0-過(guò)程特性及其數(shù)學(xué)模型

13三月20240過(guò)程特性及其數(shù)學(xué)模型一個(gè)自動(dòng)控制系統(tǒng)可以概括成兩大部分，即工藝過(guò)程部分（被控對(duì)象）和自動(dòng)化裝置部分。前者指與該自動(dòng)控制系統(tǒng)有關(guān)的部分。后者指為實(shí)現(xiàn)自動(dòng)控制所必需的自動(dòng)化儀表設(shè)備，通常包括測(cè)量與變送裝置、控制器和執(zhí)行器等三部分。

對(duì)于一個(gè)自動(dòng)控制系統(tǒng)，過(guò)渡過(guò)程品質(zhì)的好壞，在很大程度上決定于對(duì)象的性質(zhì)。例如在前所述的溫度控制系統(tǒng)中，屬于對(duì)象性質(zhì)的主要因素有：換熱器的負(fù)荷大小，換熱器的結(jié)構(gòu)、尺寸、材質(zhì)等，換熱器內(nèi)的換熱情況、散熱情況及結(jié)垢程度等。不同自動(dòng)化系統(tǒng)要具體分析。內(nèi)容提要過(guò)程特性的類(lèi)型過(guò)程的描述方法建模目的機(jī)理建模實(shí)驗(yàn)建模描述對(duì)象特性的參數(shù)放大系數(shù)Κ時(shí)間常數(shù)Τ滯后時(shí)間τ對(duì)象特性參數(shù)的測(cè)定1

過(guò)程特性：指被控過(guò)程輸入量（操縱變量或干擾變量）發(fā)生變化時(shí)，輸出量(被控變量)的變化規(guī)律。被控過(guò)程常見(jiàn)種類(lèi)：換熱器、鍋爐、精餾塔、化學(xué)反應(yīng)器、貯液槽罐、加熱爐等

被控變量（輸出量）擾動(dòng)變量（輸入量）

操縱變量（輸入量）

通道：被控過(guò)程的輸入量與輸出量之間的信號(hào)聯(lián)系

控制通道-----操縱變量至被控變量的信號(hào)聯(lián)系（作用途徑）擾動(dòng)通道-----擾動(dòng)變量至被控變量的信號(hào)聯(lián)系（作用途徑）2.1過(guò)程特性的類(lèi)型

1.自衡的非振蕩過(guò)程2.無(wú)自衡的非振蕩過(guò)程3.有自衡的振蕩過(guò)程4.具有反向特性的過(guò)程依據(jù)階躍信號(hào)下對(duì)象的響應(yīng)特征，多數(shù)工業(yè)過(guò)程的特性可分為下列四種類(lèi)型：過(guò)程特性通常通過(guò)在階躍信號(hào)的作用下的表現(xiàn)（響應(yīng)）獲得

1.自衡的非振蕩過(guò)程在階躍信號(hào)的作用下，被控變量C(t)不經(jīng)振蕩，逐漸向新的穩(wěn)態(tài)值C(∞)靠攏。過(guò)程特性的類(lèi)型C(t)tC(∞)自衡的非振蕩過(guò)程h

Q1

Q2

tt

hQ1

如圖所示的通過(guò)閥門(mén)阻力排液的液位系統(tǒng)過(guò)程特性的類(lèi)型2.無(wú)自衡的非振蕩過(guò)程

在階躍信號(hào)的作用下，被控變量C(t)會(huì)一直上升或下降，直到極限值。C(t)t無(wú)自衡的非振蕩過(guò)程

圖2-4：無(wú)自衡的的非振蕩液位過(guò)程過(guò)程特性的類(lèi)型3.有自衡的振蕩過(guò)程

在階躍信號(hào)的作用下，被控變量C(t)會(huì)上下振蕩，且振蕩的幅值逐漸減小，最終能趨近新的穩(wěn)態(tài)值。有自衡的振蕩過(guò)程的響應(yīng)曲線如圖所示。在控制過(guò)程中，這類(lèi)過(guò)程不多見(jiàn)，它們的控制也比第一類(lèi)過(guò)程困難一些。C(t)

t

有自衡的振蕩過(guò)程

過(guò)程特性的類(lèi)型

4.具有反向特性的過(guò)程在階躍信號(hào)的作用下，被控變量C(t)先升后降或先降后升，（鍋爐汽包的虛假水位）即階躍響應(yīng)在初始情況與最終情況方向相反。C(t)t

