2022年初升高數(shù)學(xué)銜接講義（第1套）匯總（學(xué)生版）

專題Ol數(shù)與式的運(yùn)算

Z敢嫁述

初中階段“從分?jǐn)?shù)到分式”，通過觀察、分析、類比，找出分式的本質(zhì)特征，及它們與分?jǐn)?shù)的相同點和不同

點，進(jìn)而歸納得出分式的概念及運(yùn)算性質(zhì)，我們已經(jīng)運(yùn)用的這些思想方法是高中繼續(xù)學(xué)習(xí)的法寶.

二次根式是在學(xué)習(xí)了平方根、立方根等內(nèi)容的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，是對“實數(shù)”、“整式”等內(nèi)容的延伸和補(bǔ)充，

對數(shù)與式的認(rèn)識更加完善.二次根式的化簡對勾股定理的應(yīng)用是很好的補(bǔ)充；二次根式的概念、性質(zhì)、化簡

與運(yùn)算是高中學(xué)習(xí)解三角形、一元二次方程、數(shù)列和二次函數(shù)的基礎(chǔ).二次根式是初中階段學(xué)習(xí)數(shù)與式的最

后一章，是式的變形的終結(jié)章.

當(dāng)兩個二次根式的被開方數(shù)互為相反數(shù)時，可用“夾逼”的方法推出，兩個被開方數(shù)同時為零.

本專題內(nèi)容蘊(yùn)涵了許多重要的數(shù)學(xué)思想方法，如類比的思想（指數(shù)塞運(yùn)算律的推廣）、逼近的思想（有理數(shù)指數(shù)

幕逼近無理數(shù)指數(shù)幕），掌握運(yùn)算性質(zhì)，能夠區(qū)別折與（折）”的異同.

通過與初中所學(xué)的知識進(jìn)行類比，理解分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的概念，進(jìn)而學(xué)習(xí)指數(shù)事的性質(zhì)，掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)募和根

式之間的互化，掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì).

*程要求

《初中課程要求》1、認(rèn)識了實數(shù)及相關(guān)概念，如有理數(shù)、無理數(shù)；了解了實數(shù)具有

順序性，知道字母表示數(shù)的基本代數(shù)思想

2、初中會比較簡單實數(shù)的大小，初步接觸作差法

3、理解了多項式與多項式的乘法，熟悉了平方差、完全平方公式,

掌握了不超過三步的數(shù)的混合運(yùn)算

4、掌握了平方根、立方根運(yùn)算；了解了有理式和無理式的概念；了

解了整數(shù)指數(shù)基的含義_________________________________________

《高中課程要求》1、高中必修一中常用數(shù)集都用了符號表示，同時為數(shù)系的擴(kuò)充打

基礎(chǔ)，會運(yùn)算字母代表數(shù)的式子

2、掌握用作差法、作商法來比較實數(shù)大小，體會變形過程中的技

巧

3、在高中會常常用到立方和、立方差、三數(shù)和的平方的公式，兩

數(shù)和、差的立方公式.高中有很多混合運(yùn)算都超過三步

4、必須掌握分子分母有理化的技巧、二次根式的性質(zhì)根式的大小比

較，會把整數(shù)指數(shù)累的運(yùn)算及其性質(zhì)推廣到分?jǐn)?shù)指數(shù)累___________

知徂器■神

高中必備知識點1：絕對值

絕對值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，零的絕對值仍是

零.即：

。，a>0,

I〃I=<O,Q=0,

-a,a<0.

絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值，是數(shù)軸上表示它的點到原點的距離.

兩個數(shù)的差的絕對值的幾何意義：∣6Z-?∣表示在數(shù)軸上，數(shù)。和數(shù)b之間的距離.

高中必備知識點2：乘法公式

我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過了下列一些乘法公式：

⑴平方差公式(α+b)(α-份；

⑵完全平方公式(?！罋v2=/±2昉+/.

我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：

⑴立方和公式(α+b)(α?-而+/)=/+/?；

⑵立方差公式(。一歷("+而+/)=/-^；

(3)三數(shù)和平方公式(α+b+c)2=a2+b2+c2+2(ah+bc+ac~)；

(4)兩數(shù)和立方公式(。+33=/+3。％+3。/+/；

(5)兩數(shù)差立方公式(Q-份3=/-3α2+3ab2-U.

高中必備知識點3：二次根式

一般地，形如?t(ɑ'θ)的代數(shù)式叫做二次根式.根號下含有字母、且不能夠開得盡方的式子

稱為無理式.例如節(jié)。，爐工等是無理式，而2

3α+T∑+2√Σ^+*χ+ι,X+√2Λ>?+/,

等是有理式.

1.分母(子)有理化

把分母(子)中的根號化去，叫做分母(子)有理化.為了進(jìn)行分母(子)有理化，需要引入有理化

因式的概念.兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩

個代數(shù)式互為有理化因式，例如，萬與"5,3后與,也+α與#)-?),26-3及與

2Λ^+3Λ∕2,等等.一般地，°α與,a4x+byfyay[x-hy[y,a&+b與a&-b互為

有理化因式.

