2023年初中數學九年級數學上冊第二單元《一元二次方程》測試(包含答案解析)

一、選擇題

I.某產品成本價為100萬元，由于改進技術，成本連續(xù)降低，每次降低X%,連續(xù)兩次降

低后成本為64萬元，則X的值為（）

A.10B.15C.18D.20

2.已知關于x的一元二次方程x2+4x—女=0,當-4〈女＜0時，該方程解的情況是

（）

A.有兩個不相等的實數根B.沒實數根

C.有兩個相等的實數根D.不能確定

3.為切實解決群眾看病貴的問題，藥監(jiān)部門對藥品價格進行了兩次下調.某種藥品原價為

250元/瓶，經兩次下調后價格變?yōu)?60元/瓶，該藥品平均每次降價的百分率為（）

A.10%B.15%c.20%D.25%

4.我國古代數學家趙爽（公元3~4世紀）在其所著的《勾股圓方圖注》中記載過一元二

次方程（正根）的幾何解法.以方程x2+2x-35=0即x（x+2）=35為例說明，記載的

方法是：構造如圖，大正方形的面積是（X+%+2）2.同時它又等于四個矩形的面積加上中

間小正方形的面積，即4x35+22,因此x=5.則在下面四個構圖中，能正確說明方程

x2—3x—10=0解法的構圖是（）

5.關于x的方程G—2）（x+3）=a2（a為常數）的根的情況，下列結論中正確的是

（）

A.兩個正根B.兩個負根C.一個正根一個負根D.無實數根

6.某企業(yè)通過改革，生產效率得到了很大的提高，該企業(yè)一月份的營業(yè)額是1000萬元，

月平均增長率相同，第一季度的總營業(yè)額是3390萬元.若設月平均增長率是X,那么可列

出的方程是（）

A.1000(1+x)2=3390B.1000+1000(1+x)+1000(1+x)2=

3390

C.1000(l+2x)=3390D.1000+1000(1+x)+1000(l+2x)=

3390

7.下列說法不正確的是()

A.打開電視劇，電視里播放《小豬佩奇》是偶然事件

B.了解一批燈泡的使用壽命，適合抽樣調查

C.一元二次方程x2—2x+l=o只有一個根

D.甲、乙兩人在相同條件下各射擊10次，他們的成績平均數相同，方差分別是

用=0.36,S2=0.54,甲的射擊成績穩(wěn)定

8.在疫情期間，口罩的需求量急劇上升某口罩生產企業(yè)四月份生產了口罩200000只，如

果要在第二季度總共生產728000只口罩，設生產口罩月平均增長的百分率為x,則可根據

題意列出的方程是()

A.200000(1段>=728000

B.200000(l+x>=728000

C.200000(1+x)+200000(1+x>=728000

D.200000+200000(l+x)+200000(l+x>=728000

9.在下列方程中，有一個方程有兩個實數根，且它們互為相反數，這個方程是()

A.x-l=oB.X2+X=OC.%2-1=0D.X2+1=O

10.若關于x的方程0X2-2優(yōu)+1=0的一個根是一1,則。的值是()

11.★在RtZ!\ABC中，ZC=90°,a,b,c分別是NA,ZB,NC的對邊，a,b是關于x

的方程X2—7x+c+7=0的兩根，那么AB邊上的中線長是()

35

A.-B.-C.5D.2

22

12.若關于x的一元二次方程x2+x—3m+l=0有兩個實數根，則m的取值范圍是()

1111

A.m>—B./7?<-C.m>—D.m<—

4444

二、填空題

11

13.已知m,O是方程—2x—1=0的兩實數根，則一+—=.

mn

14.方程X2—6x+4=0的兩個實根分別為q,x?，那么5%一\一己的值為-

15.一個等腰三角形的腰和底邊長分別是方程X2-8X+12=0的兩根，則該等腰三角形的

周長是.

16.若關于x的一元二次方程x2-2kx+k2-k+l=O有兩個不相等的實數根，則實數k的取

值范圍是

17.已知x=2是方程x2+bx-2=0的一個根，則方程的另一個根為_.

18.已知m為一元二次方程x2-3x-2020=0的一個根，則代數式2m2-6m+2的值為

19.方程伏-1)x2-+2=O有兩個實數根，則k的取值范圍是______.

4

20.關于*的方程x2+10x+9=0的實數根為.

三、解答題

21.某商店經銷一種成本為每千克20元的水產品，據市場分析，若按每千克30元銷售，

一個月能售出500依，銷售單價每漲1元，月銷售量就減少1。依，解答以下問題.

