解】由+瓦=|五-瓦得伍+e)2=(d-e)2=G?B=0,所以∣2d+川=√4α2+b2+4a-h=2√2,

故答案為：2√I

7.(2023春?北京海淀?高三清華附中?？奸_學考試)在△4BC中，AC=2,LC=90o,ZB=30°,則

?CA+CB?=；CA-AB=.

【答案】4-4

【分析】根據題意求出48,8C,再根據|石？+而I=J(^+吉子即可求出I不+而根據數量積的定義即

可求得E??AB.

【詳解】在△48C中，AC=2,?C=90o,zβ=30°,

則乙4=60°,AB=4lBC=2√3,

貝+CB?=J(CA+CB)2=y∕^CA2+CB2+2CA-CB=√4+12=4,

一"”>，>--->?1

CA-AB=-ACAB=-2×4×-=-4.

2

故答案為：4；—4.

8.(2023?高一課時練習)已知向量N與加勺夾角。=120。，同=4,W=2,求

⑴八3；

(2)∣3α-4?∣.

【答案】(1)一4

(2)4√19

【分析】(1)由數量積的定義計算；

(2)把模平方轉化為數量積進行計算.

【詳解】⑴根據數量積的定義可得苴-b=?a?-同cos。=-4

22

(2)∣3a-4h∣=9∣a∣2+16∣?∣-24a?e=144+64+96=304,

所以固-4h∣=√304=4√19

9.(2023?高一單元測試)已知同=2,向=3,G與族的夾角為60。.求：

(l)d-b；

（2）（2a-%）?（；+3b）；

（3）∣2α-h∣.

【答案】（1）3

（2）-4

⑶√∏

【分析】（1）根據平面向量數量積的定義即可得到答案；

（2）將式子展開化簡，結合向量乙3的模和數量積即可得到答案；

（3）先將∣2N-同化為］（2丁"，進而展開化簡可得答案.

【詳解】（1）因為悶=2,同=3,Z與B的夾角為60°,

TT

所以Q?b=2X3Xcos60o=3；

（2）由（1）d?B=3,

所以（2d-δ）?（α+3h）=2α2-3h2+5α?e=2×22-3×32+5×3=-4；

（3）由（1）d-b=3,

【考點3：利用向量的數量積求夾角】

【知識點：利用向量的數量積求夾角】

幾何表示

ab

CoSθ=

夾角πHWπ

1.（2023?廣東深圳?統(tǒng)考一模）已知窗B為單位向量，且|3日一5可=7,貝必與五一坂的夾角為（）

A.-B.—C.-D.—

3366

【答案】C

【分析】設1與d-另夾角為仇利用|3益—5同=7求出五不，在利用夾角公式計算即可.

【詳解】因為優(yōu)B為單位向量，

由|3五一5同=7,

所以（3,—5］）=49<=>9a2-30a?b+25b2=49,

gP9-30α?h+25=49^α?6=-∣,

設江與a-B夾角為o,

2

d(d-?)a-ab1-(~∣)_√3

則COSe=

?d??d-b?22

∣a∣×y∣(a-b)Jl-2×(-∣)+ι

又06[0,π],所以。=三,

6

故選：C.

2.(2023?高三課時練習)^Δ4BC中，點E、尸分別在邊AB.AC±.,D為BC的中點，滿足博=篙=

IEBl?FA?

DEDF=0,則COSA=().

A.OB.—C.-D.—

2416

【答案】D

【分析】根據題意，分別發(fā)示出反,而，然后由向量的數量積運算即可得到結果.

【詳解】設4C=b,?BAC=θ,則AB=2b.

由題意得屁=版一而=W而-T(荏+而)=；而前，

同理而=_：四一2而.

因為屁.而=0,所以C荏一(旅).(一(^一,配)=O,整理得8荏.覺=3時2-元2),

即8-2b-bcosθ=3[(2b)2—b2]=9b2,解得cos。=?.

故選:D

3.(2023春?湖南?高三校聯(lián)考階段練習)已知單位向量日，b,若對任意實數X,∣x4+B∣≥苧恒成立則向

量五X的夾角的取值范圍為()

AW]B.腎]

U圖D?[羽

【答案】B

【分析】根據給定條件，利用向量數量積的運算律求出di的范圍，再利用向量夾角公式求解作答.

【詳解】3是單位向量，由∣xd+B∣≥中得：(xd+h)2≥<=>X2+2(d?h)x÷?≥0,

依題意，不等式產+2(α?h)x+?≥0對任意實數%恒成立，則A=4(α?fa)2-1≤0,

WW-?≤ɑ?e≤而CoS〈2,b)==五?b,則一T≤cos?,b)≤

又0≤〈a,B>≤n,函數y=cosx在［0,網上單調遞減，因此(≤(a,B>wg,

所以向量出石的夾角的取值范圍為［g,g］.