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號的過程；而分子

有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號的過程

在二次根式的化簡與運(yùn)算過程中，二次根式的乘法可參照多項式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn)用公式

而揚(yáng)=瘋(Q20力20)；而對于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然后通過分母有

理化進(jìn)行運(yùn)算；二次根式的加減法與多項式的加減法類似，應(yīng)在化簡的基礎(chǔ)上去括號與合并同

類二次根式.

2.二次根式后的意義

∕TII∫β`fl≥0'

Va-=Ial=I

11-a,a<0.

高中必備知識點4：分式

I.分式的意義

ΔAΔ

形如—的式子，若3中含有字母，且則稱一為分式.當(dāng)M≠0時，分式—具有下列性質(zhì)：

BBB

A_AxM_

~B~B×M'

A^A÷M

~B~B÷M'

上述性質(zhì)被稱為分式的基本性質(zhì).

2.繁分式

a?27+〃+o

像一J,—?~~L這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.

c+d2加

n+p

工例劇析

高中必備知識點1：絕對值

【典型例題】

閱讀下列材料:

我們知道IM的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)X對應(yīng)的點與原點的距離，即∣M=k-o∣,也就是說，N表示在數(shù)軸上

數(shù)X與數(shù)0對應(yīng)的點之間的距離；這個結(jié)論可以推廣為|七-々|表示在數(shù)軸上數(shù)X與數(shù)超對應(yīng)的點之間的

距離；

例1解方程IXl=2.因為在數(shù)軸上到原點的距離為2的點對應(yīng)的數(shù)為±2,所以方程IXI=2的解為x=±2.

例2解不等式IX-1∣>2.在數(shù)軸上找出IX-1∣=2的解（如圖），因為在數(shù)軸上到1對應(yīng)的點的距離等于2

的點對應(yīng)的數(shù)為一1或3,所以方程|X—1|=2的解為X=-1或x=3,因此不等式∣X—1|>2的解集為X<

-1或x>3.

";b—卜r一彳―IT

—5—101>a4

例3解方程IX—1∣+∣X+2∣=5.由絕對值的幾何意義知，該方程就是求在數(shù)軸上到1和一2對應(yīng)的點的距離

之和等于5的點對應(yīng)的X的值.因為在數(shù)軸上1和一2對應(yīng)的點的距離為3（如圖），滿足方程的X對應(yīng)的點

在1的右邊或一2的左邊.若X對應(yīng)的點在1的右邊，可得％=2；若X對應(yīng)的點在一2的左邊，可得X=-3,

因此方程∣x-l∣+∣x+2∣=5的解是％=2或X=-3.

參考閱讀材料，解答下列問題：

⑴方程IX+21=3的解為；

⑵解不等式：|X-2|<6；

⑶解不等式：∣x-3∣+∣x+4∣≥9;

⑷解方程：Ix-2∣+∣x+2∣+∣%-5∣=15.

【變式訓(xùn)練】

實數(shù)a、b在數(shù)軸上所對應(yīng)的點的位置如圖所示：化簡后+設(shè)-加-也-可.

------------------------------11-----------?

ao-?

【能力提升】

已知方程組卜：：；;的解X、y的值的符號相同.

⑴求a的取值范圍；

(2)化簡:?2a+2|-2?a-3|.

高中必備知識點2：乘法公式

【典型例題】

(1Y2

⑴計算：一一+2016°+(-2)3÷(-2)2

、

(2)化簡：(a+2b)(a-20)-(a-2Z?)2

【變式訓(xùn)練】

計算：

(1)(^-3.14)O+M)2-(∣Γ2

(2)(x-3)2-(x+2)(x-2)

【能力提升】

已知10x=σ,5x=b,求：

⑴50*的值；

(2)2,的值;

(3)2OX的值.(結(jié)果用含a、b的代數(shù)式表示)

高中必備知識點3：二次根式

【典型例題】

計算下面各題.(1)(后一2√Ii)xJI-

(2)J4x+2J2X—>∣8x—Ayfx

2

【變式訓(xùn)練】

小穎計算比彳，+5］時，想起分配律，于是她按分配律完成了下列計算:

1

解：原式=JiE÷-∕=+Ji5

√3

=√15×√3+^5×√5

=3√5+5√3?

她的解法正確嗎？若不正確，請給出正確的解答過程.

【能力提升】

先化簡，再求值：（生?--1）+匕孚，其中a=&+G，b=√2-√3.

a+ba-ba+b

高中必備知識點4：分式

【典型例題】

γ4-1γ?-U921'+工

先化簡，再求值（士一士）÷，入十X，其中X滿足χ2+χ-l=0.

