壓軸大題13 直曲結(jié)合解決圓錐曲線綜合問題（解析版）

壓軸大題13直曲結(jié)合解決圓錐曲線綜合問題壓軸壓軸秘籍1.利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解2.若直線與圓雉曲線相交于，兩點(diǎn)，由直線與圓錐曲線聯(lián)立，消元得到（）則：則：弦長(zhǎng)或圓錐曲線弦長(zhǎng)萬(wàn)能公式（硬解定理）設(shè)直線方程為:y=kx+b(特殊情況要對(duì)圓錐曲線的方程為:fx,y可化為ax設(shè)直線和曲線的兩交點(diǎn)為Ax1,y1,Bx2,y2,AB

(2)若消去x,得ayAB處理定點(diǎn)問題的思路：（1）確定題目中的核心變量（此處設(shè)為），（2）利用條件找到與過定點(diǎn)的曲線的聯(lián)系，得到有關(guān)與的等式，（3）所謂定點(diǎn)，是指存在一個(gè)特殊的點(diǎn)，使得無論的值如何變化，等式恒成立，此時(shí)要將關(guān)于與的等式進(jìn)行變形，直至找到，①若等式的形式為整式，則考慮將含的式子歸為一組，變形為“”的形式，讓括號(hào)中式子等于0，求出定點(diǎn)；②若等式的形式是分式，一方面可考慮讓分子等于0，一方面考慮分子和分母為倍數(shù)關(guān)系，可消去變?yōu)槌?shù).處理定值問題的思路：聯(lián)立方程，用韋達(dá)定理得到、（或、）的形式，代入方程和原式化簡(jiǎn)即可.壓軸訓(xùn)練壓軸訓(xùn)練一、解答題1．（2023·江蘇·金陵中學(xué)校聯(lián)考三模）已知橢圓E：，橢圓上有四個(gè)動(dòng)點(diǎn)A，B，C，D，，AD與BC相交于P點(diǎn).如圖所示.

(1)當(dāng)A，B恰好分別為橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)時(shí)，試探究：直線AD與BC的斜率之積是否為定值？若為定值，請(qǐng)求出該定值；否則，請(qǐng)說明理由；(2)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，求直線AB的斜率.【答案】(1)是定值，定值為(2)【分析】（1）由題意求出直線的斜率，再求可設(shè)直線CD的方程為，設(shè)，，將直線方程代入橢圓方程化簡(jiǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系，然后求解即可；（2）設(shè)，，，記，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，將A，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，化簡(jiǎn)得，再由可得，從而可得，進(jìn)而可得直線的方程，則可求出其斜率.【詳解】（1）由題意知，，，所以，，所以，設(shè)直線CD的方程為，設(shè)，，聯(lián)立直線CD與橢圓的方程，整理得，由，解得，且，則，，所以，故直線AD與BC的斜率之積是定值，且定值為.（2）設(shè)，，，記()，得.所以.又A，D均在橢圓上，所以，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以，同理可得，即直線AB：，所以AB的斜率為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：此題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓中的定值問題，解題的關(guān)鍵是設(shè)出直線CD的方程，代入橢圓方程中消元化簡(jiǎn)，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，再利用直線的斜率公式表示出，結(jié)合前面的式子化簡(jiǎn)計(jì)算可得結(jié)果，考查計(jì)算能力和數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題.2．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，過右焦點(diǎn)且平行于軸的弦．(1)求的內(nèi)心坐標(biāo)；(2)是否存在定點(diǎn)，使過點(diǎn)的直線交于，交于點(diǎn)，且滿足？若存在，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)存在定點(diǎn)【分析】（1）由題意，根據(jù)橢圓的定義以及，列出等式即可求出橢圓的方程，判斷的內(nèi)心在軸，設(shè)直線平分，交軸于點(diǎn)，此時(shí)為的內(nèi)心，進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)直線方程為，，，，，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，得到根的判別式大于零，由點(diǎn)、、、均在直線上，得到，此時(shí)，結(jié)合韋達(dá)定理求出，可得存在定點(diǎn)滿足題意．【詳解】（1）∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，不妨取，則；因?yàn)橹?，，所以的?nèi)心在軸，設(shè)直線平分，交軸于，則為的內(nèi)心，且，所以，則；（2）∵橢圓和弦均關(guān)于軸上下對(duì)稱．若存在定點(diǎn)，則點(diǎn)必在軸上∴設(shè)當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去得，則①∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，均在直線上，，整理得，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓外，則直線的斜率必存在．∴存在定點(diǎn)滿足題意

