高中數(shù)學(xué)北師大版練習(xí)第五章1-1利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在性

第五章函數(shù)應(yīng)用§1方程解的存在性及方程的近似解1．1利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在性水平11．函數(shù)f(x)＝x2的零點(diǎn)是(0，0).()2．函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，則f(x)在(a，b)內(nèi)有唯一一個(gè)零點(diǎn)．()3．若f(x)在[a，b]上為單調(diào)函數(shù)，且f(a)·f(b)<0，則f(x)在(a，b)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．()4．若函數(shù)y＝f(x)在(a，b)上f(a)·f(b)＞0，則在區(qū)間(a，b)內(nèi)一定沒有零點(diǎn)．()5．若f(x)在(a，b)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則f(a)·f(b)<0．()【解析】1.提示：×.函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，是一個(gè)實(shí)數(shù)．2．提示：×.在(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．3．√4．提示：×.如函數(shù)f(x)＝(x－1)2在區(qū)間(0，2)上有f(0)·f(2)＞0，但是在區(qū)間(0，2)上有零點(diǎn)1.5．提示：×.如函數(shù)f(x)＝(x－1)2在區(qū)間(0，2)上只有零點(diǎn)1，但是f(0)·f(2)＞0.·題組一求函數(shù)零點(diǎn)、判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間1．函數(shù)f(x)＝3x－2的零點(diǎn)為()A．log32 B．3eq\s\up6(\f(1,2))C．2eq\s\up6(\f(1,3)) D．log23【解析】選A.由f(x)＝3x－2＝0，得3x＝2，即x＝log32.2．函數(shù)f(x)＝log2x－eq\f(3,x)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)【解析】選C.由題意，f(2)＝1－eq\f(3,2)＝－eq\f(1,2)<0，f(3)＝log23－1>0，所以f(2)·f(3)<0，所以函數(shù)f(x)＝log2x－eq\f(3,x)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是(2，3).3．函數(shù)f(x)＝ln2x－3lnx＋2的零點(diǎn)是()A．(e，0)或(e2，0) B．(1，0)或(e2，0)C．(e2，0) D．e或e2【解析】選D.f(x)＝ln2x－3lnx＋2＝(lnx－1)(lnx－2)，由f(x)＝0得x＝e或x＝e2，而函數(shù)零點(diǎn)指的是曲線與坐標(biāo)橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．4．(多選)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋lnx，x>0))的零點(diǎn)是()A．1 B．－3C．e2 D．3【解析】選BC.當(dāng)x≤0時(shí)，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；當(dāng)x>0時(shí)，令－2＋lnx＝0，解得x＝e2.所以函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0,－2＋lnx，x>0))的零點(diǎn)為－3和e2.5．方程log3x＋x＝3的解所在的區(qū)間為()A．(0，2) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)【解析】選C.令f(x)＝log3x＋x－3，則f(1)＝log31＋1－3＝－2<0，f(2)＝log32＋2－3＝log3eq\f(2,3)<0，f(3)＝log33＋3－3＝1>0，f(4)＝log34＋4－3＝log312>0，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(2，3)，所以方程log3x＋x＝3的解所在的區(qū)間為(2，3).6．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)lnx＋x－2的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1)) B．(1，2)C．(e，3) D．(2，e)【解析】選B.因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?0，＋∞)，是單調(diào)增函數(shù)，又f(1)＝0－1<0，f(2)＝eq\f(1,2)ln2>0，故有f(1)·f(2)<0，所以函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間是(1，2).·題組二判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)1．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(x)－x的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A．0B．1C．2D．3【解析】選B.令f(x)＝0，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x－x＝0，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x＝x，畫出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x，y＝x的圖象如圖所示，由圖可知，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x，y＝x的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，即f(x)＝0有一個(gè)零點(diǎn)．