重慶市沙坪壩區(qū)南開中學校高三上學期第五次質(zhì)量檢測數(shù)學試題

重慶市高2024屆高三第五次質(zhì)量檢測數(shù)學試題2024.1命審單位：重慶南開中學注意事項：1．本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.2．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.3．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．1.已知復數(shù)，復數(shù)的共軛復數(shù)為若，則（）A.2 B. C. D.8【答案】A【解析】【分析】利用共軛復數(shù)的定義及復數(shù)的乘法法則計算即可.【詳解】由題意可知，所以.故選：A2.函數(shù)的圖象的一條對稱軸方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)一一判定選項即可.【詳解】由題意可知：，令，對于A，顯然不能存在，使得，故A錯誤；對于B，顯然時，使得，故B錯誤；對于C，顯然不能存在，使得，故C錯誤；對于D，顯然不能存在，使得，故D錯誤；故選：B3.已知函數(shù)，則不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，然后將不等式進行轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】，定義域為，與在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，，為上的奇函數(shù)，等價于，，解得，不等式的解集為.故選：A.4.已知展開式中各項系數(shù)之和為，則展開式中的系數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出的值，再利用二項展開式的通項公式的特點，求出展開式中的系數(shù).【詳解】展開式中各項系數(shù)之和為，所以令，可得，解得，，的展開式的通項為，當在項中取時，項中需取，不符合條件；當在項中取時，項中需取，則，即，此時的系數(shù)為；當在項中取時，項中需取，則，即，此時的系數(shù)為，綜上，展開式中的系數(shù)為.故選：B.5.已知集合，且，用組成一個三位數(shù)，這個三位數(shù)滿足“十位上的數(shù)字比其它兩個數(shù)位上的數(shù)字都大”，則這樣的三位數(shù)的個數(shù)為（）A.14 B.17 C.20 D.23【答案】C【解析】【分析】分類求解符合條件的三位數(shù)的個數(shù)即可.【詳解】集合，且，則這個三位數(shù)滿足“十位上的數(shù)字比其它兩個數(shù)位上的數(shù)字都大”包含以下三種情況：①十位數(shù)是，則百位數(shù)可以是中的一個數(shù)，個位數(shù)可以是中的一個數(shù)，即個；②十位數(shù)是，則百位數(shù)可以是中的一個數(shù)，個位數(shù)可以是中的一個數(shù)，即個；③十位數(shù)是，則百位數(shù)只能是，個位數(shù)可以是中的一個數(shù)，即個；綜上，符合條件的共有個.故選：C.6.已知正三棱臺的上?下底面的邊長分別為6和12，且棱臺的側(cè)面與底面所成的二面角為，則此三棱臺的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正三棱臺的幾何特征求出棱臺的高，再求出上下底面積，利用棱臺的體積公式求解即可.【詳解】由題意可知正三棱臺的上底面面積為，下底面面積為，設(shè)中點為，為下、上底面中心，連接，過作底面交于，由正三棱臺的性質(zhì)可知，，因為平面平面，所以為棱臺的側(cè)面與底面所成的二面角的平面角，即，因為，，所以，，所以此三棱臺的體積，故選：C7.已知函數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分別討論，，時的零點個數(shù)，求出恰有兩個零點時實數(shù)的取值范圍即可.【詳解】，①當時，令，解得，若在有零點，則，解得，即當時，在有一個零點；②當時，令，解得，若在有零點，則，解得，即當時，在有一個零點；③當時，令，即，令，則，令，得，當時，，在單調(diào)遞減，當時，，在單調(diào)遞增，，當時，方程有一個實數(shù)根，即函數(shù)在有一個零點，當時，方程有兩個實數(shù)根，即函數(shù)在有兩個零點，綜上所述，當時，函數(shù)無零點；當時，函數(shù)在有一個零點；當時，函數(shù)在和分別有一個零點，即有兩個零點；當時，函數(shù)在有一個零點；當時，函數(shù)在和分別有一個零點，即有兩個零點；當時，函數(shù)在有一個零點，在有兩個零點，即有三個零點.