【點(diǎn)睛】解決曲線過定點(diǎn)問題一般有兩種方法：①探索曲線過定點(diǎn)時(shí)，可設(shè)出曲線方程，然后利用條件建立等量關(guān)系進(jìn)行消元，借助于曲線系的思想找出定點(diǎn)，或者利用方程恒成立列方程組求出定點(diǎn)坐標(biāo).②從特殊情況入手，先探求定點(diǎn)，再證明與變量無關(guān).3．（2023·江蘇南京·南京師大附中校考一模）已知，為雙曲線C的焦點(diǎn)，點(diǎn)在C上．(1)求C的方程；(2)點(diǎn)A，B在C上，直線PA，PB與y軸分別相交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線AB上，若＋，＝0，是否存在定點(diǎn)T，使得|QT|為定值？若有，請(qǐng)求出該定點(diǎn)及定值；若沒有，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)存在T（1，－2）使|QT|為定值【分析】（1）根據(jù)題意可得，解之即可求解；（2）設(shè)直線AB的方程，，聯(lián)立雙曲線方程，利用韋達(dá)定理表示；由直線的點(diǎn)斜式方程可得PA方程，得，同理得N（0,），根據(jù)平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，化簡(jiǎn)計(jì)算可得，分類討論與的情況，即可求解.【詳解】（1）設(shè)雙曲線C的方程為，，由題意知，解得，∴雙曲線C的方程為；（2）設(shè)直線AB的方程為，，，，消去y，得，則，，，∴直線PA方程為，令，則，同理N（0,），由，可得，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，即，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線AB方程為，恒過定點(diǎn)，顯然不可能；∴，此時(shí)直線AB方程為，恒過定點(diǎn)，∵，∴，取PE中點(diǎn)T，∴，∴為定值，∴存在點(diǎn)使|QT|為定值.4．（2023·江蘇南京·南京市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線，在雙曲線的右支上存在不同于點(diǎn)的兩點(diǎn)，，記直線的斜率分別為，且，，成等差數(shù)列．(1)求的取值范圍；(2)若的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的方程．【答案】(1)或(2)或【分析】（1）設(shè)，，直線，代入雙曲線方程，根據(jù)，，得，根據(jù)以及斜率公式推出，，代入可求出結(jié)果；（2）利用弦長(zhǎng)公式求出，利用點(diǎn)到直線距離公式求出點(diǎn)到直線的距離，再利用三角形面積列式求出可得直線的方程.【詳解】（1）設(shè)，，直線，由，消去得,依題意可得，得，又，，成等差數(shù)列，所以，所以，因?yàn)椴煌冢床辉谥本€上，所以，即，所以，即，即，所以，即，代入，得，得，因?yàn)?，所以，即，所以?（2），點(diǎn)到直線PQ的距離，，所以，兩邊平方得，由得，代入，得，因?yàn)?，所以，將代入得，整理得，所以，解得或，由?）知，，所以,,當(dāng)時(shí)，，直線的方程為，當(dāng)時(shí)，，直線的方程為，綜上所述：直線PQ方程為或.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)以及斜率公式推出是本題解題關(guān)鍵.5．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為A，，上頂點(diǎn)為，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為.(1)求橢圓的方程；(2)過A點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，與橢圓交于，兩點(diǎn)，求面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知條件列方程組求得得橢圓方程；（2）設(shè)的直線方程為，，，直線方程代入橢圓方程得，由垂直求得，再把代入，換元后利用基本不等式得最大值．【詳解】（1）由已知可得，解得，，，，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)的直線方程為，，，聯(lián)立方程整理得，所以，因?yàn)椋?，?所以.整理得，解得或（舍去），所以所以，令，則，此時(shí)最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值求法：引入?yún)?shù)設(shè)出動(dòng)直線方程，代入圓錐曲線方程后應(yīng)用韋達(dá)定理，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出待求最值的量的表達(dá)式，如果只有一個(gè)參數(shù)，則直接代入韋達(dá)定理的結(jié)果后，利用函數(shù)知識(shí)、不等式知識(shí)或?qū)?shù)知識(shí)求得最值，如果有兩個(gè)參數(shù)，則利用韋達(dá)定理的結(jié)果和題中條件求出一個(gè)參數(shù)值或兩個(gè)參數(shù)關(guān)系，消去一個(gè)參數(shù)，然后再求得最值．6．（2023·江蘇鹽城·鹽城市伍佑中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的5.(1)求拋物線方程及點(diǎn)的坐標(biāo).(2)過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，延長(zhǎng)，分別交拋物線于兩點(diǎn).令，，，，求的最小值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)拋物線定義列式得的值，即可得拋物線方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)，，，，分別表示、，根據(jù)，得，代入，利用基本不等式求解．【詳解】（1）已知拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的5所以，解得，故拋物線方程為，所以，則，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）設(shè)，，，，，

由于A，F(xiàn)，M三點(diǎn)共線，故，即，同理B，F(xiàn)，N三點(diǎn)共線，，故直線的方程為：，即，，，由得，所以，，所以直線的方程為：，即，直線恒過定點(diǎn)，注意到，所以，設(shè)，，則：，，因此，所以的最小值為，此時(shí).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍．7．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考三模）已知點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，線段的垂直平分線交線段于點(diǎn).(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)定義：兩個(gè)離心率相等的圓錐曲線為“相似”曲線.若關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的曲線與曲線相似，且焦點(diǎn)在同一條直線上，曲線經(jīng)過點(diǎn).過曲線上任一點(diǎn)作曲線的切線，切點(diǎn)分別為，這兩條切線分別與曲線交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），證明：.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合軸對(duì)稱的性質(zhì)及橢圓定義求出方程作答.（2）由（1）及已知求出曲線的方程，驗(yàn)證斜率不存在的情況，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出它們的方程，再與，的方程聯(lián)立推理作答.【詳解】（1）依題意，，

由橢圓的定義知，交點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為左右焦點(diǎn)的橢圓，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)，焦距，則，所以曲線的方程為.（2）由（1）知，曲線的離心率為，且焦點(diǎn)在x軸上，則曲線的離心率為，曲線的焦點(diǎn)在x軸上，而曲線經(jīng)過點(diǎn)，，因此曲線的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，半焦距，短半軸長(zhǎng)有，于是曲線的方程為，設(shè)，

當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，的方程為，代入得，此時(shí)、與曲線都相切，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則；當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，同理有；當(dāng)切線和的斜率都存在時(shí)，設(shè)切線的方程為，分別代入和，化簡(jiǎn)得①，②，依題意，方程①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，方程②有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，于是，即，則，此時(shí)為的中點(diǎn).同理可證，為的中點(diǎn)，因此，所以.【點(diǎn)睛】求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種方法：①定義法：根據(jù)橢圓的定義，確定，的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫出橢圓方程．②待定系數(shù)法：若焦點(diǎn)位置明確，則可設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合已知條件求出a，b；若焦點(diǎn)位置不明確，則需要分焦點(diǎn)在x軸上和y軸上兩種情況討論，也可設(shè)橢圓的方程為(A>0，B>0，A≠B)．8．（2023秋·江蘇·高三淮陰中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知雙曲線．(1)求C的右支與直線圍成的區(qū)域內(nèi)部（不含邊界）整點(diǎn)（橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的個(gè)數(shù)．(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線與交于點(diǎn)P，證明：點(diǎn)P在定直線上．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意開始求整點(diǎn)通項(xiàng),再應(yīng)用等差數(shù)列求和個(gè)數(shù)計(jì)算即可得；（2）設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，然后由點(diǎn)的坐標(biāo)分別寫出直線與的方程，聯(lián)立直線方程，消去，結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算可得，即交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值，據(jù)此可證得點(diǎn)在定直線上.【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線方程為，令時(shí),整點(diǎn)時(shí)為,整點(diǎn)個(gè)數(shù)為,區(qū)域內(nèi)部（不含邊界）整點(diǎn)為個(gè).（2）由(1)可得，設(shè)，顯然直線的斜率不為0，所以設(shè)直線的方程為，且，與聯(lián)立可得，且，則，