Xx—1X-2x+1

【變式訓(xùn)練】

4χ2-4xy+y2

2

化簡:÷(4X2—y)

2x-y

【能力提升】

a-2ab-b

已-知：一1-=2,則的值等于多少？

ab2a-2b+lab

對鹵器稱

1.下列運(yùn)算正確的是（）

xyX

A.2=B.λ^+√7=710

xy-yX-y

C.3x3-5χ3=-2D.8x3÷4x=2x3

2.下列計算結(jié)果正確的是（）

A.-------+--------=--------B.(χ^Γ=X

X—22-XX—2

C.(-ιy)5÷(-孫F=-X2y2D.3X2y-5xy2=-Ixy

X

3.若式子——有意義，則下列說法正確的是()

%+1

A.x>—1且XwOB.x>-lC.x≠—1D.χ≠0

Λ在笆34_____LMJ結(jié)里臬/\

4?H舁-----------ITJ孑口不ZEl)

a-la-?

a1

A.3B.0C.-------D.-------

a-?a-l

5.若IaI=4,?b?=2,且α+b的絕對值與相反數(shù)相等，則a—5的值是（）

A.-2B.-6C.-2或-6D.2或6

6.設(shè)有理數(shù)a、b、C滿足α>b>c（αc<O）,且同<同Cla則X"二一|+|六三+的最小

值是（）

a-ca+h+2c2a+b+c2α+b-

A________D________________r_____________∏

rΛ?D.---------------------------L.L√?

2222

abcahc

7.如果。，b，C是非零有理數(shù)，那么同+同+,+西的所有可能的值為（）.

A.-4,-2,0,2,4B.-4,-2,2,4

C.0D.-4,0,4

8.如圖是一個按某種規(guī)律排列的數(shù)陣：

?72第1行

√I2R第2行

√72√23∕io/??2√3第3行

/BTH√154√π3√2/192√5第4行

根據(jù)數(shù)陣排列的規(guī)律，第n（n是整數(shù)，且n≥4）行從左向右數(shù)第（n-3）個數(shù)是（用含n的代數(shù)式表示）（）.

22

A?√H-1B?J”2—2C.yJH-3D.—4

9.與百（M-百）最接近的整數(shù)是（）

A.3B.4C.5D.6

__________________________21

10.設(shè)a為J3+石-43-石的小數(shù)部分，b為76+36-?-3后的小數(shù)部分，則g—7的值為(

A.√6+√2-lB.√6-√2+lc.√6-√2-lD.√6+√2+l

—*11d∣∣z<→2a+3ab-2b

11.右——7=3m,則分式---——=______?

aba-2ab-b

12.若分式X的值為零,則尤的值為.

X—2

13.已知整數(shù)。滿足l<α?3,則分式卜一2]._J的值為______.

Ia)a-4

14.計算(26-√Σ)2的結(jié)果等于.

計算

15.(√Σ-l>+√i=--.

16.化簡：3a2b2.~—=

?9ab

17.化簡J6-病的結(jié)果為.

18.若有理數(shù)X,y,z滿足(∣x+l∣+∣x-2∣)(Iy-Il+∣y-3∣)(∣z-3∣+∣z+3∣)=36,則x+2y+3z的最小值是

19.已知|x+2|+|l_x|=9_J(y_5)2_J(l+y>，則無+丁的最小值為

20.已知式子∣x+l∣+∣x-2∣+∣y+3∣+∣y-4|=10,則x+y的最小值是.

21.⑴計算：(_2)。+|&-2|-IJJ-(一2)3；

上+㈡1

⑵先化簡，再求值:其中X=-1.

X+2X—2y"√-4

22.計算：√3(√3-l)+∣√2-√3∣.

23.已知α,b,3商足|4+3|+而萬+(。-5)2=0,請回答下列問題:

(1)直接寫出α,b,C的值.a=,b=，C=.并在數(shù)軸上表示.

(2)α,b,C所對應(yīng)的點分別為A,B,C,若點A以每秒1個單位長度向右運(yùn)動，點C以每秒3個單位長度向

左運(yùn)動；

①運(yùn)動1.5秒后，4C兩點相距幾個單位長度.

②幾秒后，NC兩點之間的距離為4個單位長度.

24.同學(xué)們都知道，R-(-2)|表示4與-2的差的絕對值，實際上也可理解為4與-2兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)

的兩點之間的距離：問理|*-3|也可理解為X與3兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之問的距離，試探索：

(I)I4-(-2)I-.

⑵找出所有符合條件的整數(shù)X,使∣x-4∣+∣x+2=6成立，并說明理由

⑶由以上探索猜想，對于任何有理數(shù)X,|x-3∣+∣x-6∣是否有最小值？如果有，寫出最小值；如果沒有，

說明理由.