2．函數(shù)f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．1B．2C．3D．4【解析】選B.易知函數(shù)f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)?方程|log0.5x|＝eq\f(1,2x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的根的個(gè)數(shù)?函數(shù)y1＝|log0.5x|與y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示，可知兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．3．已知0<a<1，則函數(shù)y＝a|x|－|logax|的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A．1B．2C．3D．4【解析】選B.函數(shù)y＝a|x|－|logax|(0<a<1)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即方程a|x|＝|logax|(0<a<1)的根的個(gè)數(shù)，也就是函數(shù)f(x)＝a|x|(0<a<1)與g(x)＝|logax|(0<a<1)的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．畫出函數(shù)f(x)＝a|x|(0<a<1)與g(x)＝|logax|(0<a<1)的圖象，如圖所示，觀察可得函數(shù)f(x)＝a|x|(0<a<1)與g(x)＝|logax|(0<a<1)的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2，從而函數(shù)y＝a|x|－|logax|的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.4．函數(shù)f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．4 B．3C．2 D．1【解析】選D.方法一：因?yàn)閒(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(2)＝4＋lg3－2＝2＋lg3>0，所以f(x)在(0，2)上必定存在零點(diǎn)．又顯然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上為增函數(shù)，故f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．方法二：如圖，在同一坐標(biāo)系中，作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的圖象．由圖知，g(x)＝lg(x＋1)和h(x)＝2－2x的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一個(gè)零點(diǎn)．·題組三由函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍1．若函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a∈R)在區(qū)間(1，2)上有零點(diǎn)，則a的值可能是()A．－2 B．0C．1 D．3【解析】選A.f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a∈R)的圖象在(1，2)上是連續(xù)不斷的，逐個(gè)選項(xiàng)代入驗(yàn)證，當(dāng)a＝－2時(shí)，f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝2－1＝1>0.故f(x)在區(qū)間(1，2)上有零點(diǎn)，同理，其他選項(xiàng)不符合．2．若關(guān)于x的函數(shù)f(x)＝x2＋(m－2)x＋2m－1在(0，1)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．【解析】已知函數(shù)f(x)＝x2＋(m－2)x＋2m－1在區(qū)間(0，1)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)Δ＝0時(shí)，(m－2)2－4(2m－1)＝0，解得m＝6±2eq\r(7)，若m＝6＋2eq\r(7)，方程的根為x＝eq\f(2－m,2)＝eq\f(2－6－2\r(7),2)＝－2－eq\r(7)?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1))，舍去；當(dāng)m＝6－2eq\r(7)，方程的根為x＝eq\f(2－m,2)＝eq\f(2－6＋2\r(7),2)＝eq\r(7)－2∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1))，符合題意；當(dāng)Δ>0時(shí)，(m－2)2－4(2m－1)>0，解得m<6－2eq\r(7)或m>6＋2eq\r(7)，由題可得f(0)f(1)<0，所以(2m－1)(1＋m－2＋2m－1)<0，解得eq\f(1,2)<m<eq\f(2,3)，又當(dāng)f(0)＝0時(shí)，m＝eq\f(1,2)，此時(shí)方程另一根為x＝eq\f(5,2)?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1))，舍去；當(dāng)f(1)＝0時(shí)，m＝eq\f(2,3)，此時(shí)方程另一根為x＝eq\f(1,3)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1))，符合題意，綜上所述：實(shí)數(shù)m的取值范圍是eq\f(1,2)<m≤eq\f(2,3)或m＝6－2eq\r(7).答案：eq\f(1,2)<m≤eq\f(2,3)或m＝6－2eq\r(7)3．