函數(shù)恰有兩個零點，實數(shù)的取值范圍是.故選：D.8.已知拋物線的焦點為，點，點在拋物線上，且滿足，若的面積為，則的值為（）A.3 B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用兩點間距離公式，通過解方程組、三角形面積公式進行求解即可.【詳解】由，根據(jù)拋物線的對稱性，不妨設(shè)，因為，所以，而點在拋物線上，所以，則有，或舍去，即，舍去又因為的面積為，所以有，舍去，故選：D【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是利用兩點間距離公式進行求解.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分．9.已知為數(shù)列的前項和，，若數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則（）A.是等差數(shù)列 B.是等比數(shù)列C.為遞增數(shù)列 D.最大項有兩項【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列的定義逐一判斷即可.【詳解】A：設(shè)，，設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為數(shù)列也是等比數(shù)列，因此有，顯然既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，符合題意，于是有，當時，，兩式相減，得，所以數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列，即，顯然也符合，因此，所以本選項不正確；B：因為，所以數(shù)列是不為零的常數(shù)列，所以它是等比數(shù)列，因此本選項正確；C：因為，所以由，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)性的性質(zhì)可以判斷數(shù)列為遞增數(shù)列，因此本選項正確；D：，當時，即，因為為正整數(shù)，所以，因此本選項正確，故選：BCD10.已知圓，過直線上一點向圓作兩切線，切點為、，則（）A.直線恒過定點 B.最小值為C.的最小值為 D.滿足的點有且只有一個【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)、與圓相切，得到直線的方程，可判斷A選項；由勾股定理得當最小時最小，可判斷B選項；根據(jù)弦長公式，可判斷C選項；由可得到，可判斷D選項.詳解】對于A，圓的圓心為，半徑為，設(shè)，在直線上，，、為圓的切線，以為直徑的圓的方程為，，兩式作差可得直線的方程為，將代入得：，滿足，解得，所以直線恒過定點，故A正確；對于B，，當最小時，最小，，，，此時，故B錯誤；對于C，，到的距離，，當時，，故C正確；對于D，若，則，即，，存在兩個點使，故D錯誤.故選：AC.11.某中學為了提高同學們學習數(shù)學的興趣，激發(fā)學習數(shù)學的熱情，在初一年級舉辦了以“智趣數(shù)學，“渝”你相約”為主題的數(shù)學文化節(jié)活動，活動設(shè)置了各種精彩紛呈的數(shù)學小游戲，其中有一個游戲就是數(shù)學知識問答比賽.比賽滿分100分，分為初賽和附加賽，初賽不低于75的才有資格進入附加賽（有參賽資格且未獲一等獎的同學都必須參加）.獎勵規(guī)則設(shè)置如下：初賽分數(shù)在直接獲一等獎，初賽分數(shù)在獲二等獎，但通過附加賽有的概率升為一等獎，初賽分數(shù)在獲三等獎，但通過附加賽有的概率升為二等獎（最多只能升一級，不降級），已知A同學和B同學都參加了本次比賽，且A同學在初賽獲得了二等獎，根據(jù)B同學的實力評估可知他在初賽獲一?二?三等獎的概率分別為，已知，B獲獎情況相互獨立.則下列說法正確的有（）A.B同學最終獲二等獎的概率為B.B同學最終獲一等獎的概率大于A同學獲一等獎的概率C.B同學初賽獲得二等獎且B最終獲獎等級不低于A同學的概率為D.