具有反向特性的過(guò)程

汽包給水蒸汽加熱室

研究對(duì)象的特性，就是用數(shù)學(xué)的方法來(lái)描述出對(duì)象輸入量與輸出量之間的關(guān)系。這種對(duì)象特性的數(shù)學(xué)描述就稱(chēng)為對(duì)象的數(shù)學(xué)模型。干擾作用和控制作用都是引起被控變量變化的因素，如下圖所示。輸出變量輸入變量通道控制通道干擾通道？幾個(gè)概念2圖2-1對(duì)象的輸入輸出量2.2過(guò)程的數(shù)學(xué)描述對(duì)象的數(shù)學(xué)模型分為靜態(tài)數(shù)學(xué)模型和動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型靜態(tài)數(shù)學(xué)模型動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)特例3一般是在工藝流程和設(shè)備尺寸等都確定的情況，研究對(duì)象的輸入變量是如何影響輸出變量的。研究的目的是為了使所設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)達(dá)到更好的控制效果。

在產(chǎn)品規(guī)格和產(chǎn)量已確定的情況下，通過(guò)模型計(jì)算，確定設(shè)備的結(jié)構(gòu)、尺寸、工藝流程和某些工藝條件。

（a）（b）（c）用于控制的數(shù)學(xué)模型（a、b）與用于工藝設(shè)計(jì)與分析的數(shù)學(xué)模型（c）不完全相同。4數(shù)學(xué)模型的表達(dá)形式分類(lèi)51.非參量模型

當(dāng)數(shù)學(xué)模型是采用曲線或數(shù)據(jù)表格等來(lái)表示時(shí)，稱(chēng)為非參量模型。非參量模型可以通過(guò)記錄實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)得到，有時(shí)也可以通過(guò)計(jì)算來(lái)得到。特點(diǎn)形象、清晰，比較容易看出其定性的特征

缺點(diǎn)直接利用它們來(lái)進(jìn)行系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)往往比較困難

表達(dá)形式對(duì)象在一定形式輸入作用下的輸出曲線或數(shù)據(jù)來(lái)表示

當(dāng)數(shù)學(xué)模型是采用數(shù)學(xué)方程式來(lái)描述時(shí)，稱(chēng)為參量模型。對(duì)象的參量模型可以用描述對(duì)象輸入、輸出關(guān)系的微分方程式、偏微分方程式、狀態(tài)方程、差分方程等形式來(lái)表示。2.參量模型67對(duì)于線性的集中參數(shù)對(duì)象

通常可用常系數(shù)線性微分方程式來(lái)描述，如果以x（t）表示輸入量，y（t）表示輸出量，則對(duì)象特性可用下列微分方程式來(lái)描述在允許的范圍內(nèi)，多數(shù)化工對(duì)象動(dòng)態(tài)特性可以忽略輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)可表示為

（2-1）8舉例一個(gè)對(duì)象如果可以用一個(gè)一階微分方程式來(lái)描述其特性（通常稱(chēng)一階對(duì)象），則可表示為或表示成式中（2-2）（2-3）上式中的系數(shù)與對(duì)象的特性有關(guān)，一般需要通過(guò)對(duì)象的內(nèi)部機(jī)理分析或大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理得到。過(guò)程數(shù)學(xué)模型的建立一、建模目的9（1）控制系統(tǒng)的方案設(shè)計(jì)

（2）控制系統(tǒng)的調(diào)試和控制器參數(shù)的確定

（3）制定工業(yè)過(guò)程操作優(yōu)化方案（4）新型控制方案及控制算法的確定

（5）計(jì)算機(jī)仿真與過(guò)程培訓(xùn)系統(tǒng)