25.⑴己知尤2一5%一6=0,求代數(shù)式2爐_IOAG的值；

尤2+6x+9X

(2)化簡:

X2-9--x≡3

(2-2x?X2-Xr-

26?先化簡’再求值：其中龍=底

27.如圖，甲、乙兩張卡片上均有一個系數(shù)為整數(shù)的多項式，其中乙中二次項系數(shù)因為被污染看不清楚.

Aia1-4a+6Bx+2a-3

甲乙

⑴嘉嘉認(rèn)為污染的數(shù)為-3,計算"A+3"的結(jié)果；

(2)若α=3+√L淇淇認(rèn)為存在一個整數(shù)，可以使得“A-3"的結(jié)果是整數(shù)，請你求出滿足題意的被污染的

這個數(shù).

28.⑴計算：一代(m+i—Bi+^janBOO—W-QOZl—mO+lg)

(3\尤2-4-4元+4

(2)先化簡再求值：--x+l÷--------------,其中χ=2?

IX+1)x+1

(4、a-2

29.已知4+2?！?o,求代數(shù)式a——÷—廠的值.

30.計算：

⑴㈤3..門(_叫5

(2)(-34)2./+(-2/)3

(3)(x-y)3?(j-x)4

(4)(-l)2°∣9+(乃_3.14)°

專題02分解因式

"屢.嫁述

因式分解是代數(shù)式的一種重要恒等變形，它是學(xué)習(xí)分式的基礎(chǔ)，又在代數(shù)式的運(yùn)算、解方程、函數(shù)中有廣

泛的應(yīng)用，通過本專題的學(xué)習(xí)，不僅能使學(xué)生掌握因式分解的概念和原理，而且又為繼續(xù)學(xué)習(xí)因式分解做

好了充分的準(zhǔn)備.

因此，它起到了初、高中承上啟下的作用.

分組分解法在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用：分式的約分與通分、解一元二次方程、分式方程；在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

更加廣泛：如無理方程、特殊的高次方程，解一元二次不等式及三角函數(shù)式的恒等變形，不等式證明，因

此，學(xué)好因式分解對于代數(shù)知識的后續(xù)學(xué)習(xí)，具有相當(dāng)重要的意義，代數(shù)方面在數(shù)學(xué)計算、化簡、證明題

中的應(yīng)用較多，在幾何學(xué)中同樣有應(yīng)用.

用十字相乘法分解因式，首先分解二次項系數(shù)、常數(shù)項，然后交叉相乘再相加，看是否為一次項系數(shù)，還

要注意避免出現(xiàn)以下兩種錯誤：一是沒有認(rèn)真地驗證交叉相乘的兩個積的和是否等于一次項系數(shù)；二是由

十字相乘法寫出的因式漏寫字母.

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法，另外還應(yīng)了解求根法及待定

系數(shù)法.

A福要求

《初中課程要求》1、大大弱化了十字相乘法的

學(xué)習(xí).一般只接觸過二次

項系數(shù)為1的十字相乘法

2、初中重點學(xué)習(xí)了提取公因式法、公式法，針對aχ2+bx+c(a≠0)

的因式分解，只學(xué)習(xí)了二次項系數(shù)為1的因式分解_____________

《高中課程要求》1、有大量二次項系數(shù)不為1的十字相乘法，會拆分多項式，用十

字相乘法因式分解

2、對于項數(shù)比較多的多項式，要綜合使用提取公因式法、分組分

解法、十宇相乘法、公式法來進(jìn)行因式分解，還會接觸到拆項法、

添項法等.針對ax2+bx+c(a≠0)的因式分解要用公式法或十字相

乘法因式分解________________________________________________

K鈉晶講

高中必備知識點1：十字相乘法

要點一、十字相乘法

利用十字交叉線來分解系數(shù)，把二次三項式分解因式的方法叫做十字相乘法.對于二次三項式χ2+for+C,

?pq=c,.、/、

若存在<b，則X+∕zr+c?=(x+")(x+<y).

要點詮釋：(1)在對f+hx+c分解因式時，要先從常數(shù)項c?的正、負(fù)入手，若c>0,

則〃、4同號(若c<0,則〃、q異號)，然后依據(jù)一次項系數(shù)6的正負(fù)再確定p、4的符號；

(2)若/+法+。中的氏C為整數(shù)時，要先將C分解成兩個整數(shù)的積(要考慮到分解的各種可能)，然后看

這兩個整數(shù)之和能否等于b,直到湊對為止.

要點二、首項系數(shù)不為1的十字相乘法

在二次三項式0√+bχ+c(q≠o)中，如果二次項系數(shù)?？梢苑纸獬蓛蓚€因數(shù)之積，即

a-a}a2,常數(shù)項C可以分解成兩個因數(shù)之積，即C=ClC把α∣,a2,cl,c2排列如下：

按斜線交叉相乘，再相加，得到若它正好等于二次三項式+bx+C的一次項系數(shù)匕，即

aic2+tz2c,=b,那么二次三項式就可以分解為兩個因式αlx+cl與a2x+c2之積，即

ax1

+Zzr+c=(αlx+cl)(Λ2X+C2).