(1)當銷售單價定為每千克35元時，銷售量是一千克、月銷售利潤是一元；

(2)商店想在月銷售成本不超過6000元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，銷售

單價應為多少？

22.解下列方程：2x(x-l)=3(x-l)

23.某住宅小區(qū)在住宅建設時留下一塊1248平方米的空地，準備建一個矩形的露天游泳

池，設計如圖所示，游泳池的長是寬的2倍，在游泳池的前側留一塊5米寬的空地，其它

三側各保留2米寬的道路及1米寬的綠化帶.請你計算出游泳池的長和寬.

Ifn

=1m

Im

24.閱讀材料：若X2-2xy+2y2-8)，+16=0,求x,y的值.

解：...X2—2孫+2y2—8>+16=0

()()

vx2-2xy+y27+yi-8y+167=0

Q-y)+§-J=0

1''Q-))=0,(y-4,=0

y=4,x=4

根據上述材料，解答下列問題：

(1)m2-Imn+2?2-2n+1=0?求2m+”的值；

(2)a-h=6,ab+c2-4c+13=0,求”+b+c的值.

25.在△ABC中，8c=2,48=2喬，AC=b,且關于x的方程x2-4x+b=0有兩個相等的

實數根，求AC邊上的中線長及NA的度數.

26.某旅游景區(qū)今年9月份游客人數比8月份增加了44%,10月份游客人數比9月份增

加了69%,求該旅游景區(qū)9,10兩個月游客人數的平均增長率.

【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除

一、選擇題

1.D

解析：D

【分析】

設平均每次降低成本的百分率為X%的話，經過第一次下降，成本變?yōu)?00(1-x%)元，再

經過一次下降后成本變?yōu)?00(1-x%)(l-x%)元，根據兩次降低后的成本是64元列方程

求解即可.

【詳解】

解：設平均每次降低成本的百分率為x%,根據題意得100(1-x%)(1-x%)=64,

解得x=20或180(不合題意，舍去)

故選：D.

【點睛】

考查了一元二次方程的應用的知識，是一道典型的數量調整問題，數量上調或下調X%后就

變?yōu)樵瓉淼?1士X%)倍，調整2次就是(l±x%)2倍.

2.A

解析：A

【分析】

計算根的判別式，根據k的范圍，判斷判別式的屬性，根據性質求解即可.

【詳解】

解：,一元二次方程心+4x-%=0,

,,1△=6-4ac=42+4k=16+4k,

-4<k<Q,

一16<4〃<0,

16+4k>0,

△>0,

原方程有兩個不相等的實數根，

故選A.

【點睛】

本題考查了一元二次方程根的判別式，熟記公式，并根據字母范圍確定判別式的屬性是解

題的關鍵.

3.C

解析：C

【分析】

設該藥品平均每次降價的百分率為X,根據題意列方程求解即可.

【詳解】

解：設該藥品平均每次降價的百分率為X,根據題意得，

250(1-x)2=160,

解得，x『0.2,x2=1.8(舍去)，

答：該藥品平均每次降價的百分率為20%；

故選：C.

【點睛】

本題考查了一元二次方程的應用一增長率(或下降率)問題，解題關鍵是熟知增長率(或

下降率)問題的數量關系，結合題意列方程.

4.C

解析：C

【分析】

根據題意，畫出方程X2-3X-10=0,即x(x-3)=10的拼圖過程，由面積之間的關系可得出答

案.

【詳解】

解：方程x2-3x-10=0,即x(x-3)=10的拼圖如圖所示；

中間小正方形的邊長為x-(x-3)=3,其面積為9,

大正方形的面積：(x+x-3)2=4x(x-3)+9=4x10+9=49,其邊長為7,

因此，C選項所表示的圖形符合題意，

故選：C.

【點睛】

本題考查完全平方公式的幾何背景，通過圖形直觀，得出面積之間的關系，并用代數式表

示出來是解決問題的關鍵.

5.C

解析：C

【分析】

先將方程整理為一般形式，計算△>(),得到方程有兩個不相等的實數根，再根據兩根之

積為負數即可求解.

【詳解】

解：整理關于x的方程(*-2)(犬+3)=。2得

元2+%—6—。2=0,

A=12-4xlx-6-(22Z=25+4^2>0,

???方程有兩個不相等的實數根，

XX=:6—嚴<0,

?21

A方程了兩個根一正一負.

故選？C

【點睛】

本題考查了一元二次方程根的判別式和根與系數的關系，熟知兩個知識點是解題關鍵，注

意在討論一元二次方程根與系數的關系時首先要注意確保方程有實根.