直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程可得：，由可得，即，據(jù)此可得點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:求雙曲線方程的定直線問題，其中根據(jù)設(shè)而不求的思想，利用韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵.9．（2023秋·江蘇連云港·高三?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，且過點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求面積的最大值及此時(shí)直線的方程.【答案】(1)(2)面積的最大值為，此時(shí)直線的方程為.【分析】（1）將坐標(biāo)代入橢圓方程，再結(jié)合，可求出，從而可求得橢圓方程，（2）將直線方程代入橢圓方程化簡(jiǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式即可求出面積的最大值及此時(shí)直線的方程【詳解】（1）由題意得，解得，所以橢圓的方程為，（2）設(shè)，由，得，因?yàn)橹本€與橢圓交于兩點(diǎn)，所以，解得，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，所以的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以面積的最大值為，此時(shí)直線的方程為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是將直線方程代入橢圓方程化簡(jiǎn)結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求解，考查計(jì)算能力，屬于較難題.10．（2023秋·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知橢圓E：，四點(diǎn)，，，中恰有三點(diǎn)在橢圓E上.(1)求橢圓E的方程；(2)點(diǎn)P為橢圓E上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線PA，PB的斜率分別為，.①求的值；②若不與坐標(biāo)軸垂直的直線l交橢圓E于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，求的面積.【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）結(jié)合對(duì)稱性判定在橢圓上的三個(gè)點(diǎn)，利用待定系數(shù)法計(jì)算即可；（2）設(shè)，利用斜率公式結(jié)合橢圓方程計(jì)算即可求第一問，設(shè)，，利用上問及點(diǎn)在橢圓上得出，再由三角形面積公式計(jì)算即可.【詳解】（1）由橢圓的對(duì)稱性，顯然A，B在E上，D不可能在E上，C在E上，∴，，∴橢圓E的方程為.（2）①設(shè)，∴，.②∵，，結(jié)合上問可知∴，設(shè)，，則，

∴，即，且，，∴..11．（2023秋·江蘇·高三江蘇省梁豐高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知，，動(dòng)點(diǎn)滿足條件：直線與直線斜率之積等于，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．(1)求的方程；(2)過直線：上任意一點(diǎn)作直線與，分別交于，兩點(diǎn)，則直線是否過定點(diǎn)？若是，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說明理由．【答案】(1)（）；(2)是，定點(diǎn)為.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用斜率坐標(biāo)公式列式化簡(jiǎn)作答.（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，由已知探求出點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，再按直線斜率存在與否分類討論求解作答.【詳解】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則直線、的斜率分別為，于是，整理得，顯然點(diǎn)不在軌跡上，所以的方程為（）.（2）設(shè)直線上的點(diǎn)，顯然，

依題意，直線的斜率滿足，且，直線斜率，則，有，設(shè)，，則（且），當(dāng)直線不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線的方程為，消去y得，則，，又，即，則，整理得，解得或，此時(shí)方程中的，當(dāng)時(shí)，直線：恒過點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線：，由于舍去，當(dāng)直線時(shí)，則有，即有，而，解得，直線：過點(diǎn)，所以直線恒過點(diǎn)．12．（2023秋·江蘇南京·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓C：的右焦點(diǎn)，過F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)．當(dāng)A為短軸頂點(diǎn)時(shí)，的周長(zhǎng)為．(1)求C的方程；(2)若線段AB的垂直平分線分別交x軸、y軸于點(diǎn)P，Q，M為線段AB的中點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，得到且，結(jié)合，列出方程求得的值，即可求解.（2）解法一：設(shè)直線，聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理得到，得出的垂直平分線的方程，求得，化簡(jiǎn)，利用換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；解法二：設(shè)，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到，進(jìn)而得到，化簡(jiǎn)，利用換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為，因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)為，可得，又因?yàn)闉槎梯S頂點(diǎn)時(shí)，的周長(zhǎng)，又由，所以，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）解法一：因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)為，設(shè)直線，聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，，則，，則，于是線段AB的垂直平分線的方程為，令，可得，由，令，則，因?yàn)椋?，可得，因此．解法二：因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)為，設(shè)直線，聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，，則，，則，可得線段AB的垂直平分線的方程為，令，得，由．令，則，因?yàn)椋傻?，可得，因此?/p>

【點(diǎn)睛】方法技巧：圓錐曲線中的最值問題是高考中的熱點(diǎn)問題，常涉及不等式、函數(shù)的值域問題，綜合性比較強(qiáng)，解法靈活多樣，但主要有兩種方法：（1）幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來解決；（2）函數(shù)取值法：若題目的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）單調(diào)性法；（4）三角換元法；（5）平面向量；（6）導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.13．（2023秋·江蘇連云港·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為，點(diǎn)，為C的左，右頂點(diǎn)．P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，與C的另一個(gè)交點(diǎn)為M，與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N．(1)求C的方程；(2)證明：直線MN過定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題意，列出方程，求得，即可得到C的方程；（2）根據(jù)題意，分別得到的坐標(biāo)，然后分直線的斜率存在以及不存在分別討論，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由題意可設(shè)雙曲線方程為，左焦點(diǎn)為，則，離心率為，則，則，，則C的方程為.（2）

