江蘇省南通等五市2022-2023學年高三下學期2月開學摸底考試 數(shù)學 含答案

2022?2023學年高三年級模擬試卷

數(shù)學

(滿分：150分考試時間：120分鐘)

2023.2

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中只有一個

選項符合要求.

I.已知集合A={x∣l≤xW3},θ={x∣2<x<4},則ACB=()

A.(2,3]B.[1,4)C.(-8,4)D.[1,+∞)

2.已知向量α,5滿足Ial=1,?b?=2,(a,b}=與，則a?(α+∕>)=()

A.-2B.-IC.0D.2

3.在復平面內(nèi)，復數(shù)Z∣,Z2對應的點關(guān)于直線X—y=0對稱,若Zl=I—i,則∣ZLZ2∣=()

A.√2B.2C.2√2D.4

4.2022年神舟接力騰飛，中國空間站全面建成，我們的“太空之家”遨游蒼穹.太空中

飛船與空間站的對接，需要經(jīng)過多次變軌.某飛船升空后的初始運行軌道是以地球的中心為

一個焦點的橢圓，其遠地點(長軸端點中離地面最遠的點)距地面S∣,近地點(長軸端點中離地

面最近的點)距地面S2,地球的半徑為上則該橢圓的短軸長為()

A.y∣S?S2B.2y∣S?S2

C.√(Si+/?)(S2+/?)D.2√(Si+/?)(52+Λ)

5.已知sin(α—點)+cosQ=],則CoS(21+^)=()

7-7「24n24

?a-^25b-25C^25D-25

6.已知隨機變量X服從正態(tài)分布σ2),有下列四個命題：

甲：P(X>m+I)>P(X<m-2);

乙：P(X>∕n)=0.5;

丙：P(X≤w)=0.5;

?。篜(m~?<X<th)<P(m+?<X<m+2)

如果只有一個假命題，則該命題為()

A.甲B.乙C.丙D.T

7.已知函數(shù)式x)的定義域為R,且次2%+1)為偶函數(shù),兀V)=∕U+l)-∕(x+2),若貝1)=2,

則川8)=()

A.1B.2C.-1D.-2

8.若過點PQ,0)可以作曲線y=(l—x)e<的兩條切線，切點分別為A(Xl,y∣),Bg”)，

則W的取值范圍是()

A.(0,4efB.(-∞,0)U(0,4e^3)

C.(一8,4e-2)D.(-∞,0)U(0,4e^2)

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.在棱長為2的正方體ABCD4∣BlGol中，4C與Bo交于點O,貝∣J()

A.4O∣〃平面BOCx

KB。，平面COCl

1

C.CiO與平面ABCD所成的角為45°

2

D.三棱錐CBoCT的體積為？

10.若函數(shù)於)=Sin(5+9)(①>0,∣9∣<^)的部分圖象如圖所示，則()

C兀

B?哪

JT

C.?r)的圖象關(guān)于點(攻,0)對稱

D.y(x)在區(qū)間(π,彳)上單調(diào)遞增

11.一個袋中有大小、形狀完全相同的3個小球，顏色分別為紅、黃、藍.從袋中先后

無放回地取出2個球，記”第一次取到紅球”為事件A,“第二次取到黃球”為事件B,則

()

A.P(A)=IB.A,B為互斥事件

C.P(BIA)=ID.A,8相互獨立

12.已知拋物線/=4)，的焦點為F,以該拋物線上三點A,B,C為切點的切線分別是li,

12,/3,直線/|，/2相交于點，h與h，/2分別相交于點P,。.記A,B,O的橫坐標分別為

XnX2，13，則()

A.DADB=0B.XJ+X2=2X3

C.AFBF=DF2D,APCQ=PcPD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

1÷log2(2—x),x<?,

13.已知函數(shù)外)=d?則膽一2))=________.

2ΛI,Gl,

14.寫出一個同時滿足下列條件①②的等比數(shù)列｛斯｝的通項公式如=.

222

15.已知圓0：x+y=ι(r>0)f設直線x+√5y-√3=0與兩坐標軸的交點分別為A,

B,若圓。上有且只有一個點尸滿足4P=3P,則r的值為.

2

16.已知正四棱錐SABCD的所有棱長都為1,點E在側(cè)棱SC上，過點E且垂直于SC

的平面截該棱錐，得到截面多邊形〃，則〃的邊數(shù)至多為,「的面積的最大值為

.（第一空2分，第二空3分）

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算

步驟.

17.（本小題滿分10分）

在①$,S2,S成等比數(shù)列，②的=2痣+2,③S8=S4+S7-2這三個條件中任選兩個，

補充在下面問題中，并完成解答.

己知數(shù)列｛為｝是公差不為0的等差數(shù)列，其前n項和為Sn,且滿足,.

（1）求｛斯｝的通項公式；

〃3。4ana,l+1

注：如果選擇多個方案分別解答，按第一個方案計分.

