數(shù)學專題：一元二次方程根的分布-人教版整理

澧縣一中高一數(shù)學備課組一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容。這局部知識在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理〔韋達定理〕的運用。函數(shù)與方程思想：假設(shè)=與軸有交點()=0假設(shè)=()與=()有交點(，)=有解。下面我們將主要結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，分兩種情況系統(tǒng)地介紹一元二次方程實根分布的充要條件及其運用。一．一元二次方程根的根本分布——零分布所謂一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相對于零的關(guān)系。比方二次方程有一正根，有一負根，其實就是指這個二次方程一個根比零大，一個根比零小，或者說，這兩個根分布在零的兩側(cè)。設(shè)一元二次方程〔〕的兩個實根為，，且?！径ɡ?】，(兩個正根)，推論：，或上述推論結(jié)合二次函數(shù)圖象不難得到。假設(shè)一元二次方程有兩個正根，求的取值范圍。分析：依題意有0<<1。【定理2】，，推論：，或由二次函數(shù)圖象易知它的正確性。假設(shè)一元二次方程的兩根都是負數(shù)，求的取值范圍?！不騥>3〕【定理3】在何范圍內(nèi)取值，一元二次方程有一個正根和一個負根？分析：依題意有<0=>0<<3【定理4】eq\o\ac(○,1)，且；eq\o\ac(○,2)，且。假設(shè)一元二次方程有一根為零，那么另一根是正根還是負根？分析：由－3=0，∴=3，代入原方程得3+5=0，另一根為負。二．一元二次方程的非零分布——分布設(shè)一元二次方程〔〕的兩實根為，，且。為常數(shù)。那么一元二次方程根的分布〔即，相對于的位置〕有以下假設(shè)干定理?！径ɡ?】【定理2】?！径ɡ?】。推論1。推論2。【定理4】有且僅有〔或〕【定理5】或此定理可直接由定理4推出，請讀者自證?！径ɡ?】或三、例題與練習方程的兩實根都大于1，求的取值范圍?！病场?〕假設(shè)一元二次方程的兩個實根都大于-1，求的取值范圍?！病场?〕假設(shè)一元二次方程的兩實根都小于2，求的取值范圍。〔〕方程有一根大于2，另一根比2小，求的取值范圍。〔〕〔2〕方程有一實根在0和1之間，求的取值范圍?！病场?〕方程的較大實根在0和1之間，求實數(shù)的取值范圍。變式：改為較小實根〔不可能；〕〔4〕假設(shè)方程的兩實根均在區(qū)間〔、1〕內(nèi)，求的取值范圍。〔〕〔5〕假設(shè)方程的兩根中，一根在0和1之間，另一根在1和2之間，求的取值范圍?！病场?〕關(guān)于的方程的兩根為且滿足，求的取值范圍。〔或〕關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m(1)假設(shè)方程有兩根，其中一根在區(qū)間(－1，0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1，2)內(nèi)，求m的范圍.(2)假設(shè)方程兩根均在區(qū)間(0，1)內(nèi)，求m的范圍.此題重點考查方程的根的分布問題，解答此題的閃光點是熟知方程的根對于二次函數(shù)性質(zhì)所具有的意義.技巧與方法：設(shè)出二次方程對應(yīng)的函數(shù)，可畫出相應(yīng)的示意圖，然后用函數(shù)性質(zhì)加以限制.解：(1)條件說明拋物線f(x)=x2+2mx+2m+1與x∴.(2)據(jù)拋物線與x軸交點落在區(qū)間(0，1)內(nèi)，列不等式組(這里0<－m<1是因為對稱軸x=－m應(yīng)在區(qū)間(0，1)內(nèi)通過)練習：假設(shè)方程有兩個不相同的實根，求的取值范圍。提示：令=轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程有兩個不同的正實根。答案：0<<1假設(shè)關(guān)于的方程有唯一的實根，求實數(shù)的取值范圍。提示：原方程等價于即令=+12+6+3假設(shè)拋物線=與軸相切，有△=144－4(6+3)=0即=。O－20－6將=代入式②有=－6不滿足式①，∴≠。O－20－6假設(shè)拋物線=與軸相交，注意到其對稱軸為=－6，故交點的橫坐標有且僅有一個滿足式①的充要條件是解得?！喈敃r原方程有唯一解。另法：原方程等價于+20=8－6－3(<－20或>0)……③O－20－61633問題轉(zhuǎn)化為：求實數(shù)的取值范圍，使直線=8－6－3與拋物線=+20(<－20或>0)有且只有一個公共點。O－20－61633雖然兩個函數(shù)圖像都明確，但在什么條件下它們有且只有一個公共點卻不明顯，可將③變形為+12+3=－6(<－20或>0)，再在同一坐標系中分別也作出拋物線=+12+3和直線=－6，如圖，顯然當3<－6≤163即時直線=－6與拋物線有且只有一個公共點。=(－)(－)－2(<)，并且，是方程=0的兩根(<)，那么實數(shù)，，、的大小關(guān)系是