因?yàn)辄c(diǎn)，為C的左，右頂點(diǎn)，P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，所以，設(shè)，，則直線的方程為，聯(lián)立直線與雙曲線的方程可得，消去可得，方程兩根為，由韋達(dá)定理可得，所以，，即；設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與雙曲線的方程可得，消去可得，方程兩根為，由韋達(dá)定理可得，則，，即；由對(duì)稱性可知，若直線過定點(diǎn)，則定點(diǎn)在軸上，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，可得，此時(shí)，，則直線經(jīng)過點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，所以三點(diǎn)共線，即直線經(jīng)過點(diǎn).綜上，直線經(jīng)過定點(diǎn).14．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的左，右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)且不與軸重合的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)，之間）.(1)記直線，的斜率分別為，，求的值；(2)設(shè)直線與交于點(diǎn)，求的值.【答案】(1)0(2)1【分析】（1）設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理求參數(shù)，從而得的值；（2）設(shè)由對(duì)稱關(guān)系得的方程和的方程，聯(lián)立方程組得，代入橢圓方程，得點(diǎn)在雙曲線上運(yùn)動(dòng)，且，恰好為該雙曲線的焦點(diǎn)，從而得的值.【詳解】（1）設(shè)直線l的方程為，，.聯(lián)立方程組，整理得，則，即，所以；（2）由（1）可知，，故直線與關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，則與關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)，則.所以直線的方程為，直線的方程為，故點(diǎn)滿足方程組，解得，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓C上，所以，即，整理得，所以點(diǎn)在雙曲線上運(yùn)動(dòng)，且，恰好為該雙曲線的焦點(diǎn)，依題意，點(diǎn)在，之間，所以，得，點(diǎn)在雙曲線的右支上運(yùn)動(dòng)，所以.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.15．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)訄A與圓內(nèi)切，且與直線相切，設(shè)動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線與曲線相交于，兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，求四邊形的面積的最小值.【答案】(1)(2)32【分析】（1）利用圓和圓，圓和直線的位置關(guān)系的性質(zhì)和拋物線的定義即可求解.（2）設(shè)直線的方程為，,聯(lián)立方程組得，再利用拋物線的的性質(zhì)求，同理求，最后利用基本不等式求解即可.【詳解】（1）設(shè)圓的半徑為，圓的圓心，半徑為1，因?yàn)閳A與圓內(nèi)切，且與直線相切，所以圓心到直線的距離為，因此圓心到直線的距離為，且，故圓心到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，據(jù)拋物線的定義，曲線是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，，，.聯(lián)立方程組整理得，故所以.因?yàn)?，直線的方程為，同理可得.所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào).所以四邊形面積的最小值為32.

16．（2023秋·江蘇南京·高三南京市第九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，總滿足關(guān)系式：.(1)點(diǎn)M的軌跡是什么曲線？寫出它的方程；(2)設(shè)圓O：，直線l：與圓O相切且與點(diǎn)M的軌跡交于不同兩點(diǎn)A，B，當(dāng)且時(shí)，求弦長(zhǎng)的最大值.【答案】(1)點(diǎn)M的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，(2)2【分析】（1）根據(jù)題中關(guān)系結(jié)合橢圓定義即可得到答案；（2）設(shè)，由直線與圓相切得，再由直線與橢圓相交以及，可得，由弦長(zhǎng)公式結(jié)合基本不等式可得答案．【詳解】（1）由關(guān)系式，結(jié)合橢圓的定義，點(diǎn)M的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓.∴，，，∴點(diǎn)M的方程為.（2）聯(lián)立方程，則，設(shè)，，則，，，直線l：與圓O相切，則，，∵，∴，解得，.當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào).所以弦長(zhǎng)的最大值為2.

17．（2023秋·江蘇南京·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線過點(diǎn)，離心率.(1)求雙曲線的方程；(2)過點(diǎn)的直線交雙曲線于點(diǎn)，，直線，分別交直線于點(diǎn)，，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知列關(guān)于a,b,c的方程組求解即可；（2）直線聯(lián)立雙曲線方程，寫出直線，的方程，然后可得點(diǎn)，坐標(biāo)，將比值問題轉(zhuǎn)化為縱坐標(biāo)關(guān)系，利用韋達(dá)定理可得，然后可得.【詳解】（1）由題知，解得，，，；（2）設(shè)直線，，聯(lián)立，則，則，，，