在B同學最終獲獎等級不低于A同學的情況下，其初賽獲三等獎的概率為【答案】BCD【解析】【分析】A選項，分兩種情況，計算出B同學最終獲二等獎的概率；B選項，計算出B同學和A同學獲一等獎的概率，比較后得到答案；C選項，分B同學初賽獲得二等獎，最終獲一等獎和B同學最終獲二等獎，且A同學也獲得二等獎，兩種情況，求出概率相加即可；D選項，分三種情況，求出B同學最終獲獎等級不低于A同學的概率，再利用貝葉斯公式求出答案.【詳解】A選項，B同學最終獲二等獎的情況有兩種，一是初賽獲得二等獎，附加賽沒有升一級，此時概率為，二是初賽獲得三等獎，附加賽后升一級，此時概率為，故B同學最終獲二等獎的概率為，A錯誤；B選項，B同學最終獲一等獎的概率為，A同學獲一等獎的概率為，由于，故B同學最終獲一等獎的概率大于A同學獲一等獎的概率，B正確；C選項，B同學初賽獲得二等獎，最終獲一等獎，此時最終獲獎等級不低于A同學，此時的概率為，B同學最終獲二等獎，且A同學也獲得二等獎的概率為，故B同學初賽獲得二等獎且B最終獲獎等級不低于A同學的概率為，C正確；D選項，B同學初賽獲一等獎的概率為，由C選項可知，B同學初賽獲二等獎且B最終獲獎等級不低于A同學的概率為，B同學初賽獲三等獎且B最終獲獎等級不低于A同學，需滿足B同學附加賽升一級，且A同學附加賽沒有升一級，故概率，故B同學最終獲獎等級不低于A同學的概率為，所以在B同學最終獲獎等級不低于A同學的情況下，其初賽獲三等獎的概率為，D正確.故選：BCD12.如圖，在棱長為1的正方體中，點在側(cè)面內(nèi)運動（包括邊界），為棱中點，則下列說法正確的有（）A.存在點滿足平面平面B.當為線段中點時，三棱錐的外接球體積為C.若，則最小值為D.若，則點的軌跡長為【答案】ABD【解析】【分析】當點位于點時，平面平面，可判斷A選項；確定三棱錐的外接球的球心，進而求半徑，可判斷B選項；當點位于點時，可判斷C選項；利用∽，建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼悼傻玫近c的軌跡，進而求軌跡的長，可判斷D選項.【詳解】對于A，面面，所以當點位于點時，平面平面，故A正確；對于B，當為線段中點時，與均為直角三角形，且面面，三棱錐的外接球的球心為的中點，外接球的半徑，三棱錐的外接球體積為，故B正確；對于C，，點線段上，當點位于點時，，故C錯誤；對于D，若，與均為直角三角形，∽，，如圖，在正方形中，以為原點，、分別為軸、軸建立平面直角坐標系，則，，設(shè)，則，整理得：，點在面內(nèi)的軌跡為以為圓心，以為半徑的，，，在中，，，，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知角終邊上有一點，則__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合任意角的三角函數(shù)的定義，以及三角函數(shù)的誘導公式求解即可.【詳解】角終邊上有一點，，.故答案為：.14.已知數(shù)列滿足，，若，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件寫出數(shù)列的前四項，得到數(shù)列的周期，進而求解.【詳解】數(shù)列滿足，，，，所以數(shù)列的周期為3，且，.故答案為：.15.已知橢圓的左右焦點分別為，過橢圓外一點和上頂點的直線交橢圓于另一點，若，則橢圓的離心率為__________.【答案】##【解析】【分析】由已知可得是中點，由中點坐標公式可得的坐標，代入橢圓方程即可求解.【詳解】因為為中點，，所以也是中點，因為，，則，代入橢圓方程可得，則離心率.故答案為：.16.平面向量，，滿足，，則的最大值為__________.【答案】4【解析】【分析】不妨設(shè)，，，則求的最大值，即求的最大值，將問題轉(zhuǎn)化為方程有解的問題，得到的軌跡為一個圓，最后利用投影向量的意義求出的最大值即可求解.【詳解】設(shè)，，向量，的夾角為，則，，設(shè)，由得：，即，化簡得：，上述方程一定有解，，即在一個圓上，而，所以轉(zhuǎn)化為求的最大值，當在上投影長度最大時，，令，，則，當時，.的最大值為.【點睛】思路點睛：該題考查了平面向量數(shù)量積的問題，解題思路如下：（1）先根據(jù)題意，設(shè)出向量的坐標；（2）根據(jù)向量數(shù)量積的運算律將其展開；（3）利用向量數(shù)量積的坐標公式求得等量關(guān)系式；（4）利用方程有解，得到點的軌跡；（5）利用換元法求最值.在解題的過程中，關(guān)鍵點是注意轉(zhuǎn)化思想的應用，屬于難題.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.如圖，在平面四邊形中，為鈍角三角形，為與的交點，若，且.（1）求的大??