故選：B

4.(2023?河南鄭州?統(tǒng)考一模)若兩個非零向量落褊足歸+同=∣α-h∣=|2m,則2-弱日的夾角為.

【答案】?

【分析】由向量和與差的模相等可確定向量入弦相互垂直，且得到群=3小，最后運用向量夾角公式求解

即可.

【詳解】設向量五一J與五的夾角為仇因為W+同=Ia—同=2忻|,則(,+丹=(α-h)=4α2,變形得

α2÷K2+2α?e=α2+K2—2α?h=4a2,

所以d-K=O且衣=?ɑ2,則伍—h)?α=α2=∣α∣2,

故。=，又?！茇?，則。=^

COSW?a-b??7a；?=2∣α量∣×∣LɑI∣=I20≤3?

故答案為與

5.(2023春?甘肅天水?高三?？奸_學考試)設三角形ABC是等邊三角形，它所在平面內一點M滿足詢=

∣AB+∣ΛC,則向量詞與近夾角的余弦值為.

【答案】5

14

【分析】根據向量數量積的定義求解.

【詳解】設ZkABC邊長為1,

AM=^AB+^AC,則由廣=AM2=(?+∣ΛC)2=^AB2+^AB-AC+^AC2=?+×1×1×

47

cos60o+-=

99

I畫=?,

AM-BC=(∣AB+∣ΛC)(?C-Aβ)=-∣AS2+'^AC2-^AB??C=-∣+^-J×l×l×cos60o=?,

SCOSCAM,)∣竺∣篙=-^―-―,

6C,=

??AM??BC?VZX114

3

故答案為：

14

6.（2023?高三課時練習）已知瓦*、與是互相垂直的兩個單位向量，若向量,=t?瓦?+孩與向量b=瓦+t?祓

的夾角是鈍角，則實數/的取值范圍是.

【答案】（一8,-I）U（-LO）

（分析】利用向量五=t?宙+石與向量3=百+t?孩的夾角是鈍角得到它們的數量積小于0,并且注意當向

量的夾角為兀時數量積也小于0要排除.

【詳解】解：,.?向量1與向量5的夾角是鈍角，［d?B<0,且<2石>≠兀

由（亡?江+與）?聞+t?孩）<0,且I瓦I=I同=1,。?1=0,得t<0

令t?前+葭=A⑹+t?葭）/<0,則LM',,于是t=-l

故，t<0,月.t≠-l,即實數f的取值范圍是（一8,-I）U（—1,0）.

故答案為：（―∞,-1）U（—1,0）.

7.（2022春?北京順義?高一北京市順義區(qū)第一中學?？茧A段練習）已知向量日與B的夾角9=?，且同=3,

4

?b?=2√2.

⑴求五j,（α+h）?（α-2?）;

⑵求怔+b??,

⑶d與3+3的夾角的余弦值.

【答案】⑴2b=-6,（α+h）?（α-2b）=-1

⑵花

喈

【分析】（1）根據數量積的定義求解Zi,利用數量積的運算0+3）?伍-2母；

（2）按照數量積的性質求解模長即可；

（3）根據向量夾角余弦值的公式運算即可.

【詳解】（1）己知向量1與G的夾角8=弓，且同=3,同=2√Σ,貝皈j=I五I?|同?cos*=3X2√∑x

(-τ)=^6,

所以(d+6)?(a-26)=dz—a?b—2b2=9—(—6)—2×8=-1；

22

(2)∣a+6∣=J(d+B)2=y∕d+2a-b+b=√9+2×(-6)+8=√5

(3)五與2+“的夾角的余弦值為8典濠+b)=尋翻=高黑i=?=γ?

8.(2021春?天津寧河?高一天津市寧河區(qū)蘆臺第一中學?？茧A段練習)已知同=4,同=2,且五與9夾角

為120。，求：

(D?2a-b?;

(2)2與2+3的夾角；

⑶若向量21-λb^λa-33平行，求實數4的值.

【答案】(l)2√∏

喝

(3)λ-+√6

【分析】(1)利用平面向量的模的運算求解；

(2)利用平面向量的夾角公式求解；

(3)根據向量2G-高與我-3方平行，利用共線向量定理求解.

