高考數(shù)學理北師大版一輪復習訓練4-4三角函數(shù)的圖像與性質

核心考點·精準研析考點一三角函數(shù)的定義域、值域(最值)

1.函數(shù)y=QUOTE的定義域為.

2.(2019·全國卷Ⅰ)函數(shù)f(x)=sinQUOTE3cosx的最小值為.

3.函數(shù)f(x)=13sinQUOTE的值域為.

【解析】1.要使函數(shù)有意義,必須使sinxcosx≥0.利用圖像,在同一坐標系中畫出[0,2π]上y=sinx和y=cosx的圖像.在[0,2π]內,滿足sinx=cosx的x為QUOTE,QUOTE,再結合正弦、余弦函數(shù)的周期是2π,所以原函數(shù)的定義域為QUOTE.答案:QUOTE2.f(x)=sinQUOTE3cosx=cos2x3cosx=2cos2x3cosx+1=2QUOTE+QUOTE,因為1≤cosx≤1,所以當cosx=1時,f(x)min=4,故函數(shù)f(x)的最小值為4.答案:43.因為1≤sinQUOTE≤1,所以3≤3sinQUOTE≤3,所以2≤13sinQUOTE≤4,所以函數(shù)f(x)=13sinQUOTE的值域為[2,4].答案:[2,4]1.求三角函數(shù)的定義域的實質解簡單的三角不等式,常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)的圖像求解.2.求解三角函數(shù)的值域(最值)常見三種類型(1)形如y=asinx+bcosx+c的三角函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)+c的形式,再求值域(最值).(2)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函數(shù),可先設sinx=t,化為關于t的二次函數(shù)求值域(最值).(3)形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函數(shù),可先設t=sinx±cosx,化為關于t的二次函數(shù)求值域(最值).【秒殺絕招】圖像性質解T1,sinxcosx=QUOTEsinQUOTE≥0,將xQUOTE視為一個整體,由正弦函數(shù)y=sinx的圖像與性質知2kπ≤xQUOTE≤π+2kπ(k∈Z),解得2kπ+QUOTE≤x≤2kπ+QUOTE(k∈Z).所以定義域為QUOTE.特殊值法解T2,易知f(x)≥4,又x=0時,f(x)=4,所以f(x)的最小值為4.考點二三角函數(shù)的單調性

【典例】1.(2018·全國卷Ⅱ)若f(x)=cosxsinx在[0,a]上是減函數(shù),則a的最大值是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.π2.函數(shù)f(x)=sinQUOTE的單調遞減區(qū)間為.導學號

【解題導思】序號聯(lián)想解題1看到“f(x)=cosxsinx在[0,a]上是減函數(shù)”想到化簡f(x)解析式,[0,a]是某個減區(qū)間的子集2看到“f(x)=sinQUOTE”想到運用誘導公式轉化為f(x)=sinQUOTE【解析】1.選C.f(x)=cosxsinx=QUOTEcosQUOTE在QUOTE上單調遞減,所以[0,a]?QUOTE,故0<a≤QUOTE.2.f(x)=sinQUOTE,欲求f(x)單調遞減區(qū)間,只需求y=sinQUOTE的單調遞增區(qū)間.由2kπQUOTE≤2xQUOTE≤2kπ+QUOTE(k∈Z),得kπQUOTE≤x≤kπ+QUOTE(k∈Z).所以f(x)的單調遞減區(qū)間為QUOTE(k∈Z).答案:QUOTE(k∈Z)【思維多變】若f(x)=cosxsinx在[a,a]上是減函數(shù),則a的最大值是 ()A.QUOTEB.QUOTE C.QUOTE D.π【解析】選A.f(x)=cosxsinx=QUOTEcosQUOTE在QUOTE上單調遞減,所以[a,a]?QUOTE,故a≥QUOTE且a≤QUOTE,解得0<a≤QUOTE.1.求三角函數(shù)單調區(qū)間的方法首先化簡成y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式,再求y=Asin(ωx+φ)的單調區(qū)間,只需把ωx+φ看作一個整體代入y=sinx的相應單調區(qū)間內即可.2.已知單調區(qū)間求參數(shù)的三種方法子集法求出原函數(shù)的相應單調區(qū)間,由已知區(qū)間是該區(qū)間的子集,列不等式(組)求解求補集法由所給區(qū)間求出整體角的范圍,由該范圍是某相應正、余弦函數(shù)的某個單調區(qū)間的子集,列不等式(組)求解周期性法由所給區(qū)間的兩個端點到其相應對稱中心的距離不超過QUOTE周期列不等式(組)求解1.(2020·侯馬模擬)已知函數(shù)f(x)=cos(x+θ)(0<θ<π)在x=QUOTE時取得最小值,則f(x)在[0,π]上的單調遞增區(qū)間是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.因為0<θ<π,所以QUOTE<QUOTE+θ<QUOTE,又因為f(x)=cos(x+θ)在x=QUOTE時取得最小值,所以QUOTE+θ=π,θ=QUOTE,所以f(x)=cosQUOTE.由0≤x≤π,得QUOTE≤x+QUOTE≤QUOTE.由π≤x+QUOTE≤QUOTE,得QUOTE≤x≤π,所以f(x)在[0,π]上的單調遞增區(qū)間是QUOTE.2.若函數(shù)f(x)=sinωx(ω>0)在區(qū)間QUOTE上單調遞增,在區(qū)間QUOTE上單調遞減,則ω=.