（6）設(shè)計(jì)工業(yè)過(guò)程的故障檢測(cè)與診斷系統(tǒng)

二、機(jī)理建模10

根據(jù)對(duì)象或生產(chǎn)過(guò)程的內(nèi)部機(jī)理，列寫(xiě)出各種有關(guān)的平衡方程，如物料平衡方程、能量平衡方程、動(dòng)量平衡方程、相平衡方程以及某些物性方程、設(shè)備的特性方程、化學(xué)反應(yīng)定律、電路基本定律等，從而獲取對(duì)象（或過(guò)程）的數(shù)學(xué)模型，這類(lèi)模型通常稱(chēng)為機(jī)理模型。

二、機(jī)理建模對(duì)于某些對(duì)象，人們還難以寫(xiě)出它們的數(shù)學(xué)表達(dá)式，或者表達(dá)式中的某些系數(shù)還難以確定時(shí)，不能適用。具有非常明確的物理意義，所得的模型具有很大的適應(yīng)性，便于對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行調(diào)整。

優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)11舉例1.一階對(duì)象（1）水槽對(duì)象對(duì)象物料蓄存量的變化率＝單位時(shí)間流入對(duì)象的物料－單位時(shí)間流出對(duì)象的物料依據(jù)1213（2-4）若變化量很微小，可以近似認(rèn)為Q2與h成正比（2-5）將上式代入（2-4）式，移項(xiàng)令則轉(zhuǎn)到22頁(yè)圖2-2水槽對(duì)象14（2）RC電路ei若取為輸入?yún)?shù)，eo為輸出參數(shù)，根據(jù)基爾霍夫定理

消去i由于或圖2-3RC電路2.積分對(duì)象當(dāng)對(duì)象的輸出參數(shù)與輸入?yún)?shù)對(duì)時(shí)間的積分成比例關(guān)系時(shí)，稱(chēng)為積分對(duì)象。Q2為常數(shù)，變化量為0說(shuō)明，所示貯槽具有積分特性。其中，A為貯槽橫截面積15圖2-4積分對(duì)象163.二階對(duì)象（1）串聯(lián)水槽對(duì)象假定輸入、輸出量變化很小的情況下，貯槽的液位與輸出流量具有線性關(guān)系。

假定每只貯槽的截面積都為A，則轉(zhuǎn)到26頁(yè)圖2-5串聯(lián)水槽對(duì)象消去Q12、Q2、h1整理得式中為第一只貯槽的時(shí)間常數(shù)；為第二只貯槽的時(shí)間常數(shù)；為整個(gè)對(duì)象的放大系數(shù)。1718（2）RC串聯(lián)電路根據(jù)基爾霍夫定律整理得圖2-6RC串聯(lián)電路2.3過(guò)程特性的一般分析一、放大系數(shù)K

對(duì)于前面介紹的水槽對(duì)象，當(dāng)流入流量Q1有一定的階躍變化后，液位h也會(huì)有相應(yīng)的變化，但最后會(huì)穩(wěn)定在某一數(shù)值上。如果我們將流量Q1的變化ΔQ1看作對(duì)象的輸入，而液位h的變化Δh看作對(duì)象的輸出，那么在穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，對(duì)象一定的輸入就對(duì)應(yīng)著一定的輸出，這種特性稱(chēng)為對(duì)象的靜態(tài)特性。2425圖2-12水槽液位的變化曲線或K在數(shù)值上等于對(duì)象重新穩(wěn)定后的輸出變化量與輸入變化量之比。K越大，就表示對(duì)象的輸入量有一定變化時(shí)，對(duì)輸出量的影響越大，即被控變量對(duì)這個(gè)量的變化越靈敏。26舉例以合成氨的轉(zhuǎn)換爐為例，說(shuō)明各個(gè)量的變化對(duì)被控變量K的影響