6.B

解析：B

【分析】

月平均增長的百分率是X,則該超市二月份的營業(yè)額為1000(1+x)萬元，三月份的營業(yè)額

為1000(l+x)2萬元，根據該超市第一季度的總營業(yè)額是3990萬元，即可得出關于x的

一元二次方程，此題得解.

【詳解】

解：設月平均增長的百分率是X,則該超市二月份的營業(yè)額為1000(1+x)萬元，三月份的

營業(yè)額為1000(1+x)2萬元，

依題意,得1000+1000(1+x)+1000(1+x)2=3990.

故選：B.

【點睛】

本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解

題的關鍵.

7.C

解析:C

【分析】

根據必然事件和偶然事件，抽樣調查和普查，一元二次方程跟的判別式和方差依次判斷即

可.

【詳解】

解：A.打開電視劇，電視里播放《小豬佩奇》是偶然事件，正確，不符合題意；

B.了解一批燈泡的使用壽命，適合抽樣調查，正確，不符合題意；

C.一元二次方程x2—2x+l=0中，△=82—4ac=4—4=0,有兩個相等的實數根，故

原說法錯誤，符合題意；

D.甲、乙兩人在相同條件下各射擊10次，他們的成績平均數相同，方差分別是

52=0.36,S2=0.54,甲的射擊成績穩(wěn)定，正確，不符合題意；

故選：C.

【點睛】

本題考查必然事件和偶然事件，抽樣調查和普查，一元二次方程跟的判別式和方差，注意

當A=0時，一元二次方程有兩個相等的實數根.

8.D

解析：D

【分析】

根據題意生產口罩月平均增長的百分率為x,四月份生產了口罩200000只，第二季度總共

生產728000只口罩，由此列出方程即可.

【詳解】

解：設生產口罩月平均增長的百分率為工,

?-?四月份生產了口罩200000只,

???五月份生產了口罩200000(1+x)只，

六月份生產了口罩200000(1+X)2只，

又一在第二季度四、五、六3個月總共生產了728000只口罩，

???列式為：200000+200000(l+x)+200000(1+x)2=728000.

故選：D.

【點睛】

此題考查一元二次方程的實際應用問題，屬于增長率問題，根據題意列出等式是解決本題

的關鍵.

9.C

解析：C

【分析】

根據題意一次項系數為0且△>0判斷即可.

【詳解】

解：A、x-l=0是一次方程，方程有一個實數根，故選項不合題意；

B、1?方程兩根互為相反數和為0,一次項的系數為1,故選項不合題意：

C、△xo-4xlx(-1)=4>0,且一次項系數為0,故此選項符合題意；

D、???A=0-4xlxl=-4<0,故此選項不合題意.

故選：C.

【點睛】

本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(axO)的根與系數的關系：若方程的兩根為％,x2.

hc

則X]+X2=--，X.x=-,也考查了一元二次方程的根的判別式.

12a12a

10.C

解析：C

【分析】

根據方程根的定義，回代原方程中，解關于a的方程求解即可.

【詳解】

x的方程以2-2依+1=0的一個根是—1,

??nx(-l)2—2xax(-l)+1=0,

1

解得a=-g,

故選C.

【點睛】

本題考查了一元二次方程的根，熟記根的定義是解題關鍵.

11.B

解析：B

【分析】

由于a、b是關于x的方程x2-7x+c+7=0的兩根，由根與系數的關系可知：a+b=7,ab

=c+7；由勾股定理可知：ai+b2=C2,則Q+〃>-2ab=c2,即49-2(c+7)=C2,

由此求出c,再根據直角三角形斜邊中線定理即可得中線長.

【詳解】

解：:a、b是關于x的方程x2-7x+c+7=0的兩根，

???根與系數的關系可知：a+b=7,ab=c+7；

由直角三角形的三邊關系可知：。2+從二。2,

則Q+。)2-lab=C2,

即49-2(c+7)=C2,

解得：c=5或-7(舍去)，

5

再根據直角三角形斜邊中線定理得：中線長為2.

故選：B.

【點睛】

本題考查三角形斜邊中線長定理及一元二次方程根與系數的關系運用，勾股定理的運用，

一元二次方程的解法的運用，解答時運用一元二次方程的根與系數的關系建立方程是關

鍵.

12.C

解析：C

【分析】

關于x的一元二次方程4+》一3%+1=0有兩個實數根，即判別式△=6-4〃20,即可

得到關于m的不等式，從而求得m的范圍；

【詳解】

關于X的一兀二次方程X2+X-3/77+1=0有兩個實數根，

/.A=12-4xlx(-3/n+l^>o,

1

解得：m>—,

4

故選：C.