要點詮釋：(1)分解思路為“看兩端，湊中間”

(2)二次項系數(shù)。一般都化為正數(shù)，如果是負(fù)數(shù)，則提出負(fù)號，分解括號

里面的二次三項式，最后結(jié)果不要忘記把提出的負(fù)號添上.

高中必備知識點2：提取公因式法與分組分解法

L提取公因式法：如果多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個公因式提到括號外面，把多項式轉(zhuǎn)化成

公因式與另一個多項式的積的形，這種因式分解的方法叫做提公因式法。

2.符號語言：ma+mb+me=m(a+b+c)

3.提公因式的步驟：

(1)確定公因式(2)提出公因式并確定另一個因式(依據(jù)多項式除以單項式)

原多項式

另一個因式

公因式

4.注意事項：因式分解一定要徹底

高中必備知識點3：關(guān)于X的二次三項式aχ2+bx+c(a≠0)的因式分解

J

若關(guān)于X的方程or?+fcr+c=0(?！?)的兩個實數(shù)根是玉、x2,則二次三項式G+hx+c(a≠0)

就可分解為a(x-x↑)(x-x2).

入例周折

高中必備知識點1：十字相乘法

【典型例題】

閱讀與思考：將式子--6x+8分解因式.

法一：整式乘法與因式分解是方向相反的變形.

由M+(p+q)χ+pq=(%+p)(χ+q)得(%+p)(x+q)=X2+(p+q)x+pq,；

分析：這個式子的常數(shù)項8=(—2)×(—4),一次項系數(shù)一6=(-2)+(—4),

所以％2-6%+8=%2+[(-2)+(-4)]x÷(一2)×(-4).

解：X2—6x÷8=(%—2)(%—4).

法二：配方的思想./一6%+8

-X2—6%+9—9+8

=(%一3)2-1

=(%—3+1),(%—3-1)

=(x-2)?(%-4).

請仿照上面的方法，解答下列問題：

⑴用兩種方法分解因式：%2-IOx+21；

(2)任選一種方法分解因式：(%?—6)2-2(x2-6)-3.

【變式訓(xùn)練】

閱讀材料題：在因式分解中，有一類形如χ2+(m+n)x+mn的多項式，其常數(shù)項是兩個因數(shù)的積，而它的一次

項系數(shù)恰是這兩個因數(shù)的和，則我們可以把它分解成x2+(m+n)x+mn=(×+m)(x+n).

例如:x2+5x+6=×2+(2+3)×+2×3=(×+2)(x+3).

運(yùn)用上述方法分解因式：

(l)×2+6×+8;

(2)x2-X-6；

(3)×2-5×y+6y2;

⑷請你結(jié)合上述的方法，對多項式X3-2χ2-3x進(jìn)行分解因式.

【能力提升】

由多項式的乘法：(×+a)(x+b)=×2+(a+b)×+ab,將該式從右到左使用，即可得到用"十字相乘法”進(jìn)行因式

分解的公式：

x2+(a÷b)x÷ab=(x÷a)(x÷b).

實例分解因式：x2÷5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3).

⑴嘗試分解因式：X2+6X+8;

(2)應(yīng)用請用上述方法解方程：X2—3x—4=0.

高中必備知識點2：提取公因式法與分組分解法

【典型例題】

閱讀下列因式分解的過程，再回答所提出的問題：

l+x+x(x+l)+x(x+l)2=(l+x)[l+x+x(x+1)]

=(l+x)2(l+x)

=(l÷x)3

⑴上述分解因式的方法是，共應(yīng)用了次.

⑵若分解1+X+X(X+1)+X(X+1)2+...+X(X+1)2004,則需應(yīng)用上述方法次，結(jié)果是,

⑶分解因式：l+x+x(x+l)+x(x+l)2+...+x(x+l)π(n為正整數(shù)).

【變式訓(xùn)練】

因式分解：

(l)16α2-4h2

(2)x3-2x2+x

(3)(a2-2b)2-(1-2b)2

【能力提升】

分解因式：

(l)-4ab-Qb2+IOb

(2)2(n—m)2—m(m—n)

(3)15y(α-Z?)2—3y(b—a)

(4)6(m—n)3—12(n—m)2

⑸產(chǎn)+3%÷l=0,求2/01。+6χ2009+2/008的值

高中必備知識點3：關(guān)于X的二次三項式aχ2+bx+c(a≠0)的因式分解

【典型例題】

因式分解：(χ2+2x)2—7(χ2+2x)-8

【變式訓(xùn)練】

分解因式：(%2-X)2+(χ2-%)-6.

【能力提升】

閱讀材料：

對于多項式x2+2σx+o2可以直接用公式法分解為(x+α)2的形式.但對于多項式x2+2αχ-3α2就不能直接用

公式法了，我們可以根據(jù)多項式的特點，在χ2+2αχ-3α2中先加上一項再減去這項，使整個式子的

值不變.