生產(chǎn)過(guò)程要求一氧化碳的轉(zhuǎn)化率要高，蒸汽消耗量要少，觸媒壽命要長(zhǎng)。通常用變換爐一段反應(yīng)溫度作為被控變量，來(lái)間接地控制轉(zhuǎn)換率和其他指標(biāo)。圖2-13一氧化碳變換過(guò)程示意圖圖2-14不同輸入作用時(shí)的被控變量變化曲線

影響變換爐一段反應(yīng)溫度的因素主要有冷激流量、蒸汽流量和半水煤氣流量。改變閥門(mén)1、2、3的開(kāi)度就可以分別改變冷激量、蒸汽量和半水煤氣量的大小。從右上圖看出，冷激量對(duì)溫度的相對(duì)放大系數(shù)最大；蒸汽量對(duì)溫度的相對(duì)放大系數(shù)次之；半水煤氣量對(duì)溫度的相對(duì)放大系數(shù)最小。27二、時(shí)間常數(shù)T28

從大量的生產(chǎn)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，有的對(duì)象受到干擾后，被控變量變化很快，較迅速地達(dá)到了穩(wěn)定值；有的對(duì)象在受到干擾后，慣性很大，被控變量要經(jīng)過(guò)很長(zhǎng)時(shí)間才能達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)值。

圖1-15不同時(shí)間常數(shù)對(duì)象的反應(yīng)曲線如何定量地表示對(duì)象受干擾后的這種特性呢？

在自動(dòng)化領(lǐng)域中，往往用時(shí)間常數(shù)T來(lái)表示。時(shí)間常數(shù)越大，表示對(duì)象受到干擾作用后，被控變量變化得越慢，到達(dá)新的穩(wěn)定值所需的時(shí)間越長(zhǎng)。

2930舉例簡(jiǎn)單水槽為例由前面的推導(dǎo)可知：t<0時(shí)Q1=0；t>0或t=0時(shí)Q1=A，則函數(shù)表達(dá)式為：（2-33）圖2-16反應(yīng)曲線當(dāng)t→∞時(shí)，上式為：（2-34）將t=T代入得（2-35）（2-36）

當(dāng)對(duì)象受到階躍輸入后，被控變量達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)值的63.2％所需的時(shí)間，就是時(shí)間常數(shù)T，實(shí)際工作中，常用這種方法求取時(shí)間常數(shù)。顯然，時(shí)間常數(shù)越大，被控變量的變化也越慢，達(dá)到新的穩(wěn)定值所需的時(shí)間也越大。圖2-17不同時(shí)間常數(shù)下的反應(yīng)曲線T1＜T2＜T3＜T4

說(shuō)明時(shí)間常數(shù)大的對(duì)象（如T4)對(duì)輸入的反應(yīng)較慢，一般認(rèn)為慣性較大。3334在輸入作用加入的瞬間，液位h的變化速度是多大呢？將式（2-33）對(duì)t求導(dǎo)，得（2-37）當(dāng)t=0（2-38）當(dāng)t→∞時(shí)，式（2-37）可得（2-39）圖2-18時(shí)間常數(shù)T的求法由左下圖所示，式（2-38）代表了曲線在起始點(diǎn)時(shí)切線的斜率，這條切線在新的穩(wěn)定值h（∞）上截得的一段時(shí)間正好等于T。由式（2-33），當(dāng)t=∞時(shí)，h=KA。當(dāng)t=3T時(shí)，代入式（2-33）得（2-40）

從加入輸入作用后，經(jīng)過(guò)3T時(shí)間，液位已經(jīng)變化了全部變化范圍的95％，這時(shí)，可以近似地認(rèn)為動(dòng)態(tài)過(guò)程基本結(jié)束。所以，時(shí)間常數(shù)T是表示在輸入作用下，被控變量完成其變化過(guò)程所需要的時(shí)間的一個(gè)重要參數(shù)。

結(jié)論35三、滯后時(shí)間τ定義分類(lèi)