【點睛】

本題考查了根的判別式，用到的知識點是一元二次方程根的情況與判別式△的關系，正確

掌握根與判別式的關系是解題的關鍵.

二、填空題

13.-2【分析】由根與系數的關系可得出m+n=2mn=-l將其代入中即可求出

結論【詳解】解：；mn是方程x2-2x-l=0的兩實數根，m+n=2mn=-l.'.=

=-2故答案為：-2【點睛】本題考查了根與系

解析：-2

【分析】

11m+n

由根與系數的關系可得出m+n=2、mn=-l,將其代入一+-=-----中，即可求出結

mnmn

論.

【詳解】

解：rm,n是方程X2-2x-l=0的兩實數根，

m+n=2,mn=-l,

.1+1_m+n2

mnmn-1

故答案為：-2.

【點睛】

bc

本題考查了根與系數的關系，牢記兩根之和等于-一、兩根之積等于一是解題的關鍵.

aa

14.【分析】根據根與系數的關系求出X1+X2和的值然后代入計算即可【詳

解】???方程的兩個實根分別為??.xl+x2==:.=-(xl+x2)=-2故答案為：-21點

睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0

解析：-2

【分析】

根據根與系數的關系求出A+x,和x的值，然后代入計算即可.

1212

【詳解】

方程x2-6x+4=0的兩個實根分別為,',

.一6一4

Xl+X2=-Y=6>"J無2=1=4，

xx-x-x=xx.(x+x)=-2

12121212?

故答案為：-2

【點睛】

本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(axO)根與系數的關系，若x1，X2為方程的兩個根，

rbc

則X+x=—-，X=—.

12a12a

15.14【分析】運用因式分解法解一元二次方程求出兩根因為三角形是等腰三

角形分情況討論：腰為2時和腰為6時再利用三角形三邊關系驗證是否符合題

意即可求出周長；【詳解】解：(x-2)(x-6)=0xl=2x2

解析：14

【分析】

運用因式分解法解一元二次方程，求出兩根，因為三角形是等腰三角形，分情況討論：腰

為2時和腰為6時，再利用三角形三邊關系驗證是否符合題意，即可求出周長；

【詳解】

解:%2-8x+12=0,

(x-2)(x-6)=0,

X]=2,乂2=6,

當腰長為2時，三角形的三邊為2,2,6,不符合三角形的三角關系，舍去；

當腰長為6時，三角形的三邊關系為6,6,2,符合三角形的三角關系，

則周長為：6+6+2=14,

故答案為：14.

【點睛】

本題考查因式分解解一元二次方程和三角形的三邊關系，求解后驗三角形的三邊關系是解

題的關鍵.

16.k>l【分析】根據方程有兩個不相等的實數根可得^=(2k)2-4(k2-

k+1)>0求出k的取值范圍【詳解】解：???原方程有兩個不相等的實數根△

=b2-4ac=(2k)2-4(k2-k+1)=4k-

解析：k>l

【分析】

根據方程有兩個不相等的實數根可得^=(2k)2-4(k2-k+l)>0,求出k的取值范圍.

【詳解】

解：.?.原方程有兩個不相等的實數根，

△=匕2-4ac—(2k)2-4(k2-k+1)—4k-4>0,

解得k>l；

故答案為：k>l.

【點睛】

本題考查了一元二次方程axz+bx+c=0(。工0)的根與A=b2-4ac有如下關系：①當A>0

時，方程有兩個不相等的實數根；②當△=()時，方程有兩個相等的實數根；③當△<()

時，方程無實數根.

17.【分析】利用一元二次方程的根與系數的關系定理中的兩根之積計算即可

【詳解】設方程的另一個根為x；是方程的一個根丁.根據根與系數關系定理得

2x=-2解得x=-l故答案為：x=-l【點睛】本題考查了已知一元

解析：x=-l.

【分析】

利用一元二次方程的根與系數的關系定理中的兩根之稅計算即可.

【詳解】

設方程舉+法―2=0的另一個根為X,

尤=2是方程舉+歷^一2=0的一個根，

二根據根與系數關系定理，得2x=-2,

解得x=-l,

故答案為：x=-l.

【點睛】

本題考查了已知一元二次方程的一個根求另一個根，熟練運用一元二次方程根與系數的關

系定理，選擇合適的計算方式是解題的關鍵.