；（2）求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理解三角形，分類討論計算即可；（2）法一、利用（1）的結(jié)論及正切的差角公式計算，結(jié)合三角形面積公式計算即可，法二、構(gòu)造三角形相似，結(jié)合線段比例關(guān)系計算面積即可.【小問1詳解】在中，由正弦定理得：，或，當時，又，所以，與為鈍角三角形不符合，舍去.所以.【小問2詳解】由（1）知，為等腰三角形，，，由，可得；法二：作于，則，易知，所以，則，則.18.已知數(shù)列前項和為，且滿足__________.①首項，均有；②，均有且，從條件①和②中選一個填到題目條件下劃線上（若兩個都填，以第一個為準），并回答下面問題：（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列前項和的表達式.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)求解即可；（2）利用錯位相減法求和.小問1詳解】若選條件①，則令，可得：，故當時有：，，又當也符合上式，所以，數(shù)列的通項公式為；若選條件②，則由可得，當時，，解得，當時有：，則,化簡得:，因為，故有，即，所以是首項為，公差為等差數(shù)列，從而有.數(shù)列的通項公式為；【小問2詳解】由（1）可知：，則，，兩式相減得：，，，所以.數(shù)列前項和為.19.新能源滲透率是指在一定時期內(nèi)，新能源汽車銷量占汽車總銷量的比重.在2022年，新能源汽車的滲透率達到了，提前三年超過了“十四五”預定的的目標.2023年，隨著技術(shù)進步，新能源車的滲透率還在繼續(xù)擴大.將2023年1月視為第一個月，得到2023年110月，我國新能源汽車滲透率如下表：月份代碼12345678910滲透率29323432333436363638（1）假設(shè)自2023年1月起的第個月的新能源滲透率為，試求關(guān)于的回歸直線方程，并由此預測2024年1月的新能源滲透率；（2）為了鼓勵大家購買新能源汽車，國家在2024年繼續(xù)執(zhí)行新能源車購置稅優(yōu)惠政策：在2024年6月1日前購買的新能源車無需支付購置稅，而燃油車需按照車價支付購置稅.2024年1月小張為自己的客戶代付購置稅，當月他的客戶購買了3輛車價格均為20萬元，假設(shè)以（1）中預測的新能源滲透率作為當月客戶購買新能源車的概率，設(shè)小張總共需要代付的購置稅為萬元，求的分布列和期望.附：一組數(shù)據(jù)，，的線性回歸直線方程的系數(shù)公式為：，【答案】（1），（2）分布列見解析，萬元【解析】【分析】（1）根據(jù)題意計算，，得出回歸直線方程，代入，即可求解.（2）由（1）可知客戶購買新能源車的概率為，燃油車概率為，由題意購置稅服從二項分布，即可求出分布列和均值.【小問1詳解】計算得，，所以，，則回歸直線方程為，代入得，所以預測2024年1月新能源滲透率為；【小問2詳解】由題意，每個客戶購買新能源車的概率為，燃油車概率為，所有可能取值為，，，，則，，，，所以的分布列為0246所以（萬元）.20.如圖，斜三棱柱中，底面是邊長為的正三角形，側(cè)面為菱形，且.（1）求證：；（2）若，三棱柱的體積為24，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理和性質(zhì)進行證明即可；（2）建立空間直角坐標系，利用棱柱的體積公式、空間向量夾角公式進行求解即可.【小問1詳解】取中點，連接，由題知為正三角形，而也是正三角形，，又平面，平面，平面；【小問2詳解】，由余弦定理得，又，，又平面，平面兩兩垂直.以為原點，以的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標系如圖.因為三棱柱的體積為，則.設(shè)平面的法向最為，由，可取，設(shè)向量與的夾角為，，直線與平面所成角的正弦值為.21.已知雙曲線的一條浙近線方程為，且點在雙曲線上.（1）求雙曲線的標準方程；（2）設(shè)雙曲線左右頂點分別為，在直線上取一點，直線交雙曲線右支于點，直線交雙曲線左支于點，直線和直線的交點為，求證：點在定直線上.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）利用雙曲線的性質(zhì)，代入點坐標計算即可；（2）法一、用點P坐標表示直線，聯(lián)立雙曲線方程得出C、D坐標，再表示直線，聯(lián)立求其交點即可證明；法二、直接利用C、D坐標表示直線，利用三點共線的斜率關(guān)系計算可