中考數(shù)學一輪復習精講精練(全國通用)第二講 與圓有關的位置關系-滿分之路（解析版）

第二講與圓有關的位置關系知識梳理夯實基礎知識點1:點與圓、直線與圓的位置關系設圓0的半徑為r,點到圓心的距離為d,則點與圓的位置關系如下表所示：點與圓的位置關系示意圖d與r的大小關系點A在圓內(nèi)00C點B在圓上點C在圓外2.直線與圓的三種位置關系：相交、相切、相離.位置關系相離相切示意圖70Od與r的關系交點的個數(shù)知識點2:切線的性質(zhì)與判定注意：切線判定定理中的兩個條件“經(jīng)過半徑的外端點”和“垂直于這條半徑”,二者缺一不*切線長定理：過圓外一點作圓的兩條切線，兩條切線長相等，圓心與這知識點3:三角形的外接圓與內(nèi)切圓名稱示意圖內(nèi)、外心性質(zhì)三角形的外接圓BAG三邊垂直平分線的交點稱為三角三角形的外心到三角形三角形的內(nèi)切圓A三條內(nèi)角平分線的交點稱為三角三角形的內(nèi)心到三角形 直角三角形內(nèi)切圓及外切圓半徑長的確定知識點4:正多邊形與圓的關系正n邊形的周長正n邊形的面積正n邊形中心角的度數(shù)正n邊形每個外角的度數(shù)正六邊形的邊長等于其外接圓的半徑；正三角形的邊長等于其外接圓半直擊中考勝券在握r的取值范圍是()A.6≤r≤8B.6≤r<8【解析】【詳解】解：由題意可知，線段AB必須經(jīng)過圓C才有兩個交點，過點C作AB的垂線，因為AC=6,BC=8,通過等面積法計,,AB與圓C沒有交點，當r>6時與AB最多只有一個交點，所以當點評：該題是?？碱}，主要考查學生對圓與直線交點的個數(shù)析計算.2.(2023·嘉興中考)已知平面內(nèi)有○O和點A,B,若○O半徑為2cm,線段OA=3cm,OB=2cm,則直線AB與○O的位置關系為()A.相離B.相交C.相切D.相交或相切【答案】D【分析】根據(jù)點與圓的位置關系的判定方法進行判斷.【詳解】即點A到圓心O的距離大于圓的半徑，點B到圓心O的距離等于圓的半徑，本題考查了直線與圓的位置關系，正確的理解題意是解題的關鍵.3.(2023·上海中考)如圖，已知長方形ABCD中，AB=4,AD=3,圓B的半徑為1,圓A與圓B內(nèi)切，則點C,D與圓A的位置關系是()A.點C在圓A外，點D在圓A內(nèi)B.點C在圓A外，點D在圓A外C.點C在圓A上，點D在圓A內(nèi)D.點C在圓A內(nèi)，點D在圓A外【分析】根據(jù)內(nèi)切得出圓A的半徑，再判斷點D、點E到圓心的距離即可【詳解】【點睛】本題考查點與圓的位置關系、圓與圓的位置關系、勾股定理，熟練掌握點4.(2023·臨沂中考)如圖，PA、PB分別與○O相切于A、B,∠P=70°,C為○O上一點，則∠ACB的A.110°B.120°C.125°D.【分析】由切線的性質(zhì)得出EOAP=EOBP=90°,利用四邊形內(nèi)角和可求AOB=110°,再利【詳解】解：如圖所示，連接OA,OB,在優(yōu)弧AB上取點D,連接AD,BD,【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).解題的關鍵是連接OA、OB,求出BAOB.【分析】55【點睛】本題考察了切線的性質(zhì)，圓周角定理以及平行線的性質(zhì)，綜合運用以上性質(zhì)定理是解題的關鍵.6.(2023·廣西賀州中考)如圖，在Rr?ABC中，∠C=90°,AB=5,點O在AB上，OB=2,以OB為半徑A.【答案】B【分析】【詳解】解：連接OD,EF從而得,,進而即可求解.團OO與AC相切于點D,BF是OO的直 ,【點睛】A.65°B.60°C.58°【分析】【詳解】【點睛】切線，交BC的延長線于點D,連接EC.若∠ADB=58.5°,則∠ACE的度數(shù)為()A.29.5°B.31.5°C.58.5°D.63°【分析】【詳解】【分析】【詳解】【點睛】A.144°B.130°【答案】A【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)，可得BOAE=90°,QOCD=90°,結(jié)合正五邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)為108°,即可求解.【詳解】OZAOC=540°-90°-90°-108°【點睛】本題主要考查正多邊形的內(nèi)角和公式的應用，以及切線的性質(zhì)定理，掌握正多邊關鍵.A.27°B.29°C.35°【答案】A【分析】連接OD,根據(jù)切線的性質(zhì)得到GADO=90°,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)定理即可得到結(jié)論.