18.4042【分析】由題意可得m2-3m=2020進而可得2m2—6m=4040然后整

體代入所求式子計算即可【詳解】解：?「m為一元二次方程x2—3x—2020=0的

一個根m2-3m-2020=0.\m2

解析:4042

【分析】

由題意可得m2-3m=2020,進而可得2m2—6m=4040,然后整體代入所求式子計算即可.

【詳解】

解：,rm為一元二次方程X2—3X—2020=0的一個根，

?*,m2—3m—2020=0,

m2—3m=2020,

2m2—6m=4040,

*e-2m2—6m+2=4040+2=4042.

故答案為：4042.

【點睛】

本題考查了一元二次方程的解和代數式求值，熟練掌握基本知識、靈活應用整體思想是解

題的關鍵.

19.【分析】由方程有兩個實數根可得方程為一元二次方程可得：且解不等式

組可得答案【詳解】解：由已知方程可知：?.?方程有兩個實數根???解得：???二?

故答案為：【點睛】本題考查的是二次根式有意義的條件一元二次方程的定

解析：上＜1

【分析】

伙W1

由方程有兩個實數根，可得方程為一元二次方程，可得：20且勺，解不等式組

可得答案.

【詳解】A

解：由已知方程可知：a=k_T,b=《l_k,c=；,

4

???方程有兩個實數根，

-b2-4ac--2k+2>0,

解得：kWl,

k彳1

l-^>0

k<1,

故答案為：k<\.

【點睛】

本題考查的是二次根式有意義的條件，一元二次方程的定義，一元二次方程根的判別式，

掌握以上知識列不等式組求參數的范圍是解題的關鍵.

20.【分析】利用因式分解法解方程【詳解】解：(x+1)(x+9)

=0「.x+l=0x+9=0.?.故答案為：【點睛】此題考查解一元二次方程掌握解方程的方

法：直接開平方法公式法配方法因式分解法根據每個一元二次方

解析：q=T，匕=-9

【分析】

利用因式分解法解方程.

【詳解】

解：x2+10x+9=0

(x+1)(x+9)=0

x+l=0,x+9=0,

/.x=-1,x=-9

12

故答案為：q=T,5=-9.

【點睛】

此題考查解一元二次方程，掌握解方程的方法：直接開平方法、公式法、配方法、因式分

解法，根據每個一元二次方程的特點選用恰當的解法是解題的關鍵.

三、解答題

21.(1)450,6750；(2)銷售單價應為60元/千克.

【分析】

(1)根據題意直接計算得出即可；

(2)銷售成本不超過6000元，即進貨不超過6000+20=300kg.根據利潤表達式求出當利

潤是8000時的售價，從而計算銷售量，與進貨量比較得結論.

【詳解】

解：(1)銷售量：500-5x10=450(kg)；

銷售利潤：450x(35-20)=450x15=6750(元)；

故答案為：450,6750.

(2)由于水產品不超過6000+20=300(kg),定價為x元，

則(x-20)[500-10(x-30)]=8000

解得：x『40,X2=60

當x『40時，進貨500-10(40-30)=400kg>300kg,舍去，

當*2=60時，進貨500-10(60-30)=200kg<300kg,符合題意.

答：銷售單價應為60元.

【點睛】

本題考查了一元二次方程的應用，此題的創(chuàng)意在第2問，同時考慮進出兩個方面的問題，

比較后得結論.

3

22.x=l,x=—

>22

【分析】

移項后分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可.

【詳解】

解：2x(x—1)=3(x—1),

移項得2x(x-1)-3(x-1)=0,

因式分解得(2x-3)(x-l)=0,

,3

解得x=Lx——.

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【點睛】

本題考查了因式分解法解一元二次方程，正確理解因式分解法的基本思想是化成一元一次

方程.

23.游泳池的長為40米，寬為20米.

【分析】

設游泳池的寬為x米，而游泳池的長是寬的2倍，那么原來的空地的長為(〃+8),寬為

(x+6),根據空地面積為1248平方米即可列出方程解題.

【詳解】

解：設游泳池的寬為x米，

依題意得(x+6)(2x+8)=1248

整理得x2+10x-600—0,

解得\=20,x2=-30(負數不合題意，舍去)，

.".x—20,2x=40.

答：游泳池的長為40米，寬為20米.

【點睛】

找到關鍵描述語，找到等量關系準確的列出方程是解決問題的關鍵.此題要注意判斷所求

的解是否符合題意，舍去不合題意的解.

24.(1)2m+n=3；(2)a+b+c=2.

【分析】

(1)將方程“2-2加〃+2〃2-2幾+1=0的左邊分組配方，再根據偶次方的非負性，可求

得相、〃的值，最后代入2根