3

18.(本小題滿分12分)

第二十二屆卡塔爾世界杯足球賽決賽中，阿根廷隊通過扣人心弦的點球大戰(zhàn)戰(zhàn)勝了法國

隊.某校為了豐富學生課余生活，組建了足球社團.足球社團為了解學生喜歡足球是否與性

別有關(guān)，隨機抽取了男、女同學各IOO名進行調(diào)查，部分數(shù)據(jù)如下表：

喜歡足球不喜歡足球合計

男生40

女生30

合計

(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上表,并判斷是否有99.9%的把握認為該校學生喜歡足球與性別有

關(guān)？

(2)社團指導老師從喜歡足球的學生中抽取了2名男生和1名女生示范點球射門.已知

男生進球的概率為2:，女生進球的概率為方1，每人射門一次，假設各人射門相互獨立，求3

人進球總次數(shù)的分布列和數(shù)學期望.

參考公式和數(shù)據(jù)：

H(ad-be)2

婚={<a~…vb)(,C工十。八)?(a+上c)、?“b-4r■d)八，其中n=a+b+c+d.

P（He攵）0.050O（Ho0.001

k-3.8416.63510.828

4

19.(本小題滿分12分)

在ZXABC中,A,B,C的對邊分別為α,b,c,acosB~2acosC=(2c-Z?)cosA.

(I)若c=??βa,求COSB的值；

(2)若b=l,NBAC的平分線AO交8C于點Zx求AO長度的取值范圍.

20.(本小題滿分12分)

如圖，在AABC中，AO是邊8C上的高，以AO為折痕，將AACD折至AAPD的位置,

使得PBlAB.

(1)求證：PB_L平面ABO；

(2)若AO=P8=4,BD=2,求二面角W?。的正弦值.

5

21.(本小題滿分12分)

已知雙曲線C：?-??=l(a>O,6>0)的左頂點為A,過左焦點F的直線與C交于尸,

Q兩點.當尸。LX軸時，∕?=√10,△/?Q的面積為3.

(1)求C的方程；

(2)求證：以PQ為直徑的圓經(jīng)過定點.

22.(本小題滿分12分)

γ∩-?-?nY

已知函數(shù)yu)=Tτ和8(》)=里乎有相同的最大值.

CIe入

(1)求實數(shù)。的值；

(2)設直線y=〃與兩條曲線y=∕(x)和y=g(x)共有四個不同的交點,其橫坐標分別為汨,

%2，43，X4(X\<X2<X3<X4)y求證：X∣X4=X2X3?

6

2022~2023學年高三年級模擬試卷(南通等五市)

數(shù)學參考答案及評分標準

1.A2,C3.B4.D5.B6.D7.A8.D9.ABD10.ACD11.AC12.

BCD

13.414.斯=(一15.16.5日

S?S4~S^,

17.解：(1)設［a］的公差為d,若選①②

n。4=2。2+2

∫0(4m+6d)=(2θ]+d)2,∫J=2tzι,

[m+3d=2(〃]+")+2d=αι+2,

aι=2fd=4,?！?2+4(〃-1)=4〃-2.

若選①③或②③同理可得?！?4〃-2.(5分)

1]

由(知一

(2)1)=F~~cLQ〃〃8(2九一I

ananv?(4〃-2)(4π÷2)(2—1)(2+1)

2/?+1卜

111.11

+…+==0(1-3+3-5+7

〃2〃3In—12n+1

]_____n

)=.(10分)

2n+l4(2n+l)

18.解：(1)2X2列聯(lián)表如下:

喜歡足球不喜歡足球合計

男生6040100

女生3070100

合計90Iio一200

..?c200×(60×70-40×30)2…

*爛=100×100×90×110≈18,182>10,828,

有99.9%的把握認為該校學生喜歡足球與性別有關(guān).(5分)

(2)3人進球總次數(shù)。的所有可能取值為0,1,2,3,

P(C=O)=(|)2×∣=*，P(。=1)=Ca?∣×∣×∣+∣×(∣)2=-^,

211214212

P(ξ=2)=C?-?Xg+(?)2×ξ=9，Pe=3)=(1)2×^=§,

???4的分布列如下

?0]23

1542

P

18我99

7

.?"的數(shù)學期望E?=1X1+2×∣+3×∣=y.(12分)

19.解:(I)VacosB-2acosC=(2c-Z>)cosA,

.*.sinAcosβ-2sinAcosC=(2sinC-sinB)CoSA

=>sinAcosB+cosAsin8=2SinAcosC÷2cosAsinC

=Sin(A÷B)=2sin(A+C)

=SinC=2sinBnc=2b,

Vc=√3a,.?.b=率，

浮+浮+標一即

/_63213√3

.*.cosB=----?-=24?(6分)

2ac2a?y∣3a

A

(2)由⑴知c=2b,V?=1,:?c=2,設NBAD=夕如圖,

SΔABC=2sin20=3?2?4O?sin9+g?IADsinθ

4兀4

=Ao=ICOS仇6>∈(0,2)>?ΛD∈(0,§).(12分)

20.(1)證明：VPDLAD,ADLBD,PDΠBD=D,：.AD±5F≡PBD,：.ADLPB.