【詳解】【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，正確的作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵.12.(2023·貴州遵義中考)如圖，AB是aO的弦，等邊三角形OCD的邊CD與0O相切于點P,連接OA,OB,OP,AD.若BCOD+BAOB=180°,CD//AB,AB=6,則AD的長是()【答案】C【分析】如圖，過O作OE⊥AB于E,過D作DG⊥AB于G,先證明O,E,P三點共線，再求解○O的半徑OA=OB=OP=2√3,PD=2,證明四邊形PEGD是矩形，再求解DG,AG,從而利用勾股定理可得答案.【詳解】解：如圖，過O作OE⊥AB于E,過D作DG⊥AB于G, ∴四邊形PEGD是矩形，【點睛】本題考查的是等腰三角形，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理的應用，矩形的判定與13.(2023·湖南湘潭中考)如圖，BC為20的直徑，弦AD⊥BC于點E,直線1切a0于點C,延長OD交1于點F,若AE=2,∠ABC=22.5°,則CF的長度為()【答案】B【分析】根據(jù)垂徑定理求得AC=CD,AE=DE=2,即可得到2COD=2BABC=45°,則@OED是等腰直角三角形，得出【詳解】解：BBC為2O的直徑，弦ADQBC于點E,AE=2,∠ABC=22.5°, BOD=√Z2+22=2√2,團直線1切20于點C,BOC=OD=2√2,【點睛】14.(2023·浙江省湖州中考)如圖，已知OT是RtABO斜邊AB上的高線，AO=BO.以O為圓心，OT為半徑的圓交OA于點C,過點C作@O的切線CD,交AB于點D.則下列結(jié)論中錯誤的是()A.DC=DTB.AD=√ZDTC.BD=BOD.20C=5AC【分析】可計算判斷選項B正確；根據(jù)切線的性質(zhì)得到CD=CT,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到aDOC=ETOC,根據(jù)三角【詳解】設20的半徑為2,20C≠5AC故選項D錯誤；【點睛】15.(2023·寧波中考)如圖，EO的半徑OA=2,B是0O上的動點(不與點A重合),過點B作2O的切線BC,BC=OA,連結(jié)OC,AC.當BOAC是直角三角形時，其斜邊長為_.【分析】先根據(jù)切線的性質(zhì)和等腰直角三角形的判定方法證得2OBC是等腰直角三角形，當AOC=90°,連接OB,根據(jù)勾股定理可得斜邊AC的長，當2OAC=90°,同理可求.【詳解】解：連接OB,BAC=√ON+OC=√Z2+(25=2√5【點睛】【分析】根據(jù)圓的切線的性質(zhì)，得∠OTP=90°,根據(jù)圓的性質(zhì)，得OT=1,再通過勾股定理計算，即可得到答案.【詳解】BPT=√OP2-OT2=√Z2-I=√3【點睛】【分析】AE=AH=b,BH=BG=c,CG=CF=d,推出【詳解】【點睛】本題考查了內(nèi)切圓的性質(zhì)，熟練運用切線的性質(zhì)和三角形∠BAF+∠CBG+∠DCH+ZEDI+ZAEJ=【分析】由切線的性質(zhì)可知切線垂直于半徑，所以要求的5個角的和等于5個直角減去五邊形的內(nèi)角和的一半.【詳解】如圖：過圓心連接五邊形ABCDE的各頂點，=∠OBA+∠OCB+∠ODC+∠OED+∠=180°.故答案為：180.【點睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，多邊形的內(nèi)角和公式(n-2)×180°(n為多邊形的邊數(shù)),由半徑相等可得“等邊對等角”,正確的理解題意作出圖形是解題的關鍵.19.(2023·內(nèi)蒙古中考)如圖，在。ABCD中，AD=12,以AD為直徑的○O與BC相切于點E,連接OC.若【分析】【詳解】解：如圖，連接OE,作AFEBC于F,BBE為00的切線，?□AOEF為矩形，BAF=OE,【點睛】20.(2023·陜西中考真題)如圖，正方形ABCD的邊長為4,0O的半徑為1.若○O在正方形ABCD內(nèi)平移(00可以與該正方形的邊相切),則點A到○O上的點的距離的最大值為【分析】作圖，則連接AC,交○O于點E,然后可得AE的長即為點A到OO上的點的距離為最大，由題意易得【詳解】連接AC,OF,AC交○O于點E,此時AE的長即為點A到OO上的點的距離為最大，如圖所示，8OO的半徑為1,BOC=√2,AO=AC-OC=3√2,BAE=AO+OE=3√Z+1,【點睛】切點的性質(zhì)定理及等腰直角三角形的性質(zhì)與21.(2023·四川涼山中考)如圖，等邊三角形ABC的邊長為4,⊙C的半徑為√3,P為AB邊上一動點，過點P作⊙C的切線PQ,切點為Q,則PQ的最小值為【答案】3【分析】連接OC和PC,利用切線的性質(zhì)得到CQEPQ,可得當CP最小時，PQ最小，此時CPBAB,再求出CP,利用勾股定理求出PQ即可.