解題過程如下：

×2+2a×-3a2

=*2+2"—3。2+q2一￡72(第一步)

=χ2+20χ+02-02—3。2(第二步)

=(x+o)2-(20)2(第三步)

=（x+3Co（X—α）.（第四步）

參照上述材料，回答下列問題：

⑴上述因式分解的過程，從第二步到第三步，用到了哪種因式分解的方法（）

A.提公因式法B.平方差公式法

C.完全平方公式法D.沒有因式分解

（2）從第三步到第四步用到的是哪種因式分解的方法：；

⑶請你參照上述方法把m2-6mn+8n2因式分解.

"Λ4稼

1.對于：

①X2-4=(x-2)2；

②—九2+l=(χ+l)(l-χ);

③X3+2x-4=(x+2)2；

④;χ2-Jt+l=(gχτ).

其中因式分解正確的是()

A.①③B.②③C.①④D.②④

2.代數(shù)式42因式分解為(

A.(2m-π)(2m+π)B.4(m-π)(m+π)

C.(4加一〃D.(加一2/7)(/2+2/2)

3.若多項式5f+17x-12可因式分解為（x+α）（云+c）,其中。、b、C均為整數(shù)，則”c的值是（

A.1B.7C.11D.13

4.下列因式分解正確的是()

A.a(a-b)-b(a—b)=(Q—/?)(〃+/?)B.Cr—9b~=—(，—3力P

C.cr+4。力+4〃2=(Q+2?)~D.a~—ah+a=a(a-h)

5.已知∕?.A5C中，NC=90。，若BC=a,AC=b,AB=c,且/一〃人一勸2二。，則。：。：。二（

A.1:2:75B.2:1:75C.1:2:6D.2:1:73

6.下列多項式中，在實數(shù)范圍不能分解因式的是（）

A.X2+y2+2%+2）?B.X2+y^+2xy-2c.x2-y2+4x+4j,D.%2-γ2+4y-4

7.如圖，AABC中，AB=a,BC=2a,ZB=9Q,將AABC沿BC方向平移方個單位得3E∕F其中

A,8,C的對應(yīng)點分別是DE,F）,設(shè)Z）E交AC于點G,若AAOG的面積比ACEG的大8,則代數(shù)式

α（α-b）的值為（）

C.16D.-16

H999"+1999222+l

8.ha~999222+l則。與〃的大小關(guān)系為（）

999333+l

A.a>hB.a-bC.a<bD.無法確定

9.如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“神秘數(shù)如4=22-02,12=42

-22,20=62-42,因此4,12,20都是“神秘數(shù)'；則下面哪個數(shù)是"神秘數(shù)"（）

A.56B.60C.62D.88

10.某種產(chǎn)品的原料提價，因而廠家決定對產(chǎn)品進(jìn)行提價,現(xiàn)有3種方案：①第一次提價"2%,第二次提價〃%;

②第一次提價〃%,第二次提價加％；③第一次、第二次提價均為三一%.其中加和〃是不相等的正數(shù).

下列說法正確的是（）

A.方案①提價最多B.方案②提價最多

C.方案③提價最多D.三種方案提價一樣多

11.若?！?3,a+b=-?,則代數(shù)式/匕+的值等于—

12.若a-b=2,ab=?,則α%一2//+.

13.分解因式：X3-4xy2?.

14.邊長為。，b的長方形的周長為10,面積為5,則a?/;+,//的值為

15.已知x+y=5,xy=-l,則代數(shù)式dy+盯?的值為.

16.已知abc=?,a+b+c=2,a2+h2+c2=16,則---------1------------------1----------------的值是_______

ab+3c+3bc+3a+3ca+3b+3

,十…曲(x2—l)(j,^-1)(j2-l)(?2^1)(z?-1)(爐—1)

17.已知正頭數(shù)X,y,aZtYπ兩足：xy+yz+zx≠l,α且?---------------?+--------------------+--------------------=4.求

xyyzzx

111

一+一+一的值為____?

xyyzzx

18.已知F+22+32+..+〃2++那么22+42+6?++502=

22

19.通過計算幾何圖形的面積，可表示一些代數(shù)恒等式，如圖所示，我們可以得到恒等式：a+3ab+2h

21.已知若干張正方形和長方形硬紙片如圖1所示.

⑴若用1張邊長為a的正方形，2張邊長為b的正方形，3張邊長分別為a和b的長方形拼成一個新的長方

形(如圖2).請用兩種不同的方法計算圖2長方形的面積并根據(jù)你的計算結(jié)果可以得到怎樣的等式；

(2)請通過拼圖的方式畫出一個面積為2片+5出?+2〃的長方形示意圖，并寫出其因式分解的結(jié)果；

⑶在⑵的條件下，若拼成的長方形周長為66,圖1中小長方形的面積為24,則拼成的長方形面積是多少？

22.若一個正整數(shù)?？梢员硎緸棣?S+1)3—2),其中b為大于2的正整數(shù)，則稱。為"十字?jǐn)?shù)？b為a

的"十字點？例如28=(6+1)X(6-2)=7X4.