【詳解】(1)解：因為(2d-3)=402-4d?e+h2=64+16+4=84,

所以|2五一同=2√21;

(2)因為(G+6)=d2÷2d?h+K2=16—8+4=12,

所以B+&|=2Λ∕3,又,?(α+h)=α2+a?&=16-4=12,

所以CoS<αd+h>=獸±+詈=-=:

l∣α∣∣α+b∣4×?√32

所以d與G+3的夾角為三

6

(3)因為向量22-口與;Ld-3了平行,

所以23-λb=k{λa-3h)=kλa-3kb,

因為向量d與3不共線，

=

所以Iy3?解得4=±后

【考點4：向量垂直與向量的數量積關系】

【知識點：向量垂直與向量的數量積關系】

Qj-Za?h=0

1.(2023春?江蘇常州?高一江蘇省前黃高級中學校考開學考試)若非零向量&B滿足Ial=2間，且(2-3)13,

則向量入，的夾角為()

Tr

AΛ.-BC.n-_C.2—n_D.—5π

6336

【答案】B

【分析】設向量五、B的夾角為。，由己知可得出他-E)?3=o,根據平面向量數量積的運算性質求出COSe的

值，結合角。的取值范圍可得出角。的值.

【詳解】設向量,、B的夾角為6,由題意(五-B)?B=益i-群=2向2cosJ-問2=0,...COSo=

又因為0≤9≤π,因此，。=泉

故選：B.

2.(2022秋?河北邢臺?高三統(tǒng)考期中)設平面向量,萬均為單位向量，貝〃|五+3同=因-/是QI7的

()

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】利用定義法進行判斷即可.

【詳解】充分性：因為向量1行均為單位向量,且“忙+3同=胸一科,

22

所以區(qū)+3同=∣3d-b∣,即產+6五不+9中=9益2-6&j+群，B∣J10+6a?6=10-6d?h

所以12五j=0,所以五_L3.即充分性滿足；

必要性：因為另，所以0.

,2_T2TT

而Ia+3b?=d23+6d?e+9b2=10,∣3d-b?=9d2—6a-&+e2=10,

—?2τ2

所以|&+3同=∣3d—b?，

所以恒+3同=∣3α-即即必要性滿足.

故選：C

3.(2023秋,浙江杭州,高三期末)已知非零向量α附夾角的余弦值為:，且伍+3私_1(2N—分則招=()

5Wl

23

A.1B.-C.-D.2

32

【答案】A

【分析】結合向量數量積運算及向量垂宜的表示，可得關于同、EI的齊次方程，即可進一步求得曷的值.

【詳解】cos<a,b>=:山伍+3fo)1(2d-3)得m+?e)?(20一E)=2a2+5ab-3b2=2?a?2+∣α∣∣h∣-

3∣h∣z=O.

02f{?V+}f∣-3=0,令t=禺>0,02t2+t-3=0,解得t=?}=l或一？(舍去).

?l*l∕回IblIbl2

故選：A.

4.(2023?陜西銅川??？家荒?已知單位向量百，石的夾角為泉向量萬=4百+石，元=K-4可且記1元,

貝以的值為()

A.1B.-1C.±1D.2

【答案】C

【分析】根據已知向量沅=4瓦+￡，n=e7-λejainIn,得出(1一M)可?石+/1瓦一；I與2=0,根據己

知單位向量瓦t,號的夾角為泉得出同=|引=1,且耳后=熱即可代入得出*1—42)=0,即可解出答

案.

【詳解】山已知得記?元=(2可+或)?=(1一M)瓦電+4及2_ZI石2=0>

???單位向量瓦，譽的夾角為家

???I百I=I瓦I=1，且％,筱=%

所以*1-M)=O,解得;1=±1,

故選：c.

5.(2021秋?上海浦東新?高三?？茧A段練習)已知2、3是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量,滿足

e-α)?e—a=o,貝Ui磯的最大值是()

A-1B-2C.aD.當

【答案】C

【分析】由向量垂直的條件可得=o,運用向量的平方即為模的平方，可得M+山=VL再由仔-d)?

(e-e)=0運用向量數量積的定義化簡得⑹=√2cos(α+bfc)t結合余弦函數的值域，即可得到所求最大值.

【詳解】由題意得Ill=間=1,d?b=O,有原=b2=l,得Id÷h∣=Va2÷e2+2α?h=√2,

22

(c—d)?(c—h)=c+d?6-c?(α÷K)=∣c∣—?c?■∣α+b∣cos(α+bfc)=0,

即悶=V2cos(a+b,c)9當cos(五+b,c)=1,即d+b與K同向時,

同的最大值是√∑

故選：C.