設(shè)直線，，令，，，則，因?yàn)樗?，B為PQ的中點(diǎn)，所以.【點(diǎn)睛】本題難點(diǎn)在于能將所求轉(zhuǎn)化為證明的問題，可以通過取特殊方程求解，然后進(jìn)行合理推測(cè)，或者盡量標(biāo)準(zhǔn)作圖，通過圖象進(jìn)行猜測(cè)，從而確定求解方向.18．（2023·江蘇常州·?？级＃┮阎^點(diǎn)的直線與雙曲線：的左右兩支分別交于、兩點(diǎn).(1)求直線的斜率的取值范圍；(2)設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)且與直線垂直的直線，與雙曲線交于、兩點(diǎn).當(dāng)直線變化時(shí)，恒為一定值，求點(diǎn)的軌跡方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）當(dāng)時(shí)，顯然符合題意，當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的方程為，其中，設(shè)、，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元、依題意可得，即可得到不等式求出的取值范圍，即可得解；（2）由（1）知，因?yàn)?，設(shè)，則直線的方程為：，設(shè)，，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元，即可表示出，從而表示出，即可得到時(shí)，為定值，從而求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，顯然符合題意，當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的方程為，其中，設(shè)、，與雙曲線方程聯(lián)立可得，因?yàn)橹本€與雙曲線交于不同的兩支，所以，又，所以，解得，即，所以且，解得或，綜上可得；（2）由（1）知，因?yàn)?，所以，設(shè)，則直線的方程為：，設(shè)，直線與雙曲線方程聯(lián)立可得，即，所以，所以，得，又因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，即時(shí)，為定值，所以或，又因?yàn)?，所以點(diǎn)的軌跡方程為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.19．（2023·江蘇常州·常州市第三中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知過點(diǎn)的直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線l過拋物線C的焦點(diǎn)時(shí)，．(1)求拋物線C的方程；(2)若點(diǎn)，連接QA，QB分別交拋物線C于點(diǎn)E，F(xiàn)，且與的面積之比為，求直線AB的方程．【答案】(1)方程為．(2)方程為．【分析】（1）直線AB的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式求出的值，即可得解；（2）設(shè)直線AB的方程為，與拋物線聯(lián)立可得，直線AQ的方程與拋物線聯(lián)立，設(shè)，則，設(shè)，同理可得，利用三角形面積公式可得，求解即可.【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)閽佄锞€C的焦點(diǎn)為，所以當(dāng)直線l過C的焦點(diǎn)時(shí)，直線AB的方程為，由得．則，，整理得，所以，故拋物線C的方程為．（2）易知直線AB的斜率在且不為零，設(shè)直線AB的方程為，由得，則，即或，．易知直線AQ的方程為，由得，設(shè)，則，設(shè)，同理可得，則，得，故直線AB的方程為．20．（2023·江蘇·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，兩點(diǎn)在橢圓：上，且直線與橢圓：有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，射線與橢圓交于點(diǎn)．(1)證明：四邊形是平行四邊形；(2)求四邊形的面積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）設(shè)：，聯(lián)立直線與橢圓：，直線與橢圓：，因?yàn)橹本€與橢圓：有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，通過韋達(dá)定理表示出，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)也是的中點(diǎn)，即可證明；（2）通過點(diǎn)到直線的距離公式和弦長(zhǎng)公式表示高和底，代入三角形面積公式，即可求出四邊形的面積．【詳解】（1）當(dāng)軸或軸時(shí)，易得點(diǎn)是的中點(diǎn)，也是的中點(diǎn)，所以四邊形是平行四邊形．當(dāng)與軸既不垂直也不平行時(shí)，設(shè)：，：．由得，由得所以，所以是的中點(diǎn)．由，得，因?yàn)橹本€與橢圓：有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，所以，化簡(jiǎn)得，所以．由，得，所以，所以點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以四邊形是平行四邊形．（2）當(dāng)軸時(shí)，易得，，四邊形是菱形，所以四邊形的面積為．點(diǎn)到的距離．因?yàn)?，，所以，所以的面積是，因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以四邊形的面積為．綜上可知：四邊形的面積為．21．（2023·江蘇鹽城·校考三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)A在C上，當(dāng)軸時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.(1)求C的方程；(2)已知斜率為-1的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)Q，且點(diǎn)M，N在直線的兩側(cè)，點(diǎn)．若，是否存在到直線l的距離的P點(diǎn)？若存在，求t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）利用通徑公式和橢圓定義，結(jié)合余弦定理即可建立方程，從而可求解橢圓方程；（2）由點(diǎn)M，N在直線的兩側(cè)可得，設(shè)直線l：，點(diǎn)，，聯(lián)立橢圓方程，消元，利用韋達(dá)定理可得，．根據(jù)，得到．代入斜率公式，得到，再由，求出的取值范圍即可.【詳解】（1）當(dāng)軸時(shí)，，即①，當(dāng)時(shí)，，在中，，由余弦定理可知，，即，整理，可得，即②，由①②，解得，．所以C的方程為．（2）設(shè)直線l：，點(diǎn)，，令，則，，由點(diǎn)M，N在直線的兩側(cè)，可得，聯(lián)立，消去x，可得，則恒成立，所以，．因?yàn)?，所以，由正弦定理，得，而，即，所以，而，則，所以，則，即，即，整理，得，所以，因?yàn)椋?，又，所以，所以．令，結(jié)合，解得，則．所以時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第二問中的關(guān)鍵是能把轉(zhuǎn)化為，由正弦定理，得，從而得到，即，從而利用斜率公式和韋達(dá)定理求解.22．（2023·江蘇南京·南京市第九中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）橢圓E的方程為，左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P為橢圓E上的點(diǎn)，且在第一象限，直線l過點(diǎn)P(1)若直線l分別交x，y軸于C，D兩點(diǎn)，若，求的長(zhǎng)；(2)若直線l過點(diǎn)，且交橢圓E于另一點(diǎn)Q（異于點(diǎn)A，B），記直線與直線交于點(diǎn)M，試問點(diǎn)M是否在一條定直線上？若是，求出該定直線方程；若不是，說明理由．【答案】(1)；(2)點(diǎn)M在定直線上，理由見解析.【分析】（1）設(shè)，由題意可得則，，從而可得，根據(jù)即可求解；（2）依題可設(shè)直線l的方程為，，，．求出直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立可得，聯(lián)立直線l的方程和橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，從而可求解.【詳解】（1）設(shè)，則①，②，由①②可得，，即，（2）依題可設(shè)直線l的方程為，，，．聯(lián)立方程組，整理得，，則，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立方程組，得，因?yàn)?，，由，得，得．所?故點(diǎn)M在定直線上．

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.23．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考三模）已知拋物線與都經(jīng)過點(diǎn)．(1)若直線與都相切，求的方程；(2)點(diǎn)分別在上，且，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意求得，，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得切線的方程，根據(jù)為曲線的公切線，聯(lián)立方程組，結(jié)合，進(jìn)而求得的方程；（2）設(shè)，，根據(jù)，列出方程得到關(guān)系式，分類討論，即可求解．【詳解】（1）因?yàn)榍€都過點(diǎn)，所以，解得，即，設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，令，可得，則切線的斜率，所以切線方程為，即，由，整理得，因?yàn)闉榍€的公切線，所以，解得，所以直線的方程為，即．（2）設(shè)，，又，，所以，可得，兩式相減得到，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，，則，，且，可得，所以，所以；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程無解，（舍去），綜上，可得的面積為．24．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）已知拋物線和圓．(1)若拋物線的準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn)，是過焦點(diǎn)的弦，求的最小值；(2)已知，，是拋物線上互異的三個(gè)點(diǎn)，且點(diǎn)異于原點(diǎn)．若直線，被圓截得的弦長(zhǎng)都為2，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或【分析】（1）首先求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，設(shè)方程為，，，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到，再根據(jù)重要不等式計(jì)算可得；（2）設(shè)，，，即可得到、的方程，由點(diǎn)到直線的距離公式得到、為方程的兩根，即可得到，由可得，由斜率之積為，求出，即可得解.【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，則，設(shè)方程為，，，由，消去整理得，所以，，所以，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最小值為.（2）設(shè)，，，則，，圓的圓心為，半徑，所以，則，同理可得，所以、為方程的兩根，所以，又，所以，所以，即，解得，所以點(diǎn)坐標(biāo)為或.25．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)橢圓過點(diǎn)，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)是否存在圓心為原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)，，且？若存在，寫出該圓的方程，并求的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)存在圓心為原點(diǎn)的圓滿足題意，且．【分析】（1）將，的坐標(biāo)代入橢圓的方程，列出方程組，求得即可；（2）假設(shè)滿足題意的圓存在，當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)該圓的切線方程為，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)，結(jié)合韋達(dá)定理運(yùn)算，同時(shí)滿足，則存在，否則不存在；當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，直接驗(yàn)證即可．當(dāng)滿足題意的圓存在時(shí)，利用弦長(zhǎng)公式結(jié)合韋達(dá)定理得到，利用基本不等式求出其范圍.【詳解】（1）將，的坐標(biāo)代入橢圓的方程得，解得，．所以橢圓的方程為．（2）假設(shè)滿足題意的圓存在，其方程為，其中，設(shè)該圓的任意一條切線和橢圓交于，兩點(diǎn)，