【解析】因為f(x)=sinωx(ω>0)過原點,所以當0≤ωx≤QUOTE,即0≤x≤QUOTE時,y=sinωx是增函數(shù);當QUOTE≤ωx≤QUOTE,即QUOTE≤x≤QUOTE時,y=sinωx是減函數(shù).由已知QUOTE=QUOTE,所以ω=QUOTE.答案:QUOTE考點三三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對稱性

命題精解讀1.考什么:(1)周期性,奇偶性、對稱性等.(2)考查邏輯推理,數(shù)學運算等核心素養(yǎng),以及轉化與化歸的思想.2.怎么考:與誘導公式、三角恒等變換結合考查求周期,參數(shù)等.3.新趨勢:以考查與誘導公式、三角恒等變換結合為主.學霸好方法求周期的三種方法(1)利用周期函數(shù)的定義:f(x+T)=f(x).(2)利用公式:y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期為QUOTE,y=tan(ωx+φ)的最小正周期為QUOTE.(3)利用圖像:圖像重復的x軸上一段的長度.①正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是半個周期,相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是QUOTE個周期.②正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半個周期.周期性【典例】1.(2019·全國卷Ⅱ)若x1=QUOTE,x2=QUOTE是函數(shù)f(x)=sinωx(ω>0)兩個相鄰的極值點,則ω= ()A.2 B.QUOTE C.1 D.QUOTE2.(2019·北京高考)函數(shù)f(x)=sin22x的最小正周期是. 導學號

【解析】1.選A.由于x1=QUOTE,x2=QUOTE是函數(shù)兩個相鄰的極值點,故QUOTE=QUOTEQUOTE=QUOTE,所以T=π,即ω=QUOTE=2.2.f(x)=QUOTE(1cos4x),最小正周期T=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE涉及三角函數(shù)的性質問題有哪些注意事項?提示:(1)考慮利用三角恒等變換將函數(shù)化為一個角的一種函數(shù)形式.(2)掌握一些簡單函數(shù)的周期:如:①y=Asin(ωx+φ)的周期為QUOTE.②y=Atan(ωx+φ)的周期為QUOTE.③y=|sinx|的周期為π.④y=|tanx|的周期為π.奇偶性、對稱性【典例】(2019·全國卷Ⅱ)下列函數(shù)中,以QUOTE為周期且在區(qū)間QUOTE單調遞增的是 導學號()A.f(x)=|cos2x| B.f(x)=|sin2x|C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x|【解析】選A.分別畫出函數(shù)的圖像可得選項A的周期為QUOTE,選項B的周期為QUOTE,而選項C的周期為2π,選項D不是周期函數(shù).結合圖像的升降情況可得A正確.1.函數(shù)y=QUOTEsin2x+cos2x的最小正周期為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.π D.2π【解析】選C.y=QUOTEsin2x+cos2x=2sinQUOTE,T=QUOTE=π.2.(2020·渭南模擬)同時具有以下性質:“①最小正周期是π;②圖像關于直線x=QUOTE對稱;③在QUOTE上是增函數(shù);④圖像的一個對稱中心為QUOTE”的一個函數(shù)是 ()A.y=sinQUOTE B.y=sinQUOTEC.y=sinQUOTE D.y=sinQUOTE【解析】選C.因為最小正周期是π,排除A選項;當x=QUOTE時,對于B,y=sinQUOTE=0,對于D,y=sinQUOTE=QUOTE,因為圖像關于直線x=QUOTE對稱,所以排除B、D選項,對于C,sinQUOTE=1,sinQUOTE=0,且在QUOTE上是增函數(shù),故C滿足條件.3.(2018·江蘇高考)已知函數(shù)y=sin(2x+φ)QUOTE的圖像關于直線x=QUOTE對稱,則φ的值是.

【解析】正弦函數(shù)的對稱軸為QUOTE+kπ(k∈Z),故把x=QUOTE代入得QUOTE+φ=QUOTE+kπ(k∈Z),φ=QUOTE+kπ(k∈Z),因為QUOTE<φ<QUOTE,所以k=0,φ=QUOTE.答案:QUOTE1.函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)的部分圖像如圖所示,則f(x)的單調遞減區(qū)間為 ()A.QUOTE,k∈ZB.QUOTE,k∈ZC.QUOTE,k∈ZD.QUOTE,k∈Z【解析】選D.由五點法作圖知,QUOTE解得QUOTE所以f(x)=cosQUOTE,令2kπ<πx+QUOTE<2kπ+π,k∈Z,解得2kQUOTE<x<2k+QUOTE,k∈Z.所以f(x)的單調遞減區(qū)間為QUOTE,k∈Z.【一題多解】選D.由圖像知T=2×QUOTE=2,當x=QUOTE=QUOTE時,f(x)取得最小值,因為T=2,所以當x=QUOTE1=QUOTE時取到最大值.所以f(x)的一個單調遞減區(qū)間為QUOTE,f(x)單調遞減區(qū)間為QUOTE,k∈Z.2.(2020·洛陽模擬)已知函數(shù)f(x)=sin(sinx)+cos(sinx),x∈R,則下列說法正確的是 ()A.函數(shù)f(x)是周期函數(shù)且最小正周期為πB.函數(shù)f(x)是奇函數(shù)C.函數(shù)f(x)在區(qū)間QUOTE上的值域為[1,QUOTE]D.函數(shù)f(x)在區(qū)間QUOTE上是增函數(shù)【解析】選C.對于A,f(x+π)=sin[sin(x+π)]+cos[sin(x+π)]=sin(sinx)+cos(sinx)=sin(sinx)+cos(sinx)≠f(x),A錯誤;對于B,f(x)=si