若函數(shù)f(x)＝|2x－2|－b有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是________．【解析】令|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b，由題意可知，函數(shù)y＝|2x－2|與y＝b的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象(如圖所示)可知，0<b<2.答案：(0，2)易錯(cuò)點(diǎn)一因“望文生義”而致誤函數(shù)f(x)＝x2－3x＋2的零點(diǎn)是()A．(1，0)B．(2，0)C．(1，0)，(2，0)D．1，2【解析】選D.由f(x)＝x2－3x＋2＝0得，x＝1和2.【易錯(cuò)誤區(qū)】錯(cuò)誤的原因是沒有理解零點(diǎn)的概念，“望文生義”，認(rèn)為零點(diǎn)就是一個(gè)點(diǎn)．而函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)，既是f(x)＝0成立的實(shí)數(shù)x，也是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．易錯(cuò)點(diǎn)二因忽略區(qū)間端點(diǎn)而致誤已知二次函數(shù)f(x)＝x2－(m－1)x＋2m在[0，1]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．【解析】(1)當(dāng)方程x2－(m－1)x＋2m＝0在[0，1]上有兩個(gè)相等實(shí)根時(shí)，Δ＝(m－1)2－8m＝0且0<eq\f(m－1,2)<1，此時(shí)無解．(2)當(dāng)方程x2－(m－1)x＋2m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根時(shí)，有且只有一根在[0，1]上時(shí)，①當(dāng)只有一個(gè)根在[0，1]上時(shí)，有f(0)·f(1)<0，即2m(m＋2)<0，解得－2<m<0.②當(dāng)f(0)＝0時(shí)，m＝0，f(x)＝x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－1，合題意．③當(dāng)f(1)＝0時(shí)，m＝－2，方程可化為x2＋3x－4＝0，解得x1＝1，x2＝－4，合題意．綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為[－2，0].答案：[－2，0]【易錯(cuò)誤區(qū)】錯(cuò)解的原因是只注意到函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，而忽略問題的其它形式：①在[0，1]上有二重根；②終點(diǎn)的函數(shù)值可能為0.所以在求參數(shù)時(shí)，要注意將函數(shù)零點(diǎn)的特殊性質(zhì)與函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)相結(jié)合，進(jìn)行分類討論使復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化．水平1、2限時(shí)30分鐘分值60分戰(zhàn)報(bào)得分______一、選擇題(每小題5分，共30分)1．(多選)下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且存在零點(diǎn)的是()A．y＝x3＋x B．y＝log2xC．y＝2x2－3 D．y＝x|x|【解析】選AD.A中，y＝x3＋x為奇函數(shù)，且存在零點(diǎn)x＝0，與題意相符；B中，y＝log2x為非奇非偶函數(shù)，與題意不符；C中，y＝2x2－3為偶函數(shù)，與題意不符；D中，y＝x|x|是奇函數(shù)，且存在零點(diǎn)x＝0，與題意相符．2．函數(shù)f(x)＝2x＋log2x－3的零點(diǎn)所在區(qū)間為()A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)【解析】選B.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝2x＋log2x－3在定義域上為增函數(shù)．又f(1)＝2＋log21－3＝－1<0，f(2)＝22＋log22－3＝5－3＝2>0，所以f(1)·f(2)<0，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理知，f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間為(1，2).3．函數(shù)f(x)＝(2x－2)·ln(x－2)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3【解析】選B.函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x>2}，令(2x－2)·ln(x－2)＝0，因?yàn)?x－2>0，可得ln(x－2)＝0，解得x＝3.所以函數(shù)的零點(diǎn)只有1個(gè)．【易錯(cuò)警示】本題容易出現(xiàn)忽視定義域的錯(cuò)誤，誤認(rèn)為零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.4．(多選)函數(shù)f(x)＝|x2－4x|－m恰好有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則m的值可以是()A．5 B．4 C．2 D．0【解析】選AD.由f(x)＝0可得m＝|x2－4x|，作出y＝|x2－4x|的函數(shù)圖象如圖所示：因?yàn)閒(x)恰好有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以直線y＝m與y＝|x2－4x|的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以m＝0或m>4.【變式備選】已知函數(shù)f(x)=mx2+2x1有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________.