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，令直線的方程為，①將其代入橢圓的方程并整理得，則，②由韋達(dá)定理得，，③因?yàn)?，所以，④將①代入④并整理得，?lián)立③得，⑤將⑤代入②得，符合題意，因?yàn)橹本€和圓相切，因此，由⑤得，所以存在圓滿足題意．當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切線為，可得或，顯然，綜上所述，存在圓滿足題意．當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，由①③⑤得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴，則，當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，易得，所以．綜上所述，存在圓心為原點(diǎn)的圓滿足題意，且．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線的探索性問題主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：（1）探索點(diǎn)是否存在；（2）探索曲線是否存在；（3）探索命題是否成立．解決此類問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化．其步驟為假設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))不存在．反證法與驗(yàn)證法也是求解探索性問題常用的方法．26．（2023·江蘇·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)拋物線C：的焦點(diǎn)為F，P是拋物線外一點(diǎn)，直線PA，PB與拋物線C切于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線交拋物線C于D，E兩點(diǎn)，直線AB與DE交于點(diǎn)Q.(1)若AB過焦點(diǎn)F，且，求直線AB的傾斜角；(2)求的值.【答案】(1)或(2)2【分析】（1）設(shè)AB直線的方程，再和拋物線聯(lián)立，運(yùn)用拋物線的定義及韋達(dá)定理可求出直線AB的傾斜角；（2）設(shè)過A點(diǎn)且與拋物線C相切的直線方程為，與拋物線聯(lián)立由求出直線PA的方程，同理可得直線PB方程，即可求出直線AB的方程，與拋物線聯(lián)立求出，設(shè)直線PD的方程為與拋物線聯(lián)立由韋達(dá)定理表示出，，代入化簡(jiǎn)即可得出答案.【詳解】（1）設(shè)，，，，因?yàn)橹本€AB的斜率不為0，所以設(shè)AB直線的方程為，聯(lián)立方程，消去y，得，所以，，所以，，所以直線的傾斜角為或.（2）設(shè)過A點(diǎn)且與拋物線C相切的直線方程為，（k存在，A不為原點(diǎn)），聯(lián)立方程，消去x得，，，即，所以，即，所以直線PA的方程為，即，同理可得，直線PB方程為：，因?yàn)辄c(diǎn)在直線PA，PB上，所以，，所以直線AB的方程為：設(shè)直線PD的方程為，聯(lián)立方程，消去x，得，得，，聯(lián)立方程，消去x，得，由于點(diǎn)P在拋物線的外部，點(diǎn)Q在拋物線的內(nèi)部，所以.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查直線與拋物線位置關(guān)系中的定值問題，此類問題一般有兩個(gè)處理方法：（1）聯(lián)立直線方程和拋物線方程，消元后利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)目標(biāo)代數(shù)式，從而可解決定值問題；（2）設(shè)出拋物線上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)（注意用縱坐標(biāo)表示橫坐標(biāo)或用橫坐標(biāo)表示縱坐標(biāo)），把題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于坐標(biāo)的關(guān)系，從而可解決定值問題.27．（2023·江蘇無錫·輔仁高中?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)A，B在橢圓C上，點(diǎn)到直線的距離為，且的內(nèi)心恰好是點(diǎn)D．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M，N為橢圓上不重合兩點(diǎn)，且M，N的中點(diǎn)H在直線上，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，則，再根據(jù)的內(nèi)心恰好是點(diǎn)D，可得軸，求出直線的方程，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求得即可得解；（2）設(shè)，利用點(diǎn)差法求得直線的斜率為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，再利用弦長(zhǎng)公式求出，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)直線的距離，再利用三角形的面積公式結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】（1）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，則，故點(diǎn)到直線的距離等于，因?yàn)榈膬?nèi)心恰好是點(diǎn)D，所以點(diǎn)到直線的距離相等且為，則即為點(diǎn)到直線的距離，所以，即軸，由，令，則，不妨取，則，故直線的方程為，即，則點(diǎn)到直線的距離為，即，又，所以，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）設(shè)，則，因?yàn)镸，N為橢圓上不重合兩點(diǎn)，則有，兩式相減得，則，即，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消得，，解得，所以，，則，原點(diǎn)到直線的距離，，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以面積的最大值為．

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.28．（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線：的焦點(diǎn)F也是雙曲線：的一個(gè)焦點(diǎn)，與公共弦的長(zhǎng)為.(1)求的方程；(2)過F的直線l與交于A，B兩點(diǎn)，與上支交于C，D兩點(diǎn)，且與同向.（i）若，求直線l的斜率；（ii）設(shè)在點(diǎn)A處的切線與x軸交于點(diǎn)M，試判斷點(diǎn)F與以MD為直徑的圓的位置關(guān)系.【答案】(1)(2)（i）；（ii）點(diǎn)F在以MD為直徑的圓內(nèi)【分析】（1）根據(jù)弦長(zhǎng)和拋物線方程可求得交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合同焦點(diǎn)建立方程組求解可得；（2）（i）設(shè)，，，，直線方程，分別聯(lián)立拋物線方程和雙曲線方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合可解；（ii）利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程以及點(diǎn)M坐標(biāo)，利用判斷，從而可知為鈍角，可得結(jié)論.【詳解】（1）的焦點(diǎn)為，所以①又與公共弦的長(zhǎng)為，且與都關(guān)于y軸對(duì)稱，所以公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入可得縱坐標(biāo)為3，所以公共點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以②聯(lián)立①②得，，故的方程為.（2）設(shè)，，，，（i）因?yàn)榕c同向，且，所以，從而，即，所以，設(shè)直線l的方程為，