【詳解】解：連接QC和PC,2CQ2PQ,即ECPQ始終為直角三角形，CQ為定值，②AB=BC=AC=4,②AP=BP=2,故答案為：3.【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，以及勾股定理.此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意得到當PC&AB時，線段PQ最短是關鍵.22.(2023·山東省濟寧中考)如圖，在四邊形ABCD中，以AB為直徑的半圓O經(jīng)過點C,D.AC與BD相交【答案】4【分析】連結(jié)OC,設00的半徑為r,由DC2=CE·CA和ACD=ZDCE,可判斷BCADEECDE,得到CCAD=QCDE,再根據(jù)圓周角定理得ECAD=ZCBD,所以ECDB=ECBD,利用等腰三角形的判定得BC=DC,證明OCBAD,利用平行線分線段成比例定理得到·,則PC=2CD=4√2,然后證明再利用比例的性質(zhì)可計算出r的值即可.【詳解】解：連結(jié)OC,如圖，設○O的半徑為r,DC2=CECA∴OC//AD,故答案為：4.【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：三角形相似的判定一直是中考考查的熱點之一，在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對圖形進行分解、組合；或作輔助線構造相似三角形，判定三角形相似的方法有時可單獨使用，有時需要綜合運用，無論是單獨使用還是綜合運用，都要具備應有的條件方可.也考查了圓周角定理.23.如圖，以等邊三角形ABC的BC邊為直徑畫圓，交AC于點D,DF⊥AB于點F,連接OF,且AF=1.8DF⊥AB(1)求證：DF是OO的切線；(2)求線段OF的長度.【分析】(1)連接OD,先說明OCD是等邊三角形得到∠CDO=∠A=60°,說明ODAB,(2)根據(jù)三角形中位線的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)得到CD=OD=AD=2AF=理解答即可.【詳解】(1)證明：連接OD2,最后運用勾股定2OD⊥DF本題主要考查了圓的切線的證明、三角形中位線的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點為解答本題的關鍵.(1)求證：CE是○O的切線；【答案】(1)見解析；(2)【分析】(1)連接OC交BD于點G,由點C是BD的中點，根據(jù)垂徑定理OC目BD.DG=BG,可證四邊形EDGC是矩形，可得∠ECG=90°即可..根據(jù)余弦三角函數(shù)定義求即可.【詳解】1)證明：連接OC交BD于點G.@CE是OO的切線.(2)解：連接BC,設FG=x,OB=r.設DF=tB∠BCG=∠CFB,圖BC2=BG·BF(√6r)2=(x+1)(2x+1).(不符合題意，舍去).BCG=√BC2-BG2=√√6)2-(2)3=√Z,OG=r-√Zr.在Rr?OBG中，由勾股定理得OG2+BG2=OB2.【點睛】本題考查圓的切線判定，直徑所對圓周角性質(zhì)，垂徑定理，三角形相似判定與性(2)延長AD、BC相交于點E,若S=2Sac,求tan∠BAC的值.【答案】(1)見解析；(2)【分析】(1)利用SAS證明△BAC≌△DAC,可得∠ADC=∠ABC=90°,即可得證；【詳解】?AD是○C的切線.(2)由(1)可知，∠EDC=∠ABC=90°,(1)求證：∠ACF=∠B;(2)若AB=BC,AD⊥BC于點D,FC=4【答案】(1)證明見詳解；(2)18.(2)由(1)可知∠ACF=∠B,易得VAFC:VCFB,則有則可得AB=BC=6,并可求得解：(1)連接OC團?ACF?ECO又@OE=OC根據(jù)圓周角定理可得：?OEC?BB∠ACF=∠B;(2)由(1)可知∠ACF=∠B,AB=FB-AF=8-2=6如圖示，連接BE【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，切線的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)等知識點，熟悉相關性質(zhì)是解題的關鍵.27.(2023·甘肅蘭州中考)如圖，。ABC內(nèi)接于○0,AB是○O的直徑，E為AB上一點，BE=BC,延長CE交AD于點D,AD=AC.【答案】(1)見解析；(2)8【分析】(1)根據(jù)BE=BC,可得∠BEC=∠BCE,根據(jù)對頂角相等可得∠AED=∠BEC,進而可得∠BCE=∠AED,根據(jù)AD=AC,可得∠ADC=∠ACE,結(jié)合∠AC