【解析】當(dāng)m=0時(shí),零點(diǎn)為x=QUOTE,滿足題意.當(dāng)m≠0時(shí),Δ=4+4m≥0,解得m>0或1≤m<0,設(shè)x1,x2是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn),則x1+x2=QUOTE,x1x2=QUOTE.若m=1,函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)1,滿足題意;若1<m<0,則x1,x2均為正數(shù),不符合題意,舍去;若m>0,則x1,x2一正一負(fù),滿足題意.綜上,實(shí)數(shù)m的取值范圍是{1}∪[0,+∞).答案:{1}∪[0,+∞)5．若函數(shù)f(x)＝x2－ax＋b的兩個(gè)零點(diǎn)是2和3，則函數(shù)g(x)＝bx2－ax－1的零點(diǎn)是()A．－1和eq\f(1,6) B．1和－eq\f(1,6)C．eq\f(1,2)和eq\f(1,3) D．－eq\f(1,2)和eq\r(3)【解析】選B.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x2－ax＋b的兩個(gè)零點(diǎn)是2和3，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＋3＝a，,2×3＝b，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝6，))所以g(x)＝6x2－5x－1，所以g(x)的零點(diǎn)為1和－eq\f(1,6).6．(多選)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2，x∈（－∞，0）,lnx，x∈（0，1）,－x2＋4x－3，x∈[1，＋∞）))，若函數(shù)g(x)＝f(x)－m恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m可以是()A．－1 B．0 C．1 D．2【解析】選ABC.畫出函數(shù)f(x)的圖象，x∈[1，＋∞)時(shí)，f(x)＝－(x－2)2＋1.若函數(shù)g(x)＝f(x)－m恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m＝1或m≤0.因此m可以為－1，0，1.二、填空題(每小題5分，共20分)7．函數(shù)f(x)＝log2x＋3x－k的零點(diǎn)所在的區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))，則k的取值范圍是________．【解析】f(1)＝3－k，f(2)＝1＋9－k＝10－k，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))，由零點(diǎn)存在定理可知f(1)f(2)＝(3－k)(10－k)<0，解得3<k<10.答案：3<k<108．已知函數(shù)f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零點(diǎn)依次為a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系是________.【解析】畫出函數(shù)y＝3x，y＝log3x，y＝－x，y＝－2的圖象，如圖所示：觀察圖象可知，函數(shù)f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零點(diǎn)依次是點(diǎn)A，B，C的橫坐標(biāo)，由圖象可知a＜b＜c.答案：a＜b＜c9．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,lnx，x＞0，))g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是________．【解析】函數(shù)g(x)＝f(x)＋x＋a存在2個(gè)零點(diǎn)，即關(guān)于x的方程f(x)＝－x－a有2個(gè)不同的實(shí)根，即函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝－x－a有2個(gè)交點(diǎn)，作出直線y＝－x－a與函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示：由圖可知，－a≤1，解得a≥－1答案：[－1，＋∞)作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示：,y＝f(f(x)＋m)有四個(gè)零點(diǎn)，,所以f(x)＝－2－m，f(x)＝1－m各有兩個(gè)根，,所以\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1<－2－m≤4，,－1<1－m≤4，)),解得－3≤m<－1.答案：[－3，－1))10．奇函數(shù)f(x)，偶函數(shù)g(x)的圖象分別如圖(1)，(2)所示，函數(shù)f(g(x))，g(f(x))的零點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為m，n，則m＋n＝________．圖(1)圖(2)【解析】由題干中函數(shù)圖象知f(±1)＝0，f(0)＝0，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(3,2)))＝0，g(0)＝0，g(±2)＝1，g(±1)＝－1，所以f(g(±2))＝f(1)＝0，f(g(±1))＝f(－1)＝0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(3,2)))))＝f(0)＝0，f(g(0))＝f(0)＝0，所以f(g(x))有7個(gè)零點(diǎn)，即m＝7.又g