聯(lián)立，得，，則，，聯(lián)立，得，，則，，所以，即，所以，所以或，由圖可知，，得，故所以直線l的斜率為.（ii）由得，所以在點(diǎn)A處的切線方程為，令得，即，所以，而，于是，因此是銳角，從而是鈍角，故點(diǎn)F在以MD為直徑的圓內(nèi).【點(diǎn)睛】本題屬直線與圓錐曲線綜合問題，一般遵循設(shè)而不求原則，基本步驟為：1、設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)和直線方程；2、直線方程聯(lián)立圓錐曲線方程消元，得到關(guān)于x或y的一元二次方程；3、判斷判別式，利用韋達(dá)定理得到兩根和與兩根積；4、利用根與系數(shù)關(guān)系對(duì)題目條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.29．（2023·江蘇揚(yáng)州·江蘇省高郵中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)直線與雙曲線：的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，且三角形的面積為.(1)求的值；(2)已知直線與軸不垂直且斜率不為0，與交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，為的右焦點(diǎn)，若，，三點(diǎn)共線，證明：直線經(jīng)過軸上的一個(gè)定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求出雙曲線的漸近線方程，從而得到兩點(diǎn)的坐標(biāo)，得到三角形的面積為，列出方程，求出的值；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立雙曲線方程，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)三點(diǎn)共線，得到斜率相等，列出方程，代入后求解出，求出直線所過的定點(diǎn).【詳解】（1）雙曲線：的漸近線方程為，不妨設(shè)，因?yàn)槿切蔚拿娣e為，所以，所以，又，所以.（2）雙曲線的方程為：，所以右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，依題意，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，直線的方程為，設(shè)，，則，聯(lián)立，得，且，化簡(jiǎn)得且，所以，，因?yàn)橹本€的斜率存在，所以直線的斜率也存在，因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以，即，即，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，化?jiǎn)得，所以經(jīng)過軸上的定點(diǎn).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是設(shè)直線的方程為，，，則，再將其與雙曲線方程聯(lián)立，從而得到韋達(dá)定理式，根據(jù)三點(diǎn)共線，則有，整理代入韋達(dá)定理式化簡(jiǎn)求出值即可.30．（2023·江蘇揚(yáng)州·揚(yáng)州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，過橢圓：上的動(dòng)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為點(diǎn)，，.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線：交于不同的兩點(diǎn)、，向量，，是否存在常數(shù)，使得滿足的實(shí)數(shù)有無窮多解？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）設(shè)，則，根據(jù)向量數(shù)量關(guān)系的坐標(biāo)表示得，利用兩點(diǎn)距離公式求橢圓軌跡方程；（2）（法一）聯(lián)立直線與橢圓，應(yīng)用韋達(dá)定理得、，結(jié)合向量關(guān)系得，進(jìn)而有，將韋達(dá)式代入得到恒等式求參數(shù)k；（法二）同方法一，根據(jù)向量關(guān)系得到，韋達(dá)式代入恒成立，求參數(shù)k；（法三）根據(jù)題設(shè)向量關(guān)系有，設(shè)，則，確定坐標(biāo)，斜率兩點(diǎn)式判斷是否為常數(shù)即可.【詳解】（1）設(shè)，則，由得：，由得：，所以曲線的方程為：.（2）（法一）將直線代入橢圓得：，即，由韋達(dá)定理，，由知：，又，故有，由，則，所以恒成立，為任意實(shí)數(shù)，所以，可得，得，經(jīng)檢驗(yàn)，不合題意，即存在常數(shù)使對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，（法二）將直線代入橢圓得：，即，由韋達(dá)定理得，由知：，即，代入得：，由于為常數(shù)，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等式成立，故存在常數(shù)使對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，.（法三）由知：，設(shè)，則，由此得到或者，或者當(dāng)，時(shí)，求得；當(dāng)，時(shí)，求得；當(dāng)，時(shí)，求得，不為常數(shù)；當(dāng)，時(shí)，求得，不為常數(shù)；綜上，存在常數(shù)使對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，聯(lián)立直線與橢圓，應(yīng)用韋達(dá)定理結(jié)合已知關(guān)系得到恒等關(guān)系求參數(shù)，注意驗(yàn)證所得結(jié)果.31．（2023·江蘇淮安·江蘇省鄭梁梅高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓右焦點(diǎn)分別為，是上一點(diǎn)，點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，的面積為.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線，且交于點(diǎn)，，直線與交于點(diǎn).證明：①直線與的斜率乘積為定值；②點(diǎn)在定直線上.【答案】(1)(2)①證明見解析；②證明見解析【分析】（1）設(shè)為，根據(jù)，解得；點(diǎn)在曲線上，可得，解得，，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）①設(shè)，，直線方程為，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去得，，利用斜率計(jì)算公式、根與系數(shù)的關(guān)系即可得出為定值．②直線方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與直線方程，，化簡(jiǎn)結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得為定值．【詳解】（1）設(shè)為，，則，即，又點(diǎn)在曲線上，∴，將代入，整理得，，解得，，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）①設(shè)，，直線方程為：，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去得，當(dāng)，即且時(shí)，，，∴，，∴，.②直線方程為：，即，直線的方程為，即，聯(lián)立直線與直線方程得，∴，，∴.∴，即點(diǎn)在定直線上.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.32．（2023·江蘇常州·校考一模）已知橢圓：的短軸長(zhǎng)為，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，在線段上取點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線上．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意得，再結(jié)合可求出，從而可求得橢圓方程，（2）設(shè)，，，，設(shè)的方程為，代入橢圓方程化簡(jiǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系，由可得，再結(jié)合前面的式子化簡(jiǎn)可求出關(guān)于的方程，從而可證得結(jié)論.【詳解】（1）由題意可知，因?yàn)?，所以解得，．所以所求橢圓的方程為（2）設(shè)，，，，直線的斜率顯然存在，設(shè)為，則的方程為．因?yàn)?，，，四點(diǎn)共線，不妨設(shè)，則，，，，由，可得，化簡(jiǎn)得．（*）聯(lián)立直線和橢圓的方程，得，消去，得，，得，由韋達(dá)定理，得，．代入（*）化簡(jiǎn)得，即．又，代入上式，得，化簡(jiǎn)得．所以點(diǎn)總在一條定直線上．

