數(shù)值分析分章復(fù)習(xí)(第六章線性方程組迭代解法)

線性方程組迭代解法要點(diǎn)：〔1〕線性方程組迭代格式：Jacobi迭代，G-S迭代 〔2〕矩陣范數(shù)計(jì)算，矩陣譜半徑計(jì)算〔3〕線性方程組迭代格式的收斂性判斷 〔4〕Jacobi迭代，G-S迭代收斂的判斷 〔5〕線性方程組的性態(tài)復(fù)習(xí)題：線性方程組為〔1〕寫出Jacobi迭代格式和Seidel迭代格式；〔2〕寫出Jacobi迭代矩陣和Seidel迭代矩陣；〔3〕判別這兩種迭代法的收斂性。解：(1)Jacobi迭代格式： Gauss-Seidel迭代格式： 〔2〕Jacobi迭代矩陣： Gauss-Seidel迭代矩陣： 〔3〕，得的特征值為 ，可見Jacobi迭代格式不收斂 另外， ，得的特征值為 ，可見Gauss-Seidel迭代格式收斂 設(shè)方程組試問，是否可以適當(dāng)調(diào)整方程的排列順序，使得用Gauss-Seidel迭代法求解時(shí)收斂？說明收斂原因解：可通過方程順序交換，等價(jià)為以下方程組 這樣，系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣， 對(duì)該方程組使用Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代均收斂對(duì)方程組，驗(yàn)證Jacobi迭代法的收斂性，假設(shè)發(fā)散，那么說明理由，并調(diào)整方程順序使得Jacobi迭代收斂。解：Jacobi迭代矩陣，因?yàn)?，故Jacobi迭代發(fā)散 將方程組中方程順序重排得等價(jià)的方程組 注意到這里系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，故應(yīng)用于調(diào)整后的方程組的Jacobi迭代收斂設(shè)方程組，分別寫出雅可比迭代格式和高斯-塞德爾迭代格式，并討論它們的收斂性解：Jacobi迭代矩陣，Gauss-Seidel迭代矩陣 因?yàn)椋?故Jacobi迭代與Gauss-Seidel迭代均發(fā)散方程組〔1〕寫出解此方程組的雅可比法迭代公式；〔2〕證明當(dāng)時(shí)，雅可比迭代法收斂；解：Jacobi迭代格式： 當(dāng)時(shí)，系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，故Jacobi迭代收斂對(duì)下面的線性方程組變化為等價(jià)的線性方程組，使之應(yīng)用Jacobi迭代法和G-S迭代法均收斂，寫出變化后的線性方程組及Jacobi迭代法和G-S迭代法的迭代公式，并說明收斂的理由解：將原線性方程組中方程順序作重排得等價(jià)的方程組： 由于該方程組系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，故Jacobi迭代與Gauss-Seidel迭代均收斂 Jacobi迭代格式：Gauss-Seidel迭代格式：設(shè)，，試給出的范圍確保方程組的Jacobi迭代法及Gauss－Seidel迭代法收斂的充分必要條件 解：Jacobi迭代矩陣，Gauss－Seidel迭代矩陣 ， 可見，Jacobi迭代與Gauss－Seidel迭代收斂的充分必要條件為：求，設(shè)，求和，試計(jì)算和這里p=1,2,∞線性方程組用Jacobi迭代法是否收斂，為什么？其中解：Jacobi迭代矩陣因?yàn)椋?，故Jacobi迭代收斂設(shè)線性方程組:，試給出Gauss-Seidel迭代格式討論由Gauss-Seidel迭代所產(chǎn)