⑴"十字點"為7的"十字?jǐn)?shù)"為：130的"十字點"為；

(2)若b是。的“十字點7且。能被S-1)整除，其中b為大于2的正整數(shù)，求α的值；

⑶m的“十字點”為p,n的"十字點"為q,當(dāng)陽-〃=18時，求〃+4的值.

23.發(fā)現(xiàn)與探索：

⑴根據(jù)小明的解答將下列各式因式分解

小明的解答：6〃+5=∕-6α+9-9+5=(。-3)2—4=(a—5)(a—1)

①02一12“+20

(2)(α-l)2-8(6z-l)+7

@a2-6ab+5b2

(2)根據(jù)小麗的思考解決下列問題：

小麗的思考：代數(shù)式(α-3y+4無論。取何值(α-3)2都大于等于0,再加上4,則代數(shù)式(。-3)2+4大于

等于4,則(a—3)2+4有最小值為4.

①說明：代數(shù)式/一12a+20的最小值為一16.

②請仿照小麗的思考解釋代數(shù)式-(a+l)2+8的最大值為8,并求代數(shù)式—/+12a-8的最大值.

24.把下列多項式分解因式：

(l)a2+4ab+Ab2—ac—2bc

(2)ax2+bx1+hx+ax+cx2+ex

(3)c?！猙~_Y+)廣_2ay+2bx

25.如圖，將一張矩形紙板按圖中虛線裁剪成九塊，其中有兩塊是邊長都為m的大正方形，兩塊是邊長都

為n的小正方形，五塊是長為m,寬為n的全等小矩形，且〃?>〃.(以上長度單位：cm)

⑴觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式2，7+5〃?〃+2〃2可以因式分解，請寫出因式分解的結(jié)果;

(2)若每塊小矩形的面積為IOCm2，四個正方形的面積和為88cπ√，試求圖中所有裁剪線(虛線部分)長之和.

26.因式分解：

(1)—2Oa—15aX

(2)(“-3)--(2tz-6)

27.因式分解：

(l)mx+my；

(2)m2-6m+9-

⑶八/；

(4)9α2(x-y)+?2(y-x)

28.分解因式：

W-3ah2+27a

(2)(f+χ)2-8,+,+12

⑶9(m-2n)^-(/?+2n)~

29.用因式分解法解一元二次方程χ2-5χ=6,下列是排亂的解題過程：

①x+l=0或X-6=0,②χ2-5x-6=0,③Xl=-1,×2=6,④(x+l)(x-6)=0

⑴解題步驟正確的順序是;

⑵請用因式分解法解方程：(x+3XX-I)=12

3x2—4x+4

30.先化簡，再求值：(1---------)÷λ√λ,其中X=-3.

x+lx2-l

專題03一元二次方程

Z敢嫁述

1.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的推導(dǎo)是在求根公式的基礎(chǔ)上進(jìn)行.它深化了兩根的和與積同系數(shù)之間的關(guān)

系，是我們今后繼續(xù)研究一元二次方程根的情況的主要工具，必須熟記，為高中階段的使用打下基礎(chǔ).

2.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的探索與推導(dǎo)，向我們展示了認(rèn)識事物的一般規(guī)律，提倡積極思維，勇于探

索，鍛煉我們分析、觀察、歸納的能力及推理論證的能力.

3.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，中考考查的頻率較高，高考也常與幾何、二次函數(shù)等問題結(jié)合考查，是

考試的熱點，它是方程理論的重要組成部分.

4.韋達(dá)定理的原定理的功能是：若已知一元二次方程，則可寫出該方程的兩根之和的值及兩根之積的值.而

其逆定理的功能是：若已知一元二次方程的兩個根，可寫出這個方程.

A程要求

《初中課程要求》能熟練利用一元二次方程根的判別式去判斷根的個數(shù)，簡單地介

紹了韋達(dá)定理_________________________________________________

《高中課程要求》熟練掌握求根公式求根和對含參數(shù)判別式的處理能力，會靈活使

用韋達(dá)定理解決各種問題______________________________________

笈徂鼎■講

高中必備知識點1：根的判別式

我們知道，對于一元二次方程加+hx+C=O(O≠0),用配方法可以將其變形為

b2^-4QC

/b、2

F).①

4/

因為所以，4〃2>0.于是

(1)當(dāng)/-4αc>0時，方程①的右端是一個正數(shù)，因此，原方程有兩個不相等的實數(shù)根

-b±y∣b2-4ac

X[.2=-----------------------------;

2a

(2)當(dāng)從一4αc=0時，方程①的右端為零，因此，原方程有兩個等的實數(shù)根

h

X?=X2=—-；

2a

b

(3)當(dāng)從一4αc<0時，方程①的右端是一個負(fù)數(shù)，而方程①的左邊(X+—--定大于或等于零，因此，原方

2a

程沒有實數(shù)根.