對(duì)象在受到輸入作用后，被控變量卻不能立即而迅速地變化，這種現(xiàn)象稱(chēng)為滯后現(xiàn)象。滯后性質(zhì)傳遞滯后容量滯后

傳遞滯后又叫純滯后，一般用τ0表示。τ0的產(chǎn)生一般是由于介質(zhì)的輸送需要一段時(shí)間而引起的。

對(duì)象在受到階躍輸入作用x后，被控變量y開(kāi)始變化很慢，后來(lái)才逐漸加快，最后又變慢直至逐漸接近穩(wěn)定值。36371.傳遞滯后顯然，純滯后時(shí)間τ0與皮帶輸送機(jī)的傳送速度v和傳送距離L有如下關(guān)系：（2-41）溶解槽及其反應(yīng)曲線純滯后時(shí)間舉例從測(cè)量方面來(lái)說(shuō)，由于測(cè)量點(diǎn)選擇不當(dāng)、測(cè)量元件安裝不合適等原因也會(huì)造成傳遞滯后。蒸汽直接加熱器

當(dāng)加熱蒸汽量增大時(shí)，槽內(nèi)溫度升高，然而槽內(nèi)溶液流到管道測(cè)溫點(diǎn)處還要經(jīng)過(guò)一段時(shí)間τ0。所以，相對(duì)于蒸汽流量變化的時(shí)刻，實(shí)際測(cè)得的溶液溫度T要經(jīng)過(guò)時(shí)間τ0后才開(kāi)始變化。注意：安裝成分分析儀器時(shí)，取樣管線太長(zhǎng)，取樣點(diǎn)安裝離設(shè)備太遠(yuǎn)，都會(huì)引起較大的純滯后時(shí)間，工作中要盡量避免。3839圖2-21有、無(wú)純滯后的一階階躍響應(yīng)曲線x為輸入量，y（t）、yτ（t）分別為無(wú)、有純滯后時(shí)的輸出量時(shí)或若無(wú)純滯后的對(duì)象特性可以用下述方程式描述（2-44）則有純滯后的對(duì)象特性可以用下述方程式描述（2-45）40一般是由于物料或能量的傳遞需要通過(guò)一定阻力而引起的。

舉例前面介紹過(guò)的兩個(gè)水槽串聯(lián)的二階對(duì)象將輸出量h2用y表示，輸入量Q1用x表示，則方程式可寫(xiě)為假定輸入作用為階躍函數(shù)，其幅值為A。已知，二階常系數(shù)微分方程式的解是（2-46）（2-47）2.容量滯后由于對(duì)應(yīng)的齊次方程式為其特征方程為求得特征根為故齊次方程式的通解為式中，C1、C2為決定于初始條件的待定系數(shù)。（2-48）（2-49）（2-50）4142式（2-46）的一個(gè)特解可以認(rèn)為是穩(wěn)定解，由于輸入x＝A，穩(wěn)定時(shí)將式（2-51）及式（2-50）代入式（2-47）可得用初始條件y(0)=0，y(0)=0代入式（2-52）可分別解得圖2-22具有容量滯后對(duì)象的反應(yīng)曲線（2-51）（2-52）（2-53）（2-54）將上述兩式代入式（2-52），可得

上式便是串聯(lián)水槽對(duì)象的階躍反應(yīng)函數(shù)。由此式可知，在t=0時(shí)y（t）=0；在t=∞時(shí)，y（t）＝KA。y（t）是穩(wěn)態(tài)值KA與兩項(xiàng)衰減指數(shù)函數(shù)的代數(shù)和。說(shuō)明：輸入量在作階躍變化的瞬間，輸出量變化的速度等于零，以后隨著t的增加，變化速度慢慢增大，但當(dāng)t大于某一個(gè)t1值后，變化速度又慢慢減小，直至t→∞時(shí)，變化速度減少為零。

（2-55）43圖2-23串聯(lián)水槽的反應(yīng)曲線容量滯后時(shí)間T二階對(duì)象近似為是有滯后時(shí)間τ＝τh，時(shí)間常數(shù)為T(mén)的一階對(duì)象用一階對(duì)象的特性（是有滯后）來(lái)近似上述二階對(duì)象的方法

44圖2-24滯后時(shí)間τ示意圖

在容量滯后與純