6.(2023?高三課時練習)已知萬、元是夾角為120。的兩個單位向量，向量,=t記+(1-。元，若記，心則

實數t=.

【答案】I

【分析】先把向量垂宜轉化為數量積為零,再應用數量積運算求解即可.

【詳解】因為R1乙且沅?ft=∣fn∣∣n∣cosl20°=—∣,n2=∣n∣2=1

所以元?a=(tzn+(1—t)n)-n=tfnn+(1—t)n2=—∣t+(l-t)=0

解得t=I

故答案為：I

7.(2023?高一課時練習汨知△ABe滿足前2=AB-AC+BA-BC+CA-CB,ABC的形狀一定是.

【答案】直角三角形.

【分析】利用向量加法、減法和數量積的運算化簡已知條件，得到瓦?尼=0,由此判斷三角形ABC是直

角三角形.

【詳解】由標2=AB-AC+JA-BC+CA-CB,得(而■AC-AB2)+(BA-BC+ACBC)=0,

所以荏■(AC-AB)+BC-(BA+AC)=0,

所以近?近+近2=0(

所以說?前=0,

.?.BCIAC,即BCI4C,

??.△4BC是直角三角形，

故答案為：直角三角形.

8.(2023?高一課時練習)已知非零向量二,B滿足伍+3b)1(7a-56),(ɑ-46)1(7a-2h),試求&,B的

夾角.

【答案畤

【分析】根據向量垂直的表示及向量數量積的運算律可得宜=2d?氏a2=b2,然后利用向量的夾角公式

結合條件即得.

【詳解】因為伍+3?)?L(7d-5另)，(α-4h)1(7α-2b),

所以伍+?e)?(7a-5b)=0,(ɑ-4b)?(7a-2-=0,

即［7彥+16ab-15b2=0,

?7α2-30α?b+8b2=0'

所以群=23不，a2=b2,∣α∣=?b?,

所以CoS(d,b)=又值b)∈[0,π],

所以低研=；,GPa,B的夾角為%

9.(2022春?廣東江門?高一臺山市華僑中學?？计谥?已知平面向量五，b,⑷=2,同=3,且五與B的夾

角為全

⑴求口+b?

(2)若五一1與d+k3(k∈R)垂直,求A的值.

【答案】⑴g

(2)fc=?

O

【分析】(1)利用向量的平方等于模長的平方和數量積公式求解即可；

(2)利用向量垂直數量積為O求解即可.

【詳解】(I)由題意可得怔+可2=(a+&2=乙2+22j+32

tll2

2

=?d?+2∣d∣∣fo∣cos<atb>+間

=4+2×2×3×j+9=19,

所以怔+同=V19.

(2)因為向量3―A與I垂直,

所以伍-??(α+/ee)=α2+(fc-l)α?e-∕ch2=4+(∕c-1)×2×3×I-9?=0,

解得k=?

6

10.(2022春?山西呂梁?高一校聯(lián)考期中)已知單位向量可，菽，瓦(與石的夾角為最

⑴求證(2否*一瓦)1宅；

(2)若記=，瓦*+要，元=3瓦2瓦，且I沆I=同，求4的值.

【答案】⑴證明見解析

(2)λ=2或4=-3.

【分析】(1)利用向量數量積的運算即可證明：

(2)根據向量的模和數量積的計算公式即可求解.

【詳解】（1）因為同=層1=1,瓦與石的夾角為或

所以（2瓦一部）.孩=2瓦.石一石2=2|司底ICOSg-I可2=2xlXlXT-12=0,

所以（2瓦-石）L器.

（2）由同=同得（相+的2=（3瓦-2或12,

即（M-9）?2+（22+12）瓦?石一3要=0.

因為同I=l?l=1?可與石的夾角為或

所以瓦12—五*=],否.石=IXIXCOSm=1'

所以（M-9）×1+（2λ+12）×?-3×1=0,

即於+4—6=0.所以4=2或，=—3.

【考點5：投影向量】

【知識點：投影向量】

“在〃上的投影向量為：??-fr.

WW

1.（福建省泉州市2023屆高三畢業(yè)班質量監(jiān)測（二）數學試題）已知向量五B滿足忖+司=怔-同，則

a+3在2方向上的投影向量為（）

A.aB.bC.2dD.2b

【答案】A

【分析】根據向量的數量積運算，對∣d+同=歸―同兩邊同時平方得到di=o,再由投影向量的定義即

可求解.

2O

【詳解】由已知條件得：I五+M=?d-b?,即Ij=0,

又d+B在益方向上的投影向量為居?（∣α+6∣cos<α+e,α>）=??（"：?°=??㈤；",=d,