函數(shù)極限與連續(xù)性知識(shí)點(diǎn)及典例

函數(shù)極限與連續(xù)性知識(shí)點(diǎn)及典例匯報(bào)人：文小庫2023-12-06目錄contents函數(shù)極限連續(xù)性概念極限與連續(xù)性的關(guān)系典型例題分析函數(shù)極限01當(dāng)自變量x趨近于某一特定值x0時(shí)，函數(shù)f(x)的值無限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)收斂于A，或稱f(x)在x0點(diǎn)極限為A。記作limf(x)，其中x→x0表示自變量x逐漸趨近于x0的方式可以是x→x0+，x→x0-，x→∞或x→+∞，x→-∞。函數(shù)極限的定義若limf(x)存在，則極限值是唯一的。唯一性局部有界性局部保號(hào)性迫斂性若limf(x)存在，則f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)有界。若limf(x)=A>0，則對(duì)x0的某一去心鄰域內(nèi)，有f(x)>0。若limf(x)=A，且存在一個(gè)常數(shù)M，使得對(duì)x0的某一去心鄰域內(nèi)，有f(x)<=M，則limf(x)=A。函數(shù)極限的性質(zhì)若limf(x)和limg(x)都存在，且limf(x)=A，limg(x)=B，則lim[f(x)×g(x)]也存在，且lim[f(x)×g(x)]=A×B。若limf(x)=A，且存在常數(shù)k≠0，使得對(duì)x0的某一去心鄰域內(nèi)，有f(x)=k×g(x)，則limg(x)也存在，且limg(x)=A/k。若limf(x)和limg(x)都存在，則lim[f(x)±g(x)]也存在，且lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)。函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則連續(xù)性概念02連續(xù)性的定義如果函數(shù)在某一點(diǎn)處的極限值等于該點(diǎn)的函數(shù)值，則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。定義的具體描述對(duì)于任意給定的ε>0，存在δ>0，使得當(dāng)|x-x0|<δ時(shí)，|f(x)-f(x0)|<ε。連續(xù)性的定義增減性。若函數(shù)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且a<x1<x2<b，則f(x1)<=f(x2)。保號(hào)性。若函數(shù)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且在[a,b]區(qū)間內(nèi)取值不同時(shí)，則f(x1)<=f(x2)。連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)2性質(zhì)1第一類間斷點(diǎn)函數(shù)在該點(diǎn)有定義，但無極限。例如：y=sin(1/x)，在x=0處。第二類間斷點(diǎn)函數(shù)在該點(diǎn)無定義，且無極限。例如：y=sin(x)，在x=π+nπ(n=0,1,2…)處。第三類間斷點(diǎn)函數(shù)在該點(diǎn)有定義，且有極限，但極限值不等于函數(shù)值。例如：y=x^2，在x=0處。不連續(xù)點(diǎn)的類型及判別方法030201極限與連續(xù)性的關(guān)系03請(qǐng)輸入您的內(nèi)容極限與連續(xù)性的關(guān)系典型例題分析04總結(jié)詞：掌握求極限的基本方法，如利用極限的四則運(yùn)算法則、洛必達(dá)法則、等價(jià)無窮小替換、泰勒公式等。詳細(xì)描述1.利用極限的四則運(yùn)算法則求極限，如lim(x->0)(sinx/x)=1。2.利用洛必達(dá)法則求極限，如lim(x->+∞)(x^2+1)/x=1。3.利用等價(jià)無窮小替換求極限，如lim(x->0)(sinx/x)=1。4.利用泰勒公式求極限，如lim(x->0)(1+x)^n-1=n*x。求極限的例題詳細(xì)描述1.利用連續(xù)性的定義判斷函數(shù)連續(xù)性，如f(x)={x^2,x<0;x,x>=0}在x=0處連續(xù)。3.利用復(fù)合函數(shù)判斷函數(shù)連續(xù)性，如f(x)=exp(sinx)在R上連續(xù)。2.利用四則運(yùn)算法則判斷函數(shù)連續(xù)性，如f(x)=x^2+sinx在R上連續(xù)。總結(jié)詞：掌握判斷函數(shù)連續(xù)性的方法，如利用連續(xù)性的定義、四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)等。求連續(xù)性的例題01總結(jié)詞：掌握綜合應(yīng)用函數(shù)極限和連續(xù)性的方法。02詳細(xì)描述031.求函數(shù)的間斷點(diǎn)并判斷類型，如f(x)={x^2,x<