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是設(shè)出直線的方程，利用弦長(zhǎng)公式表示出，代入化簡(jiǎn)，再將直線方程代入橢圓方程化簡(jiǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系，幾個(gè)式子相結(jié)合可證得結(jié)論.33．（2023·江蘇南通·江蘇省如皋中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）過點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，當(dāng)與軸平行時(shí)，，當(dāng)與軸平行時(shí)，．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)是直線上一定點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，若為定值，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)與坐標(biāo)軸平行的情況可得雙曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)，代入雙曲線方程即可求得結(jié)果；（2）方法一：由三點(diǎn)共線可整理得到，代入雙曲線方程可整理得到，結(jié)合兩點(diǎn)連線斜率公式可化簡(jiǎn)得到，根據(jù)為常數(shù)可構(gòu)造方程求得，進(jìn)而得到點(diǎn)坐標(biāo)，驗(yàn)證可知符合題意；方法二：設(shè)，與雙曲線方程聯(lián)立可得一元二次方程，根據(jù)該方程的根可化簡(jiǎn)得到，同理可得，由此可化簡(jiǎn)得到，由為常數(shù)可構(gòu)造方程求得點(diǎn)坐標(biāo)，驗(yàn)證可知當(dāng)直線斜率為和斜率不存在時(shí)依然滿足題意，由此可得結(jié)論.【詳解】（1）由題意可知：雙曲線過點(diǎn)，，將其代入方程可得：，解得：，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）方法一：設(shè)，點(diǎn)與三點(diǎn)共線，，（其中，），，，又，整理可得：，當(dāng)時(shí)，，，不合題意；當(dāng)時(shí)，由得：，設(shè)，則，，若為定值，則根據(jù)約分可得：且，解得：；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，為定值.方法二：設(shè)，直線，由得：，為方程的兩根，，則，由得：，由可得：，同理可得：，則，若為定值，則必有，解得：或或，又點(diǎn)在直線上，點(diǎn)坐標(biāo)為；當(dāng)直線斜率為時(shí)，坐標(biāo)為，若，此時(shí)；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，坐標(biāo)為，若，此時(shí)；綜上所述：當(dāng)時(shí)，為定值.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與雙曲線中的定點(diǎn)定值問題的求解，本題求解的基本思路是能夠利用直線與雙曲線相交的位置關(guān)系確定兩交點(diǎn)橫縱坐標(biāo)所滿足的等量關(guān)系，進(jìn)而通過等量關(guān)系化簡(jiǎn)所求的，根據(jù)為常數(shù)來構(gòu)造方程求得定點(diǎn)的坐標(biāo).34．（2023·江蘇南通·三模）雙曲線C：，點(diǎn)是C上位于第一象限的一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱．延長(zhǎng)至E使得，且直線和C的另一個(gè)交點(diǎn)F位于第二象限中．(1)求的取值范圍；(2)證明：不可能是的三等分線.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求得點(diǎn)，求出直線BE的方程，將該直線的方程與雙曲線C的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，由可得出，進(jìn)而可得出關(guān)于的不等式，結(jié)合可求得的取值范圍；（2）計(jì)算得出，可得出，計(jì)算出，可得出，由此可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）由題設(shè)得，、，設(shè)點(diǎn)，由題意可得，即，即，得，則，直線BE的斜率為，所以直線BF的方程是，即，聯(lián)立，消去y可得，直線BF與雙曲線C有2個(gè)交點(diǎn)，則，因?yàn)闈M足方程，由韋達(dá)定理得，解得，所以，得已經(jīng)成立，因此只需，因?yàn)椋傻?，所以，因?yàn)?，所以，所以，可得，所以的取值范圍是；?）證明：由（1）可知，，所以，即，則，因?yàn)?，則，則，所以，因此AE不可能是的三等分線..【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與雙曲線的位置關(guān)系以及圓錐曲線中的綜合問題，屬于難題，解答時(shí)要明確題意，明確解題的思路，但難點(diǎn)在于計(jì)算的復(fù)雜性，并且計(jì)算量很大，并且基本上都是關(guān)于字母參數(shù)的運(yùn)算，因此要十分有耐心才可以.二、證明題35．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線交于，兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在第一象限），過點(diǎn)作的切線交軸于點(diǎn)，直線交于另一點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn).(1)求證：；(2)記，，的面積分別為，，，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于2時(shí)，求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)證明見解析(2)最小值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定直線斜率，設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，把所證等式轉(zhuǎn)化為比例式，利用相似比轉(zhuǎn)化為縱坐標(biāo)之比，即可得證；（2）對(duì)的面積可以采用分割法轉(zhuǎn)化為兩三角形面積之差，最后將表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，借助函數(shù)的導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性進(jìn)而確定最值.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，則.因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，可設(shè)函數(shù)，則，所以，所以直線方程為，令，則，即點(diǎn).設(shè)直線，與聯(lián)立得，所以，同理.因?yàn)?，，所以，則，設(shè)直線，與聯(lián)立得，又因?yàn)橹本€與拋物線交于兩點(diǎn)，所以.因?yàn)辄c(diǎn)，所以，代入拋物線，又因?yàn)樵诘谒南笙?，可?因?yàn)椋?，所以，即，原命題得證.（2）由（1）知，所以，得，即.所以，另由（1）知，，，所以，即；，，設(shè)函數(shù)，，則.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解的關(guān)鍵有兩個(gè)：一是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率；二是把目標(biāo)式表示出來后，利用導(dǎo)數(shù)求解最值.36．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)校考三模）已知橢圓的離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)、為橢圓上異于、的兩點(diǎn)，面積的最大值為．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線、的斜率分別為、，且．①求證：直線經(jīng)過定點(diǎn)．②設(shè)和的面積分別為、，求的最大值．【答案】(1)(2)①證明見解析；②【分析】（1）根據(jù)題意可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個(gè)量的值，即可得出橢圓的方程；（2）①分析可知直線不與軸垂直，設(shè)直線的方程為，可知，設(shè)點(diǎn)、.將直線的方程的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用求出的值，即可得出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)；②寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可求得的最大值.【詳解】（1）解：當(dāng)點(diǎn)為橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)，的面積取最大值，且最大值為，由題意可得，解得，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解：①設(shè)點(diǎn)、.若直線的斜率為零，則點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱，則，不合乎題意.設(shè)直線的方程為，由于直線不過橢圓的左、右焦點(diǎn)，則，聯(lián)立可得，，可得，由韋達(dá)定理可得，，則，所以，，解得，即直線的方程為，故直線過定點(diǎn).②由韋達(dá)定理可得，，所以，，，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，故，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來證明.37．（2023春·江蘇南通·高三海安高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，兩個(gè)頂點(diǎn)分別為.過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，直