VPBLAB,AD,ABU平面A8。，ADHAB=A,28_1_平面A8D(4分)

(2)解：如圖建系，則3(0,2,0),P(0,2,4),A(4,0,0),0(0,0,0),

.?.BP=(0,0,4),PA=(4,-2,-4),DA=(4,0,0),

設平面BPA與平面PAD的法向量分別為

“1=（X1，V，Z1）,"2=（X2，”，Z2）,

nvBP=0,4zι=0,

≠>nι=(l,2,0),

4為一2yi—4Zl=O

ji]PA=O

/∣2?∕?=0,4x2-2y2-4Z2—0,

=>>=〃2=(0,2,

4x2=0

JlrDA=O

設二面角B%O平面角為θ,：.∣cos仇=鬻^4=)Λsi∏H

^√5√5.(12分)

8

.2

(1)2+(La)2=10,

{普(La)=3

J，f

"_尸，

C—α=l,[?=√3,

.c2^a2+b2

：.雙曲線C的方程為/一9=1.(4分)

⑵(解法1)設P。方程為x=my-2,P(Xi，.),Q(X2,阿，

[xz=my—2,

聯(lián)立J=3(加2)214Any+4)—γ2=3=(3加一l)y2—12my+9=0,

[3xz-yz=3

以PQ為直徑的圓的方程為(x—χ∣)(χ-忿)+。-yι)GLy2)=0

^χ2-(χ↑+χ2)χ+χιχ2+y2-(y?+y2)y+y?y2=θ^

由對稱性知以PQ為直徑的圓必過X軸上的定點，令y=0

=>X2-(X∣+X2)X÷X1X2÷Y1J2=0,

]2加24

而用+及="但+")-4=茄口一4=茄y'

X?X2~(myI-2)(nzy2-2)=m1y?y2-2tn(y↑+”)+4

9加12，-3m2—4

3W2—1m3fri2—13m2—1，

4—3,∏~—49

%2—3〃/_]。+3〃尸_]3m21=0=(3相2-?)?2—4x+5-3m2=0

今[(3加2—Dx+3/層-5](χ-1)=0對V機WR恒成立，；.X=L

???以PQ為直徑的圓經(jīng)過定點(1,0).(12分)

(解法2)設尸。方程為x=my-2,Pgjι),Q(X2,”),

?x=my-2,

聯(lián)立J=（3加2—l）y2-]2my+9=0,

3x2-yz=3

由對稱性知以PQ為直徑的圓必過X軸上的定點.

設以PQ為直徑的圓過EQ,0）,

/.EPEQ=O=(Xl—f)(X2-r)+yy2=0=xι12-Z(xι+x2)+F+y∣y2=0,

而x?xι=(ιny?—2)(my2,~2)=m2yιy2—2m(yι+力)+4

12m一3加一4

~2m?+4=

一"73m2-13∕n2-I3m2-1

,、,12ni2,4

1*4

—葉加一4=^T-=^Γ∑7'

?一3加一44t9

??3tn2-13/722-13∕w2-1’

(3∕π2—I)F—4/+5—3T772=O,即[⑶/—l)r+3M-5](f—1)=0對V〃?￡R恒成立,

Λr=l,即以PQ為直徑的圓經(jīng)過定點(L0).(12分)

9

]e"—e'*x?1

22.(1)解：f(x)=~??TP-FyI,=~?^FΓ，令/(x)=OnX=1?

?.?yω有最大值，，α>0且於)在(0,1)上單調(diào)遞增；(1,+8)上單調(diào)遞減，.??Wχ)maχ

=yω=5.

…1~a-lnX-lnx

4=1時，g?x)=-χ2，

當0<x<l時，g,(x)>O,g(x)單調(diào)遞增;當Ql時，g'(x)<O,g(x)單調(diào)遞減，

；?g(x)max=g(D=m，-=4=4=1.(4分)

(2)證明：由—x)=bn[]—b=Of由g(x)=h=^—A=O,

e?

Y

令F(X)=Ur-b,RX)在(0,1)上單調(diào)遞增；(1,+8)上單調(diào)遞減，.?.F(χ)至多兩個零

點.

令G(X)=-b,G(X)在(0,1)上單調(diào)遞增；(1,+8)上單調(diào)遞減；.?.G(X)至多兩

個零點.

??X1+lnX?

令尸(X)=G(X)n;FT-------；—=0.

C人

、1，八IdLX1÷1∏Xλ

當XC(0,1]時，h-------------->0；

,,、…,xIn