由此可知，一元二次方程加+Zλr+c=O(存0)的根的情況可以由h2-4ac來判定，我們把〃2—4〃C叫做一

元二次方程加+?r+c=0m≠0)的根的判別式，通常用符號“△”來表示.

綜上所述，對于一元二次方程OX2+hx+c=0(α≠0),有

(1)當(dāng)A>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根

-b±y∣b2-4ac

Xl.2=---------------：

2a

(2)當(dāng)A=O時，方程有兩個相等的實數(shù)根

b

Xl=%2=———；

2〃

(3)當(dāng)AVO時，方程沒有實數(shù)根.

高中必備知識點2：根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)

若一元二次方程加+fer+c=03≠0)有兩個實數(shù)根

-b+y∣h2-4ac-h-y∣b2-4ac

則有

-b+y∣b2-4ac-b-y∣b2-4ac-2bb

X+X=------------------------H---------------------------=-------=——

102a2a2aa

-b+y∣b2-4ac—b—y∣b2-4acb2—(b2-4ac)4acc

x'X2=五亢=―—F二/

所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系：

be.

如果4Λ2+fex+c=0(4≠0)的兩根分別是X],X2,那么Xl+X2=-----,Xl也=—.這一關(guān)系也被稱為韋達(dá)定理.

aa

特別地，對于二次項系數(shù)為1的一元二次方程x2+px+q=0,若即，X2是其兩根，由韋達(dá)定理可知

X?+x2=-pfXvX2=q,

即P=—(汨+%2),q=X?'X2,

2

所以，方程χ2+pχ+q=o可化為X—(X1+X2)x+Xi?x2=0,由于Xi,X2是一元二次方程χ2+px+q=0的兩根,

所以，Xl,X2也是一元二次方程χ2-(χ]+χ2)x+Xl?X2=O?

"例劇折

高中必備知識點1：根的判別式

【典型例題】

關(guān)于％的一元二次方程一一(6一1)%+2m-1=0,其根的判別式為16,求m的值.

【變式訓(xùn)練】

已知關(guān)于X的一元二次方程Znx2-(m+2)x+2=0

(1)若方程的一個根為3,求m的值及另一個根；

(2)若該方程根的判別式的值等于1,求τn的值.

【能力提升】

方程(X-5)(2×-1)=3的根的判別式b2-4ac=_.

高中必備知識點2：根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)

【典型例題】

如果關(guān)于X的一元二次方程αχ2+bχ+c=O(α≠O)有兩個實數(shù)根，且其中一個根為另一個根的2倍，則稱這樣的

方程為“倍根方程

⑴請問一元二次方程χ2-6x+8=0是倍根方程嗎？如果是，請說明理由.

(2)若一元二次方程χ2+bx+c=O是倍根方程，且方程有一個根為2,求b、C的值.

【變式訓(xùn)練】

求方程X2-2x-2=0的根Xl,X2(X1>X2)，并求×I2+2×2的值.

【能力提升】

己知關(guān)于×的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0有兩根α,β

(1)求m的取值范圍；

(2)若a+B+aB=O.求m的值.

,對點晶稱

1.若直線y=n截拋物線y=χ2+bχ+c所得線段AB=4,且該拋物線與X軸只有一個交點，則C的值為()

A.-1B.2C.25D.4

2.若實數(shù)a(awθ)滿足a-b=3,a+fa+l<0,則方程aχ2+bx+l=0根的情況是()

A.有兩個相等的實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根

C.無實數(shù)根D.有兩個實數(shù)根

3.已知二次函數(shù)y=aχ2+bx+c的圖象與X軸交于(xι,0)、(x2,0)兩點，且0<xι<l,1<×2<2,與y軸交于

點(O,-2).下列結(jié)論：(T)2a+b>l;②3o+b>0;③Q-bV2；④GV-L其中正確結(jié)論的個數(shù)為(

A.4B.3C.2D.1

4.如圖，這是一個三角點陣，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中第一行有1個點，第二行有2個點…第〃行

有〃個點…，前〃行的點數(shù)和不能是以下哪個結(jié)果()

A.741B.600C.465D.300

5.如圖，二次函數(shù)y=0χ2+區(qū)+c(α≠0)的圖象與X軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,且0C=20B

則下列結(jié)論：①abc<0;(2)a+b+c>0;③ac—?+4=0；④OAOB=--,其中正確的結(jié)論

a

有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

42

6.對于函數(shù)y=x"+?√",我們定義y'=∕u"T+〃優(yōu)”“(加，〃為常數(shù)).例如：y=χ+χ,貝IJ

>'=4d+2x.已知：y=^x3